【文档说明】高中数学人教A版 《必修第一册》全书讲义5.1.2.docx，共(6)页，122.452 KB，由小赞的店铺上传

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5.1.2弧度制【学习目标】(1)理解弧度制的概念．(2)能进行角度与弧度的互化．(3)会利用弧度制证明并应用扇形周长及面积公式．题型1角度制与弧度制的互化【问题探究1】(1)在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？(2)我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带

来方便，那么角的度量是否也能用不同的单位制呢？(3)一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？例1将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－1

1π5.学霸笔记：角度与弧度的互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad.跟踪训练1(多选)

下列转化结果正确的是()A.67°30′化成弧度是3π8B．－10π3化成角度是－600°C．－150°化成弧度是7π6D．π12化成角度是5°题型2用弧度制表示角是集合例2已知角α＝1200°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2

π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－2π，2π]上找出与α终边相同的角．题后师说用弧度制表示终边相同角的2个关注点跟踪训练2(1)下列与45°角的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B．k·3

60°＋π4(k∈Z)C．k·360°＋45°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)(2)如图，用弧度制表示终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合(用弧度制表示)：________．题型3弧长公式与面积公式的应用【问题探究2】请你说出初中学过的扇形的弧长和

面积公式．例3已知扇形的周长为8cm.(1)若该扇形的圆心角为0.5rad，求该扇形的面积；(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．一题多变在本例的条件中，若“周长为8cm”改为“面积为8cm2”，在(1)的条件下求该扇形的弧长．题后师说扇形的弧长和面积的求解策略跟踪训练3(

1)已知扇形的圆心角为2π3，面积为3π，则该扇形的弧长为()A．πB．2πC．3D．6(2)若扇形圆心角为135°，扇形面积为3π，则扇形半径为________．随堂练习1.下面关于弧度的说法，错误的是()A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数B．一

个角的角度数为n，弧度数为α，则n180＝απC．长度等于半径的√3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2π3D．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5π16cm.2．时针经过四个小时，转过了()A．2π3radB．－2π3radC．5π6radD．－5π6r

ad3．若角α＝3rad，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知扇形的半径为2，面积为3π，那么该扇形的弧长为________．课堂小结1.对弧度制概念的理解．2．弧度制与角度制的互化．3．掌握特殊角的度数与弧度数的对应关

系．4．利用扇形的弧长公式和面积公式进行计算．5．1.2弧度制问题探究1提示：(1)周角的1360为1度的角(2)能(3)360°2π度数×π180＝弧度，弧度数×(180π)°＝度数例1解析：(1)20°＝20×π180＝π9；(2)－15°＝－15×

π180＝－π12；(3)7π12＝7π12×180°π＝105°；(4)－11π5＝－11π5×180°π＝－396°.跟踪训练1解析：对于A，67°30′＝135°2×π180°＝3π8，故A正确；对于B，－1

0π3＝－10π3×180°π＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150°×π180°＝－5π6，故C错误；对于D，π12＝π12×180°π＝15°，故D错误．故选AB.答案：AB例2解析：(1)α＝1200°＝120

0180π＝2π3＋6π，因为2π3为第二象限，所以α是第二象限角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝2π3＋2kπ，k∈Z，由γ＝2π3＋2kπ∈[－2π，2π]，得当k＝0时，γ＝2π3，当k＝－1时，γ＝－4π3，所以在区间[－2π，2π]上与α终边相同的角为2π3和

－4π3.跟踪训练2解析：(1)对于A，B，终边相同的角的表达式中弧度与角度混用，不正确；又与45°角的终边相同的角的表达式可以为k·360°＋45°(k∈Z)或2kπ＋π4(k∈Z)，对于kπ＋5π4，令k＝0，表示的角为5π4与45°角的终边不相同，故C正确，D错误，故选C.(2)因为75

°＝75×π180＝5π12，－30°＝－π6，结合图象可看作[−π6，5π12]范围内的角，结合任意角的概念可表示为{α|2kπ−π6≤α≤2kπ+5π12，k∈𝐙}.答案：(1)C(2){α|2kπ−π6≤α≤

2kπ+5π12，k∈𝐙}问题探究2提示：初中我们已学习过，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝nπR180，S＝nπR2360，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道α＝nπ180.例3解析：设扇形的半径

为r，弧长为l，扇形的面积为S.(1)由题意，得2r＋l＝8，l＝0.5r，解得r＝3.2cm，l＝1.6cm，所以S＝12lr＝2.56(cm2)．(2)由2r＋l＝8，得l＝8－2r，r∈(0，4)，则S＝12lr＝12(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，当r＝2

cm时，Smax＝4cm2，此时l＝4cm，圆心角α＝lr＝2.一题多变解析：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，则由S＝12αr2，得8＝12×12×r2，所以r＝4√2cm.所以l＝αr＝12×4√2＝2√2(cm)．跟

踪训练3解析：(1)设扇形的弧长为l，半径为r，根据已知扇形的圆心角α＝2π3，面积S＝3π，由扇形的面积公式S＝12αr2，得3π＝12×2π3×r2，解得r＝3，由弧长公式l＝αr＝2π3×3＝2π.故选B.(2)依题

意可知，圆心角的弧度数为3π4，设扇形半径为r，则S＝12×3π4r2＝3π，r＝2√2.答案：(1)B(2)2√2[随堂练习]1．解析：A.根据弧度数定义可知A正确；B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；C.设半径为r，则弦长为√3r，设圆心角为θ，由余弦定理有cos

θ＝r2+r2−3r22r·r＝－12，故θ＝2π3，故C正确；D.圆周长为2πr＝20πcm，32等分后，每一份弧长为5π8cm，故D错误．故选D.答案：D2．解析：时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的弧度为－2πrad，则时针经过四个小时，转过了412·(－2π)rad

＝－2π3rad.故选B.答案：B3．解析：因为π2<3<π，所以3rad是第二象限角．故选B.答案：B4．解析：因为扇形的面积公式为S＝12lR，所以l＝2SR＝2×3π2＝3π.答案：3π