【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练45 空间直线、平面的垂直.docx，共(15)页，288.937 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。四十五空间直线、平面的垂直(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)若m,n,l为空间三条不

同的直线,α,β,γ为空间三个不同的平面,则下列为真命题的是()A.若m⊥l,n∥l,则m⊥nB.若m⊥β,m∥α,则α⊥βC.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βD.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β【解析】选

AB.C中,α与β可能平行或相交;D中,α与β可能平行或相交.2.(5分)已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是()A.l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂αB.l⊥m

,m∥αC.α⊥β,l∥βD.l∥m,m⊥α【解析】选D.对于A,l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l与α相交、平行或l⊂α,故A错误;对于B,l⊥m,m∥α,则l与α相交、平行或l⊂α,故B错误;对于C,α⊥β,l∥β,则l

与α相交、平行或l⊂α,故C错误;对于D,l∥m,m⊥α,则l⊥α,故D正确.3.(5分)《九章算术》中将底面是矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面

ABCD,且PD=CD=BC,点E,F分别为线段PB,PC的中点.下列说法正确的是()A.四面体E-BCD和四面体F-BCD都是鳖臑B.四面体E-BCD和四面体F-BCD都不是鳖臑C.四面体E-BCD是鳖臑,四面体F-BCD不是鳖臑D.四面体E-BCD不是鳖臑,四面体F-B

CD是鳖臑【解析】选D.不妨设PD=CD=BC=2,则DE=BE=√3,BD=2√2,所以cos∠BED=DE2+BE2-BD22DE·BE=-13<0,即∠BED为钝角,所以△BDE为钝角三角形,则四面体E-BCD不是鳖臑;PD⊥底面ABCD,则PD⊥BC,又因为ABCD为正方

形,则CD⊥BC,PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD,PC,DF⊂平面PCD,则BC⊥DF,BC⊥PC,又因为PD=DC,且点F为线段PC的中点,则PC⊥DF,PC∩BC=C,所以DF⊥平面PBC,BF⊂平面PBC,则DF⊥BF,即可得CD⊥

BC,BC⊥PC,PC⊥DF,DF⊥BF,所以△BCD,△FBC,△CDF,△BDF均为直角三角形,则四面体F-BCD是鳖臑.4.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面

ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】选D.因为在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=A

B,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,又因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又因为AD⊥AB,AD∩CD=D,所以AB⊥平面ADC,即平面ABC

⊥平面ADC.5.(5分)如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是()A.BP⊥ACB.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PDD.平面PBD⊥平面ABCD【解析】选B.如图,取线段BP的中点O,连接OA,OC,

易得BP⊥OA,BP⊥OC,又OA∩OC=O,所以BP⊥平面OAC,所以BP⊥AC,故选项A正确;又AC⊥BD,BP∩BD=B,所以AC⊥平面PBD,所以AC⊥PD,故选项C正确;又AC⊂平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD,故选项D正确.6.(5分)(多选题)如图,梯形ABC

D中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,则下列结论可能正确的有()A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面BDF⊥平面BCFD

.平面DCF⊥平面BCF【解析】选BC.对于A,因为BC∥AD,AD与DF相交但不垂直,所以BC与DF不垂直,则A错误;对于B,设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3

∶4可使条件满足,所以B正确;对于C,当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以C正确;对于D,因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上,所以D错误.【加练备选】(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平

面,C为圆上异于A,B的任意一点,AE⊥PC,垂足为E,点F是PB上一点,则下列判断中正确的是()A.BC⊥平面PACB.AE⊥EFC.AC⊥PBD.平面AEF⊥平面PBC【解析】选ABD.对于A,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,而BC⊂底面圆面,则PA⊥BC,又由圆的性质可知A

C⊥BC,且PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,则BC⊥平面PAC,所以A正确;对于B,由A项可知BC⊥AE,由题意可知AE⊥PC,且BC∩PC=C,BC,PC⊂平面PCB,所以AE⊥平面PCB.而EF⊂平面PCB,所以AE⊥EF,

所以B正确;对于C,由B项可知AE⊥平面PCB,因而AC与平面PCB不垂直,所以AC⊥PB不成立,所以C错误;对于D,由B项可知,AE⊥平面PCB,AE⊂平面AEF,由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC,所以D正确.7.(5分)在正方体ABCD-A1B1C

