【文档说明】福建省宁化一中2019-2020学年高二下学期第一次阶段考数学试题【精准解析】.doc，共(23)页，1.936 MB，由小赞的店铺上传

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宁化一中2019-2020学年下学期高二第一次阶段考数学试卷（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）1.若抛物线的准

线方程为7x,则抛物线的标准方程为（）A.228xyB.228xyC.228yxD.228yx【答案】D【解析】由题得抛物线的标准方程为228yx.故选D.2.在2013年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天

销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：3.2yxa，那么a的值为()

A.－24B.35.6C.40.5D.40【答案】D【解析】试题分析：由题回归方程过样本平均数点(,)xy，可求出；10,8xy代入3.2yxa，83.210,40aa考点：线性回归方

程的性质.3.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为730，既吹东风又下雨的概率为110.则在吹东风的条件下下雨的概率为（）A.311B.37C.711D.110【答案】B【解析】【分析】利用条件概率的计算公式即可得出．【详解】设事件A表示四月份吹东风，事件B表示吹东风又下雨，根

据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率1310(|)7730PBA．故选：B．【点睛】本题考查条件概率，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键．4.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有A.12种B.24种C.30种D.36种【答

案】B【解析】试题分析：由题意得，其中恰有两人选甲，共有246C种选法；余下的两人，各有两种选法，所以所有的选法共有种，故选B.考点：排列、组合的应用.5.已知函数yfx的图象在点1,1f处的切线方程为21

0xy，则12'1ff的值为A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】由1210y得1y，因此有(1)1f，1'(1)2f，∴1(1)2'(1)1222ff．故选D．6

.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额

满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）A.59B.49C.716D.916【答案】B【解析】【分析】有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种

类相同包含的基本事件个数m2343CA36，则可得他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率．【详解】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且

仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m2343CA36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p364819mn．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题．7.如图，在长方体1111ABCDABCD中，8AB，6AD，异面直线BD与1AC所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（）A.98B.196C.784D.13723【答案】B【解

析】【分析】先做出BD与1AC所成角的角下图中的BOE，设,,CExOEBE用x表示，然后用余弦定理求出x，求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案.【详解】连AC与BD交于O点,则O为AC中点，取1CC中点E，连,BEOE，则1//AC

OEEOB为异面直线BD与1AC所成角,设,CEx则236BEx，8AB，6AD，25,25OBOCOEx在OBE中，由余弦定理得2222362cosBExOBOEOBOEEOB222362525225xxx，解

得26x1246CCx，所以长方体的对角线长为36649614所以长方体的外接球的半径为7，所以长方体外接球的表面积为196.故选:B【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题.8.已知

函数()lnfxaxx，1,xe的最小值为3，若存在12,1,nxxxe，使得121nnfxfxfxfx，则正整数n的最大值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】对函数求导,研究函数单

调性,利用最值与函数单调性的关系,即可求得a的值,从而求得()fx的最大值与最小值,再根据题意推出minmax(1)()()nfxfx„,即可求得n的最大值.【详解】11()axfxaxx,①当0a或10ae时,()0fx在1,xe恒成立,从而()f

x在1,e单调递减,所以min()()13fxfeae,解得41,aee,不合题意;②当11ae时,易得()fx在11,a单调递减,在1,ea单调递增,所以min11()1ln3f

xfaa,解得21,1aee,不合题意;③当1a时,()fx在1,e单调递增,所以min()(1)31fxfa,满足题意;综上知3a.所以()3lnfxxx,1,xe,所以min()(1)3fxf,max()()31fxfee

依题意有minmax(1)()()nfxfx,即(1)331ne,得23ne,又*nN,所以3n.从而n的最大值为3.故选:B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,考查求参数的取值范围,需要学生

结合分类讨论思想答题.二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题至少有二个项是符合题目要求，作出的选择中，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得3分，正确选项全部选出的得5分）9.下列判断正确的是（）A.若

随机变量服从正态分布21,N，40.79P，则20.21P；B.已知直线l平面，直线//m平面，则“//”是“lm”的充要条件；C.若随机变量服从二项分布：1

4,4B，则1E；D.5122xy的展开式中含23xy项的系数为20.【答案】AC【解析】【分析】A，根据正态分布概率的性质，计算即可；B，判断充分性与必要性是否成立即可；C，根据二项分布

计算即可；D，二项式展开式计算可得．【详解】解：对于A，随机变量服从正态分布2(1,)N，所以图象关于1x对称，根据(4)0.79P„，可得(4)1(4)0.21PP厔，所以(2)(4)0.21PP剠，故A正确；对于B，直线l平面

