【文档说明】第10章 空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练（解析版）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修三）.docx，共(13)页，918.653 KB，由管理员店铺上传

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第10章空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不

充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线l与平面没有公共点，那直线l与平面只能平行，故充分条件成立；若直线l与平面平行，则直线l与平面没有公共点，故必要性也成立，所以“

直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的充分必要条件.故选：C2．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（）A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件；D．既非充分又非必要条件．【答案】A【分析】空间四个点中，有三个点

共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者．【详解】解：空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不

一定有三点共线，后者不一定推出前者，空间四个点中，有三个点共线是这四个点共面的充分不必要条件，故选：A．二、填空题3．（2021·上海市徐汇中学高二阶段练习）在平行六面体1111ABCDABCD−的所有棱中

，既与AB共面，又与1CC共面的棱的条数为___________.【答案】5【分析】有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可得答案，【详解】解：如图，满足条件的有BC，DC，1BB，1AA，11DC，故答案为：5.4．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）不共线的三

点确定___________个平面.（填数字）【答案】1【分析】由空间几何的公理求解即可【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面故答案为：15．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是_________【答案】异面【分析】根据异面直线

的定义，直接判断.【详解】不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是异面.故答案为：异面6．（2021·上海·西外高二期中）空间中两条直线的位置关系有___________.【答案】平行、相交、异面【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.【详解】

空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.故答案为：平行、相交、异面.7．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，异面直线1AB与1BC所成角的大小为___________.【答案】60##3【分析】连接1,DCBD，由正方体的结构

特征知：11//DCAB且△1BDC为等边三角形，即可知异面直线1AB与1BC所成角.【详解】连接1,DCBD，由正方体的结构特征知：11//DCAB，∴1DC与1BC所成角即为异面直线1AB与1BC所成角，又△1BDC为等边三角形，∴1DC与1BC所成角60，即异面直

线1AB与1BC所成角为60.故答案为：608．（2022·上海虹口·高二期末）在正四面体ABCD中，直线BC与AD所成角的大小为________．【答案】2【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.【详解】如图所示

，取BC中点E，连接AE，DE，由已知ABCD为正四面体，则ABC，DBC△均为正三角形，所以AEBC⊥，DEBC⊥，所以BC⊥平面ADE，故BCAD⊥，即直线BC与直线AD的夹角为2，故答案为：2.9．（2021·

上海市行知中学高二阶段练习）过直线外一点有_________条直线与该直线垂直．【答案】无数【分析】根据点和直线、直线和直线的位置关系即可得出结果.【详解】空间中过直线外一点可以作无数条直线与该直线垂直.故答案为：无数10．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）若平面∥平面，,ab

，则直线a和b的位置关系是_____________.【答案】异面或平行【分析】利用分别在两个平行平面内的两个直线没有公共点即可判断作答.【详解】因平面∥平面，则平面与平面没有公共点，而a，b，于是得直线a和b没有公共点，所以直线a和

b是异面直线或者是平行直线.故答案为：异面或平行11．（2020·上海松江·高二期末）已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，异面直线BD与11AB的距离为__________.【答案】a【分析】根据线面垂直性质可

得1BBBD⊥，又111BBAB⊥，可知所求距离为1BB，从而得到结果.【详解】1BB⊥平面ABCD，BD平面ABCD1BBBD⊥又111BBAB⊥异面直线BD与11AB之间距离为1BBa=故答案为a【点睛】本

题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.12．（2022·上海·复旦附中高二期中）棱长为1的正方体中，异面直线1AD与11BC之间的距离为______．【答案】1【分析】根据题意，证得111ABAD⊥且1

111ABBC⊥，得到11AB为异面直线1AD与11BC的公垂线，即可求解.【详解】如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，可得11AB⊥平面11ADDD，11AB⊥平面11BCCB，因为1AD平面11ADDD，11BC平面11BCCB，所以11

1ABAD⊥且1111ABBC⊥，所以11AB为异面直线1AD与11BC的公垂线，又由正方体的棱长为1，可得111AB=，所以异面直线1AD与11BC的距离为1.故答案为：1.13．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体11

11ABCDABCD−的棱长为1，则异面直线AB与11DB之间的距离为___________.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案﹒【详解】如图：∵1BB与AB、11BD均垂直，∴1BB即为两异面直

线的距离，故答案为：1三、解答题14．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥PABC−中，已知PA⊥平面,ABC3,6PAPBPCBC====.求二面角PBCA−−的正弦值【答案】33【分析】取BC的

中点D，连结PD，AD,根据线面垂直关系可知PDA即为二面角PBCA−−的平面角,根据所给边长关系可求得PDA的正弦值.【详解】取BC的中点D，连结PD，AD∵PBPC=∴PDBC⊥∵PA⊥平面ABC，∴PABC⊥,且BCPAD⊥面即BCAD⊥∴PDA即为二面角PBCA−−的平面

角∵6PBPCBC===∴3PD6332==PA33sinPDAPD333===即二面角PBCA−−的正弦值是33【点睛】本题考查了二面角的求法,关键是找到二面角的平面角,属于基础题.【典型】一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）在空间内，异面直线所成角

的取值范围是（）A．0,2B．0,2C．0,2D．0,2【答案】B【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直

线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是(0,]2,故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.2．（2021·上海·高二专题练习）

若a、b是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面与直线b垂直C．唯一存在一个平面与直线a、b等距D．可能存在平面与直线a、b都垂

直【答案】D【分析】在A中，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面内平行于b；在B中，反设过直线a能作平面、使得b⊥、b⊥，推出矛盾；在C中，过异面直线a、b的公垂线段的中点作与该公垂线垂直的平面可满足条件；在D中，若存在平面与直线a、b都垂直，则//ab.

