【文档说明】《精准解析》湖北省十堰市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx，共(23)页，1.172 MB，由小赞的店铺上传

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十堰市2022~2023学年度上学期期末调研考试题高二数学本试卷共4页，22题，均为必考题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在

答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草

稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列1,3,5,7,9,−−，则该数列的第10

0项为（）A.99B.199−C.111−D.111【答案】B【解析】【分析】由题知1(1)(21)nnan+=−−，进而根据通项公式求解即可.【详解】解：由题知，该数列的通项公式为1(1)(21)nnan+=−−，所以1001100(1)(21001)1

99a+=−−=−．故选：B2.已知直线1:220lmxy+−=与直线2:5(3)50lxmy++−=，若12ll∥，则m=（）A.5−B.2C.2或5−D.5【答案】A【解析】【分析】解方程(3)250mm+−=，再检验即得解.【详解】解：若12ll∥，则2(3)253

10(2)(5)0mmmmmm+−=+−=−+=，所以2m=或5m=−．当2m=时，12,ll重合，不符合题意，所以舍去；当5m=−时，符合题意．故选：A3.如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，3BFFP=，

设,,PAaPBbPCc===，则FE=（）A.111232abc−+B.111242abc−+C.111343abc++D.212343abc−+【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算法则即可得解.【详解】因为3BFF

P=，所以1144FPBPPB==−，因为E是AC的中点，所以()1122AEACPCPA==−，所以()1111224214PBFEFPPAAEPAPCPAPPBAPC=+−−++=++−=112214acb=−+故

选：B.4.在x，y轴上的截距分别为3−，3的直线l被圆22:4630Cxyxy+−−−=截得的弦长为（）A.14B.32C.214D.42【答案】C【解析】【分析】先求出直线方程，再根据几何法得出弦长..【详解】由题意可知直线l

的方程为133xy+=−，即30xy−+=．因为圆C的圆心为(2,3)，半径为4，所以圆心到直线l的距离|233|22d−+==，故直线l被圆C截得的弦长为2224(2)214−=．故选：C5.某校进行定点投篮训练，甲、乙、

丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别12,,23p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p=（）A.25B.13C.15D.14【答案】D【解析】【分析】由对立事件和相互独立事

件的概率乘法公式计算可得答案.【详解】由题意可知127111(1)238p−−−−=，解得14p=．故选：D.6.过直线:43100lxy++=上一点P向圆22:2450Cxyxy+−−−=作切线，切点为Q，则

||PQ的最小值为（）A.6B.22C.5D.32【答案】A【解析】【分析】求出圆C的半径和圆心，由勾股定理可得2||||10PQPC=−，当PCl⊥时||PC最小，再由点到直线的距离公式可得答案.【详解】因为圆C的半径为10，所以2||||10P

QPC=−，当PCl⊥时，||PC最小，因为圆C的圆心为()1,2，所以min22|413210|||443PC++==+，所以||PQ的最小值为24106−=．故选：A.7.在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我

有一椭圆2222:1(0)xyCabab+=，从一个焦点1F发出的一条光线经椭圆C内壁上一点P反射后经过另一个焦点2F，若1260FPF=，且132PFa=，则椭圆C的离心率为（）A.12B.32C.34D.74【答案】D【解析】【分析】

根据椭圆的定义得212PFa=，132PFa=，进而结合余弦定理得22716ca=，再求离心率即可.【详解】解：由椭圆的定义得：122PFPFa+=，因为132PFa=，所以212PFa=．所以，在12PFF△中，由余弦定理得2221212122cos60F

FPFPFPFPF=+−，所以22229131742442224aacaaa=+−=，整理得22716ca=，所以74ca=，74e=．故选：D8.一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往

前跳两格，若反面朝上，往前跳一格．记跳到第n格可能有na种情况，na的前n项和为nS，则8S=（）A.56B.68C.87D.95【答案】C【解析】【分析】根据游戏规则分别分析求出128,,,aaa，然后相加即可.【详解】记正

