【文档说明】江苏省六校2021届高三下学期4月第四次适应性联合考试数学试题 含答案.docx,共(9)页,713.915 KB,由小赞的店铺上传
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江苏省六校联合2021届高三第四次适应性考试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后
,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。1.已知向量集合{|(12)(34)}M==+R,,,aa,{|(22)(45)}N==−−+R,,,aa,则MN=A.{(12)},B.{(22)}−−,C.{(12)(22)}−−,,,D.2.十六进制是一种逢1
6进1的计数制.我国曾在重量单位上使用过十六进制,比如成语“半斤八两”,即十六两为一斤.在现代,计算机中也常用到十六进制,其采用数字09和字母AF共16个计数符号.这些符号与十进制的数的对应关系如下表:十六进制0123456789ABCDEF十进制012345678910111
2131415例如,用十六进制表示:ED1B+=,则AB=A.6EB.72C.5FD.BD3.正三棱柱PABC−的高为2,侧棱与底面ABC成45角,则点A到侧面PBC的距离为A.3B.23C.355D.6554.用有机溶剂萃取水溶
液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法.根据能斯特分配定律,一次萃取后,溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度(单位:mol/L)之比为常数K,并称K为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数.现用一定体积的有机溶剂进行n次萃取,每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的10
10K+倍,溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为1.0mol/L,该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为20,则至少经过几次萃取,溶质在水溶液中的物质的量浓度低于51.010mol/L−?(假设萃取过程中水溶液的体积不变
.参考数据:ln31.099≈,ln102.303≈.)A.9次B.10次C.11次D.12次5.610341(1)(1)xx++展开式中的常数项为A.1B.46C.4245D.42466.学校组织开展劳动
实践,高二某班15名学生利用假期时间前往敬老院、消防队等场所劳动服务.经统计,该15名学生的劳动服务时长平均为20小时,标准差为s.后来经核实,发现统计的甲、乙两名同学的劳动服务时长有误.甲同学的劳动服务时长实际为20小时,被误统计为15小时;乙同学的劳动服务时长实际
为18小时,被误统计为23小时.更正后重新计算,得到标准差为1s,则s与1s的大小关系为A.1ss=B.1ss<C.1ss>D.无法判断7.已知向量≠ae,||1=e,且对任意tR,||||t−−≥aeae恒成立,则A.⊥aeB.()⊥−aaeC.()⊥−
eaeD.()()+⊥−aeae8.在平面直角坐标系xOy中,点A是抛物线22(0)ypxp=>上的一点,以抛物线的焦点F为圆心,以FA为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点,ABC△的面积为1283,记BFC=,若22si
nsin23cossin−=−,则p的值为A.4B.8C.42D.82二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.已知,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,下列说法正确的是A
.“经过两条平行直线,有且仅有一个平面”是空间图形的基本事实(公理)之一B.“若//,m,则//m”是平面与平面平行的性质定理C.“若//mn,m,n,则//m”是直线与平面平行的判定定理D.若//
,//m,//mn,n,则//n10.若0x>,0y>,且xyxy+=,则A.4xy+≥B.2xy≥C.2526xyxy+++≥D.2464211xyxy++−−≥11.已知椭圆1C:22221(0)xyabab+=>>的左右焦点分别为1F,2F
,离心率为1e,上顶点为P,且12PFF△的面积为2b.双曲线2C与椭圆1C的焦点相同,且2C的离心率为2e,M为1C与2C的一个公共点,若12π3FMF=,则A.213ee=B.1234ee=C.22122ee+=D.222158ee−=12.
