【文档说明】山西省2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(21)页，2.170 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-58008c7505289b27d1881b552cba27c5.html

以下为本文档部分文字说明：

2020年1月山西省高二年级期末调研测试数学（理科）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“()01,x+，00222xx+”的否定是（）A.()01,x+，0

0222xx+B.()01,x+，00222xx+C.()01,x+，00222xx+D.()01,x+，00222xx+【答案】C【解析】【分析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词．【详解】命题“()01,x+，00222xx+”的否

定是“()01,x+，00222xx+”．故选：C．【点睛】本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．2.设直线l的方向向量为a，平面a的法向量为n，则使la⊥成立的是（）A.()1,1,2a=−，()1,1,1n=−B.(

)1,1,2a=−，()1,1,2n=−−C.()1,1,2a=−，()1,1,1n=−−D.()2,1,1a=−−，()1,1,1n=【答案】B【解析】【分析】验证哪个选项中直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直．【详解】

计算an，A,C,D中都是an=0，只有B中an0且an=−，即//an，故选：B．【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面垂直．直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，如果直线不在平面内，则直线与平面平行．3.已知

直线l过点()2,1−，且在y轴上的截距为3，则直线l的方程为（）A.230xy++=B.230xy+−=C.240xy−−=D.260xy−+=【答案】B【解析】【分析】截距为3，说明直线过点(0,3)，由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式．【详解】由题意，直线l过点(0,3)，

∴其斜率为13220k−−==−−，直线方程为y=-2x+3，即2x+y-3=0，故选：B.【点睛】本题考查直线方程，求直线方程可先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式．4.刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五

分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下

小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）正视图侧视图俯视图A.60B.63C.84D.126【答案】C【解析】【分析】由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积．【详解】由三视图，棱台体积为222214(3366)843V=+

+=．故选：C.【点睛】本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解题基础．5.抛物线2:2Cypx=的准线经过双曲线221124xy−=的左焦点，则抛物线C的焦点坐标为（）A.()4,0B.()4,−0C.()0,4−D.

()0,4【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p，得抛物线焦点坐标．【详解】双曲线221124xy−=中，1244c=+=，∴双曲线的左焦点为(4,0)−，右焦点(4,0)就是抛物线的焦点．故选：A．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几

何性质．属于基础题．6.设aR，则“1a=”是“直线10axya+++=与直线0xaya++=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【

分析】先求出两直线平行时的a值，然后再根据充分必要条件的概念判断．【详解】直线10axya+++=与直线0xaya++=平行，则210a−=，1a=，1a=时，两直线方程分别为20,10xyxy++=++=，平行

，1a=−时，两直线方程分别为0,10xyxy−+=−−=，平行，∴直线10axya+++=与直线0xaya++=平行的充要条件是1a=，则“1a=”是“直线10axya+++=与直线0xaya++=平行”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，

判断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系判断充分必要条件．7.设m，n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（）A.若⊥，⊥，则//B.若⊥，m，则m⊥C.若

//m，n，则//mnD.若//，m=，n=，则//mn【答案】D【解析】【分析】根据面面垂直的性质判断A，B，由线面平行的性质判断C，由面面平行的性质判断D．【详解】若⊥，⊥，与也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A错；若⊥，m，但m不与，的交线

垂直时，m不与垂直，还可以平行，B错；若//m，n，m与n可能异面，可能平行，C错；若//，m=，n=，则//mn，这是面面平行的性质定理，D正确．故选：D.【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理

，面面平行的性质定理是解题基础．8.正方体1111ABCDABCD−中，异面直线BD和1CD所成角为（）A.2B.6C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由11//ABCD可得异面直线所成的角，在三角形中求解即可．【详解】正方体中，11//ABCD

，∴1ABD是异面直线BD和1CD所成的角，而1ABD是正三角形，∴13ABD=，∴异面直线BD和1CD所成的角是3．故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需先作出这个角（必须证明），然后解三角形得结论．9.若圆

：()22:21Cxy++=关于直线:0lxym−+=对称，1:420lxy−+=，则l与1l间的距离是（）A.1B.2C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离．【详解】由题意(2,0)C

−，圆()22:21Cxy++=关于直线:0lxym−+=对称，则200m−−+=，2m=，即l方程为20xy−+=，所求距离为2224231(1)d−==+−．故选：D.【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，

再则平行间距离公式计算．10.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑PABC−中，PA⊥平面ABC，4PA=，2ABBC=

=，鳌臑PABC−的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（）A.16B.20C.24D.64π【答案】C【解析】【分析】四个面都是直角三角形，由ABBC=得ABBC⊥，然后证明BCPB⊥，这样

