【文档说明】山西省大同市第一中学2020届高三下学期2月网上月考（开学考试）数学（文）试题【精准解析】.doc，共(24)页，1.980 MB，由小赞的店铺上传

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大同一中2020届高三2月月考文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知复数1232zzi=+，若21zi=−，则1z=（）A.5122i+B.5122i−C.5122i−+D.5122i−−【答案】A【解析】【分析】由21zi=

−结合共轭复数的定义可得出复数2z，再由复数的除法法则求出复数1z，即可求得复数1z.【详解】21zi=−，21zi=+，()()()()123213232551111222iiiiiziziii+−++−=====−++−，因此，15122zi=+.故选：A.【点睛】本题考查复

数的计算，考查复数的除法运算以及共轭复数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.2.设集合1,2,3,4,5A=，2,nBxxnZ==，则AB=（）A.4B.2,4C.1,2,4D.1,3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】021

=，122=，224=1,2,4AB=本题正确结果：C【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3.已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为Ai(xi，yi)(i=1，2..，6)，回归直线方程为3xyb=+，若12

6...OAOAOA+++=(9，6)(O为坐标原点)，则b=（）A.3B.43−C.12D.-12【答案】C【解析】【分析】根据题意计算平均数x、y，代入回归直线方程求出b的值．【详解】计算16x=

（x1+x2+…+x6）9362==，16y=（y1+y2+…+y6）616==；回归直线方程为3xyb=+，∴11332=+b，解得b12=．故选：C．【点睛】本题考查了平均数与线性回归方程的应用问题，是基础题．4.已知平面向量,ab满足|||

|1ab==，若|32|7ab+=，则向量a与b的夹角为（）A.30°B.45C.60D.120【答案】D【解析】【分析】利用公式()23232abab+=+进行求解即可【详解】()22222323294129412cosabababababab+=+=++=++94

12cos7=++=，解得1cos2=−，120=答案选D【点睛】本题考查形如manb+向量模长的求法，主要根据2aa=进行求解，这也是高考中常考点5.已知na是公差为2的等差数列，nS为na的前n项和，若53SS=

，则4a=（）A.-4B.-3C.-2D.-1【答案】D【解析】【分析】由{an}是公差为2的等差数列，利用S5＝S3，求出a1＝﹣7，由此能求出a4．【详解】∵{an}是公差为2的等差数列，Sn为{an}的前n项和，S5＝S3，∴1154325322adad+=+，

由d＝2，解得a1＝﹣7，∴a4＝﹣7+3×2＝﹣1．故选D．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查计算能力，属于基础题．6.已知tan16+=，则tan6−=（）A.23−B.23+C.23−−D.23−+【答案】D【解析】分析：利用“拆角”

技巧可得tan6−tan63=+−，利用两角差的正切公式可得结果.详解：tan6−tan63=+−，tantan631tantan63+−=++132313−

==−++，故选D.点睛：三角函数求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.7.已知函数1()xxfxee=−，其中e是自然对数的底数.则关于x的

不等式(21)(1)0fxfx−+−−的解集为（）A.4,(2,)3−−+B.(2,)C.4,(2,)3−+D.(,2)−【答案】B【解析】函数()1fxxxee=−，其中e是自然对数的底数，由指数函数的性质可得

()fx是递增函数，()()11xxxxfxeefxee−−−=−=−=−，()fx是奇函数，那么不等式()()2110fxfx−+−−，等价于()()()2111fxfxfx−−−−=+，等价于211xx−+，解得2x，等

式()()2110fxfx−+−−的解集为()2,，故选B.8.某程序框图如图所示，其中21()gnnn=+，若输出的20192020S=，则判断框内可以填入的条件为（）A.2020?nB.2020?n„C.2020?n

D.2020?n…【答案】A【解析】【分析】因为()()2111111gnnnnnnn===−+++，此程序框图是对函数()gn求和，利用裂项相消法求和，可知201912020nSn==+，可知2019满足条件进入循环，2020不满足条件

