【文档说明】【精准解析】高中数学人教A版必修2一课三测：1.3.2球的体积和表面积含解析【高考】.docx，共(11)页，404.984 KB，由小赞的店铺上传

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1.3.2球的体积和表面积填一填球的体积和表面积公式(1)体积公式：V＝43πR3.(2)表面积公式：4πR2.判一判1.球的体积是关于球半径的一个函数．(√)2．球的表面积是关于球半径的一个函数．(√)3．球的表面积等于球的体积的6倍．(×)4．

决定球的大小的因素是球的半径．(√)5．球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(√)6．球的体积V与球的表面积S的关系为V＝R3S.(√)7．正方体的外接球的半径等于它的体对角线．(×)8．球的半径扩大到原来的2倍，则它的表面积增大到原来的2倍．

(×)想一想1.怎样由三视图求球的体积与表面积？提示：(1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积与体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别

注意球的三种视图都是直径相同的圆．(2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉等．2．求解球的截面问题的方法归纳．提示：设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO

1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求解．3．求球的表面积与体积的一个关键和两个结论．提示：关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝43πR3是计算球的表面积和体积的关键，

半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．4．常见的与球有

关的切接问题有哪些？提示：(1)正方体的内切球．球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切．球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过

球心作正方体的对角面有r2＝22a，如图②.(3)长方体的外接球．长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝12a2

＋b2＋c2，如图③.(4)正方体的外接球．正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝3a.(5)正四面体的外接球．正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝62a.思考感悟：练一练1.半径为3的球的体积是()A．9πB．81πC．27πD．36π答案：D2．

把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍B．22倍C.2倍D.32倍答案：B3．如果三个球的半径之比是1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．答案：954．若火星的半径与地球的半径之比是1：2，

则地球表面积与火星表面积之比是________，体积之比是________．答案：4：18：1知识点一球的体积和表面积1.若一个球的体积为32π3，则该球的表面积为________．解析：设该球的半径为R，则43πR3＝32π3，解得R＝2，所以该球的表面积S＝4πR2＝16π.答案：16π2．

(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．解析：(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝43πR3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R

，则43πR3＝5003π，解得R＝5，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.知识点二球的截面问题3.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，则该球的体积是()A.100π3cm3B.208π3cm3

C.500π3cm3D.41613π3cm3解析：根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝43πR3＝500π3(cm3)．答案：C4．一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求

球的表面积．解析：当截面在球心的同侧时，如图1所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R，∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7cm.同理

，得O1A＝20cm.设OO1＝xcm，则OO2＝(x＋9)cm.在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②联立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)，故球的

表面积为2500π(cm2)．当截面在球心的两侧时，如图2所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.设球的半径为R，∵π·O2B2＝49π，∴O2

B＝7cm.∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20cm.设O1O＝xcm，则OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意

，舍去．综上所述，球的表面积为2500π(cm2).知识点三球的切、接问题5.如果球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则该球的表面积为________．解析：设球的半径为r.正方体的内切球的球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，所以有2r＝a，r＝a2，所以球的表面

积S＝4πr2＝πa2.答案：πa26．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为()A.443πB.4849πC.814πD．16π解析：如图，正四棱锥P－ABCD中，PE为四棱锥

的高，根据球的相关知识可知，四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，因为底面边长为4，所以AE＝22，设球半径为R，在Rt△AEO中，AE2＋OE2＝AO2，即(22)2＋(6－R)2＝R2，解得R＝113，则S＝4πR2＝

4π1132＝4849π，故选B.答案：B综合知识球的体积和表面积7.已知一个三棱锥的所有棱长均为2，求该三棱锥的内切球的体积．解析：如图，AE⊥平面BCD，设O为正四面体A－BCD内切球的球心，则OE为内切球的半径，设OA＝OB＝R，又正四面体A－BCD的棱长为2，在等边△

BCD中，BE＝63，所以AE＝2－69＝233.由OB2＝OE2＋BE2，得R2＝233－R2＋23，解得R＝32，所以OE＝AE－R＝36，即内切球的半径是36，所以内切球的体积为43π×363＝354π.8．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图

中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．解析：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3.基础达标一、选择题1．若一个球的直径为2，则此球的

表面积为()A．2πB．16πC．8πD．4π解析：因为R＝d2＝1，所以球的表面积S＝4πR2＝4π.答案：D2．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的()A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍解析：设气球原来的半径为r，体积为

V，则V＝43πr3.当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为43π(2r)3＝8×43πr3.答案：C3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝()A．32＋πB．32＋2πC．28＋2πD．28＋π解析：由三

