【文档说明】专题1.1重庆卷（压轴8道+变式32道）-【冲刺2022】之2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练（原卷版）.docx，共(19)页，739.606 KB，由管理员店铺上传

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【冲刺2022】之2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练专题1.1重庆卷（压轴8道+变式训练32道）说明：本专辑精选了2021年重庆卷失分较多和难度较大的题目8道，分别是第11题不等式组与方程含参问题、第12题反比例函数图象与性质综合问题、第17题三角形与折叠综合问题、

第18题方程（组）综合应用问题、第22题函数图象与性质综合阅读问题、第24题新定义阅读材料题、第25题二次函数综合问题、第26题几何综合探究压轴问题，每道题精讲精析，配有变式练习各4道，重庆模拟变式训练题共32道.【压轴一】不等式组与方程含参问题【真题再现

】（2021重庆A卷第11题）若关于x的一元一次不等式组{3𝑥−2≥2(𝑥+2)𝑎−2𝑥＜−5的解集为x≥6，且关于y的分式方程𝑦+2𝑎𝑦−1+3𝑦−81−𝑦=2的解是正整数，则所有满足条件的

整数a的值之和是（）A．5B．8C．12D．15【变式训练】【变式1.1】（2021·重庆实验外国语学校九年级一模）若整数a使关于x的不等式组314222xax+−−−有解且至多有四个整数解，且使关于y的

分式方程224yy−＝1322ay−−−的解为非负数，则满足条件的所有a的值之和为（）A．63B．67C．68D．72【变式1.2】（2021·重庆八中九年级一模）若关于x的一元一次不等式组54742xxxa++有且只有4个整数解，且关于x的分式方程51522axxx−+−−12=有整数

解，则所有满足条件的整数a的个数是（）A．1B．2C．3D．4【变式1.3】（2021·重庆九年级一模）关于x的不等式组21211(2)42axxx+−−−有且仅有三个整数解，且关于x的分式方程4111ax

xx−=−−有整数解，则符合条件的整数a的个数为（）A．3B．2C．1D．0【变式1.4】（2021·重庆九年级二模）若关于x的一元一次不等式组21341xxxa−+恰有3个整数解，且一次函数()21yaxa=−++不经过第三象限，

则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．2−B．1−C．0D．1【压轴二】反比例函数图象与性质综合问题【真题再现】（2021重庆A卷第12题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD

．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y=𝑘𝑥（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若S△EOF=118，则k的值为（）A．73B．214C．7D．212【变式训练】【变式2.1】（2021·重庆巴蜀中学九年级二模）如图，已知直线113yx

=−与坐标轴交于A点和B点，与反比例函数()0kykx=的图象交于点C，以AB为边向上作平行四边形ABED，D点刚好在反比例图象上，连接CE，CD，若//CEx轴，四边形BCDE面积为10，则k的值为（）A．10B．283C．9D．

465【变式2.2】（2021·重庆南开中学九年级二模）如图，C、D是关于x的函数()0kykx=图象的两点，过C、D分别做x，y轴的垂线，垂足分别为A、B．过D点的直线交坐标轴于E、F，且D点恰好为线段EF的中

点．1ABFS=，3=DEGS△，则k的值为（）A．12B．2C．4D．5【变式2.3】（2021·重庆实验外国语学校九年级一模）如图所示，点AB是反比例函数y＝ax图象在第三象限内的点，连接AO并延长与y＝ax在第一象限的图象交于点C，连接OB，并以OB、

OC为邻边作平行四边形OBDC（点D在第四象限内）．作AE⊥x轴于点E，AE＝5，以AE为边作菱形AGFE，使得点F、G分别在y轴的正、负半轴上，连按AB．若OE﹣OG＝2，S△AOB＝15，OE＞OF，另

一反比例函数y＝kx的图象经过点D，则k的值为（）A．﹣10B．﹣12C．﹣13D．﹣15【变式2.4】（2021·重庆九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，RtABC斜边BC中点与原点O重合，D点是平面内第二象限内一点，且AB平分OAD，连接,ADCD，反比例函数k

yx=的图象经过,AD两点．已知,AD两点横坐标分别为1,4,ACD−−的面积为152，则k的值为（）A．52−B．4−C．53−D．2−【压轴三】三角形与折叠综合问题【真题再现】（2021重庆A卷第17题）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，C

F＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为．【变式训练】【变式3.1】（2021·重庆巴蜀中学九年级二模）如图，点E在矩形ABCD边CD上，将ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC上的点F处，若2ABCF