没有进入循环，根据选项得到正确结果.【详解】由2221111111112019(1111222231112020nSnnnnnn=+++=−+−++−=−==++++++，解得2019n=，

可得n的值为2019时.满足判断框内的条件，当n的值为2020时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，故判断框内可以填人的条件为“2020n？”.故选A.【点睛】本题考查根据循环框图的输出结果填写判断框的内容，关键是分析

出满足输出结果时的n值，再根据选项判断结果.9.已知函数()()()2sin0fxx=在(),20xaa上最大值为1且递增，则2a−的最大值为（）A.6B.7C.9D.8【答案】D【解析】【分析】利用正弦函数的单调性求得a的最值，进而可得2a−的最值.【详解】由题意可知，[,2]

[,]22a−，(2)2sin(2)1f==，26=，12=，则min6a=−，max(2)8a−=.故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，不等式的解法，属于基础题．10.直三棱柱111A

BCABC−中，ABAC⊥，12AAACAB==，已知P是1BB的中点，Q是AC的中点，则异面直线1BQ与PC所成角的余弦值为（）A.13B.56C.35D.45【答案】B【解析】【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法就能求出异面直线1BQ与PC所成的角的余弦值.【

详解】解：因为三棱柱111ABCABC−为直三棱柱，所以1AAAC⊥,1AAAB⊥,又因为ABAC⊥，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，1AA所在直线为z轴，建立如图所示坐标系：不妨设1AB=，则12AAAC==，()1,0,1P

，()0,2,0C，()11,0,2B，()0,1,0Q()1,2,1PC=--uuur,()11,1,2BQ=--uuuur,1115cos,6PCBQPCBQPCBQ×<>==×uuuruuuuruuuruuuuruuuruuuur故选：B.【点睛】知识方面，本题考查

异面直线所成角求法，直接找角不好找时，就利用向量法求解；能力方面，考查空间想象能力和运算求解能力；再就是要注意异面直线所成角的范围，两条异面直线所成角不一定是方向向量所成的角；本题是基础题.11.己知点A是抛物线24xy=的对

称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足PAmPB=，当m取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A.212+B.21+C.512−D.51−【答案】B【解析】【分析】根据题目可知，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，

结合PAmPB=，可得1PNPAm=，设PA的倾斜角为，当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，即可求出的P的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率．【详解】由题意知，由对称性不妨设P点在y轴的右侧，过P作准线的垂线，垂足

为N，则根据则抛物线的定义，可得PNPB=，PAmPB=1PNPAm=设PA的倾斜角为，当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为1ykx=−，与24xy=联立，得2440xkx−+=，令216160k=−=，解得1k=可得(2,1)P

，又此时点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上双曲线的实轴22(21)aPAPB=−=−21,1ac=−=21e=+故答案选B．【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想．12.已知函数()4

sin26fxx=−，430,3x，若函数()()3Fxfx=−的所有零点依次记为123,,,,nxxxx，且123nxxxx，则1231222nnxxxxx−+++++=（）A.11903B.11923C.

398D.11963【答案】A【解析】【分析】由题可得，是要求解关于对称轴对称的两点与对称轴的关系问题，需要先求出对称轴通式1()23xkk=+Z，再判断在符合定义域取值范围内有多少条对称轴，确定每相邻两零点与对称轴关系，再通过叠加法表示出1231222

nnxxxxx−+++++，结合数列通项公式求和即可【详解】函数()4sin26fxx=−，令()262xkkZ−=+，可得1()23xkk=+Z，即函数的对称轴方程为1()23xkk=+Z，又()fx的周期为T=，430,3x令143=

233k+，可得28k=，所以函数在430,3x上有29条对称轴，根据正弦函数的性质可知，122315832,2,,2366nnxxxxxx−+=+=+=（最后一条对称轴为函数的最大值点，应