面朝上为A，反面朝上记为B，则由题意得：当跳到第1格时，只有B，故只有1种情况，所以11a=；当跳到第2格时，有,ABB，故有2种情况，所以22a=；当跳到第3格时，有,,ABBABBB，故有3种情况，所以1323aaa==+；当跳到第4格时，

有,,,,AAABBBABBBABBBB，故有5种情况，所以4325aaa==+；当跳到第5格时，有,,,,,,,AABABABAAABBBBABBBBABBBBABBBBB，故有8种情况，所以5438a

aa==+；当跳到第6格时，有,,,,,,AAAAABBABABABBABABABAAB,,,,,,BBAAABBBBBABBBBBABBBBBABBBBBABBBBBB，故有13种情况，所以65413aaa==+；由此规律得*12(2,N)nnnaanna−−=+

，所以当跳到第7格时，76521aaa=+=，当跳到第8格时，87634aaa=+=，所以812345678Saaaaaaaa=+++++++1235813213487=+++++++=，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，

共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知双曲线22:1168yxC−=，则（）A.C的一个顶点坐标为()4,0B.C的实轴长为8C.C的焦距为26D.C的离心率为62【答案】BD【解析】【

分析】根据双曲线方程可得,,abc可得答案.【详解】因为2216,8ab==，所以224,22,26abcab===+=，因为焦点在y轴上，所以C的顶点坐标为(0,4)，实轴长为8，离心率为62，焦距为46，所以BD正确.故选；B

D.10.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则（）A.A与B相互独立B.A与D相互独立C.B与C为互斥事件D

.C与D为互斥事件【答案】ABD【解析】【分析】先求出(),(),(),()PAPBPCPD,再利用公式判断选项AB，利用概念判断选项CD得解.【详解】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：(

1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,

6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)．共36个．依题意，11(),()66PAPB==，事件C包括(2,6),(3,5),(

4,4),(5,3),(6,2)，共5个，5()36PC=，事件D包括(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个，61()366PD==．对于选项A，事件AB只有结果1(3

,5),()()()36PABPAPB==，A与B相互独立，所以选项A正确；对于选项B，事件AD只有结果1(3,4),()()()36PADPAPD==，A与D相互独立，所以选项B正确；对于选项C，当第一次的点数是3点，第二次是5点时，

两个事件同时发生了，所以事件BC，不是互斥事件，所以选项C不正确；对于选项D，事件CD，不可能事件，即C与D是互斥事件，所以选项D正确．故选：ABD11.如图，平行六面体1111ABCDABCD−的体积为482，11

AABAAD=，16AA=，4ABAD==，且3DAB=，M，N，P分别为111,,ABCCCD的中点，则（）A.MC与AP夹角的余弦值为23770B.MP平面BDNC.1DNAC⊥D.P到平面MNC的距离为43819【答案】AD【解析】【分析】先求出底面积，再根据棱柱的体积

求出高，依题意可得1A在底面的投影在AC上，设出投影O，证明投影O为AC的中点，即可以O为坐标原点，1,,OAOBOA的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量对选项一一验证即可.【详解】因为4ABAD==，且3DAB=，所以四边形ABCD的面积

为344sin83=．因为平行六面体1111ABCDABCD−的体积为482，所以平行六面体1111ABCDABCD−的高为4822683=．是因为11AABAAD=，所以1A在底面的投影在

AC上．设1A在底面的投影为O，则126AO=，因为16AA=，所以2222116(26)23OAAAAO=−=−=．因为432ACOA==，所以O为AC的中点．以O为坐标原点，1,,OAOBOA的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则

(23,0,0)A，(23,0,0)C−，(0,2,0)B，(0,2,0)D−，(3,1,0)M，1(0,0,26)A，(33,0,6)N−，(33,1,26)P−−．则(43,1,6)MN=−−，(53,1,26)AP=−−，1(23,0,26)AC=−−，(43,2,

26)MP=−−，(33,2,6)DN=−，(33,1,0)MC=−−，(0,4,0)DB=，(33,2,6)BN=−−．因为(33)(53)1237cos,702710MCAP−−+==，所以MC与AP夹角的余弦值为23770，故A正确．设平面BDN的法向量为()111,,mxyz=，

