【文档说明】2023届数学一轮复习函数与导数：20.泰勒展开与必要性探路【高考】.docx，共(3)页，214.393 KB，由小赞的店铺上传

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120.泰勒展开探路泰勒公式知识：设函数()fx在点0x处的某邻域内具有1n+阶导数，则对该邻域内异于0x的任意点x，在0x与x之间至少存在一点，使得：()fx=()0fx+()0'fx0(x-x)+()0f''x2!02

(x-x)++()()0nfxn!0n(x-x)+()nRx，其中()nRx=()(1)(1)!nfn++10)(+−nxx称为余项，上式称为n阶泰勒公式；若0x=0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，即()fx=()0f+()0'fx+()02!f'

'2x++()()0!nfnnx+0()nx.利用泰勒公式证明不等式：若函数)(xf在含有0x的某区间有定义,并且有直到)1(−n阶的各阶导数,又在点0x处有n阶的导数)(0)(xfn,则有公式)()(!)()(!2)()

(!1)()()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+−++−+−+=在上述公式中若0)(xRn(或0)(xRn),则可得)(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(nn

xxnxfxxxfxxxfxfxf−++−+−+或)(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(nnxxnxfxxxfxxxfxfxf−++−+−+1、证明:).11(,32)1ln(32−+−+xxxxx证明设)11)1ln()(−+=xxxf

（则)(xf在0=x处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式)11()1(432)1ln(4432−+−+−=+xxxxx0)1(444+−x32)1ln(32xxxx+−+由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点0

x在0x处展开,然后判断余项)(xRn的正负,从而证明不等式.对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，要充分利用泰勒公式在00x=时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用.2

2、证明不等式：316xx−≤sinx.2、不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系。这时我们可用sinx在00x=的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。证明31()sin6fxxxx=−+,(0)0f=,21'()cos12fxxx=−+

,'(0)0f=,''()sinfxxx=−+,''(0)0f=,'''()cos1fxx=−+,'''()cos1f=−+当3n=时，()fx的泰勒展式为：331()000(1cos)()3!fxxxox

=+++−+()fx=331(1cos)()6xxox−+≥0(x≥0,≤x,0＜＜1)所以x≥0,，有316xx−≤sinx.例3．（2022达州一诊）已知函数()sineln(1)xxafxx=+++．（1）

当2a=−时，求函数()fx在(1,0−上的最小值；（2）若()1fx恒成立，求实数a的值．必要性分析：令1)()(−=xfxg，则0)0(=g.考虑)(xg在0=x处的三阶泰勒展开：)(1)32(6216)(332323xoxxxaxxxxxxg+−+−+++++−=，进一步整理可得：)(3

2)1()2()(332xoaxxaxaxg++−++=考虑0=x的临域0),,(−内，)(xg的主要性态由其展开式的低次项决定，这样的话，若2−a时，则在)0,(−x时，0)(xg，而在),0(x时，0)(xg，这与0)(xg恒成立矛盾，于是

2−=a，下面进行充分性证明.充分性证明：()sineln(1)xxafxx=+++定义域为()1,−+，()cose1xafxxx=+++，令()cose1xahxxx=+++，则()2esin(1)xahxxx=−−+，若2a=−，由（1）知，则()()min01fxf==，(

)1fx在区间(1,)−+恒成立．若2a−，因为(1,0x−，esin0xx−，)0,x+，esin0xx−，20(1)ax−+，则()0hx，3所以()hx即()fx是增

函数．当11xa−−时，1xa+−，101ax−+，所以()()1ecos101afxfx=+++．又因为()020fa=+，所以存在正数1x，使得()10fx=.当10xx时，()10fx，(

)fx是减函数，所以()()101fxf=，不合题意．若20a−，因为(1,0x−，esin0xx−，)0,x+，esin0xx−，20(1)ax−+．则()0hx，所以()fx是增函数，当1102ax−−−时，21ax−+，()()01101afx

fx=+++．又()020fa=+，所以存在正数2(1,0)x−，使得()20fx=，当20xx时，()10fx，()fx是增函数，所以()()201fxf=，不合题意．若0a，因为(1,0x−，cose0xx+，)0,

x+，cose0xx+，01ax+，则()cose01xafxxx=+++，()fx是增函数．因为()01f=，所以当10x−时，()(0)1fxf=，不合题意．综上所述，实数a的值为2−．