，直线//m平面，若//，则lm是真命题；若lm，则//是假命题；所以“//”是“lm”的充分不必要条件”，故B错误；对于C，随机变量服从二项分布：1~(4,)4B，则1()414E，故C正确；对于D，若5122x

y，则展开式的通项为515122rrrrTCxy，令3r，则232334502212TyxyCx，故D错误．故选：AC．【点睛】本题以命题真假的

判断为载体，主要考查了正态分布、二项分布、以及二项式展开式的判断问题，属于中档题．10.如图是函数yfx的导函数'yfx的图象，则下面判断正确的有（）A.在2,1上fx是增函数B.在3,4上fx是减

函数C.在1x处取得极极小值D.在1x处取得极极大值【答案】BC【解析】【分析】根据导函数看正负，原函数看增减，函数在极值点处导数符号改变，即可得到结论．【详解】解：根据导函数的正负，得到原函数的增减性，由图

可得如下数据，x3,111,222,444,fx000fx极小值极大值极小值故在3,4上fx是减函数，在1x处取得极小值正确的有BC；故选：BC．【点睛】本题考查导函数的图象，考查函数的单调

性与极值，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，函数在极值点处导数符号改变，属于基础题．11.已知在矩形ABCD中，4AB，3BC，将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角BACD，若折成的四面体ABC

D内接于球O，则下列说法正确的是（）A.四面体ABCD的体积的最大值是245B.球心O为线段AC的中点C.球O的表面积随的变化而变化D.球O的表面积为定值25【答案】ABD【解析】【分析】由矩形的性质可得球心以及球的半径，当平面

ACD平面ABC时，四面体ABCD的体积的最大，一一验证可得；【详解】解：如图，当平面ACD平面ABC时，四面体ABCD的体积的最大，最大值为113424343255，故A正确；由题意

得，在四面体ABCD内AC的中点O到点A、B、C、D的距离相等，且大小为522AC，所以点O为外接球的球心，且球的半径522ACR，表面积22544252SR为定值，故BD正确，C错误；故选：ABD【点睛】本题考查多面体的

外接球以及翻折问题，锥体的体积计算，属于中档题.12.已知1F，2F分别是双曲线222210,0xyabab的左、右焦点，以12FF为直径的圆交渐近线byxa于点P（P在第一象限），1PF交双曲线左支于点Q，若Q是线段1PF的中点，则下列选项不符

合双曲线离心率的是（）A.51B.51C.3D.31【答案】BCD【解析】【分析】先解得交点P的坐标，得到Q的坐标，代入双曲线方程，即可得出离心率e．【详解】解：由题意可得圆的方程为222xyc，与渐近线联立方程组可得222

xycaybx，解得xayb，即(,)Pab，Q是线段1PF的中点，(2acQ，)2b，2222()144acbab，即2240ee解得51e，故选：BCD【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及中点坐标公式，离心率，属于中档题第

Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某高校“统计”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表，为了判断主修统计专业是否与性别有关，计算得到24.844K，因为23.841K，所以判定主修统计专业与性别是有关系的，那么这种判断出错的

可能性为________.专业性别非统计专业统计专业男1310女720本题可以参考独立性检验临界值表：2PKk0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3

232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】5%【解析】【分析】由题意知根据表中所给的数据得到观测值是4.844，从临界值表中可以知道4.8443.841，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应

的概率是0.05，得到结论．【详解】解：由题意知为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到250(1320107)4.84423272030k23.841K…，由临界值表可以得到2(3.841)0.05PK…判定主

修统计专业与性别有关系的这种判断出错的可能性为0.055%．故答案为：5%．【点睛】独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法，主要是通过2k的观测值与临界值的比较解

决的，属于基础题．14.函数212ln2fxxxx在区间1,2e上的最小值为______.【答案】32【解析】【分析】首先求出函数的导数，再令0fx、0fx得到函数的单调性，从而可得函数的最值；

【详解】解：因为212ln2fxxxx，则定义域为0,所以221221xxxxfxxxxx令0fx解得1x，即fx在1,上单调递

增，令0fx解得01x，即fx在0,1上单调减，所以fx在1x处取得极小值，也就是最小值且312f，又因为1,2xe，112ln228f，212

2feee所以函数212ln2fxxxx在区间1,2e上的最小值为32，故答案为：32【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.15.已知多项式(2)(1)mnxx2012mnmnaaxaxax

满足01416aa，，则mn_________，012mnaaaa__________．【答案】(1).5(2).72【解析】∵多项式21mnxx2012mnmnaaxaxax满足01416aa，∴令0x