则11113326040BNmxyzDBmy=−−+===，令12x=，则(2,0,3)m=．因为432026MPm=−++3260=，所以MP与平面BDN不平行，故B错误．因为1(33)(23)06(26)60DNAC=−−++−=，所以DN与1

AC不垂直，故C错误．设平面MNC的法向量为()222,,xnyz=，则222224360330nMNxyznMCxy=−−+==−−=，令22x=，得(2,36,1)n=−．因为|||432(2)(36)26|43

819||57MPnn−+−−+==，所以P到平面MNC的距离为43819，故D正确．综上所述：选项AD正确，故选：AD.12.若直线l与抛物线2:2Cypx=有且仅有一个公共点()00,Pxy，且l与

C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为00=+yypxpx．已知抛物线2:4Cyx=上有两点()()1122,,,AxyBxy．过点A，B分别作抛物线C的两条切线12,ll，直线12,ll交于点()33

,Qxy，过抛物线C上异于A，B的一点()44,Dxy的切线3l分别与12,ll交于点M，N，则（）A.直线AB的方程为3322yyxx=+B.点A，Q，B的横坐标成等差数列C.||||||||QABNQBQM=D.||||||||MNBNQBD

N=【答案】ACD【解析】【分析】根据已知得111222:22,:22lyyxxlyyxx=+=+，结合抛物线上点的坐标关系，可判断A,B选项；根据直线方程与抛物线方程，列方程组，解出,MN坐标，根据向量的坐标运算，可判断C

,D选项；【详解】解：已知抛物线2:4Cyx=，则2p=，抛物线上两点()()1122,,,AxyBxy，过点A，B分别作抛物线C的两条切线12,ll，直线12,ll交于点()33,Qxy，则12yy，则由题意可知：111222:22,:22lyyxxlyyxx=+=+，对于A，联立()

123111222122131222222xxyyyxxyyyyxxxyxyxyy−==+−=+−=−，当12xx=时，3310yxx==−，此时直线AB方程为30+=xx，符合3322yyxx=+，

当12xx，直线AB的斜率121232AByykxxy−==−，所以直线AB的方程为：()1131133222yyxxyyxxyyy−=−=−+，因为()33,Qxy在直线1l上，所以133122yyxx=+，所以直线AB的方程为3322yyxx=+，故

A正确；对于B，因为()()1122,,,AxyBxy在抛物线上，所以2211224,4yxyx==，则221212,44yyxx==或11222,2yxyx==，由A得()()221221121212312124444yyyyyyyyyyxy

yyy−−===−−，则312xxx=或312xxx=−，点A，Q，B的横坐标不成等差数列，故B不正确；对于C，由A，B可得()22111212123312122244,42yyxxyyyyxyyyyy−−+====−−，即1212,42+yyyyQ，点()44,

Dxy是抛物线上一点，所以2444yx=，联立21141112441444222242222244MMyyyyyxyyyxxyyxxyyyxyyx+=+==+=+==+，同理可得242424NNyyyyyx+==所以2

211212112121211,,,14424222yyyyyyyyyyyyyQAy+−−−=−−==，224242424242222,,,1424222yyyyyyyyyyyyB

Nxy+−−−=−−==，2221212212212122,,,14424222yyyyyyyyyyyyyQBy+−−−=−−==，14121412141242421,,,14422

4222yyyyyyyyyyyyyyyyyQM++−−−=−−==所以121422,1,12222yyyyyyQABNQBQM−−==

，故C正确；对于D，由C得24142414214,,1442222yyyyyyyyyyyMN++−=−−=，2242244222,,144222yyyyyyyyBNy+−=−−=，212,122yyyQB−=

，2244242444,,144222yyyyyyyyDNy+−=−−=所以214422,1,12222yyyyyyMNBNQBDN−−==，故D正确

.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为13，则最后甲获胜的概率是______________．【答案】2027【解析】【分析】判断