取前一条对应的对称轴）将以上各式相加得12312588322226666nnxxxxx−+++++=++++()2+83281190==323答案选A【点睛】本题考查复合型正弦函数零点的个数问题，而相邻两个

零点之间等于中间对称轴数值的两倍这个条件至关重要，通过每两个相邻零点叠加的方式，可表示出1231222nnxxxxx−+++++，难点在于确定对称轴的条数问题，最后一条对称轴是函数的最大值点，所以取第28条确定对称轴数值为836x=非常关键，后续通过数列的通项求和最终求得数值．本题整

体综合性强，对于逻辑性与推理性，运算能力都有较高要求二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()()321111322fxfxxx=−++，则曲线()yfx=在点()(1,)1f处的切线方程是_______

___．【答案】3310xy−+=【解析】【分析】对函数进行求导，令1x=求得'(1)f，从而得到函数解析式，进一步求得(1)f，再由直线的点斜式方程并化简得到直线的一般方程．【详解】3'11()(1)

32fxxf=−212xx++，2'()(1)fxxf=−1x+，则'(1)f'1(1)f=−1+，即'(1)f1=．32111()322fxxxx=−++，则(1)f43=．曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程是41(1)3yx−=−，即

3310xy−+=．故答案为3310xy−+=．【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，由已知函数解析式求得'(1)f，再得到函数的解析式是求解的关键．14.《定理汇编》是一本十分重要的书籍，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上的三个半圆围成的图形被阿基米德称为鞋匠刀形

，如图所示，在大半圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P，则P的最大值为________.【答案】12【解析】【分析】通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式表示P，并用基本不等式求其最大值.【详解】解：阴影部分面积为：22211122222

2SABACCB=−−则()()22222288SABACCBACCBACCB=−−=+−−则4SACCB=2222221242122ACCBACCBACCBPABABAB+===

当且仅当ACCB=时，取等号故答案为：12.【点睛】知识方面，考查几何概型的概率计算和数学文化，以及基本不等式的应用；能力方面，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力；是基础题.15.已知三棱锥PABC−的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径，若平面PCA⊥平面PCB，PAAC=

，PBBC=，三棱锥PABC−的体积为a，则球O的体积为________.【答案】4a.【解析】【分析】抓住条件PC是球O的直径这一“题眼”，得出PAC和PBC是直角三角形，再根据平面PAC⊥平面PBC，PAAC=，PBBC=，得出OA是三棱锥APBC−的高，利用其体积为a

，求出球半径，进而可求球体积.【详解】解：如图所示，设球O的半径为R，由于PC是球O的直径，则PAC和PBC都是直角，PAACPBBC==，，PAC△和PBC是两个有公共斜边的等腰直角三角形，PBC的面积为212PBCSPCOBR==,PAAC=，O为的PC中点

，则OAPC⊥，平面PAC⊥平面PBC，平面PAC平面PBCPC=，OA平面PAC，OA⊥平面PBC，三棱锥PABC−的体积为：23111333PBCOASRRRa===球O的体积为：334

14433RRa==，故答案为：4a.【点睛】知识方面，本题主要考查面面垂直的性质定理和球的体积公式；能力方面，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；是基础题.16.在锐角ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，2c=，3A=，则si

naC=__________．+ab的取值范围是__________．【答案】(1).3(2).()31,423++【解析】【分析】由正弦定理可得sinaC的值.由正弦定理可以把+ab表示为角C的函数，由锐角三角形得出角C的取值范

围，进而可得+ab的取值范围.【详解】由正弦定理，可得sinsinacAC=，则πsinsin2sin33aCcA===.由sinsinsinabcABC==，可得sin3sinsincAaCC==，2π2sinsin3sinsinCcBbCC−

==，所以()223cos31cos33cossin32111sinsinsin2sincostan222CCCCabCCCCCC+++=+=+=+=+.由ABC是锐角三角形，可得π02C，2ππ032C−，则ππ62C，所以ππ1224C，23tan12C−.所以3131=4