=，3CE=，连接DF，与AE交于H点，连接BH，则点F到BH的距离为______．【变式3.2】．（2021·重庆八中九年级一模）如图，在矩形ABCD中，39AB=，9BC=，E，F分别在边AD，BC上，将四边形ABFE

沿EF翻折，得到四边形EFGH，使得B点的对应点G落到边AD的延长线上，且DGDE=，连接BG，交CD于点M，延长MD交GH于点N，则MN=______．【变式3.3】（2021·重庆一中九年级一模）如图

，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B′DE，若点C恰好在线段B′D上，若∠BCD＝90°，DC：CB′＝3：2，AB＝162．则CE的长度为____

_．【变式3.4】（2021·重庆八中九年级二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝10，BC＝12，点E、F分别在边CD、BC上，将CEF沿EF翻折得到CEF．若点C的对应点C恰好落在AD边上，且满足2ACCD＝，

则点E到BC边的距离为_____．【压轴四】方程（组）综合应用问题【真题再现】（2021重庆A卷第18题）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力

度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的115，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份

预计的销售数量之比为．【变式训练】【变式4.1】（2021·重庆八中九年级二模）端午将至，吃粽子是中华民族的传统．粽子馅料有很多品种，比如素馅，肉馅，甜味馅．去年某商人抓住商机，购进素馅，肉馅，甜味馅

三种粽子．已知销售每袋素馅粽子的利润率为10%，每袋肉馅粽子的利润率为20%，每袋甜味馅粽子的利润率为30%，当售出的三种馅料粽子的袋数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的三种馅料粽子的袋数之比为3：2

：1时，商人得到的总利润率为20%，那么当售出的三种馅料粽子的袋数之比为2：3：4时，这个商人得到的总利润率为__．【变式4.2】（2021·重庆实验外国语学校九年级一模）为了支持新疆棉花，商店购进一批由新疆最出名的长绒棉所制成的某国产品牌

的毛巾、方巾和浴巾等棉制品进行混装，推出了A、B两种盒装礼盒，每盒礼盒的总成本是盒中毛巾、方巾和浴巾三种棉制品的成本之和（盒子成本忽略不计）．A礼盒每盒装有3条毛巾、1条方巾和1条浴巾；B礼盒每盒装有1条毛巾、2条方巾和2条浴巾．每盒A礼盒的成本正好是1条毛巾成本的152倍，而每盒A礼盒

的售价则是在A礼盒成本的基础上增长了13，每盒B礼盒的利润率为20%．当该店销售这两种盒装礼盒的总利润率为22%，且销售A礼盒的总利润是3000元时，这两种盒装礼盒的总销售额是_____元．【变式4.3】（2021·重庆九年级一模）为了迎接中秋佳

节，沁园在9月30日以及10月1日两天对“阖家悦”“吉如意”“福满圆”三种型号的月饼进行降价促销．经计算，结果发现10月1日“阖家悦”“吉如意”“福满圆”三种月饼销量分别在9月30日的基础上减少了30%，64%，40%，且这三种月饼的总销量是9月30

日的12，10月1日“阖家悦”“福满圆”两种型号月饼的销量之和是9月30日“阖家悦”“福满圆”两种型号月饼的销量之和的1625，那么10月1日“吉如意”月饼的销量与这两天的总销量之比为___________．【变式4.4】（202

1·重庆八中九年级一模）我校学生社团开展以来全校师生积极参与，为了了解同学们参与的意向，卢老师在全年级进行了随机抽样调查（被抽到的同学都填了意向表，且只选择了一个意向社团），统计后发现共A、B、C、D四个社团榜上有名．其中选C的人数比选D的少6人

；选A的人数是选D的人数的整数倍；选A与选D的人数之和是选B与选C的人数之和的9倍；选A与选B的人数之和比选C与选D的人数之和多56人．则本次参加调查问卷的学生有______人．【压轴五】函数图象与性质综合阅读问题【真题再现】（2021重庆A卷第22题）在

初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y=4−𝑥2𝑥2+1的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣101234

5…y=4−𝑥2𝑥2+1…−2126−1217−1203240…（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质；（3）已知函数y=−32x+3的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式−32x+3＞4−𝑥2𝑥2+1的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）【变式

