【文档说明】安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(20)页，1.148 MB，由envi的店铺上传

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合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考高三年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥三中命题教师：蔡开根审题教师：孟凡慧一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应

的位置上.1.已知p：201xAxx−=−，q：0Bxxa=−，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A.()2,+B.[2,+∞)C.(),1−D.(−∞,1]【答案】D【解析】【分析

】解不等式确定集合A，然后由必要不充分条件得B是A的真子集可得结论．【详解】∵{|(2)(1)0Axxx=−−且1}x{|2xx=或1}x，Bxxa=，又p是q的必要不充分条件，∴BA，∴1a，故选：D.【点睛】结论点睛：本题考查由必要不充分条件

求参数，一般可根据如下规则判断：命题p对应集合A，命题q对应的集合B，则（1）p是q的充分条件AB；（2）p是q的必要条件AB；（3）p是q的充分必要条件AB=；（4）p是q的既不充分又不必要条件集合,AB之

间没有包含关系．2.已知集合()0.5log21Axyx==−∣，Z2sinByyx==∣，则AB=（）A.012，，B.12，C.01，D.1【答案】D【解析】【分析】根据偶次根下大于等于零，结合对数函数的单调性，可得集合A；根

据三角函数的性质可得集合B，结合交集的运算可得答案.【详解】由题意()0.5log210x−且210x−，故0211x−，解得112x，故112A=，；由1sin1x−得22sin2x−，故2,1,0,1

,2B=−−；综上1AB=.故选：D.3.已知155222log5555cab===，，，则（）A.abcB.bacC.cbaD.acb【答案】C【解析】【分析】化对数式为指数式判断1a，判断(01)b，，化指数式为对数式判断

0c，则答案可求.【详解】由52log5a=，得205551a==；由1525b=，得50125()b=，；由255c=，得25log50c=.∴cba.故选：C.【点睛】本题考查指数式、对数式中的大小比较，一般可

利用中介值01，和函数单调性进行大小比较，是基础题.4.已知函数()yfx=是R上的奇函数，且当0x时，2()fxxx=+，则当0x时有（）A.2()fxxx=+B.2()fxxx=−+C.2()fxxx=−D.2()fxxx=−−【答案】B【解析】【分析】根

据函数的奇偶性，设0x，则0x−，()()2()fxxx−=−+−，再变形可得函数解析式.【详解】解：设0x，则0x−，因为当0x时，2()fxxx=+()()22()fxxxxx−=−+−=−又函数()yf

x=是R上的奇函数()()fxfx=−−2()fxxx=−+故当0x时有2()fxxx=−+故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.5.已知()443sincos,0,π225−=，则221sin2co

scossin++=−（）A.2635−B.325−C.314−D.1728−【答案】A【解析】【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得cos，进而得sin，从而结合二倍角

正弦公式即可计算求解.【详解】因为()443sincos,0,π225−=，所以()22223,0,πsincossin+cos52222=−，所以()223sincoscoscos,0,π2

2522−=−=−=+，即3cos5=−，所以由()0,π得243sin155=−=−，所以22222243121sin212sincos26355coscoscossincossin3553455+−

+++=+=+=−−−−−−.故选：A.6.若函数()()2lg2fxmxmx=−+的定义域为R，则实数m取值范围是（）A.)0,8B.()8,+C.()0,8D.()(),08,−+【答案】A【解析】【分析】分析可知，220

mxmx−+在𝑅上恒成立，分0m=、0m两种情况讨论，在0m=时，直接验证即可；在0m时，可得出0Δ0m，综合可解得实数m的取值范围.【详解】由题意，函数()()2lg2fxmxmx=−+的定义域为𝑅，等价

于220mxmx−+在𝑅上恒成立，若0m=，则2220mxmx−+=在𝑅上恒成立，满足条件；若0m，则20Δ80mmm=−，解得08m.综上，实数m的取值范围是)0,8，故选：A．7.已知函数()fx与()fx的图象如图所示，则函数()exfxy=（）A.