2323ab++++−.【点睛】本题考查正弦定理，综合运用三角恒等变换知识是解题关键.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根

据要求作答.（一）必考题：共60分.17.垃圾分一分，城市美十分；垃圾分类，人人有责．某市为进一步推进生活垃圾分类工作，调动全民参与的积极性，举办了“垃圾分类游戏挑战赛”．据统计，在为期2个月的活动中，共有640万人次参与．为鼓励市民积

极参与活动，市文明办随机抽取200名参与该活动的网友，以他们单次游戏得分作为样本进行分析，由此得到如下频数分布表：单次游戏得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]频数104060403020（1）根据数

据，估计参与活动的网友单次游戏得分的平均值及标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（其中标准差的计算结果要求精确到0.01）（2）若要从单次游戏得分在[30,40)、[60,70)、[80,90]的三组参与者中，

用分层抽样的方法选取7人进行电话回访，再从这7人中任选2人赠送话费，求此2人单次游戏得分不在同一组内的概率.附：185103.6，37019.24.【答案】（1）平均值60；标准差13.60（2）23【解析】【分析】(1)直接根据平均值与标准差的

公式求解即可.(2)根据分层抽样设所抽取的人进行编码,再利用枚举法求得所有的基本事件再求概率即可.【详解】（1）参与该活动的网友单次游戏得分的平均值()1351045405560654075308520200x=++

+++60=．标准差2222222510154056054015302520200s+++++=18513.60=（2）用分层抽样抽取7人,其中得分在[30,40)的有1人,得分在[60,70)的有4人,得分在[80,90]的有2人,分别记为a,1234,,,bbbb,1

2,cc,7人中任选2人,有1,ab、2,ab、3,ab、4,ab、1,ac、2,ac、12,bb、13,bb、14,bb、11,bc、12,bc、23,bb、

24,bb、21,bc、22,bc、34,bb、31,bc、32,bc、41,bc、42,bc、12,cc，共21种结果，其中2人得分在同一组的有7种,分别是12,bb、13,bb、14

,bb、23,bb、24,bb、34,bb、12,cc,故2人得分不在同一组内的概率721213P=−=.【点睛】本题主要考查用样本估计总体、平均数、标准差、古典概型等基础知识,考查考生运用概

率与统计知识解决实际问题的能力、数据处理能力,考查的核心素养主要有数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析．18.已知na的前n项和243nSnn=−+，(1)求数列na的通项公式；(2)求数列162nna+−的前n项和nT.【

答案】（1）6,(1)52,(2)nnann==−.（2）10,(1)725(2)42nnnTnn+==+−【解析】【分析】（1）直接利用当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，当n＝1时，a1＝S1，求出

数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，利用错位相减法求出数列的和．【详解】(1)当2n时，22144(1)(1)52nnnaSSnnnnn−=−=−−−+−=−，当1n=时，116aS==∴6,(1)52,(2)nnann==−.(2)数列162nna+

−的前n项和nT令110,(1)6212,(2)2nnnnnabnn++=−==+∴1n=时，nT=0，2n时，3451579212122222nnnnnT+−+=++++…(1

)4561215792121222222nnnnnT++−+=++++…(2)(1)-(2)得3451215792121222222nnnnnT++−+=+++−…451215111212+282222nnnnT+++=++−…242211122152172521282

8212nnnnnnT−++−++=+−=−−172542nnnT++=−，综上：10,(1)725(2)42nnnTnn+==+−【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能

力，属于基础题型．19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PAAB=，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．（2）若3AB=，F为线段BC的三等分点，

求多面体PAEFCD的体积．【答案】（1）互相垂直，证明见解析（2）334或152.【解析】【分析】(1)证明AE⊥平面PBC中的,BCPB即可.(2)利用多面体PAEFCD的体积为PABCDEABFVV−−−,分F为线段BC的两个不同的三等分点进行求解即可.【详解】解法一：（1）平面