【详解】在A中，由于a、b是异面直线，把直线b平移与直线a相交，可确定一个平面，这个平面与直线b平行，A选项正确；在B中，若过直线a能作平面、使得b⊥、b⊥，则//，这与a=矛盾，所以

，过直线a最多只能作一个平面与直线b垂直，由a，可得ba⊥，当直线a与b不垂直时，过直线a不能作平面与直线b垂直，B选项正确；在C中，由于a、b是异面直线，则两直线的公垂线段只有一条，过该公垂线段的中点作平面与该公垂线垂直，这样的平面有且只有一个，且这个平面与直线a、b等距，C选项正确

；在D中，若存在平面与直线a、b都垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得//ab，D错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，着重考查与异面直线相关的性质，考查推理能力，属于中等题.3．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）

对于两个平面,和两条直线,mn，下列命题中真命题是A．若,mmn⊥⊥，则//nB．若//,m⊥，则m⊥C．若//,//,mn⊥，则mn⊥D．若,,mn⊥⊥⊥，则mn⊥【答案】D【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断

．【详解】A中n可能在内，A错；B中m也可能在内，B错；m与n可能平行，C错；,⊥⊥m，则m或//m，若m，则由n⊥得nm⊥，若//m，则内有直线//cm，而易知cn⊥，从而mn⊥，D正确．故选D．【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错

误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．二、填空题4．（2021·上海市亭林中学高二阶段练习）异面直线a与b成60°角，若//ca，则c与b所成的角等于__________【答案】60°【分析】由已知可得c与b相交或异面.分

两种情况，根据异面直线所成的角的概念结合平行公理即可得出结论.【详解】∵,ab异面，//ca，∴c与b相交或异面.当c与b相交时，根据异面直线a与b所成角的概念可知c与b所成的角为60°角；当c与b异面时，自空间不在,,abc上的一点分别作,ab的平行线//,//manb,∵

//ca，∴//mc,根据异面直线所成角的定义，相交直线,mn所成的不超过直角的角既是异面直线a与b所成的角，又是异面直线c与b所成的角，根据异面直线a与b成60°角，故异面直线c与b所成的角为60°角.故答案为：60°.5．（2021·上海南汇中

学高二阶段练习）二面角l−−为60，异面直线a、b分别垂直于、，则a与b所成角的大小是____【答案】60【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a、b分别垂直于、两个平面，则两

条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l−−为60，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a、b的夹角为∵二面角l−−为60，异面直线a、b分别垂直于、则两条直线的夹角和二面

角相等或互补，∴60=故答案为60【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.三、解答题6．（2019·上海·华师大二附中高二阶段练习）在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E、F分别是BC、A1D1的

中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）作出直线A1C与平面B1EFD的交点（写出作图步骤）．【分析】（1）取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF为平行四边形，四边形BEDG为平行四边形，得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，得到四

边形B1EDF是菱形；（2）连接A1C和AC1，则A1C与AC1的交点O，即为直线A1C与平面B1EFD的交点．【详解】（1）证明：取AD中点G，连接FG，BG，如图1所示，则B1B∥FG，B1B＝FG，∴四边形B1B

GF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG＝DE，则B1F∥DE，且B1F＝DE，∴四边形B1EDF为平行四边

形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，∴四边形B1EDF是菱形；（2）连接A1C和AC1，则A1C与AC1的交点O，即为直线A1C与平面B1EFD的交点，如图所示．【点睛】本题考查了空间中的平行

关系应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题．关键是掌握正方体的性质和熟练使用平行公理.【新文化】一、填空题1．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”

翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形ABCD为矩形，ADE和BCF△都是等腰三角形，2AEEDBFCFAD====，//EFAB，若3ABEF=，且2ADEF=，则异面直线AE与CF所成角

的大小为______.【答案】3【分析】作平行四边形AGFE，得到//AEGF，异面直线AE与CF所成角为GFC，求出GFC的边长求角即可.【详解】设1EF=，在AB上取点G满足1AGEF==，如图，故//AGEF且AGEF=，故四边形AGFE是平

行四边形，故//AEGF异面直线AE与CF所成角为GFC或其补角，22GFCF==，22222222CGGBBC=+=+=故GFC为等边三角形故3GFC=故答案为：3【压轴】1．（2021·上海·西外高二期中）三棱锥PABC−满足

：ABAC⊥，ABAP⊥，2AB=，4APAC+=，则该三棱锥的体积V的取值范围是________．【答案】4(0,]3；【详解】由于,,,ABAPABACABAPAAB⊥⊥=⊥平面APC，1233APCAPCVS

ABS==，在APC中，4APAC+=，要使APC面积最大，只需0,90APACAPC==，APCS的最大值为12222=，V的最大值为142233=，该三棱锥的体积V的取值范围是4(0,]3.