1D1中,N为底面ABCD对角线的交点,P为棱A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列结论正确的是________.(填写所有正确结论的序号)(1)CM与PN是异面直线;(2)若P为棱A1D1的中点,则|CM|>|PN|;(3)过P,A,C

三点的正方体的截面一定不是等腰梯形;(4)平面PAN⊥平面BDD1B1.【解析】由A,N,C三点共线,M为AP的中点,可得直线CA,PM为相交直线,所以CM,PN为相交直线,故(1)错误;设正方体的棱长

为2,则AC=2√2,AP=√5,AM=√52,AN=√2,CM2=AM2+AC2-2AM·AC·cos∠PAC=54+8-2√10cos∠PAC=374-2√10cos∠PAC,PN2=AN2+AP2-2AN·AP·cos∠PAC=2+5-2√10cos∠PAC=7-2√10cos∠PAC

,CM2-PN2=374-7=94>0,即|CM|>|PN|,故(2)正确;在C1D1上取一点K,连接KP,KC,A1C1,使得PK∥A1C1,由A1C1∥AC,可得PK∥AC,则截面PKCA为过P,A,C的正方体的截面,由正方体的性质可得AP=CK,则过P,A,C三点的正方体的截面是等腰梯形,

故(3)错误;由正方形的性质可得AC⊥BD,B1B⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,可得B1B⊥AC,BD∩B1B=B,所以AC⊥平面BDD1B1,又AC⊂平面PAN,所以平面PAN⊥平面BDD1B1,故(4)正确.答案:(2)(4)8.(10分)如图所示,在直角梯

形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如图1),将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图2).(1)判断四边形BCEF是否是平面四边形,并写出判断理由;【解析】(1)结论:四边形BCEF不可能是平面

四边形.理由如下:若B,C,E,F共面,则由BC∥AD,BC∥平面ADEF,可推出BC∥EF,又BC∥AD,则AD∥EF,矛盾.所以四边形BCEF不可能是平面四边形.8.(10分)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,A

D∥BC,且DE=2AD=2AF(如图1),将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图2).(2)当EF⊥CF时,求证:平面ADEF⊥平面ABCD.【解析】(2)在平面ADEF中,易得EF⊥FD,又因为EF⊥CF,FD∩CF=F,所以EF⊥平面CDF,又CD⊂平面DCF,所以EF

⊥CD,又因为CD⊥AD,而AD,EF延长后相交,所以CD⊥平面ADEF,又因为CD⊂平面ABCD,所以平面ADEF⊥平面ABCD.【能力提升练】9.(5分)如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在平面ABC内的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直

线AC上D.△ABC内部【解析】选A.由AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,则AC⊥平面ABD,而AC⊂平面ABC,则平面ABC⊥平面ABD,因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上.【加练备选】如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=

90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部【解析】选A.由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以C1在平面AB

C上的射影H必在两平面的交线AB上.10.(5分)(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是()【解析】选BD.对于A,显然AB与CE不垂直,则直线AB与平面CDE不垂直;对于B,因为AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,所以AB⊥平面C

DE;对于C,显然AB与CE不垂直,所以直线AB与平面CDE不垂直;对于D,因为ED⊥平面ABC,则ED⊥AB,同理CE⊥AB,因为ED∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.11.(5分)在正方体ABCD

-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,请写出一个与A1O垂直的正方体的截面:________.【解析】如图,连接AC,BD,BG,DG,A1G,OG,A1C1,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,又AC∩A

A1=A,故BD⊥平面ACC1A1,因为A1O⊂平面ACC1A1,故BD⊥A1O,设正方体的棱长为2,则A1O=√AA12+AO2=√4+2=√6,OG=√OC2+CG2=√2+1=√3,A1G=√A1C12+C1G2=√8+1=3,故A1

G2=A1O2+OG2,故A1O⊥OG,OG∩BD=O,故A1O⊥平面GBD.答案:平面GBD(答案不唯一)12.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1上的一个动点,平面BED1交棱AA1于点F.给出下

