【文档说明】江苏省海安县曲塘中学2020-2021学年高二上学期阶段性测试二数学试题 含答案.doc，共(8)页，1.562 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省2020-2021学年曲塘中学高二年级第一学期数学阶段性测试二一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）1．若a∈R，则“│a－2

│≥1”是“a≤0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V、E和F表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有

如下关系：V－E＋F＝2．已知正十二面体有20个顶点，则正十二面体的棱数为()A．30B．26C．20D．143．正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足an2＝2Sn－n，则a5＝()A．8B．7C．6D．54．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为200m2的矩形鸭

子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？()A．20B．40C．60D．805．已知函数f(x)＝22(1)sin1xxx+++，其中f'(x)为函数f(x)的导数，则f(2020)＋f(－2020)＋f'(2019)－f'(－2019)＝

()A．0B．2C．2019D．20206．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线

顶端O到连桥AB的距离为()A．180B．200C．220D．2407．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，2f'(x)－f(x)＜0(其中f'(x)为f(x)的导函数)，若f(2)＝e，则f(x)＞(e)│x│的解集为()A．(－2，2)B．(－12，12)C．(－1

2，2)D．(12，2)8．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点F1、F2的距离之比为2：1，且存在△PF1F2，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”．下列曲线中存在“Ω点”的是()A．236x＋232y＝1B．

216x＋215y＝1C．25x－24y＝1D．x2－215y＝1二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得3分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．

．．．．．．）9．已知球O的直径SD＝4，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，∠ASD＝∠BSD＝∠CSD＝30°，则()A．AB⊥SDB．线段AB的最长长度为23C．三棱锥S-ABC的体积最大值为3D．过SA作球的截面中，球心O到截面距离的最大值为11

0．设数列{xn}，若存在常数a，对任意正数r，总存在正整数N，当n≥N时，有│xn－a│＜r，则数{xn}为收敛数列．下列关于收敛数列正确的有()A．等差数列不可能是收敛数列B．若等比数列{xn}是收敛

数列，则公比q∈(－1，1]C．若数列{xn}满足xn＝sin(2n)·cos(2n)，则{xn}是收敛数列D．设公差不为0的等差数列{xn}的前n项和为Sn(Sn≠0)，则数列{1nS}一定是收敛数列

11．已知x＋y＝1，y＞0，x≠0，则12x＋1xy+的值可能是()A．12B．14C．34D．5412．已知集合M＝{(x，y)│y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，总存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互

垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)│y＝x2＋1}，M2＝{(x，y)│y＝1x+}，M3＝{(x，y)│y＝ex}，M4＝{(x，y)│y＝sinx＋1}，其中是“互垂点集”的是()A．M1B．M2C．M3D．M4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20

分．其中第16题有两空，第一空2分，第二空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）13．已知F1、F2分别为椭圆22xa＋22yb＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，M为PF2上的三等分点，且满足│MF2│＝2│PM│，若OP⊥MF

1，则该椭圆的离心率e的取值范围是________．14．若函数f(x)＝x3－3x在x∈(5－m2，m－1)上的值域为[a，b](b＞a)，则m的取值范围为________．15．各项都是正偶数的数列a1、

a2、a3、a4中，前三项成公差为d(d＞0)的等差数列，后三项成公比为q(q＞0)的等比数列，若a4－a1＝88，则公比的取值集合为________．16．1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普

勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照图片中的方式摆放(底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层)，这些排球共_____

___个，最上面球的球顶距离地面的高度约为________cm(已知排球的直径为21cm)四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）1

7．(本小题满分10分)在①b·sinA＋a·sinB＝4c·sinA·sinB，②cos2C－23sin22C＋3＝2，③(a－3b)sinA＋b·sinB＝c·sinC，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，

a、b、c分别为内角A、B、C的对边，sinA·sinB＝134+，c＝2，________．(1)求C；(2)求△ABC的面积S．18．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n+1，n∈N*．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝1nan+－1nna+

，求证：1nb≤23．19．(本小题满分12分)山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱，现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：采购

