【文档说明】山东省东营市广饶县第一中学2024-2025学年高二上学期开学收心考试数学试题word版解析.docx，共(11)页，620.504 KB，由小赞的店铺上传

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高二开学收心考试数学2024.8一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若()i11z−=，则z=（）A．1i+B．1i−C．1i−+D．1i−−2．不共面的四点最多可确定（）个平面A．3B．

4C．5D．63．已知2sincos=，则sincossincos+=−（）A．4B．4−C．3−D．34．如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为h，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边

长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（）A．512hB．712hC．56hD．h5．已知3,4ab==，且b在a上的投影的数量为2−，则ab+=（）A．37B．31C．19D．136．在三棱锥ABCD−的棱,,,ABBCCDDA上分别取,,,E

FGH四点，若EFHGP=，则点P（）A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上7．如图所示，从热气球A上测得地面上点B的俯角为60，点C的俯角为4

5，图中各点在同一铅垂平面内，已知,BC两点间距离为100m，则热气球距地面的高度AO为（）A．()100503m+B．2003mC．()150503m+D．()150503m−8．在ABC△中，()()1,2,1,2

1ACBCCACBCDtCAtCBt====+−R，则CD的最小值为（）A．2B．3C．32D．1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分

分，有选错的得0分．9．正四棱锥PABCD−的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥PABCD−的体积为（）A．322B．22C．22D．210．函数()πsincos6fxxx=++，则（）A．()fx的

最小正周期为2πB．()fx的图象关于π6x=对称C．()fx在ππ,63−上单调递增D．当ππ,32x−时，()fx的值域为(0,311．在三角形内，下列说法中正确的是（）A．若三角形ABC是锐角三角形，则22222abca

b−+B．若O是三角形ABC的内心，且满足2340OAOBOC++=，则这个三角形一定是钝角三角形C．sinsinAB是coscosAB的必要条件D．若coscosABACAPCBABAC=+，则直线AP一定经过这个三角形的外心三、填空题：本题共3小

题，每小题5分，共15分．12．如图，一个水平放置的平面图形OABC按斜二测画法得到的直观图OABC是直角梯形，又知2,1ABBC==，则平面图形OABC的面积为______．13．如图所示，在直三棱柱111ABCABC−中，1227ACAA==，21,ABBCP==是线段1AB上

一动点，则1APPC+的最小值为______．14．甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为231,,543，且各自能否被选中互不影响，则3人中至少有一人被选中的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

．15．已知平面向量()()2,1,3,abx==．（1）若ab∥，求b；（2）若()0aba−=，求cos,abb+．16．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π．（1）求圆锥的体积；（2）求圆锥的内切球的表面积．17．记ABC△的内角,,ABC的对边

分别为,,abc．已知()cos2cosaBcbA=−．（1）求A；（2）若D是AC的中点，且5,7ADBD==，求a．18．如图，在直角梯形ABCD中，,,24,ABCDADABABADCDE⊥===∥是BC的中点．（1）求AEBE；（2）连接BD，交AE于点M，求AM；（3）若123,,,,

nPPPP为BC边上的1n+等分点，当100n=时，求()123nMPMPMPMPAB++++的值．19．设O为坐标原点，定义非零向量(),pab=的“相伴函数”为()()sincosfxaxbxx=+R，(),pab=称为函数()sincosfxaxbx

=+的“相伴向量”．（1）若函数()1π3sinsin6fxxx=+−，求函数()1fx的“相伴向量”1p；（2）若函数()2fx为向量231,22p=−的“相伴函数”，将函数()2yfx=图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再将所得图象向左平移π4个单位，得到

函数()ygx=的图象，若函数()()()24ahxgxagx=−+在ππ,64−上有三个不同零点123,,xxx，且123xxx．①求实数a取值范围；②若123π2212xxx++−，求

实数a的取值范围．数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A2．B3．C4．B5．D6．B7．C8．B【分析】先求2||

CD，利用向量的运算法则展开后，可以转化为关于t的函数，利用函数的观点即可求最小值．【详解】因为()21CDtCAtCB=+−所以()()2222222||[21]441(1)CDCDtCAtCBtCAttCACBtCB==+−=+−

+−又因为1,2,1ACBCCACB===，所以2222||1,||4,1CACACBCBCACB=====所以()()222221||4414(1)41432CDttttttt=+−+−=−+=−+当12t=时，2min||

3CD=，即min||3CD=，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．AB10．ABD【分析】利用两角和

的正弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可．【详解】因为()πππsincossincoscossincos666fxxxxxx=++=++3313πsincos3sincos3si

n22223xxxxx=+=+=+，所以()fx的最小正周期为2π2π1T==，故A正确；因为πππ3sin3663f=+=，所以()fx的图象关于π6x=对称，故B正确；当π

π,63x−时，ππ2π,363x+，因为sinyx=在π2π,63上不单调，所以()fx在ππ,63−上不单调，故C错误；当ππ,32x−

时，π5π0,36x+，所以(πsin0,13x+，所以()(0,3fx，故D正确．11．ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】82【分析】先求出梯形OABC的面积，再根据公式24SS=直观图

原，即可求解．【详解】过C作CD垂直OA于点D，如图所示，因为OABC是直角梯形，所以四边形ABCD是矩形，所以2,1CDABDABC====，又因为45COD=，所以2ODCD==，所以12