在区间(1,2)−上是减函数B.在区间31,22−上是减函数C.在区间(0,2)上是减函数D.在区间(1,1)−上是减函数【答案】B【解析】【分析】求出函数y的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解．【详解】因为()()ex

fxfxy−=，由图象知，3122x−时，()()0fxfx−，又e0x，所以当3122x−时，0y，即()exfxy=在31,22−上单调递减，当132x时，()()0f

xfx−，又e0x，所以当132x时，0y，即()exfxy=在1,32上单调递增，所以选项A、C和D错误，选项B正确，故选：B．8.定义：如果函数()yfx=在区间,ab上存在()1212

,xxaxxb，满足()()()'1fbfafxba−=−，()()()'2fbfafxba−=−，则称函数()yfx=是在区间,ab上的一个双中值函数，已知函数()3265fxxx=−是区间0,t上的双中值函数，则实数t的取值范围是A.36,55

B.26,55C.23,55D.61,5【答案】A【解析】【详解】()()322612,355fxxxfxxx=−=−，∵函数()3265fxxx=−是区间0,t上的双中值函数，∴区间0,t上存在12120xxxxt，（＜＜＜）

，满足()()21206()()5ftffxfxttt−−＝＝＝，∴方程22126355xxtt−=−在区间0,t有两个不相等的解，令221263055gxxxttxt=−−+（），（＜），则(

)()222212612()05520560056205tttgttgttt−−−+−+−＝＞＝＞＝＞，解得6355t＜＜，∴实数t的取值范围是36,55

.故选:A．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知奇

函数()fx的定义域为R，若()()2fxfx=−，则（）A.()00f=B.()fx的图象关于直线2x=对称C.()()4fxfx=−+D.()fx的一个周期为4【答案】AD【解析】【分析】由奇函数可得()00f

=，再根据函数的周期性与对称性分别判断.【详解】由函数()fx为奇函数，则()00f=，A选项正确；又()()2fxfx=−，即()()11fxfx+=−，则函数()fx关于直线1x=对称，B选项错误；由()()2fxfx=−可知()()24f

xfx−=+，即()()4fxfx=+，函数()fx的一个周期为4，C选项错误，D选项正确；故选：AD.10.函数()fx满足()()fxfx，则正确的是（）A.(3)e(2)ffB.e(0)(1)ffC.2e(1)(1)ff−D.e(1)(2)ff【答案】AC【解析】【分

析】根据给定条件，构造函数()()exfxgx=，利用导数探讨单调，再比较大小即得.【详解】依题意，令函数()()exfxgx=，求导得()()()0exfxfxgx−=，函数()gx在R上递减，对于A，(3)(2)gg，32(3

)(2)eeff，则(3)e(2)ff，A正确；对于B，(1)(0)gg，(1)(0)eff，则(1)e(0)ff，B错误；对于C，(1)(1)gg−，(1)e(1)eff−，则2e(1)(1)ff−，C正确；对于D，(2)(

1)gg，2(2)(1)eeff，则e(1)(2)ff，D错误.故选：AC11.已知0,0,21xyxy+=，则（）A.42xy+的最小值为22B.22loglogxy+的最大值为3−C.yxxy−−的最

小值为1−D.22221xyxy+++的最小值为16【答案】ABD【解析】【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判断B；将yxxy−−化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令2,1mxny=+=+，得到

26mn+=，根据“1”的巧用，将22221xyxy+++变形后，利用基本不等式，即可判断D..【详解】对于A，由于0,0,21xyxy+=，故22242222222222xyxyxyxy++=+==，当且仅当2xy=，结合21xy+=，即11,42xy==时，等

号成立，即42xy+的最小值为22，A正确；对于B，由于0,0xy，2122xyxy+=，则18xy，当且仅当11,42xy==时，等号成立，故()22221loglogloglog38xyxy+==−，即22loglogxy+的最大值为3−，B正确；对于C，又0

,0,21xyxy+=，得12yx=−，故2(12)(12)241yxxyxxxxxx−−=−−−−=−+由于102102xx，而2241yxx=−+对称轴为1x=，则2241yxx=−+在1(0)2,上单调递减，在1(0)2,上无最值，C错

