【文档说明】广东省中山市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 含解析.doc，共(19)页，1.144 MB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知0＜x＜1，0＜y＜1，记M＝xy，N＝x+y﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．M与N的大小关系不确定2．在△ABC中，角A，B，

C的边长分别是a，b，c，若a＝2，A＝45°，B＝60°，则b＝（）A．B．C．1D．23．在等差数列{an}中，若a4+a5+a6＝15，则a2+a8＝（）A．6B．10C．7D．54．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频

率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（）A．“宫、商、角”的频率成等比数列B．“宫、徵、商”的频

率成等比数列C．“商、羽、角”的频率成等比数列D．“徵、商、羽”的频率成等比数列5．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一水平面内的两个观测

点C和D，如图，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，则建筑物AB的高度为（）2A．30mB．15mC．5mD．15m7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的

正弦值等于（）A．B．C．D．8．已知平面向量满足：，，，则的最小值为（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．已知向量，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．10．下列式子，可以是x2＜1的一个充分不必要条件的有（）A．x＜1B．0＜x＜1C．﹣1＜x＜1D．﹣1

＜x＜011．设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（）3A．d＜0B．S6与S7是Sn的最大值C．S9＞S5D．a7＝012．下列函数中，最小值为的有（）A．B．C．y＝ex+2e﹣xD．y＝log2x

+2logx2三、填空题（共4小题）.13．命题∀x∈R，x2﹣2x+4≤0的否定为．14．抛物线y＝x2的准线方程是．15．已知关于x的不等式（mx﹣m2﹣6）（x+4）＜0（其中m∈R）的解集为A，若满足A∩Z＝B（其中Z为整数集），则使得集合B中元素个数

最少时m取值范围是．16．把半椭圆：和圆弧：（x﹣1）2+y2＝a2（x＜0）合成的曲线称为“曲圆”，其中点F（1，0）是半椭圆的右焦点，A1，A2分别是“曲圆”与x轴的左、右交点，B1，B2分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知∠B1FB2＝120°，过点

F的直线与“曲圆”交于P，Q两点，则半椭圆方程为（x≥0），△A1PQ的周长的取值范围是．四、解答题（共6小题）.17．已知函数f（x）＝mx2﹣mx﹣12．（1）当m＝1时，解不等式f（x）＞0；（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，求实数m的取值范围．18．已知点P（2

，m）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，直线l：y＝k（x﹣2）与抛物线C相交于不同的两点A，B．（1）求抛物线C的方程；（2）若|AB|＝16，求k的值．19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足．{bn

}为等差数列，其前n项和为Tn，如图___，Tn的图象经过A，B两个点．4（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和Rn.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．20．在△ABC中，角A，B，C的对

边分别为a，b，c，已知．（1）若a，b，c成等差数列，求cosB的值；（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sinA的值；若不存在，请说明理由．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角

形，BC⊥AB，BC＝CD＝2，AB＝AD＝2．（1）若PB＝3BE，求证：AE∥平面PCD；（2）若PC＝4，求二面角A﹣PC﹣B的正弦值．22．已知数列{an}满足：anan﹣1+2an﹣an﹣1＝0，（n≥2，n∈N），a1＝1，前n项和为Sn的数列{bn}满足：b1＝1，bn＝（n≥2，n

∈N），又cn＝（n≥2，n∈N）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：（n≥2，n∈N）．5参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知0＜x＜1，0＜y＜1，记M＝xy，N＝x+y﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．M与N的大小关系不确定解：

M﹣N＝xy﹣x﹣y+1＝x（y﹣1）﹣（y﹣1）＝（x﹣1）（y﹣1），∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴x﹣1＜0，y﹣1＜0，∴M﹣N＞0，∴M＞N．故选：B．2．在△ABC中，角A，B，C的边长分别是a

，b，c，若a＝2，A＝45°，B＝60°，则b＝（）A．B．C．1D．2解：由正弦定理知：，从而b＝＝＝2．故选：D．3．在等差数列{an}中，若a4+a5+a6＝15，则a2+a8＝（）A．6B．10C．7

D．5解：由等差数列的性质可得：a4+a6＝a2+a8＝2a5所以a4+a5+a6＝15，即3a5＝15，a5＝5，故a2+a8＝2a5＝2×5＝10，故选：B．4．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时

期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、6角”五个音阶．据此可推得（）A．“宫、商、角”的频率成等

比数列B．“宫、徵、商”的频率成等比数列C．“商、羽、角”的频率成等比数列D．“徵、商、羽”的频率成等比数列解：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a

