【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练27　函数y=Asin（ωx φ）的图象及三角函数的应用.docx，共(8)页，85.324 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。二十七函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(2023·北京模拟)已知函数f(x

)=cos(2x-π6),g(x)=sin2x,将函数f(x)的图象经过下列变换可以与g(x)的图象重合的是()A.向左平移π3个单位长度B.向左平移π6个单位长度C.向右平移π3个单位长度D.向右平移π6个单位长度【解析】选

D.因为g(x)=sin2x=cos(2x-π2),所以将f(x)=cos(2x-π6)向右平移π6个单位长度得到y=cos[2(x-π6)-π6]=cos(2x-π2)=g(x).2.(5分)(2023·西安模拟)函数f(x)=2sin(x+5π6)sin(x+π3)图象的对称轴可以是()A.

直线x=5π12B.直线x=π3C.直线x=π6D.直线x=2π3【解析】选A.f(x)=2sin(x+5π6)sin(x+π3)=2sin[(x+π3)+π2]sin(x+π3)=2cos(x+π3)sin(x+π3)=sin

(2x+2π3),令2x+2π3=π2+kπ(k∈Z),解得x=-π12+𝑘π2(k∈Z),所以f(x)的对称轴为直线x=-π12+𝑘π2(k∈Z),当k=1时,x=5π12.3.(5分)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(

x)的解析式可能为()A.f(x)=sinπ𝑥2B.f(x)=cosπ𝑥2C.f(x)=sinπ𝑥4D.f(x)=cosπ𝑥4【解析】选B.若f(x)=sinπ𝑥2,则T=2ππ2=4,令π𝑥2=π2+kπ,k∈Z,则x=1+2

k,k∈Z,显然x=2不是对称轴,不符合题意;若f(x)=cosπ𝑥2,则T=2ππ2=4,令π𝑥2=kπ,k∈Z,则x=2k,k∈Z,所以x=2是一条对称轴,符合题意;若f(x)=sinπ𝑥4,则T=2ππ4=8,不符

合题意;若f(x)=cosπ𝑥4,则T=2ππ4=8,不符合题意.4.(5分)(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最

小值是()A.16B.14C.13D.12【命题意图】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,三角函数的图象和性质.【解析】选C.由题意知:曲线C为y=sin[ω(x+π2)+π3]=sin(𝜔𝑥+𝜔π

2+π3),又C关于y轴对称,则𝜔π2+π3=π2+kπ,k∈Z,解得ω=13+2k,k∈Z,又ω>0,故当k=0时,ω最小,最小值为13.5.(5分)(多选题)某次实验得交变电流i(单位:A)随时间t(单位:

s)变化的函数解析式为i=Asin(ωt+φ),其中A>0,ω>0,|φ|≤π2且t∈[0,+∞),其图象如图所示,则下列说法正确的是()A.ω=100πB.φ=π4C.当t=380时,i=0D.当t=980时,i=10【解析】选ABC.由题知T=2(0.0225-0.

0125)=0.02,则ω=100π,又A=10,则i=10sin(100πt+φ),所以当t=0时,10sinφ=5√2,则sinφ=√22,又|φ|≤π2,则φ=π4,因此i=10sin(100πt+π4),所以当t=380时,i=10sin

(100π×380+π4)=10sin4π=0,当t=980时,i=10sin(100π×980+π4)=10sin23π2=-10.因此ABC正确,D错误.6.(5分)(2023·陕西师大附中模拟)将函数f(x)=sinx+√3cosx-1的

图象向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列正确的是()A.直线x=2π3是g(x)图象的一条对称轴B.g(x)的最小正周期为2π3C.g(x)的图象关于点(11π6,-1)对称D.g(x)在[π,2π]上单调递增【解析】选C.由f(x)=sinx

+√3cosx-1=2(12sinx+√32cosx)-1=2sin(x+π3)-1,则f(x)图象向右平移π6个单位长度可得,g(x)=2sin(x-π6+π3)-1=2sin(x+π6)-1,因为2π3+π6=5π6,所以x=2π3不是g(x)图象的一条对称

轴,A错误;由2π1=2π,得g(x)的最小正周期为2π,B错误;由11π6+π6=2π,得点(11π6,-1)是g(x)图象的一个对称中心,C正确;由π≤x≤2π,得7π6≤x+π6≤13π6,所以g(x)在[π,2π]上有增有减,D错误.7.(5分)已知函数f(x)=2co

s(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(π2)=__________.【解析】由题意可得,34T=13π12-π3=3π4,所以T=π,ω=2π𝑇=2,当x=13π12时,ωx+φ=2×13π12+φ=2kπ,k∈Z,所以