甲获胜的情况为前两局胜或第一局胜第二局输第三局胜或第一局输第二局胜第三局胜，根据互斥事件的概率加法公式即可求得答案.【详解】因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），由题意知甲每局比赛获胜的概率都为23，因此甲获胜的情况为前两局胜或第一局胜第二局

输第三局胜或第一局输第二局胜第三局胜，所以最后甲获胜的概率22212122203333333327P=++=,故答案为：202714.已知两圆221:(23)(63)27Cxy−+−=与222:234330Cxyxym++−−=外离

，则整数m的一个取值可以是_____________．【答案】4−（答案不唯一，只需从4,3,2−−−中写一个答案即可）【解析】【分析】求出两个圆的圆心和半径，得到圆心距，利用位置关系列不等式即可【详解】因为圆1C的圆心为

(23,63)，圆2C的圆心为()3,23−，所以两圆圆心的距离为22(233)(6323)53++−=．因为圆1C的半径为33，圆2C的半径为153m+，所以15333531530mm+++，所以5

1m−−，故整数m的取值可能是4,3,2−−−．故答案为：4−（答案不唯一，只需从4,3,2−−−中写一个答案即可）15.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就．如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记na为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列na的第n项，则

100a=___________．【答案】5050【解析】【分析】由111,1nnaana+−=+=结合累加法得出1001009921a=++++，再由求和公式得出100a.【详解】因为数列na的递推公式为111,

1nnaana+−=+=，所以()()()10099999821100992aaaaaa−+−++−=+++，所以1001100992aa−=+++，故100100(1001)100992150502a+=++++==．故答案为：505016.如图所示，在几何体ABCDEF中，,

,24,2ADBCBADABADBCAECF====∥∥，22,AECFAE==⊥平面ABCD，则点E到直线DF的距离为_________、直线EF与平面BDF所成角的正弦值为_______________．【答案】①.810521②.41421【解析】【分析】建立坐标系

，利用向量法求解即可.【详解】以A为原点，,,ABADAE的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则(4,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(4,2,1)BDEF．(0,4,2),(4,2,1),(4,4,0),(0,2,1),(4,2,1)DEDFBDBFEF=−=−=

−==−．因为10105cos,212521DEDF==，所以421sin,21DEDF=，所以点E到直线DF的距离为4218105||sin,252121DEDEDF==．记平面BDF法向量为(,,)nxyz=，则440,20

,nBDxynBFyz=−+==+=令1x=，得(1,1,2)n=−．因为8414cos,21||||621nEFnEFnEF===，所以直线EF与平面BDF所成角的正弦值为41421．故答案为：810521；41421四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列na的前n项和为nS，且(7)2nnnS+=．（1）求na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）3nan=+（2）4

16nnTn=+【解析】【分析】（1）根据11,2,1nnnSSnaSn−−==求解即可；（2）由题知1134nbnn=−++，进而根据裂项求和法求解即可.【小问1详解】解：当1n=时，111842aS===．的当2n

时，1(1)(6)2nnnS−−+=，所以1(7)(1)(6)322nnnnnnnaSSn−+−+=−=−=+，因为1n=也满足，所以通项公式为3nan=+．【小问2详解】解：由（1）得3nan=+，所以11111(3)(4)34nnnbaannnn+===−++++，所以1

111111145563444416nnTnnnn=−+−++−=−=++++．18.某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[80,90),[90,100),[

100,110),[110,120),[120,130]．（1）求语文成绩在120,130内的学生人数．（2）如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．（3）若语文成绩在)80,90内的学

生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在)80,90内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．【答案】（1）5（2）0.21（3）35．【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为1求出a，即可求出语文成绩在120,130内的学生人数

；（2）直接利用频率分布直方图求概率；（3）利用古典概型的概率公式直接求解.【小问1详解】由频率分布直方图，知()20.020.030.04101a+++=，解得0.005a=，语文成绩在120,130内的学生人数为0.00510

1005=．【小问2详解】由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率1201120.02100.005100.2110−+=．【小问3详解】由频率分布直方图，知语文成绩在)80,90内的