训练】【变式5.1】（2021·重庆八中九年级三模）某“数学兴趣小组”根据学生函数的经验，对函数()2462xyx−+=−的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：x…3−2−1−0323456…y…182578109m06−52−n98−…（1）m=__

____，n=______；（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：______．（4）结合你所画

的函数图象，直接写出不等式()24622xx−+−+−的解集为______．【变式5.2】（2021·重庆八中九年级一模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数254xyx=+性质及其应用的部分过程，

请按要求完成下列各小题．（1）补全下表x－6－5－4－232−－101322356y34252954651065541513252934（2）在平面直角坐标系中，补全函数图象，根据函数图象，写出这个函数的一条性质：_______________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________；（3）已知函数512yx=−的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出关于x的方程254xx=+512x−的近似解（保留1位小数，误差不超过0.2）．【变式5.3】（2021·重庆实验外国语学

校九年级一模）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质的性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数y1＝22||(2)1(26)2xaxxbxx−−−

的性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题：（1）列表：如表为变量x与y1的几组对应数值：x…﹣2﹣1﹣12011223456y1…40﹣1201﹣124212014根据表格中的数据求y1与x的函数解析式及并写出对

应的自变暈x的取值范围；（2）描点、连线：在右侧的平面直角坐标中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）观察函数图像：当方程y1＝c＋1有且仅有三个不等的实数根时，根据函数图象直接写出c的取值范围．【变式5.4】（2021·重庆九年级一模

）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数2123xyx+=−的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）该函数的自变量取值范围是________；（2）根据下表

的条件，求出,ab的值：a=_______，b=_________；x…5−4−3−2−1−12345…2123xyx+=−…5615−4112−289−a83−43−76−b712−415−…（3）根据平面直角坐标系中点的位置，补全函数图象；（4）根据所补全的函数图象，判

断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心为原点；（）②该函数在自变量的取值范围内，有最小值，当1x=时，函数取得最小值43−；（）③当1x−或1x时，y随x的增大而增大；当11x−

时，y随x的增大而减小；（）（5）若不等式21223xxx+−−，结合函数图象，直接写出x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2）【压轴六】新定义阅读材料题【真题再现】（2021重庆A卷第24题）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解

成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609是“合和数”．又如∵234＝18×13，18和13的十位数相同，但个位数字

之和不等于10，∴234不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各

个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）=𝑃(𝑀)𝑄(𝑀)，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．【变式训练】【变式6.1】（2021·重庆八中九年级三模）阅读材科，完成以下相

应问题：材料一，将一个四位数mabcd=（其中a、b、c、d均不相同且均不为零）进行千位与百位数字互换得到1m，再将1m的百位与十位数字互换得到2m，再将2m的十位与个位数字互换得到3m，我们称数字3m为数字m的“车

轮数”如3721m=，则17321m=，所以27231m=，进而37213m=．材料二：一个整数能被6整除的条件是该数字是能被3整除的偶数．一个整数能被3整除的条件是其各个数位上的数字之和能被3整除．（1）当3826m=时，求m的“车轮数”为多少．（2）若m，n均为能被6整除的四位数整

数，且()13mFmm=−，()2nTnn=−，mkn=．求()Fm被9整除所得商数最大且()Tn被90整除所得商数最小时，k的最小值【变式6.2】（2020·重庆第二外国语学校九年级其他模拟）阅读下列材料，解答下列问题：材料一：一个三位以上的自

然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为

整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝2(1)1xxzxxz+−++−．（1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（

1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值．【变式6.3】（2020·重庆一中九年级一模）对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差数”．例如：对于三位数451，5－1＝4，则451是“极差数”；

对于三位数110，1－0＝1，则110是“极差数”．（1）求证：任意一个“极差数”一定能被11整除；（2）在一个“极差数”首位之前添加其十位的数字得到一个新的四位数M，在一个“极差数”末位之后添加数字1得到一个新的四位数N，若MN−能被12整除，求满足条件的“

极差数”．【变式6.4】（2020·重庆八年级一模）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6

位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920．（1

）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．【压轴七】二次函数综合问题【真题再现】（2021重庆

A卷第25题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△P

DE周长的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标

，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．【变式训练】【变式7.1】（2021·重庆巴蜀中学九年级二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线23yaxbx=++与y轴交于点C与x轴交于A，B两点（点A在点B的

左侧），其中()2,0A−，并且抛物线过点()4,3D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线CD上方抛物线上一点，过P作//PEy轴交BC于点E．连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最大值及点P的坐标；（3）如图2