PC中点O，就是PABC−外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥PABC−的四个面都是直角三角形，∵2ABBC==，∴ABBC⊥，又PA⊥平面ABC，∴AB是PB在平面ABC上的射影，PACA⊥，∴BCPB⊥，取PC中点O，则

O是PABC−外接球球心．由2ABBC==得22AC=，又4PA=，则81626PC=+=，6OP=，所以球表面积为224()4(6)24SOP===．故选：C．【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球

的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．11.已知椭圆：()2222:10xyCabab+=的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，0BABF=，则椭圆C的离心率为（）A.32B.12C.512+D.512

−【答案】D【解析】【分析】表示出各点坐标，由0BABF=得出,,abc的等式，变形后可求离心率．【详解】由题意(,0),(0,),(,0)AaBbFc−，则(,),(,)BAabBFcb=−−=−，∴20BABFacb=−+=

，220acac−−=，2()10ccaa+−=，∴152cea−+==（152−−舍去）．故选：D．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到一个关于,,abc的等量关系．本题中由已知0BABF=可得．12.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，

2F，离心率为5，过左焦点1F引渐近线的垂线，垂足为P，12PFF的面积是2，则双曲线C的方程为（）A.22128xy−=B.2214yx−=C.221416xy−=D.2214xy−=【答案】B【解析】【分析】离心率为5可得22

5ca=，1FP与渐近线垂直，则有1FPb=，从而OPa=，由12PFF的面积是2，可得2ab=，这样可求得,ab，得双曲线方程．【详解】如图，渐近线OP方程是byxa=−，即0bxay+=，由于1FPOP⊥且1(,0)Fc−，所以122b

cFPbba−==+，所以22OPcba=−=，11211121222FPOFPFSabS====，2ab=，又5cea==，即225ca=，∴22224bcaa=−=，2ba=，∴222aba==，1,2ab==，双曲线方程为

：2214yx−=．故选：B.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，按照题意列出关于,,abc的两个等量关系即可求．题中如果掌握双曲线的性质，求解更加方便：双曲线的焦点到渐近线的距离为b.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.以()1,2-为圆心，且与圆

()()22:319Cxy−++=外切的圆的标准方程是__________.【答案】()()22124xy++−=【解析】【分析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径．【详解】设所求圆半径为r，则由题意22(13)(21)3r−−++=+，2r=，所以所求圆方程为：()(

)22124xy++−=．故答案为：()()22124xy++−=．【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径．14.倾斜角是45，且过点()1,4的直线l交圆22:230Cxyy+−−=于A，B两点，

则直线l的一般式方程__________，=AB__________.【答案】(1).30xy−+=(2).22【解析】【分析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．【详解】由题意直线l的方程为：41yx−=−，即3

0xy−+=，圆标准方程为：22(1)4xy+−=，圆心为(0,1)C，半径为2r=，圆心到直线l的距离为01322d−+==，∴2222222(2=22ABrd=−=−）．故答案为：30xy−+=；22．【点睛】本题考查直线方程的一般式，考查直线

与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算．15.正四棱锥PABCD−中，3PA=，2AB=，则PA与平面PBC所成角的正弦值为__________.【答案】146【解析】【分析】作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，于是有PB⊥平面ACE，作AHCE⊥交CE

延长线于H，可得AH⊥平面PBC，从而APH是直线PA与平面PBC所成的角．在RtPAH中计算出这个角的正弦值即可．【详解】在正四棱锥PABCD−中，取BC中点M，连接PM，则PM⊥BC，223122PM=−=，作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，AEC

E=，由PBCEBCPM=得2224233BCPMCEPB===．∴423AECE==，22AC=，由222AECEAC+，得AEC是钝角，作AHCE⊥交CE延长线于H，连接PH，由CE⊥PB，AE⊥PB，得PB⊥平面ACE，AH平面ACE，∴PB⊥AH，PBCEE=，∴A

H⊥平面PBC，∴APH是直线PA与平面PBC所成的角．△ACE中，取AC中点O，连接EO，则EO⊥AC，且224214()(2)33EO=−=，14221432423ACEOAHCE===，在RtPAH中，141

42sin36AHAPHAP===．故答案为：146．【点睛】本题考查求直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，就是所谓的一作二证三计算．作图证明计算缺一不可．16.给出下列命题：（1）直

线()2ykx=−与线段AB相交，其中()1,1A，()4,2B，则k的取值范围是1,1−；（2）点()1,0P关于直线210xy−+=的对称点为0P，则0P的坐标为76,55−；（3）圆22:4Cxy+=上恰有3个点到直线

:20lxy−+=的距离为1；（4）直线1yx=−与抛物线24yx=交于A，B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线1x=−相切.其中正确的命题有_________.（把所有正确的命题的序号都填上）【答案】（2）（3）（