误；对于D，令2,1mxny=+=+，则|2,1xmyn=−=−，故22222288218121021xymmnnmnxymnmn−+−++=+=+++−++，由于0,0xy，故2,1mn，22(2)(1)256mnxyxy+=+++=++=，则()8

118118218225217(217)6666nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当82nmmn=，结合26mn+=，即126,55mn==时，等号成立，所以812512106

1066mnmn+++−+−=，即22221xyxy+++的最小值为16，D正确，故选：ABD【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的判断，解答时要通过变量代换，令2,1mxny=+=+，得到26mn+=，根据“1”的巧用，将22221xyx

y+++变形后，利用基本不等式，即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()fx对任意x满足()()324fxfxx−−=，则()fx=______.【答案】1x+【解析】【分析】采用方程组法消去()2fx−，得出()fx的解析式即可.【详解】因为()()324

fxfxx−−=①，以2x−代替x得：()()()3242,fxfxx−−=−②，3+②①得：()()888,1fxxfxx=+=+.故答案为：1x+.13.若函数()()2ln2fxxx=++，则使得()()211fxfx+−成立的x的取值

范围是______.【答案】()2,0−【解析】【分析】由题知函数为偶函数且在[0,)+单调递增，由此抽象出不等式，解出即可【详解】由函数的定义域为R,()()()()()22ln2ln2fxxxxxfx−=−++−=++=所以函数()fx为

偶函数当[0,)x+时，2yx=与()ln2yx=+为单调递增函数所以()fx在[0,)x+单调递增所以()()()()211211fxfxfxfx+−+−所以()()22211211xxxx+−+−解得：20x−故答案为：()2,0−14.已知点A是函数2ln

yx=图象上的动点，点B是函数22xy=图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则ABBM+的最小值为______．【答案】512-【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为F到2lnyx=上一点A的最小距离

即可，根据点点距离公式，得()2214ln2ln4fxxxx=+−+，利用导数求解最小值即可.【详解】由于22xy=是焦点在y轴上的抛物线，故设其焦点为10,2F，则12BMBF=−,所以1122ABBMABBFAF+=+−−,故求F到2lnyx=上一点A

的最小距离即可，设(),2lnAxx，则22222112ln4ln2ln24AFxxxxx=+−=+−+，记()2214ln2ln4fxxxx=+−+，则()28ln228ln22xxxfxxxxx+−=+−=由于函数()228ln2g

xxx=+−在(0,+∞)单调递增，且()1,10xg==，故当𝑥∈(0,1)时()()0,0gxfx，因此()fx在(0,1)单调递减，当𝑥∈(1,+∞)时()()0,0gxfx，因此()fx在(1,+∞)单调递增，故()()min514fxf==，因此min52A

F=，故15122ABBMAF−+−，故答案：512-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.为15.已知函数π3()6sin()62cosfxxx=−+．（1）求()fx的最小正周期和单调

增区间；（2）若函数()yfxa=−在π5π[,]1212x存在零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ63kkk−++（2）0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin26f

xx=−，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin263ax−=在π5π,1212x上有解，以π26x−为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π3313()6cossin6cossincos6222

2fxxxxxx=−+=−+()23331cos2331π33sincos3cossin233sin2cos23sin22222226xfxxxxxxxx+=−+=−+=−=−，所以函数()fx的最小正周期

为2ππ2T==，令πππ2π22π,Z262kxkk-+???，则ππππ,Z63kxkk-+＃+?，∴函数()fx的单调递增区间为()πππ,πZ63kkk−++.【小问2详解】令()0yfxa=−=，即π3sin206xa−−=，则πsin263ax

−=，∵()yfxa=−在π5π,1212x存在零点，则方程πsin263ax−=在π5π,1212x上有解，若π5π,1212x时，则π2π20,63x−，可得πsin2[0,1]6x

−，∴013a，得03a故实数a的取值范围是0,3．16.已知函数()()lnRmfxxmx=+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当1m=时，证明：当1x时，()ee0x

xfxx−−+.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()eexgxxfxx=−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0gx，从而得证.【小问1详解】因为()lnmfxxx