，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故选：A．5．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．解：根据题意，双

曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则可以设其方程方程为x2﹣＝m，又由其过点，则有4﹣＝m，解可得m＝﹣1，则其方程为：x2﹣＝﹣1，其标准方程为：﹣x2＝1，故选：B．6．测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一水平面内的两个观测点C和D，如图，测得∠BCD

＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，则建筑物AB的高度为（）7A．30mB．15mC．5mD．15m解：由题意，在△BCD中，∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，∴∠CBD＝135°，又CD＝30m，由正弦

定理得＝，∴BC＝＝15；在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝BCtan60°＝15×＝15；则建筑物高AB为15m．故选：B．7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于

（）A．B．C．D．解：以C为坐标原点，在平面ABC中，过C作CB的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系，8因为AB＝1，AA1＝2，则有，故，设平面AA1C1C的法向量为，则有，取x＝1，则，设直线AD与平面AA1

C1C所成的角为θ，则．故选：B．8．已知平面向量满足：，，，则的最小值为（）A．B．C．D．解：⇒，所以可建立平面直角坐标系如图所示，使＝﹣＝（﹣1，0），＝＝（1，0），＝＝（0，1），＝＝（x，y），⇒由椭圆定义知，P点轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，2a＝4⇒a＝2，c＝1

，b＝，所以＝|BP|+|PF2|＝|BP|+4﹣|PF1|＝4﹣（|PF1|﹣|BP|）≥4﹣|BF1|＝4﹣9，当P运动到P′时等号成立，所以的最小值为4﹣．故选：A．二、选择题：本大题共4小题，每小题5

分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知向量，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．解：∵向量，∴＝（10，﹣5，﹣2），故A正确；＝（﹣2，1，﹣6），故B错误；＝24+6﹣8＝22，故C错误；||＝＝6，故D正确．故选

：BC．10．下列式子，可以是x2＜1的一个充分不必要条件的有（）A．x＜1B．0＜x＜1C．﹣1＜x＜1D．﹣1＜x＜0解：对于A，x＜1时，x2有可能大于1，比如﹣3＜1，（﹣3）2＞1，故A错误；对于B，0＜x＜1⇒x2＜1，故B正

确；对于C，﹣1＜x＜1⇔x2＜1，故C错误．对于D，﹣1＜x＜0⇒x2＜1，故D正确；故选：BD．11．设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（）10A．d＜0B．S6与S7是Sn的最大值C．S9＞S

5D．a7＝0解：设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2+…+a5+a6，即a6＞0，又∵S6＝S7，∴a1+a2+…+a6＝a1+a2+…+

a6+a7，∴a7＝0，故D正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d＝a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7＝0，a8＜0，显然C是错误的．∵S5＜S6，S6＝S7＞S8，∴S6与S7均为Sn的最

大值，故B正确；故选：ABD．12．下列函数中，最小值为的有（）A．B．C．y＝ex+2e﹣xD．y＝log2x+2logx2【解答】解；对于A：y＝x+≥2＝2，当且仅当x＝时，即x＝取等号，此时取得最小值2，故A成立；对于B：由0＜x＜π可得0＜sinx≤1，令t＝s

inx∈（0，1]，y＝t+在（0，1]上单调递减，当t＝1时取得最小值3，故B不成立；对于C：令t＝ex，则t＞0，则y＝t+≥2＝2，当且仅当t＝时，即t＝取等号，此时取得最小值2，C成立；对于D，由于log2x∈R，所以设log2x＝t，当

t＞0时，y＝log2x+2logx2＝log2x+＝t+≥2，当且仅当t＝时，即t＝取等号，此时取得最小值2；当t＜0时，y＝log2x+2logx2＝﹣[﹣t+（﹣）]≤﹣2，11当且仅当t＝时，即t＝﹣取等号，此时取得最大值﹣2．综上述y≤

﹣2或y≥2，故D不成立．故选：AC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13．命题∀x∈R，x2﹣2x+4≤0的否定为∃x∈R，x2﹣2x+4＞0．解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题∀

x∈R，x2﹣2x+4≤4的否定是：∃x∈R，x2﹣2x+4＞0．故答案是∃x∈R，x2﹣2x+4＞4．14．抛物线y＝x2的准线方程是y＝﹣1．解：由题意，抛物线的标准方程为x2＝4y，∴p＝2，开口朝上，∴准线方程为y＝﹣1，故答案为：y＝﹣