学生有0.005101005=人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A，B，3名男生为a，b，c.样本空间为{,,,,,,,,,}ABAaAbAcBaBbBcabacbc，其中抽到1名男生和1名女生的情况有,,,

,,AaAbAcBaBbBc，所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为63105=．19.已知圆C经过点()0,2A，()6,4B，且圆心在直线340xy−−=上.（1）求圆C的方程；（2）若平面上有两

个点()6,0P−，()6,0Q，点M是圆C上的点且满足2MPMQ=，求点M的坐标.【答案】（1）()22420xy−+=（2）10411,33或10411,33−【解析】【分析】（1）设

出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M满足的方程联立即可求得M的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340xy−−=上，设圆心()34,Caa+，已知圆C经过点()0,2A，()6,4B，则由CACB=，得()()()()2

2223423464aaaa++−=+−+−解得0a=，所以圆心C为()4,0，半径()()22400225rCA==−+−=，所以圆C的方程为()22420xy−+=；【小问2详解】设(),Mxy，∵M在圆C上，∴()22420xy−+=，又()6,0P−，()6,0Q，由2MPMQ=可得：

()()2222646xyxy++=−+，化简得()221064xy−+=，联立()()22224201064xyxy−+=−+=解得10411,33M或10411,33−

.20.如图，在四棱锥PABCD−中，ABCD是边长为2的菱形，且60DAB=，10PAPD==，32PB=，E，F分别是,BCPC的中点．（1）证明：平面PAD⊥平面DEF．（2）求二面角APBC−−的大小．【答案】（1）证明见解析（2）3π4【

解析】【分析】（1）取AD的中点G，连接PG、BG、BD，由线线垂直证AD⊥平面PGB，即可依次证ADPB⊥，ADEF⊥，AD⊥平面DEF，平面PAD⊥平面DEF（2）HGGB⊥于G，建立空间直角坐标系Gxyz−如图所示，由向量法求二面角即可.【小问1详解】证明：取AD的中点

G，连接PG、BG、BD，由E，F分别是,BCPC的中点得EFPB∥，由ABCD是边长为2的菱形，且60DAB=得ABD△、CBD△为正三角形，∴BGAD⊥，DEBC⊥，ADBC∥，∴DEBG∥，DEAD⊥，由1

0PAPD==得PGAD⊥，又,PGBGGPGBG=?、平面PGB，∴AD⊥平面PGB，∵PB平面PGB，∴ADPB⊥，∴ADEF⊥，∵,EFDEEEFDE=?、平面DEF，∴AD⊥平面DEF，∵AD平面PAD，∴平面PAD⊥平面DEF.【小问2详解】作HGGB⊥

于G，交PB于H，∵AD⊥平面PGB，则可建立空间直角坐标系Gxyz−如图所示.在PBG△中，21013,213,32PGGBPB=-==-==，由余弦定理得31896cos32332PBG+-?=创，∴263sin133PBG骣琪?-=琪桫，

323tan263PBG?=，∴26322HG=?.故()()()()6661,0,0,0,3,0,2,3,0,0,0,,1,0,,0,3,,2,0,0222ABCHAHBHBC−=−=−=−，设平面PAB、平面PCB的法向量分别为()(

),,,,,nxyzmabc==，则有62002,66303022mBCanAHxzmBHbcnBHyz=−==−+==−+==−+=，令2,2zb==，则有()()3,1,2,0,2,2nm=

=，故二面角APBC−−的余弦值322cos,266mnmnmn×===´，由图可知，二面角APBC−−所成平面角为钝角，∴二面角APBC−−的大小为3π4.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，椭

圆与x轴正半轴的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，M在C上，1MF垂直于x轴，O为坐标原点，且ABMO∥，1222FA=+．（1）求椭圆C的标准方程．（2）过2F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l的斜率存在时，试判断x轴上是否存在一点T，使得OT

POTQ=．若存在，求出T点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22184xy+=（2）存在，(4,0)T【解析】【分析】（1）由OMABkk=，结合1FAac=+，222abc=+得出椭圆C标准方程．（2）联立直线l和椭圆方程，利用韦达定理结合0TPTQkk+=求