数量x(单位：箱)[220，240)[240，260)[260，280)[280，300)[300，320]采购人数1001005020050(1)根据表格中的数据，完善频率分布直方图；(2)求近一周内采购量在286箱以下(含286箱)的人数；(3)计算近一周内采购数量

x的平均值．20．(本小题满分12分)如图，在Rt△SOA中，∠OSA＝30°，斜边SA＝4，半圆H的圆心H在边OS上，且与SA相切，现将Rt△SOA绕SO旋转一周得到一个圆锥，点B为圆锥底面圆周上一点，且∠

AOB＝90°．(1)求球H的半径；(2)求点O到平面SAB的距离；(3)设P是圆锥的侧面与球的交线上一点，求PO与平面SAB所成角的正弦值的范围．21．(本小题满分12分)已知椭圆C：22xa＋22yb＝1(a＞

b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为3．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线PF2的斜率为k(k≠0)，且PF2与椭圆C的另一个交点为Q，是否存在点T(0，t)，使得│TP│＝│TQ│成立？若存在，求t的取值

范围；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xlnx＋12ax3－ax2，a∈R．(1)当a＝0时，求f(x)的最值；(2)若函数g(x)＝()fxx存在两个极值点x1、x2(x1≠x2)，求g(x1)＋g(x2)的取值范围．江苏省2020-2

021学年曲塘中学高二年级第一学期数学阶段性测试二一、单项选择题1．B2．A3．D4．B5．B6．B7．A8．C二、多项选择题9．ABD10．BCD11．CD12．BD三、填空题13．(12，1)14．(6，7]15．

{53，87}16．20；21(1＋6)四、解答题17．解：选①：(1)在△ABC中，因为b·sinA＋a·sinB＝4c·sinA·sinB，由正弦定理sinaA＝sinbB＝sincC得，sinB·sinA＋sinA·sin

B＝4sinC·sinA·sinB，即2sinA·sinB＝4sinC·sinA·sinB，又sinA、sinB≠0，所以sinC＝12，由于0＜C＜π，所以C＝6或56；当C＝56时，A、B＜6，则si

nA、sinB＜12，所以sinA·sinB＜14，与sinA·sinB＝134+矛盾，故舍；因此C＝6；(2)因为C＝6，c＝2，由正弦定理sinaA＝sinbB＝sincC得，a＝sinsincAC＝4sinA，b＝sinsin

cBC＝4sinB；因为S＝12ab·sinC＝124sinA·4sinB·sinC＝4sinA·sinB＝1＋3．选②：(1)在△ABC中，因为cos2C－23sin22C＋3＝2，所以2cos2C－1－3(1－cosC

)＋3＝2，即2cos2C＋3cosC－3＝0，所以cosC＝32或－3(舍)，又0＜C＜π，所以C＝6；以下解法同①．选③：(1)在△ABC中，因为(a－3b)sinA＋b·sinB＝c·sinC，由正弦定理sinaA＝si

nbB＝sincC得，(a－3b)a＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝3ab，又由余弦定理得，cosC＝2222abcab+−＝32，而0＜C＜π，所以C＝6；以下解法同①．18．解：(1)因为Sn＝2an－2n+1，所以当n＝1时，a1＝4；另，Sn-1＝2an-1－2n，n≥2，两式作差得

，an＝2an－2an-1－2n，即an－2an-1＝2n，所以2nna－112nna−−＝1，故{2nna}是首项为2，公差为1的等差数列，所以2nna＝n＋1，所以an＝(n＋1)2n；(2)因为an＝(n＋1)2n，所以bn＝1nan+－1nna+＝2n－12

n＝2212nn−，所以1nb＝2221nn−；因为11nb+－1nb＝122221nn++−－2221nn−＝3132222(21)(21)(21)(21)nnnn+++−−−−−＝313222222(21)(21)n

nnn+++−−−＝312222(21)(21)nnn++−−−＜0，所以{1nb}为单调递减数列，所以1nb≤11b＝23，得证．19．解：(1)近一周采购人数为100＋100＋50＋200＋50＝500；采购数

量在[220，240)、[240，260)、[260，280)、[280，300)、[300，320]的频率依次为0.2、0.2、0.1、0.4、0.1，频率/组距依次为0.01、0.01、0.005、0.0