=+的定义域为()0,+，所以()221mxmfxxxx−=−=，当0m时，()0fx恒成立，所以()fx在()0,+上单调递增；当0m时，令()0fx=，得xm=，当()0,xm时，()()0,fxfx单调递减，当(),xm

+时，()()0,fxfx单调递增，综上，当0m时，()fx在()0,+上单调递增；当0m时，()fx在()0,m上单调递减，在(),m+上单调递增.【小问2详解】当1m=时，()1lnfxxx

=+，令()()eelnee1xxgxxfxxxxx=−−+=−−++，则()lnexgxx=−，令()()lnexhxgxx==−，则()1exhxx=−，因为1x，所以11,ee1xx，所以当1x时，()hx1e

0xx=−恒成立，所以()hx在)1,+上单调递减，即()lnexgxx=−在)1,+上单调递减，所以()()1e0gxg−=，所以()gx在)1,+上单调递减，所以()()10gx

g=，即()ee0xxfxx−−+.【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0fx恒成立()min0fx；()0fx恒成立()max0fx．（2）()fxa恒成立()minfxa；()fxa恒成立()ma

xfxa．（3）()()fxgx恒成立()()min0fxgx−；()()fxgx恒成立()()max0fxgx−；（4）1xM，2xN，()()()()1212minmaxfxgxfxgx．17.在

锐角ABCV中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinsinsin3ABCabac−=+−．（1）求角B的值；（2）若2a=，求ABCV的周长的取值范围．【答案】（1）π6（2）()33,223++【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到2223acbac+−=，再利用余弦定

理求出π6B=；（2）根据正弦定理得到13sincos,sinsinAAbcAA+==，从而得到21131tantanbcAA+=+++，求出ππ,32A，得到130,tan3A

，()13,23bc++，从而求出周长的取值范围.【小问1详解】sinsinsin3ABCabac−=+−，由正弦定理得：3abcabac−=+−，即2223acbac+−=，由余弦定理得：22233cos222acbacBacac+−===，因为()0,πB，所以

π6B=；【小问2详解】锐角ABCV中，2a=，π6B=，由正弦定理得：2πsinsinsin6bcAC==，故π2sin12sin3sincos6,sinsinsinsinACAAbcAAAA++====，则211

3sincos111tancos33sintantanAAAAbcAAA++++++==+=+21131tantanAA=+++，因为锐角ABCV中，π6B=，则π0,2A，πππ0,62CA=−−，解得：π

π,32A，故()tan3,A+，130,tan3A，则()221231111,,3113,23tan3tantanAAA+++++，故()13,23bc++，()33,223abc++++所以三角形周长的取值

范围是()33,223++.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角

形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值18.已知函数()22ln2xfxxax=+−，aR.（1）若3a=，求()fx的极值；（2）设函数()fx在xt=处的切线方程为()ygx=，

若函数()()yfxgx=−是()0,+上的单调增函数，求t的值；（3）函数()fx的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出a的取值范围，若不存在则说明理由.【答案】（1）

()fx的极大值为()512f=−，极小值为()22ln24f=−（2）2（3）不存，理由见解析【解析】【分析】（1）令()0fx=，列极值表，即可求得()fx极值；（2）求出切线方程，设()()()

hxfxgx=−，转化为()0hx在()0,+恒成立，再由基本不等式成立可得答案；（3）假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为()()11,tft，()()22,tft，分别代入切线方程和()fx整理得2211

2122ln022ttt−+=，设212tm=，转化为12ln0mmm−+=，设()12lnmmmm=−+，由导数判断出单调性可得答案.【小问1详解】当3a=时，()212ln32fxxxx=+−，则()()()1223xx

fxxxx−−==+−，令()0fx=，解得：𝑥=1或𝑥=2，列表如下：x()01，1()12，2()2+，在的()fx+0−0+()fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知，当𝑥=1时，()fx的极大值为()512f=−，当𝑥=2时，()fx的极小值为()22ln24f