3OA=+=，所以()113242OABCS=+=梯形，又因为24SS=直观图原，所以22482OABCS==四边形．故答案为：82．13．714．910四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15

．【解析】【问1详解】因为()()2,1,3,,abxab==∥，所以23x=，解得32x=，所以22335(3)22b=+=．【小问2详解】因为()1,1bax−=−，所以()()210abax−=+−=，解得1x=−．所以()()3,1,5,0bab=−+=，所以()15310c

os,10510abbabbabb++===+．．16．【小问1详解】由题意圆锥的底面半径为3r=，设母线长为l，圆锥的高为h，由圆锥的侧面积公式πSrl=得：3π15πl=，解得5l=，所以224hlr=−=．由圆锥的体积公式13VSh=底得：2211ππ3412π33Vrh===．

【小问2详解】如图所示，圆锥及内切球截面示意图如上图，设内切球半径为R，RtSCO△相似于Rt,OCSOSDBBDSB=△，即435RR−=，解得：32R=，所以内切球表面积：234π9π2S==．17．【解析】【小问1详解】因为()cos2co

saBcbA=−，又正弦定理可得()sincos2sinsincosABCBA=−，则sincossincos2sincosABBACA+=，即()sin2sincosABCA+=，所以sin2sincosCCA=，又()0,πC

，所以sin0C，所以1cos2A=，又()0,πA，所以π3A=；【小问2详解】在ABD△中，由余弦定理可得2222cosBDADABADABA=+−即214925252ABAB=+−，解得8AB=或3AB=−（舍去），在ABC△中，由余

弦定理可得2222cosBCACABACABA=+−，即22218102810842a=+−=，所以221a=．18．【答案】（1）1（2）4135（3）240【解析】【小问1详解】因为ABAD⊥，所以以A为坐标原

点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则()()()()()()0,0,4,0,2,4,3,2,3,2,1,2ABCEAEBE==−，所以341AEBE=−+=．【小问2详解】设,

,,R,AMAEBMBDAMBMAEBD==−=−，所以ABAEBD=−，所以()()()()4,03,24,434,24=−−=+−，所以344240+=−=，解得4525=

=，所以4441313555AMAE===．【小问3详解】在MBC△中，因为E为BC中点，所以2MCMBME+=，又因为123100,,,,PPPP是边BC的101等分点，110029950512,2

,,2MPMPMEMPMPMEMPMPME+=+=+=，所以123100100MPMPMPMPME++++=，所以()123100100MPMPMPMPABMEAB++++=由（2）得()132,,4,0555MEAEAB===，所以312455MEAB==

，所以()123100121002405MPMPMPMPAB++++==．19．【答案】（1）113,22p=；（2）①41,3；②51534,163+．【分析】（1）化简函数()1fx，根据相伴向量的概念即可求解；（2）①由函数变换得

()2ππsin2sin2334ahxxax=+−++，令πsin23tx=+，得()2,014ahttatt=−+，根据题意204atat−+=在0,1内有两个不同的实根，分类讨论即可得实数a的范围；②根据二次函数及

三角函数的图象和性质，结合一元二次方程根的分布，经过分析运算即可求解．【小问1详解】由题意，函数()1πππ133sinsin3sincoscossinsinsincos66622fxxxxxxxx=+−=+−=+

所以()1fx的“相伴向量”113,22p=；【小问2详解】因为函数()2fx为向量231,22p=−的“相伴函数”，所以()231πsincossin226fxxxx=−=−，由题意，函数，()()2πππππsin2sin2,sin2sin2

463334agxxxhxxax=+−=+=+−++，由ππ,64x−，可得π5π20,36x+，令πsin23tx=+，则()2,014ahttatt=−+，根据题意204a

tat−+=在0,1内有两个不同的实根，1°关于t的方程204atat−+=的一个根在区间10,2，另一个根在1,12，当一个根为0时，即04a=，所以0a=，此时方程为20t

=，所以0t=，不合题意；当一个根是12，即110424aa−+=，解得1a=，此时方程为2104tt−+=，所以12t=，不合题意；当一个根在10,2，另一个根在1,12，则有()(

)0010210hhh解得413a；2°当一个根是1，另一个根在1,12内，由104aa−+=得43a=，此时方程为241033tt−+=，解得1t=或13t=，不合题意；综上，a的取值范围是41,3

；②设12,tt为方程204atat−+=的两个不相等的实数根，且12tt，由①知，11π1sin20,32tx=+，所以1ππ20,36x+，即1ππ,612x−−，22π1sin2,13

2tx=+，所以23,xx关于π12对称，则23π6xx+=，所以2πππ2,362x+，即2ππ,1212x−，由123π2212xxx++−且23π6xx+=，可得

122ππππ234312xxx+−−+=−，因为12ππππ20,,0,36126xx+−，所以12ππsin2sin312xx+−，所以222212ππ1cos21sin2

ππ63sin2sin31222xxxx−−−++−==，所以21221tt−，又12124ttaatt+==，且12tt所以212222aaataaa

t−−=+−=，所以2222122aaaaaa−−+−−，整理得()()218540aaa−−−，因为10a−，所以28540aa−−，解得515316a−或515316a+，又413a，所以51534163a+

，