，得0214mna，则2m∴2(2)(1)(44)(1)mnnxxxxx∴该多项式的一次项系数为11414116nnnnnnCC∴13nnC∴3n∴5mn令1x，得23012(12)(11)72mnaaaa故答案为5，721

6.已知三棱锥PABC中，平面PAB平面30ABCPAB,，6,33,10ABPACACB.设直线PC与平面ABC所成的角为，则tan的最大值为__________.【答案】34【解析】【分析】利用余弦定理求出PAB△是直角三

角形，过点P作PDAB，垂足为D，易得332PD，连接CD，可得PD平面ABC，进而可得33tan2PDCDCD，设CDy，CAx，即10CBx，由180CDACDB，利用

余弦定理可得：2222229310220932222yxyxyy，化简配方即可求解.【详解】由已知易得PAB△是直角三角形，过点P作PDAB，垂足为D，易得3393,,22

2PDADBD，连接CD，因为平面PAB平面ABC，由面面垂直的性质定理，可得PD平面ABC，所以PCD，33tan2PDCDCD，可知当CD取最小值时，tan最大.设CDy，CAx，则10CBx.因为180CDACDB，所以coscos0CD

ACDB，即2222229310220932222yxyxyy，所以215122yx，可得当152x时，y取得最小值，最小值为23，即CD的最小值23.

所以tan的最大值为3334223.故答案为：34【点睛】本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.）17.在*22nxnNx的展开式中.（1）若第五项的系数与第三项的系数的比是10:1，求展开式中各项系数的和；（2）若其展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中含x的项.

【答案】（1）1（2）3264Tx【解析】【分析】（1）由展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1，求得8n．再令1x得各项系数的和．（2）依题意可得01279nnnCCC，即可求出n，得到通项，再令5612r，即可得解；【详解】解：（1）*22nxnNx

展开式的通项为521222rnrnrrrrrnnTCxCxx由题意知，第五项系数为442nC，第三项的系数为222nC，则有4422(2)10(2)1nnCC，化简得25240nn

，解得8n或3n（舍去）.令1x得各项系数的和为8121.（2）∵01279nnnCCC，∴21560nn.∴12n或13n（舍去）.通项公式561221121222()()(2)rrrrrrrTCxCxx，令5612r，则2r=

，故展开式中含x的项为22312(2)264TCxx.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．18.甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为23，乙能攻克的概率为34，丙能攻克

的概率为45.（1）求这一技术难题被攻克的概率；（2）若该技术难题末被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每

人各得2a万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得3a万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2分布列见解析，数学期望为．【解析】【详解】（1）234111591(1)(1)(1)1345345

60P（2）X的可能取值分别为0,,,32aaa，，，，∴X的分布列为X03a2aaP（万元）19.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且60BAD，AF平面ABCD，DEAF.（1）求证：平面ACE

平面BDE；（2）G为CE中点，当4DE，2AFAB时，求二面角GBFE的正弦值.【答案】（1）见解析（2）15【解析】【分析】（1）先证明ACDE，ACBD，继而可证AC平面BDE，故得证平面ACE平面

BDE（2）如图建立空间直角坐标系，求解平面GBF，平面EBF的法向量，利用二面角的向量公式即得解.【详解】（1）因为AF平面ABCD，DEAF，所以DE平面ABCD，故ACDE又四边形ABCD为菱形，故ACBD又DE，DB是平面BDE内两条相交的

直线，故AC平面BDE，又AC平面ACE，因此平面ACE平面BDE（2）取线段AB中点N，连接DN，以点D为原点O，分别以DN，DC，DE的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系zOxy则点3,1,0A，3,1,0B，0,2,0C，0,0,4E，

(3,0,2)BG，(0,2,2)BF，(3,1,4)BE设平面GBF的法向量为111,,mxyzr，则(3,0,2)0,(0,2,2)0,mm即1111320220xzyz，可取2,3,3m又设平面EB

F的法向量222,,nxyzr，则(3,1,4)0,(0,2,2)0,nn即22222340220xyzyz，可取3,1,1n故||26|cos,|||||5mnmn

mn，因此二面角GBFE的正弦值为15【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.20.已知椭圆E：222210xyabab的离心率为22，直线l：320xy与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切.（

1）求椭圆E的方程；（2）矩形ABCD在y轴右侧，且顶点C、D在直线6yx上，顶点A、B在椭圆E上，若矩形ABCD的面积为43，求直线AB的方程.【答案】（1）221189xy（2）5yx.【