解即可.【小问1详解】由题意可知点M的坐标为2,bca−，的因为ABMO∥，所以OMABkk=，即2bbaca−=−，得bc=．因222abc=+，所以2ac=．因为1222FAac=+=+，所以22,2abc===，故椭圆C的标准方程为2

2184xy+=．【小问2详解】假设x轴上存在点(,0)Tt，使得OTPOTQ=，则0TPTQkk+=．设直线l的方程为()()11222(0),,,,xmymPxyQxy=+，联立方程组222,1,84xmyxy=++=消去x整理得()22244

0mymy++−=，则12122244,22myyyymm+=−=−++，()()()121212121212122(2)02222TPTQmyytyyyyyykkxtxtmytmytmytmyt+−++=+=+==−−+−+−+−+−，即()12122(2)0myytyy+−+=

．由2284(2)0(0)22mmtmmm−−−=++，解得4t=，故存在(4,0)T，使得OTPOTQ=．【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于将OTPOTQ=转化为0TPTQkk+=，从而将几何问题转化为代数

问题，结合韦达定理进行求解.22.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为(7,0)，渐近线方程为32yx=．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于

不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DGEF⊥于点G，证明：存在定点H，使||GH为定值．【答案】（1）22143xy−=为（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件列出关于a、b、c

的方程组求解即可.（2）分类讨论斜率是否存在，①斜率存在时，设l的方程，联立直线方程与双曲线方程，由0DEDF=得到m与k的关系式，得到直线恒过定点M，②斜率不存在时，再由0DEDF=得到直线l方程，进而得出此时

直线l也恒过定点M，进而证得存在定点H为DM的中点，||GH为||DM的一半.【小问1详解】由题意知，222732cbacab===+解得：23ab==，∴双曲线C的标准方程为：2

2143xy−=；【小问2详解】证明：由（1）知，(2,0)D，设11(,)Exy，22(,)Fxy①当l的斜率存在时，设l的方程为：ykxm=+，22222(34)84120143ykxmkxkmxmxy

=+−−−−=−=2222644(34)(412)0kmkm=−−−−，即：22430mk−+，122834kmxxk+=−，212241234mxxk−−=−，∵以EF为直径的圆经过点D，∴DEDF⊥，又∵11(2,)DExy=−

，22(2,)DFxy=−，∴1212121212(2)(2)2()40DEDFxxyyxxxxyy=−−+=−+++=，又∵2212121212()()()yykxmkxmkxxkmxxm=++=+++∴221212(1)(2)(

)40DEDFkxxkmxxm=++−+++=，即：222224128(1)(2)403434mkmkkmmkk−−++−++=−−化简得：2216280mkmk++=，即：(14)(2)0mkmk++=，解得：14mk=−或2mk=−，且均满足22430mk−+

，当2mk=−时，2(2)ykxkkx=−=−，直线l恒过定点(2,0)，此时定点与D点重合，所以与已知相矛盾；当14mk=−时，14(14)ykxkkx=−=−，直线l恒过定点140(,)，记为点(14,0)M；②当l的斜率不存在时，设l的方程为：xn

=，设1(,)Eny，1(,)Fny−，(2n−或2)n，则221143yn−=，此时1(2,)DEny=−，1(2,)DFny=−−，∴22221(2)(2)3(1)04nDEDFnyn=−−=−−−=，整理得：216280nn−+=，解得：14n=或2n=∵2n−或2n，∴14n

=，此时l恒过定点(14,0)M.综述：l恒过定点(14,0)M.又∵DGEF⊥，即：DGMG⊥，（∵D、E、F三点都在直线l上）∴点G在以DM为直径的圆上，H为该圆的圆心，即DM的中点，||GH为该圆的

半径，即||DM的一半.故存在定点(8,0)H，使得||GH为定值6.【点睛】求解直线或曲线过定点问题的基本思路：（1）把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一

个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式00()yykxx−=−，则直线必过定点00(,)xy；若得到了直线方程的斜截式ykxm=+，则直线必

过定点(0,)m.