视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.答案：A4．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积S1和球的表面积S2之比为()

A．4：3B．3：1C．3：2D．9：4解析：画出轴截面如图所示，设球的半径为r.则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴∠CPB＝30°，又∠PCB＝90°，∴CB＝33PC＝3r，PB＝23r，圆锥的侧面面积S1

＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，∴S1：S2＝3：2.答案：C5．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是()A．4B．3C．2D．5解析：BD＝5，AC＝22，CD＝OD－OC＝R2－

BD2－R2－AC2＝R2－5－R2－8＝1.解得R＝3.答案：B6．长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上，已知AB＝3，AD＝4，BB1＝5，那么球O的表面积为()A．25πB．200πC．100πD．50π解析：由长方体的体对角线为外接球的直径，设

球半径为r，则2r＝9＋16＋25＝52，则r＝522，4πr2＝4×5222π＝50π.答案：D7．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的

球(如图)，则球的半径是()A.3cmB．2cmC．3cmD．4cm解析：设球的半径为r，则V水＝8πr2，V球＝4πr3，加入小球后，液面高度为6r，所以πr2·6r＝8πr2＋4πr3，解得r＝4.故选D

.答案：D二、填空题8．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________．解析：设球的半径为R，则43πR3＝43π，解得R＝3，则表面积S＝4π×(3)2＝12π.答案：12π9．过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，

截面面积为48πcm2，则球的表面积为________cm2.解析：易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于点C，连接OA.由截面面积为48πcm2，可得AC＝43cm.设OA＝R，则OC＝12

R，所以R2－12R2＝(43)2，解得R＝8cm.故球的表面积S＝4πR2＝256π(cm2)．答案：256π10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知该几何体是一个组合体，上半部分是半径为1的球的14，其体积

V1＝14×43π×13＝π3；下半部分是底面半径为1，高为1的圆柱，其体积V2＝π×12×1＝π.所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝43π.答案：43π11．底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P－ABCD

的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为26，则这个球的表面积为________．解析：正四棱锥P－ABCD外接球的球心在它的高PO1上，记为O，OP＝OA＝R，PO1＝4，OO1＝4－R，或OO1＝R－4(此时O在PO1的延长线上)．在Rt△AO1O中，R2＝8＋(R－4)2得R

＝3，所以球的表面积S＝36π.答案：36π12．已知PA，PB，PC两两垂直且PA＝2，PB＝3，PC＝2，则过P，A，B，C四点的球的体积为________．解析：以PB，PA，PC为长方体的长、宽、高作长方体，则长方体的对角线长为PA2＋PB2＋PC2＝3，即球半径为32，

V球＝43πR3＝92π.答案：92π三、解答题13．如图所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．解析：12S球＝12×4π×22＝8π(cm2)，S圆台侧＝π(2＋5)(5－2)2＋4

2＝35π(cm2)，S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，即该几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．又V圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝12×4π3×23＝16π3(cm3

)．所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－16π3＝140π3(cm3)．14．某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9g/cm3)，每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是空心的还是实心的．如果是空心的，请你计算出它的内径(π取3.1

4，结果精确到1cm,2.243≈11.24098)．解析：由于外径为50cm的钢球的质量为7.9×43π×5023≈516792(g)，街心花园中钢球的质量为145000g，而145000<516792，所以钢球是空心的．设球的内径为2xcm，那么球的质量为7.9×43π

×5023－43πx3＝145000.解得x3≈11240.98，所以x≈22.4,2x≈45(cm)．即钢球是空心的，其内径约为45cm.能力提升15.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三

角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解析：作出轴截面，如图所示，当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V

球＝13π(3r)2·3r－43πr3＝53πr3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积为V′＝13π33h2h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r.16．已

知球心到过球面上三点A，B，C的截面的距离等于球的半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积和体积．解析：如图，设球心为O，球的半径为R，作OO1垂直平面ABC于点O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心，即O1A＝O1B＝O1C.设M是AB的中

点，连接CM，由于AC＝BC，则O1在CM上．设O1M＝x，易知O1M⊥AB，则O1A＝22＋x2，O1C＝CM－O1M＝42－x.又O1A＝O1C，所以22＋x2＝42－x，解得x＝724，则O1A＝O1B＝O1C＝924.在Rt△OO1A中，O1O＝R2，∠OO1A＝90°，OA＝R

.由勾股定理得R22＋9242＝R2，解得R＝362.由S球＝4πR2＝54π，V球＝43πR3＝276π.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com