解析】【分析】（1）由题设条件知222ab，再由直线:320lxy与圆222xyb相切，知3b，由此可求出椭圆E的方程．（2）设直线AB：3yxmm，11,Axy，22,Bxy，联立直线与椭圆方

程，消元列出韦达定理，利用弦长公式得到24273mAB，再由两平行线之间的距离公式得到262BCm，则43ABBC，得到方程227(6)2mm，最后根据函数的单调性及特殊值得出参数m的值，即可得解；【详解】解：（1）由已知得22ca，圆点到直线320xy的

距离223211db所以3b，222abc，解得32a，3b，3c.所以E的方程为：221189xy.（2）设直线AB：3yxmm，11,Axy，22,Bxy把yxm代入E：221189x

y得22342180xmxm……*224432180mm且3m，解得333m，且1243mxx，2122183mxx，可得24273mAB，由两平行线之间的距离公式可得262BCm

，由43ABBC可得227(6)2mm，记2()27(6)fmmm，其中333m，则函数fm在3,33上单调递减.且52f，故5m，因此直线AB的方程为5yx.【点睛】本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，解题时

要认真审题，注意韦达定理的合理运用，属于中档题．21.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定201

9年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式6.922.63，若2~,XN，则①()0.6827PX„；②(22)0.9545P

X„；③(33)0.9973PX„.（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布2,N，其中近似为年平均收入2,x近

似为样本方差2s，经计算得：26.92s，利用该正态分布，求：（i）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii）

为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?【答案】（1）17.4；（2）（i）14.77千元（ii）978位【解析】【分析】（

1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数；（2）（i）根据正态分布可得：0.6827()0.50.84142PX即可得解；（ii）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.

9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k的取值即可得解.【详解】（1）由频率分布直方图可得：120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x；（2）（i）由题~17.4,6.92XN，0.6

827()0.50.84142PX，所以17.42.6314.77满足题意，即最低年收入大约14.77千元；（ii）0.9545(12.14)(2)0.50.97732PXPX

，每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X，1000,0.9773XB恰有k位农民中的年收入不少于12.14千元的概率100010000.997310.9973kkkPXkC

10010.97731110.9773PXkkPXkk得10010.9773978.2773k，所以当0978k时，1PXkPXk，当9791000k时，1PXkPXk，所以这1000位农民

中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.22.已知函数21lnfxxxaxx，322123gxxaxaxb

，,abR.（1）求函数gx的单调区间；（2）若fxgx恒成立，求2ba的最小值.【答案】（1）分类讨论，见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）设(

)()()Fxgxfx，求出函数的导数，根据函数的单调性求出()Fx的最小值，从而确定(2)ba的最小值即可．【详解】解：（1）函数定义域为,.222(1)2)()'(22xaxaxxgxa，由'01gxx，或xa，①当1a

时，,xa，'0gx，gx在,a上为增函数，,1xa，'0gx，gx在,1a上为减函数，1,x，'0gx，gx在1,上为增函数.②当1a时，,x，'0gx，gx在

,上为增函数，,1x，'0gx，gx在,1上为增函数.③当1a时，1,xa，'0gx，gx在,1a上为减函数，,xa时，

'0gx，gx在,a上为增函数.（2）()()()()0fxgxgxfx，设Fxgxfx则221'()(21)ln22(1)Fxxxxxxaxax(21)(ln1)xxxa，因为0,x，令'0Fx，得ln10

xxa.设ln1hxxxa，由于hx在0,上单递增，当0x时，hx；当x时，hx，所以存在唯一00x,，使得00hx，即00ln1axx.当00xx时，F

'0x，所以Fx在00,x上单调递减；当0xx时，'0Fx，所以Fx在0,x上单调递增.当0,x时，23200000mn0i02ln(1)3FxxxxxaxaxbFx23200000000002lnlnln13

xxxxxxxxxxb3200013xxxb，因为fxgx恒成立，当01x时，'0x，所以x在0,1上单调递减；当1x时，'0x，所以x在1,上单调递增.当0,x时，min'

12x.所以当01x，即001ln2axx，320001733bxxx时，min5(2)3ba.所以32min0001()03Fxxxxb，即320001

3bxxx.3232000000011222ln233baxxxaxxxx.设32000012ln23xxxxx，0,x，则32222221'xx

xxxxxx2(1)32xxxx.令()0x，解得：1x，故()x在(0,1)递减，在(1,)递增，故()12minx，故01x即0012axlnx，320001733bxxx时，5(2)3minb

a．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．