2、0.005，完善频率分布直方图如图所示；(2)采购量在286箱以下(含286)的频率为0.2＋0.2＋0.1＋0.4×620＝0.62，故采购量在286箱以下(含286)的人数为500×0.62＝310；(3)近一周内采购数量x的平均值为230×0.2＋250×0.2＋270×

0.1＋290×0.4＋310×0.1＝270．20．解：(1)在Rt△SOA中，∠OSA＝30°，SA＝4，所以SO＝23，OA＝2；设半圆H与SA相切于点M，所以∠HMS＝90°，又∠OSA＝30°，所以HO＝HM＝12HS，所以HO＝13SO＝233，

即球H的半径为233；(2)在三棱锥中S-OAB中，设O到平面SAB的距离为d；在Rt△AOB中，OA＝OB＝2，AB＝22，所以S△AOB＝12OA·OB＝2，又SO＝23，所以VS-OAB＝13SO·S△AOB＝433；在等腰△SAB中，SA＝SB＝4，AB＝22，所以

S△SAB＝27，所以VO-SAB＝13d·S△SAB＝273d＝433，所以d＝2217；(3)因为SO⊥OA，SO⊥OB，OA⊥OB，所以以{OB，OA，OS}这组正交基底建立空间直角坐标系，则A(0，2，0)，B(2，0，0)，S(0，0，23)，设P(cosθ，s

inθ，3)，θ∈[0，2π)，设PO与平面SAB所成角为α，α∈[0，2]；所以PO＝(－cosθ，－sinθ，－3)，SA＝(0，2，－23)，SB＝(2，0，－23)，设平面SAB的一个法向量n＝(x，y，

z)，因为n·SA＝0，n·SB＝0，所以22302230yzxz−=−=，此方程组的一组解为331xyz===，即n＝(3，3，1)，所以sinα＝│cos<PO，n>│＝│POnPOn│＝│3cos3sin327−−−│＝6

sin()3427++∈[6327−，6327+]．21．解：(1)设C的焦距为2c，c＞0；设P(x0，y0)，因为S△PF1F2＝12F1F2·│y0│，所以当│y0│＝b时，△PF1F2面积取最大

值，即bc＝3；又ca＝12，所以a＝2，b＝3，c＝1，即C的方程为24x＋23y＝1；(2)因为F2(1，0)，所以设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点M(x3，y3)；将y＝k(x－1)代入3x2＋4y2＝12得，(3＋4

k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＞0，x1＋x2＝22834kk+，x1x2＝2241234kk−+，所以x3＝122xx+＝22434kk+，y3＝122yy+＝12(1)(1)2kxkx

−+−＝12()22kxxk+−＝2334kk−+，即M(22434kk+，2334kk−+)；因为│TP│＝│TQ│，所以TM⊥PQ，即直线TM的斜率为－1k，所以330ytx−−＝－1k，化简得，t＝234

kk+＝134kk+，因为4k＋3k∈(－∞，－43]∪[43，＋∞)，所以t∈[－312，0)∪(0，312]．22．解：(1)当a＝0时，f(x)＝xlnx，x＞0，所以f'(x)＝lnx＋1，当0＜x＜e-1时，f'(x)＜0，f(x)为单调减函数；当x＞e-1时，f'(x)＞0，f(

x)为单调增函数；所以f(x)min＝f(e-1)＝－e-1，无最大值；(2)因为g(x)＝()fxx＝lnx＋12ax2－ax，x＞0，所以g'(x)＝1x＋ax－a＝21axaxx−+，因为g(x)存在两个极

值点x1、x2(x1≠x2)，所以方程ax2－ax＋1＝0有两个不等正根x1、x2，因此Δ＝a2－4a＞0，即a＞4或a＜0，x1＋x2＝1，x1x2＝1a＞0，所以a＞4；又g(x1)＋g(x2)＝lnx1＋12ax12－ax1＋lnx2＋12ax22－ax2＝ln

x1x2＋12a(x12＋x22)－a(x1＋x2)＝－lna＋12a(1－21a)－a＝－12a－lna－1；令h(a)＝－12a－lna－1，a＞4，因为h'(a)＝－12－1a＜0，所以h(a)在a∈(4，＋∞)上单调递减，因此h(a)＜h(4)＝－3－ln4，所以g(x1)＋g(x2)

的取值范围为(－∞，－3－ln4)．