4）【解析】【分析】根据两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系对各个命题进行判断．【详解】（1）由于直线2x=与线段AB有公共点，因此k的范围是(,1][1,)−−+，（1）错；（2）0PP的中点坐标为13(,)55−，13

2()1055−−+=，即中点在直线210xy−+=上，又012PPk=−，直线210xy−+=的斜率是2，相乘等于1−，0PP与直线210xy−+=垂直，（2）正确；（3）圆心C到直线l的距离为1，圆半径为2，与直线l距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切，

因此圆上有3个点到直线:20lxy−+=的距离为1，（3）正确；（4）直线1yx=−过抛物线的焦点F(1,0)，直线1x=−是抛物线的准线，设1122(,),(,)AxyBxy，由抛物线定义得121ABxx=++，AB的中点1212(,)2

2xxyyM++到直线1x=−的距离为121122xxdAB+=+=，∴以AB为直径的圆恰好与直线1x=−相切.（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系等知识，在求直线与线段有

公共点时，要研究斜率不存在的直线是否与线段有公共点，以确定直线斜率范围是两斜率之间，还是两斜率之外．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.命题p：直线:340lxym−−=与圆()22:11Cxy−+=相交，命题:q方程22182xymm

+=−−表示焦点在x轴上的椭圆.（1）若命题p为真，求m的取值范围；（2）若命题pq为真，求m的取值范围.【答案】（1）()2,8−（2）()2,25,8−【解析】【分析】（1）由圆心到直线的距离小于半径求得p为真时m的范围．（2）由

方程表示焦点在x轴上椭圆求出m的范围，由p真且q为真得结论．【详解】解：（1）因为直线:340lxym−−=与圆()22:11Cxy−+=相交，所以223134m−+，解得28m−，即m的取值范围为()2,8−.（2）椭圆焦

点在x轴上，所以80,20,82,mmmm−−−−25mpq为真，p真q假.2528,mmm−或22m−或58m.所以m的取值范围为()2,25,8−.【点睛】本题考查由复合命题的

真假求参数取值范围，掌握复合命题的真值表是解题关键．pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真18.动点P到()1,0F的距离比到y轴的距离大1.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作斜率为1的直线l交曲线C于A，B两点，求OA

B的面积.【答案】（1）24yx=或()00yx=（2）22【解析】【分析】（1）题意转化为动点P到()1,0F的距离等于其到直线1x=−的距离，根据抛物线的定义可得轨迹方程，注意点P也可能在x轴负半轴上.（2）写出直线l方程1yx=−，设交点为()

11,Axy，()22,Bxy，直线方程与抛物线方程联立消元可得x的二次方程，由韦达定理得12xx+,从而的122ABxx=++，再由求出O到直线l的距离，由底乘高除以2得三角形面积．【详解】解：（1）由题意可知动点P到()1,0F的

距离等于其到直线1x=−的距离，由抛物线的定义可知动点P的轨迹C的方程为24yx=或()00yx=.（2）设直线l的方程为1yx=−，设直线l与曲线C交于()11,Axy，()22,Bxy，联立方程214yxyx=−=得2610xx−+=126xx

+=，1228ABxx=++=.点O到直线l的距离12211d==+.所以1282222OABS==.【点睛】本题考查用抛物线定义求轨迹方程，考查抛物线的焦点弦的性质，在求轨迹方程时要注意点的轨迹不仅仅是抛物线，还含有一条射线，抛物线22(0)ypxp=的焦点

弦AB中，()11,Axy，()22,Bxy，则12ABxxp=++.19.如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是平行四边形，且90BAPCDP==.（1）证明：平面PDC⊥平面PAD；（2）若2PAPDAB===，60APD

=o，求四棱锥PABCD−的体积.【答案】（1）证明见解析（2）433【解析】【分析】（1）由ABCD∥及90BAPCDP==得CDDP⊥，CDAP⊥，从而有CD⊥平面PAD，于是可得面面垂直．（2）取AD的中点O，连接PO，证

明PO⊥平面ABCD，同时说明底面是正方形，即可求体积．【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD∥.又90BAPCDP==，即ABAP⊥，CDDP⊥，CDAP⊥，DP平面PAD，AP平面PAD，从而CD⊥平面PAD.又CD平面PCD，所以平面PDC⊥平

面PAD.（2）如图，取AD的中点O，连接PO.2PAPD==，60APD=o，POAD⊥，3PO=.又因为CD⊥平面PAD，PO平面PAD，AD平面PAD，CDPO⊥，CDAD⊥，四边形ABCD为正方形，又POAD⊥

，PO⊥平面ABCD，1143223333PABCDABCDVPOS−===.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积．证明面面垂直，一般要证线面垂直，而要证线面垂直，就是要证线线垂直，除了垂直以外，判定