，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线2111yaxbxc=++()10a，是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由．【变式7.2】（2021·重庆八中九年级一模）如图，在平面直角坐

标系中，抛物线1C：214yxbxc=−++的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为()0,8，点B的坐标为（-4,0），点D的坐标为()0,4．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2

）若点F为该抛物线在第一象限内的一动点，求FCD面积的最大值；（3）如图2，将抛物线1C向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线2C，M为抛物线2C上一动点，N为平面内一动点，问是否存在这样的点M

、N，使得四边形DMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式7.3】（2021·重庆九年级一模）如图，抛物线2yaxbxc=++交于x轴于,AB两点（点A在点B的左侧），且,AB两点的横坐标

分别是6−和2，交y轴于点C，且ABC的面积为24．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，若2ADOD=，过点D作//DEAC交y轴于点E，点P是抛物线上AC下方的一动点，连接,PDPE，求PDE△面积的最大值以及最大值时点P的坐标．（3）如图2，将原抛物线向右平

移4个单位长度，得到新的抛物线2111yaxbxc=++，平移后的抛物线与原抛物线的交点为F．在（2）的条件下，在直线AC上是否存在一点M，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以,,,PFMN为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

【变式7.4】．（2021·重庆九年级一模）如图，在平面，在平面直角坐标系中，地物线y＝23x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，连接PB，

PC，以PB，PC为邻边作平行四边形CPBD，求四边形CPBD面积的最大值；（3）将该抛物线沿射线CB方向平移132个单位，平移后的抛物线与y轴交于点E，点M为直线BC上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点

C，E，M，N为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【压轴八】几何综合探究压轴问题【真题再现】（2021重庆A卷第26题）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针

旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连

接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出𝐵𝐷−𝐷𝐺𝐶𝐸的值．【变式训练】【变式8.1】（2021·重庆南开中学九年级二模）在等腰RtABC△中，9

0BAC=，ABAC=，延长BA至点D，延长AC至点E，使得BDAE=，DH交BC于点F，过点B作BHBA⊥交DF延长线于点H，连接DE、EH．（1）如图1，若ADBH=，2EH=，22DH=，求点H到DE的距离；（2）如图2，若点F为BC的中点，连接EF，求证：=+EH

ECHB；（3）如图3，若2AB=，点N、F分别为线段AC、BC上的点，满足2=BFCN，连按FN，将CFN绕点F顺时针旋转90°，点N旋转后的对应点为点M，连接AM，直接写出AM的最小值．【变式8.2】（2021·重庆九年级二模）已知，在RtABC中

，90BCA=.点D为边BC延长线上一动点，过点D作BEBA⊥于点E并交AC于点G，连接AD.点F是AD的中点．连接.CFEFCE、、（1）如图1，小华研究发现BÐ和CFE有特定的数量关系，请你认真研究．当BCFE

=时，求出BÐ．（2）在（1）小题的结论下，如图2，在点D的运动过程中，当GCBC=时．式子DEAECE−的值不变．猜想这个值并证明你猜想的结论．（3）在（1）小题的结论下，如图3，过点C作//CMDE交AB于点M.

在MC的延长线上取点N.使得CNCM=，连接NF．在点D的运动过程中，当NF取得最小值时，请直接写出sinFCN的值．【变式8.3】（2021·重庆八中九年级二模）在△ABC中，AC＝BC，D为△ABC外一点，连接CD．（1）如图1，若∠AC

B＝60°，CD∥AB，连接BD交AC于点E，且CD＝2AB＝2，求S△BCE．（2）如图2，CE＝CD，∠ECB＝∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG＝12EC，M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN＝12BF．（3）如图3，若∠ACB＝90°，CD∥AB，将A

D绕着A点顺时针旋转60°得到AD'，连接DD'，BD'，且AC＝6，求BD'的最小值．【变式8.4】（2021·重庆实验外国语学校九年级一模）等腰直角△ACB中，∠C＝90°，点D为CB延长线上一点，连接AD，以AD为斜边构造直角△A

ED（点E与点C在直线AD的异侧）．（1）如图1，若∠EAD＝30°，AE＝302，BD＝2，求AC的长；（2）如图2，若AE＝DE，连接BE，猜想线段BE与线段AD之间的数量关系并证明；（3）如图3，若AC＝4，tan∠BAD＝13，连接CE，取CE的

中点P，连接DP，当线段DP最短时，直接写出此时△PDE的面积．