AEF与平面PBC互相垂直,理由如下：因为PA⊥底面ABCD,BC平面ABCD,所以PABC⊥．因为ABCD为正方形,所以ABBC⊥又PAABA=,且,PAAB平面PAB,所以BC⊥平面PAB．因为AE平面PAB,所以AEBC⊥因为PAAB=,E为线段PB的中点,所以AEP

B⊥,又PBBCB=,且,PBBC平面PBC,所以AE⊥平面PBC,因为AE平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC．（2）因为PA⊥底面ABCD,E为线段PB的中点,所以点E到底面ABCD的距离为12PA=32,则133393PABCDV−==,又F为线段BC的三等分点,当1

13BFBC==时,1133313224EABFV−==,所以多面体PAEFCD的体积为333944PABCDEABFVV−−−=−=；当223BFBC==时,1133323222EA

BFV−==,所以多面体PAEFCD的体积为315922PABCDEABFVV−−−=−=．综上,多面体PAEFCD的体积为334或152.解法二：（1）平面AEF与平面PBC互相垂直,理由如下：因为PA⊥底面AB

CD,PA平面PAB,所以平面PAB⊥底面ABCD,又平面PAB底面ABCDAB=,BCAB⊥,BC平面ABCD,所以BC⊥平面PAB．因为AE平面PAB,所以AEBC⊥因为PAAB=,E为线

段PB的中点,所以AEPB⊥,又PBBCB=,且,PBBC平面PBC,所以AE⊥平面PBC,因为AE平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC（2）同解法一．【点睛】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识,考查空

间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等,考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象等．20.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的离心率为32，短轴长为2.（Ⅰ）求椭圆T的标准方程；（Ⅱ）若直线():0

lykxmk=+与椭圆C交于不同的两点,MN，且线段MN的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k的取值范围．【答案】（Ⅰ）2214xy+=（Ⅱ）55(,)(,)55−−+【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意建立关于,,abc的方程组，解之可得椭圆的方程；（

Ⅱ）联立直线的方程和椭圆的方程，得到关于交点坐标的关系，并且由根的判别式得出关于,km的不等式，从而得到线段MN的中点，和线段MN的垂直平分线的方程，由点()1,0在其垂直平分线上得出关于,km的方程，可得到关于k的不等式，解之可得k的范围.【详解】（Ⅰ）由题意可知：2222232b

caabc===+，得213abc===，故椭圆C的标准方程为2214xy+=.（Ⅱ）设()11,Mxy，()22,Nxy，将ykxm=+代入椭圆方程，消去y得()222148440kxkmxm+++−=，所以()()()2228414440kmkm

=−+−，即2241mk+…………①由根与系数关系得122814kmxxk+=−+，则122214myyk+=+，所以线段MN的中点P的坐标为224,1414kmmkk−++．又线段MN的垂直平分线l的方程为()11yxk=−−，由点P在直线l上，得221411414m

kmkkk=−−−++，即24310kkm++=，所以()21413mkk=−+…………②由①②得()222241419kkk++，所以215k，即55k−或55k，所以实数k的取值范围是55,,55−−+

．【点睛】本题考查椭圆的简单的几何性质，椭圆的标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用，在求解此类综合题目时，常常采用联立方程，得到关于交点坐标的韦达定理的表示式，将所需求的目标条件转化到与交点有关的表达式上，属于中档题.21.已知函数()()22lnfxx

xaxaR=+−有两个极值点1x，2x，其中12xx.（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当22aee+时，求()()12fxfx−的最小值.【答案】（Ⅰ）()4,+；（Ⅱ）12ee−−【解析】【分析】（Ⅰ）

求出函数的导函数()22'2xxfxax−+=，由题意可得程2220xax−+=有两个不相等的正根1x，2x，利用根与系数的关系即可求解.（2）结合（Ⅰ）可得()()12fxfx−2111222lnxxxxxx=−+，令()1201xttx=，不妨设()12lnthttt=−+，求出函数()

ht的单调性，结合22aee+，求出()ht的最小值即可.【详解】（Ⅰ）依题意得()fx的定义域为()0,+，()22'2xxfxax−+=，因为函数()fx有两个极值点1x，2x，12xx，所以方程2220xax−+=有两个不相等的正根1x，2x，