列四个结论:①存在点E,使得A1C1∥平面BED1F;②存在点E,使得B1D⊥平面BED1F;③对于任意的点E,平面A1C1D⊥平面BED1F;④对于任意的点E,四棱锥B1-BED1F的体积均不变.其中,所有正确结论的

序号是________.【解析】①当E为棱CC1的中点时,F也为棱AA1的中点,此时A1C1∥EF;满足A1C1∥平面BED1F成立,所以①正确.②因为BD1⊂平面BED1F,所以若存在点E,使得B1D⊥平面BED1F,则B1D⊥BD1,则矩形BDD1B1是正方形或

菱形,在正方体中,BD=√2BB1.则矩形BDD1B1不可能是正方形或菱形,所以不可能存在点E,使得B1D⊥平面BED1F,所以②错误.③连接D1B,则D1B⊥平面A1C1D,而D1B⊂平面BED1F,

所以平面A1C1D⊥平面BED1F成立,所以③正确.④四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1-BB1E+VD1-B1BF,设正方体的棱长为1,因为无论E,F在何点,△BB1E的面积为12×1×1=12为定值,三棱锥D1-BB1E的高D1C1=1,保持不变.△BB1F的面积为1

2×1×1=12为定值,三棱锥D1-BB1F的高为D1A1=1,保持不变.所以三棱锥D1-BB1E和三棱锥D1-BB1F的体积均为定值,即四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1-BB1E+VD1-B1BF为定值,所以④正确.答案:①③④13.(10

分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=∠AA1C=90°,平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)求证:AA1⊥A1B;【解析】(1)因为平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,BC⊥AC,所以BC⊥平面AA1C1

C.又AA1⊂平面AA1C1C,所以BC⊥AA1.因为∠AA1C=90°,所以AA1⊥A1C.又因为BC∩A1C=C,所以AA1⊥平面A1BC.又A1B⊂平面A1BC,所以AA1⊥A1B.13.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=∠AA1C=90°,平面AA

1C1C⊥平面ABC.(2)若AA1=2,BC=3,∠A1AC=60°,求点C到平面A1ABB1的距离.【解析】(2)由(1)可知A1A⊥平面A1BC,A1A⊂平面A1ABB1,所以平面A1BC⊥平面A1ABB1,且交线为A1B,所以点C到平面A1ABB1的距离等于△CA1B的A1

B边上的高,设其为h.在Rt△AA1C中,A1A=2,∠A1AC=60°,则A1C=2√3.由(1)得BC⊥A1C,所以在Rt△A1CB中,BC=3,A1B=√21,h=BC·A1CA1B=6√77.故点C到平面A1ABB1的

距离为6√77.14.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.(1)求证:BG⊥平面PAD;【

解析】(1)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊂平面ABCD,所以BG⊥平面PAD.14.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠D

AB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.(2)求证:AD⊥PB;【解析】(2)如图,连接PG,因为△PAD为正三角形,G为线段AD的中点,所以PG⊥AD.由

(1)知BG⊥AD,又PG∩BG=G,所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.14.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.(

3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.【解析】(3)能,当F为线段PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:取线段PC的中点F,连接DE,EF,DF.在△PBC中

,FE∥PB,在菱形ABCD中,GB∥DE.而FE⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,PB⊂平面PGB,GB⊂平面PGB,PB∩GB=B,所以平面DEF∥平面PGB.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,PG⊥A

D,所以PG⊥平面ABCD.又PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.【素养创新练】15.(5分)正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角如图所示,M为

矩形AEFD内的一点,MO⊥EF于点O,如果∠MBE=∠MBC,tan∠MBO=12,那么线段MO的长为__________.【解析】设MO=x,x>0,由于平面AEFD⊥平面BEFC,且交线为EF,MO⊥EF,所以MO⊥平面BEFC,则MO⊥OB,所以tan∠MBO=

MOOB=xOB=12,则OB=2x,则OE=√4x2-1,OF=2-√4x2-1,BM=√5x,EM=√5x2-1,BE2+EM2=BM2,BE⊥EM.OC2=(2-√4x2-1)2+12,MC2=(2-√4x2-1)

2+12+x2,由于∠MBE=∠MBC,所以cos∠MBE=cos∠MBC,即1√5x=5x2+22-[(2-√4x2-1)2+12+x2]2×√5x×2,解得x=√22,即MO=√22.答案:√22