1．15．已知关于x的不等式（mx﹣m2﹣6）（x+4）＜0（其中m∈R）的解集为A，若满足A∩Z＝B（其中Z为整数集），则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是[2，3]．解：对m分类讨论：若m＝0，不等式化为：x+4＞0，解得x＞﹣4．∴A＝

（﹣4，+∞）．此时满足A∩Z＝B的B有无数个元素．若m＜0，不等式化为：（x﹣）（x+4）＞0，无论与﹣4的大小关系如何，此时满足A∩Z＝B的B有无数个元素．若m＞0，不等式化为：（x﹣）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜，此时满足A∩Z＝B的B有有限个元素．由f（m）＝，

f′（m）＝1﹣＝，可得m＝时，f（m）取得极小值即最小值，此时B中只含有8个元素，令＝5，解得m＝2，3．∴2≤m≤3．综上可得：使得集合B中元素个数最少时m取值范围是[2，3]．故答案为：[2，3]．16．把半椭圆：和圆弧：（x﹣1）2+y2

＝a2（x＜0）合成的曲线称为“曲12圆”，其中点F（1，0）是半椭圆的右焦点，A1，A2分别是“曲圆”与x轴的左、右交点，B1，B2分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知∠B1FB2＝120°，过点F的直线与“曲圆”交于P，Q两点，则半椭圆

方程为（x≥0），△A1PQ的周长的取值范围是（6，8]．解：由（x﹣1）2+y2＝a2（x＜0），令y＝0，可得x＝1﹣a以及A1（﹣1﹣a，0），再由椭圆的方程及题意可得A2（a，0），B2（0，b），B1（0，﹣b），由∠B1FB2

＝120°，可得，由F（1，0）可得，所以a＝2，所以半椭圆及圆弧的方程分别为（x≥0），（x﹣1）2+y2＝4（x＜0），所以，可得A1相当于椭圆的左焦点，△A1PQ的周长为PF+PA1+A1Q+QF，当P从A2（不包括A2）向B2运动时，PA+PF＝2a＝4，当Q在y轴

右侧时，A1Q+QF＝2a＝4，所以这时三角形的周长为8，当P从B2向A1运动时，Q在第四象限，则A1Q+QF＝2a＝4，PF+PA1≤2r+A1B2＝2+a＝4，这时三角形的周长小于8，当P运动到A1时，Q在A2处，不构成三角形，三角形的周长接近2A1A2＝6，由曲圆的对称性可

得P运动到x轴下方时，与前面的一样，综上所述，△A1PQ的周长的取值范围为（6，8]．故答案为：；（6，8]．13四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）＝mx2﹣mx﹣12．（1）当m＝1时，解不等式

f（x）＞0；（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，求实数m的取值范围．解：（1）函数f（x）＝mx2﹣mx﹣12．当m＝1时，解不等式f（x）＞0；即x2﹣x﹣12＞0因式分解得：（x﹣4）（x+3）＞0解得：﹣3＞x或x＞4．∴不等式的解集为{x|﹣3＞x或x＞4}．

（2）当m＝0时，此时f（x）＝﹣12，不等式f（x）＜0的解集为R，恒成立．当m≠0时，要使不等式f（x）＜0的解集为R，则m＜0，△＝b2﹣4ac＝m2+48m＜0，解得：﹣48＜m＜0．综上可得，实数m的取值范围是（﹣48，0]1

8．已知点P（2，m）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，直线l：y＝k（x﹣2）与抛物线C相交于不同的两点A，B．（1）求抛物线C的方程；（2）若|AB|＝16，求k

的值．解：（1）由抛物线的定义知，|PF|＝2+＝4，∴p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x．（2）∵抛物线C的方程为y2＝8x，∴F（2，0），14∴直线l过点F，设A、B两点的横坐标分别为x1，x2，联立，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴

x1+x2＝＝4+，∴|AB|＝x1+x2+4＝4++4＝16，解得k＝±1．19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足．{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图___，Tn的图象经过A，B两个点．（1）求

数列{an}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和Rn.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．解：（1）由，可得n＝1时，a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣（2n﹣2）＝2n，上式对n＝1也成立，所以数列{an}的通项公式为an＝2n

，n∈N*；（2）设等差数列{bn}的公差为d，选图①，可得T1＝1，T3＝﹣3，15即有b1＝1，3×1+×3×2d＝﹣3，解得d＝﹣2，则bn＝1﹣2（n﹣1）＝3﹣2n，anbn＝（3﹣2n）•2n，Rn＝1•2+（﹣1）•22+（﹣3）•23+…+