=−；【小问2详解】因为()2fxxax=+−，所以()2=+−fttat，所以xt=处切线方程为()()2212ln02ytaxtttattt=+−−++−，整理得：()2212ln22ygxtaxttt==+−+−−，设()()()hxfxgx

=−，则：()()()221212ln2ln222hxfxgxxxtxttt=−=+−+−++，由题意可知，()220hxxtxt=+−+()0+，恒成立.因为()22222hxxttxtt=+−+−+，当且仅当2x=时，等号成

立，所以应有2220tt−+，而0t，222tt+，所以只有2tt=即2t=时，222+=tt，即2220tt−+成立，所以2t=.【小问3详解】在由（2）可知，曲线𝑦=𝑓(𝑥)在()0xtt=处切线方程为：2212ln22ytaxt

tt=+−+−−，假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为()()11,tft，()()22,tft，则：121222112222112ln22ln222tatatttttt+−=+−−−=−−①②，由①式可得：122tt=，代入②式，则：211211122

2ln2ln2tttt−=−，整理得：22112122ln022ttt−+=，设212tm=，则12ln0mmm−+=，设()12lnmmmm=−+，则()()22212110mmmmm−−=−−=，所以()m单调递减，因为()10=，所以()0m=

的解为1t=.即2112t=，解得12t=，此时21122ttt===，所以不存在符合题意的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合.【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.19.在平

面直角坐标系xOy中，利用公式xaxbyycxdy=+=+①（其中a，b，c，d为常数），将点𝑃(𝑥,𝑦)变换为点(),Pxy的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由

a，b，c，d组成的正方形数表abcd唯一确定，我们将abcd称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．（1）在平面直角坐标系xOy中，将点()3,4P绕原点O按逆时针旋转3得到点P（到原点距离不变），求点P

的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点𝑃(𝑥,𝑦)绕原点O按逆时针旋转角得到点(),Pxy（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应二阶矩阵；（3）向量(),OPxy=（称为行向量形式），也可

以写成xy，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：xabxycdy=，则称xy是二阶矩阵abcd与向量xy的乘积，设A是一个二阶矩阵，m，n是平面上的任意两个向量

，求证：()AmnAmAn+=+．【答案】（1）33323,222P−+（2）cossinsincosxxyyxy=−=+，cossinsincos−（3）证明见解析【解析】【分析

】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的cos和sin，再由两角和的正弦、余弦公式得到点P的坐标；（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的cos和sin，再由两角和的正弦、余弦公式得到点P的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的

二阶矩阵；（3）根据定义分别计算()Amn+、Am、An，证明()AmnAmAn+=+即可.【小问1详解】可求得5OPOP==，设POx=，则3cos5=，4sin5=，设点(),Pxy，3POx=+，的故1335cos5cossin2332

22x=+=−=−13335sin5sincos23222y=+=+=+所以33323,222P−+.【小问2详解】设OPOPr==，POx=，则cosxr=，sinyr=，POx=

+，故()coscoscossinsincossinxrrrxy=+=−=−()sinsincoscossinsincosyrrrxy=+=+=+所以坐标变换公式为cossinsincosxxyyxy=−

=+，该变换所对应的二阶矩阵为cossinsincos−【小问3详解】设矩阵abAcd=，向量11xmy=，22xny=，则1212xxmnyy

++=+．()()()()()121212121212axxbyyxxabAmncxxdyyyycd+++++==++++，对应变换公式为：()()()()12121212xaxxbyyycxxdyy=+++

=+++，111111xaxbyabAmycxdycd+==+，222222xaxbyabAnycxdycd+==+所以()(

)()()1212112212121122axxbyyaxbyaxbyAmAncxxdyycxdycxdy++++++==+=+++++故对应变换公式同样为()()()()12121212xaxxbyyycxxdyy=+++=+

++所以()AmnAmAn+=+得证.【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与x轴正半轴重合；在角的终边上任取一点(,)Pxy，该点到原点的距离22rx

y=+，则：sinyr=；cosxr=；tanyx=.