定理中还有其他条件也应满足才能得出结论．20.已知直线:310laxya−−+=恒过定点P，过点P引圆()22:14Cxy−+=的两条切线，设切点分别为A，B.（1）求直线AB的一般式方程；（2）求四边形PACB的外接圆的标准方程.【答案】（1）26

0xy+−=（2）()2215224xy−+−=【解析】【分析】（1）直线方程整理成a的多项式，关于a恒成立，由恒等式知识可得定点坐标，过圆外一点的圆的切线有两条，先考虑斜率不存在的直线是否是切线，然后再求斜率存在的切线方程，本题中知道定点是P(3,1)，直线x=3是一条切线，

可知一切点为A(3,0)，由PCAB⊥可求得AB的斜率，从而得直线AB的方程．不需求另一切点坐标．（2）由切线性质知PC是四边形PACB的外接圆的直径，外接圆方程易求．【详解】（1）直线():13lyax−=−，直线l恒过定点()3,1P.由题意可知直线3x=是其中一条切线，且

切点为()3,0.101==312PCk−−，2ABk=−，所以直线AB的方程为()23yx=−−，即260xy+−=.（2）()()22=3110=5PC−+−PAAC⊥，PBBC⊥所以四边形PACB的外接圆时以PC为直

径的圆，PC的中点坐标为12,2，所以四边形PACB的外接圆为()2215224xy−+−=【点睛】本题考查求直线与圆相切的切点弦所在直线方程，求圆的方程，求圆的方程方法就是确定圆心坐标和圆半径，写出圆标准方程．求直线方程就是求出

直线斜率和直线所过的点，即可写出直线方程，本题直线AB方程可以由四边形PACB的外接圆方程与已知圆方程相减可得．21.如图，已知三棱锥PABC−，平面PAC⊥平面ABC，点E，F分别为PC、BC的中点，ABBC⊥，2PAABBC===，23PC=.（1）证明：//EF平面PAB；（2）

求平面PAC与平面PBC所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）60【解析】【分析】（1）由中位线定理得EFPB，即可得线面平行；（2）建立解析中的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．【详解】（1）因为点E，F分别为PC，BC的中点，所以EFP

B.PB平面PAB，EF平面PAB，EF∥平面PAB.（2）2ABBC==，ABBC⊥，由勾股定理得22AC=.23PC=.2224812PAACPC+=+==，故PAAC⊥.又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC平面ABCAC=，故P

A⊥平面ABC.以A为坐标原点，垂直于AC，AP的直线为x轴，AC为y轴正方向，AP为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0A，()2,2,0B，()002P,,，()0,22,0C，.故()0,22,2PC=−，()2,

2,0BC=−.显然平面PAC的法向量()1,0,0n=r.设平面PBC的法向量(),,mxyz=，则2220,0,0220,yzmPCmBCxy−===−+=令1y=有1,2,xz==故()

1,1,2m=.()211cos,21112mnmnmn===++.,60mn=，平面PAC与平面PBC所成角为60.【点睛】本题考查证明线面平行，考查求二面角．证明线面平行根据线面平行的

判定定理证明即可，而求二面角可以建立空间直角坐标系，用向量法求解．22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为22，过右焦点2F作直线l交椭圆C于A，B两点，1ABF的周长为42，点()2,0M.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM、BM的

斜率1k，2k，请问12kk+是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212xy+=（2）12kk+是定值,且为0【解析】【分析】（1）由1ABF的周长为42，得到442a=，即2a=.

再由离心率求得c，从而可得b，得椭圆方程．（2）直线l斜率不存在时，120kk+=，直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为()()10ykxk=−，()11,Axy，()22,Bxy，由直线方程与椭圆方程联立消元，可得1212,xxxx+，计算12kk+，并代入1212,xxxx+可得120kk

+=．这样就得出结论．【详解】（1）由1ABF的周长为42，得到442a=，即2a=.又因为22ca=，所以1c=，故2221bac=−=，所以椭圆C的方程为2212xy+=.（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为()()10ykx

k=−，()11,Axy，()22,Bxy，把直线l的方程代入2212xy+=，得()2222214220kxkxk+−+−=，则2122421kxxk+=+，21222221kxxk−=+，因为12121222yykkxx+=+−−1212(1)(1

)22kxkxxx−−=+−−()()()12121223422kxxkxxkxx−++=−−，而()()2233312122222223444128423440212121kkkkkkkkkkxxkxx

kkkkk−−−++−++=−+==+++.即120kk+=．当直线l与x轴垂直时，12kk=−，即120kk+=，所以120kk+=，即12kk+是定值.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．

在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线l的方程为()()10ykxk=−，设交点()11,Axy，()22,Bxy，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,xxxx+，计算12kk+并代入1212,

xxxx+求得结论．