（3﹣2n）•2n，2Rn＝1•22+（﹣1）•23+（﹣3）•24+…+（3﹣2n）•2n+1，两式相减可得﹣Rn＝2﹣2（22+23+…+2n）﹣（3﹣2n）•2n+1＝2﹣2•﹣（3﹣2n）•2n+1，化简可得Rn＝（5﹣2n）•2n+1﹣10；选图②，可得T1

＝1，T3＝6，即有b1＝1，3×1+×3×2d＝6，解得d＝1，则bn＝1+（n﹣1）＝n，anbn＝n•2n，Rn＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，2Rn＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，两式相减可得﹣Rn＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1

，化简可得Rn＝（n﹣1）•2n+1+2；选图③，可得T1＝﹣3，T3＝0，即有b1＝﹣3，3×（﹣3）+×3×2d＝0，解得d＝3，则bn＝﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，anbn＝（3n﹣6）•2n，Rn＝（﹣3）•2+0•22+3

•23+…+（3n﹣6）•2n，2Rn＝（﹣3）•22+0•23+3•24+…+（3n﹣6）•2n+1，两式相减可得﹣Rn＝﹣6+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣6）•2n+1＝﹣6+3•﹣（3n﹣6）•2n+1，化简可得Rn＝（3n﹣9）•2n+1+18．20．在△ABC中，角A，B，

C的对边分别为a，b，c，已知．16（1）若a，b，c成等差数列，求cosB的值；（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sinA的值；若不存在，请说明理由．解：（1）若a，b，c成等差数列，所以a+c＝2b，由于．所以cosB＝＝，由于，所以．（2）假设B为直角，则sinB＝1，sin

C＝cosA，由于，根据正弦定理（sinA+sinC）sinB＝，即sinA+cosA＝，上式两边平方得：，所以（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0，由于0＜sin2A≤1，所以9sin2A+5＞0，4sin2A﹣5＜0，与（9sin

2A+5）（4sin2A﹣5）＝0矛盾，故不存在△ABC满足B为直角．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，BC⊥AB，BC＝CD＝2，AB＝AD＝2．（1）若PB＝3BE，求证：AE∥平面PCD；（2

）若PC＝4，求二面角A﹣PC﹣B的正弦值．17【解答】（1）证明：如图，作EF∥PC，交BC于F，连接AF．因为PB＝3BE，所以E是PB的三等分点，可得．因为AB＝AD＝2，，AC＝AC，所以△ABC≌△ADC

，因为BC⊥AB，所以∠ABC＝90°，因为，所以∠ACB＝∠ACD＝30°，所以∠BCD＝60°，因为，所以∠AFB＝60°，所以AF∥CD，因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AF∥平面PCD．又EF∥PC，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．因为AF∩

EF＝F，AF、EF⊂平面AEF，所以平面AEF∥平面PCD，所以AE∥平面PCD．（2）解：因为△PAB是等边三角形，AB＝2，所以PB＝2．又因为PC＝4，，所以PC2＝PB2+BC2，所以BC⊥PB．又BC⊥AB，AB，PB⊂

平面PAB，AB∩PB＝B，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD．在平面PAB内作Bz⊥平面ABCD．以B点为坐标原点，分别以BC，BA，Bz所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，则，A（0，2，0），

，所以，，，18．设＝（x1，y1，z1）为平面BPC的法向量，则，即，令z1＝﹣1，可得．设＝（x2，y2，z2）为平面APC的法向量，则，即，令z2＝1，可得．所以．则，所以二面角A﹣PC﹣B的正弦值为．22．已知数列{an

}满足：anan﹣1+2an﹣an﹣1＝0，（n≥2，n∈N），a1＝1，前n项和为Sn的数列{bn}满足：b1＝1，bn＝（n≥2，n∈N），又cn＝（n≥2，n∈N）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：（n≥2，n∈N）．解：（1）

由条件得anan﹣1+2an﹣an﹣1＝0⇒an﹣1＝2an+anan﹣1，易知an≠0，两边同除以anan﹣1得，又，故（n∈N*），（2）因为：（n≥2，n∈N），所以＝＝，故只需证，由条件＝＜19＜＝（n≥2，n∈N）一方面：当n＝2时

当n≥3，n∈N时，Sn＝b1+b2+…+bn＝，另一方面：当n≥2，n∈N时，bn＞0所以Sn＝b1+b2+…+bn≥1+1＝2所以当n≥2，n∈N时．