12xx，所以21212160021aaxxxx=−+==，解得4a，此时()fx在()10,x和()2,x+上单调递增，在()12,xx上单调递减，所以实数a的取值范围是()4,+.（Ⅱ）因为1x，2x是方程2220x

ax−+=的两个根，所以122axx+=，121=xx，因为211220xax−+=，222220xax−+=，所以21122axx=+，22222axx=+，所以()()()()22121112222ln2lnfxfxxxaxxxax−=+−−+−()()2222

1112222ln222ln22xxxxxx=+−+−+−+2221122ln2lnxxxx=−+−222111222lnxxxxxx−=+2111222lnxxxxxx=−+.令()1201xttx=，()

12lnthttt=−+，则()()22222112210'1ttttthttt−−−+−=−−+==，即()ht在()0,1上单调递减.因为22aee+，所以1212axxee+=+，所以()2212121xxexxe++，即2212121221

2xxxxexxe++++，所以12211xxexxe++，即11tete++，所以()10tete−−，01t，所以10te.因为()ht在10,e上单调递减，所以()ht的最小值为112heee

=−−，即()()12fxfx−的最小值为12ee−−.【点睛】本题考查了函数的极值点应用，导数在研究函数最值中的应用，综合性比较强，要求有较高的逻辑推理和计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.（请考生在2

2、23两题中选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分）【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为()2的直线l的参数方程为cos1sinxtyt==+（t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正

半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是2sin4cos0−=.（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l经过曲线C的焦点F且与曲线C相交于,AB两点，设线段AB的中点为Q，求FQ的值.【答案】（Ⅰ）tan1yx=+;24yx=（Ⅱ）22【解

析】【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系可得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）根据已知条件可得直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，根据直线参数方

程中的参数t的几何意义和交点的中点可得FQ的值.【详解】（Ⅰ）∵直线l的参数方程为1xtcosytsin==+（t为参数），∴直线l的普通方程为tan1yx=+，由2sin4cos0−=，得22sin4cos0−=，即240yx−=，∴曲线C的直角坐标方程为24y

x=，（Ⅱ）∵直线l经过曲线C的焦点()1,0F∴tan1=−，直线l的倾斜角34=．∴直线l的参数方程为21222xtyt=−=（t为参数）代入24yx=，得24280tt+−=

，设,AB两点对应的参数为12,tt．∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为12222tt+=−．又点()1,0F，则12222ttFQ+==.【点睛】本题考查直线的参数方程和普通方程之间的转化，以及极坐标方程和直角

坐标方程之间的转化，熟练掌握其转化关系和其中的参数的几何意义是解决此类问题的关键，属于基础题.【选修4-5：不等式选讲】23.设函数f（x）=丨x+a+1丨+丨x-4a丨，（a＞0）．(1)证明：f（x）≥5；

（2）若f（1）＜6成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）（1,4）【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值不等式的性质和均值不等式的性质即可证得题中的结论；(2)由题意得到关于实数a的不等式，然后求解绝对值不等式可得实数a的取值范围是（1,4）.试题解析：f（

x）=丨x+a+1丨+丨x-4a丨≥丨（x+a+1）-（x-4a）丨=丨a+1+4a丨∵a＞0，∴f（x）≥a+1+4a≥24aa+1=5（II）由f（1）＜6得：丨a+2丨+丨1-4a丨＜6∵a＞0，∴丨1-4a丨＜4-a，a-4a丨丨＜4-

a①当a≥4时，不等式a4a−丨丨＜4-a无解；②当a＜4时，不等式a44aa−−丨丨＜，即1a＜1，a＞1，所以1＜a＜4综上，实数a的取值范围是（1,4）