φ=2kπ-136π(k∈Z).令k=1可得φ=-π6,据此有f(x)=2cos(2x-π6),f(π2)=2cos(2×π2-π6)=2cos5π6=-√3.答案:-√38.(5分)(2023·镇江模拟)写出一个同时具有下列性质①②③,且定义

域为实数集R的函数f(x)=__________.①最小正周期为2;②f(-x)+f(x)=2;③无零点.【解析】f(x)=12sin(πx)+1的定义域为R,最小正周期为T=2ππ=2;f(-x)+f(x)=12si

n(-πx)+1+12sin(πx)+1=-12sin(πx)+1+12sin(πx)+1=2;因为-1≤sin(πx)≤1,所以12≤f(x)≤32,所以f(x)无零点,综上,f(x)=12sin(πx)+1符合题意.答案:12sin(πx)+1(答案不唯一

)9.(10分)(2023·岳阳模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的最小正周期及解析式;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函

数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.【解析】(1)由题图可知y=f(x)的最大值为1,最小值为-1,故A=1;又𝑇4=2π3-5π12=π4=2π4𝜔,所以T=π,ω=2,将点(2π3,-1)代入y

=f(x),f(2π3)=sin(4π3+φ)=-1,所以4π3+φ=3π2+2kπ(k∈Z),φ=π6+2kπ(k∈Z),因为|φ|<π2,所以φ=π6.所以f(x)的最小正周期为π,解析式为f(x)=sin(2x+π6).(2)将y=f(x)的图象向

右平移π6个单位长度得到函数g(x)=sin[2(x-π6)+π6]=sin(2x-π6).因为x∈[0,π2],所以(2x-π6)∈[-π6,5π6],所以当2x-π6=-π6,即x=0时,g(x)min=-12;当2x-π6

=π2,即x=π3时,g(x)max=1.【能力提升练】10.(5分)已知函数y=sinxcosx的图象向右平移π6个单位长度,则平移后图象的对称中心为()A.(𝑘π2+π6,0)(k∈Z)B.(𝑘π2-π6,0)(k∈Z)C.(𝑘π2+π12,0)(k∈

Z)D.(𝑘π2-π12,0)(k∈Z)【解析】选A.将函数y=sinxcosx=12sin2x的图象向右平移π6个单位长度,得y=12sin[2(x-π6)]=12sin(2x-π3),由2x-π3=kπ,得x=𝑘π2+π6,k∈Z,即对称中心为(𝑘π2+

π6,0),k∈Z.11.(5分)(2024·长春模拟)已知函数f(x)=2cos(ωx-π3)+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是()A.(0,53]B.(23,53]C.

[53,76)D.[53,+∞)【解析】选A.因为x∈(0,2π),ω>0,所以ωx-π3∈(-π3,2ωπ-π3),画出y=2cosz+1的图象,要想图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则2ωπ-π3∈(-π3,3π],解得ω∈(0,

53].12.(5分)(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)中心对称,则()A.f(x)在区间(0,5π12)上单调递减B.f(x)在区间(-π12,11π12)有两个极值

点C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴D.直线y=√32-x是曲线y=f(x)的切线【解析】选AD.由题意得:f(2π3)=sin(4π3+φ)=0,所以4π3+φ=kπ,k∈Z,即φ=-4π3+kπ,k∈Z,又0<

φ<π,所以当k=2时,φ=2π3,故f(x)=sin(2x+2π3).对于A,当x∈(0,5π12)时,2x+2π3∈(2π3,3π2),由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)在(0,5π12)上单调递减,A正确;对于B,

当x∈(-π12,11π12)时,2x+2π3∈(π2,5π2),由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)只有1个极值点,由2x+2π3=3π2,解得x=5π12,即x=5π12为函数在此区间的唯一极值点,B错误;对于C,

当x=7π6时,2x+2π3=3π,f(7π6)=0,直线x=7π6不是曲线y=f(x)的对称轴,C错误;对于D,由y'=2cos(2x+2π3)=-1得:cos(2x+2π3)=-12,解得2x+2π3=2π3+2kπ或2

x+2π3=4π3+2kπ,k∈Z,从而得:x=kπ或x=π3+kπ,k∈Z,所以函数y=f(x)在点(0,√32)处的切线斜率为k=y'|x=0=2cos2π3=-1,切线方程为:y-√32=-(x-0),即y=√32-x,D正确.13.(5分)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin

(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)=__________.【命题意图】本题设计了三角函数与直线的相交问题,通过对图象的分析,能够找到试题的本质,考查直

观想象及数学运算的核心素养.【解题指导】设A(x1,12),B(x2,12),依题可得,x2-x1=π6,结合sinx=12的解可得,ω(x2-x1)=2π3,从而得到ω的值,再根据f(23π)=0以及f(0)<0,即可得f(x)=sin(4x-23π),进而求得f(

π).【解析】设A(x1,12),B(x2,12),由|AB|=π6可得x2-x1=π6,由sinx=12可知,x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ,k∈Z,由题图可知,ωx2+φ-(ωx1+φ)=5π6-π6=2π3,即ω(x2-x

1)=2π3,所以ω=4.因为f(2π3)=sin(8π3+φ)=0,所以8π3+φ=2kπ,即φ=-8π3+2kπ,k∈Z.所以f(x)=sin(4x-8π3+2kπ)=sin(4x-2π3),所以f(π)=sin(4π-2π3)=-√32.答案:-√3214.(10分)(2023

·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=2sinωxcosφ+2sinφ-4sin2𝜔𝑥2sinφ(ω>0,|φ|<π),其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4,__________,从以下两个条件中任选一个补

充在空白横线中.①函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y轴对称且f(0)<0;②函数f(x)的图象的一个对称中心为(π12,0)且f(π6)>0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐

标变为原来的1𝑡(t>0),纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)在区间[0,π3]上恰有3个零点,求t的取值范围.【解析】(1)由题意可得f(x)=2sinωxcosφ+2sinφ-4sin2𝜔𝑥2sinφ=2sinωxcosφ+2sinφ-sinφ(2-2co

sωx)=2sinωxcosφ+2cosωxsinφ=2sin(ωx+φ),由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4,故T=4×π4=2π𝜔,所以ω=2,故f(x)=2sin(2x+φ).若选①,函数f(x)的图象向

左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为y=2sin[2(x+π3)+φ],由题意知该函数为偶函数,故2π3+φ=π2+kπ,k∈Z,即φ=-π6+kπ,k∈Z,由于|φ|<π且f(0)<0,即sinφ<0,故φ=-π6,故f(x)=2sin(2x-π6).

若选②,函数f(x)的图象的一个对称中心为(π12,0)且f(π6)>0,则π6+φ=kπ,所以φ=-π6+kπ,k∈Z,由于|φ|<π且f(π6)>0,即sin(π3+φ)>0,故φ=-π6,故f(x)=2sin(2x-π6).(2)由题意可得g(x)=2

sin(2tx-π6),x∈[0,π3],所以(2tx-π6)∈[-π6,2π𝑡3-π6],由于y=g(x)在区间[0,π3]上恰有3个零点,故2π≤2π𝑡3-π6<3π,解得:134≤t<194.【素

养创新练】15.(5分)若函数y=f(x)的定义域内存在x1,x2(x1≠x2),使𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2=1成立,则称该函数为“互补函数”.函数f(x)=√32cos(ωx-π3)-12sin(ωx+2π3)(ω>0),则当ω=3时,f(π3)=__________;若f(x

)在[π,2π]上为“互补函数”,则ω的取值范围为__________.【解析】由函数f(x)=√32cos(ωx-π3)-12sin(ωx+2π3)=cos(ωx-π3-π6)=sinωx,当ω=3时,f(x)=sin3x,可得f(π3)=sinπ

=0.由“互补函数”的定义得∃x1,x2∈[π,2π](x1≠x2),使得f(x1)+f(x2)=2,即f(x)=sinωx在[π,2π]上至少存在两个极大值点,所以2T=2×2π𝜔≤2π-π即ω≥4显然符合题意.又T=2π𝜔≤π⇒ω≥2.当2≤ω<4时

,①若{𝜔π≤5π22𝜔π≥9π2合题意,94≤ω≤52.②若{5π2<𝜔π<4π2𝜔π≥13π2,所以134≤ω<4.综上,ω的取值范围是[94,52]∪[134,+∞).答案:0[94,52]∪[134,+∞)