设函数32ln2()lnexxaxfxbx+=+,下列说法正确的是A.若0ab==,()fx是奇函数B.若1a=,0b=,()fx在3()2+,单调递减C.若0a=,1b=−,()fx在(1)+,有
且仅有一个零点D.若0a≥,0b≥,1212121212()()()()(1)fxfxfxfxxxxxxx+−+−>>>三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.国际象棋中骑士(Knight)的
移动规则是沿着32格或23格的对角移动.若骑士限制在图中的3412=格内按规则移动,存在唯一一种给方格标数字的方式,使得骑士从左上角标1的方格内出发,依次不重复经过2,3,4,…,到达右下角标12的方格内,那么图中X处所标的数应为__________.14.写出一个使得230++=成
立的非零复数=__________.15.已知数列{}na为正项数列,11a=,nS为na的前n项和,且满足211nnnSaS++=+,则分别以1,nS,1na+为三边边长的三角形有一内角为定值__________,{}na
的通项公式为__________.(本题第一空2分,第二空3分.)16.在长方体1111ABCDABCD−中,13AB=,5AD=,112AA=,过点A且与直线CD平行的平面将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内,则在平面变化的过程中,这两个球的
半径之和的最大值为__________.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)设{}na是集合{22|0}tsstst+Z≤<且,,中所有的数从小到大排列成的数列,即13a=,25a=,36a=,4
9a=,510a=,612a=,….将{}na各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表.35691012…………………………………(1)写出该三角形数表的第四行、第五行各数(不必说明理由),并求100a;
(2)设{}nb是该三角形数表第n行的n个数之和所构成的数列,求{}nb的前n项和nS.18.(12分)1X312如图,在水平桌面上放置一块边长为1的正方形薄木板ABCD.先以木板的AD边为轴,将木板向上缓慢转动,得到平面11ABCD,此时1BAB的大小为π(0)2<<.再以木板的
1AB边为轴,将木板向上缓慢转动,得到平面121ABCD,此时211CBC的大小也为.(1)求整个转动过程木板扫过的体积;(2)求平面121ABCD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.19.(12分)在ABC△中,角A
,B,C所对的边分别为a,b,c,(3cos)tansin2BAA−=,ABC△的周长为8.(1)求b;(2)求ABC△面积的最大值.20.(12分)郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状,造型优美,空中
俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地,是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面,其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用,比如波的干涉图样为双曲线、反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.(1)已知A,B是在直线l两
侧且到直线l距离不相等的两点,P为直线l上一点.试探究当点P的位置满足什么条件时,||PAPB−取最大值;(2)若光线在平滑曲线上发生反射时,入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明:由双曲线一个焦点射出的光线,在双曲线上发
生反射后,反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.21.(12分)已知函数22()ln(1)1xfxxx=+−+.(1)求()fx的单调区间;(2)若不等式1(1)enan++≤对任意*nN恒成立,求a的取值范围.22.(12分)品酒师需定期接受酒味鉴别
功能测试,通常采用的测试方法如下:拿出*(4)nnnN≥且瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排
序.这称为一轮测试,根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以1a,2a,3a,…,na表示第一次排序时被排在1,2,3,…,n的n种酒在第二次排序时的序号,并令123|1||2||3|||nXaaana=−+−+−++−,则X是对两次排序的偏离程度的一种
描述.(1)证明:无论n取何值,X的可能取值都为非负偶数;(2)取4n=,假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下,1a,2a,3a,4a等可能地为1,2,3,4的各种排列,且各轮测试相互独立.①求X的分布列和数学期望;②若某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有2X≤,则
认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率,并据此解释该测试方法的合理性.江苏省六校联合2021届高三第四次适应性考试数学试题评分参考一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B2.A3.D
4.C5.D6.C7.C8.B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.CD10.ACD11.AC12.BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.814.
13i22−+(或13i22−−)15.π3(2分)223π14sin[()]32nna−=(3分)16.17230−四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)(1)第四行:1718
2024,(1分)第五行:3334364048,(2分)在该三角形数表中第t行中有t个数,其中第1s+个数为22ts+,(4分)设0010022tsa=+,则0000000(11)(1)(1)10022(11)(1)10012tttttts+−−++−−
−=+<≤,解得00148ts==,从而1481002216640a=+=.(6分)(2)01211(12)2(2222)2(1)2112nnnnnnbnnn−−=+++++=+=+−−,(8分
)故123223242(1)2nnSnn=+++++−,23412223242(1)22nnSnn+=+++++−,从而1114(12)(1)24212nnnnSnnnn−++−=+−−−=−−.(10分)考生若有其它解法,应给予充分尊重,并参照本标准评分
.18.(12分)(1)整个转动过程木板扫过的几何体由两个底面为圆心角为,半径为1的扇形,高为1的直棱柱组成,(2分)故其体积22(π11)2πV==.(4分)(2)以A为坐标原点,DA方向为x轴正方向,1AB方向为y轴正方向,建立如图所示的
空间直角坐标系Axyz−,则(000)A,,,(0cossin)B−,,,(100)D−,,,1(010)B,,,1(cos0sin)D−,,,(0cossin)AB=−,,,(100)AD=−,,,1(010)AB=,,,1(co
s0sin)AD=−,,,(6分)设()xyz=,,n是平面ABCD的一个法向量,则00ABAD==nn,即cossin00yzx−=−=,不妨令siny=,可取(0sincos)=,,n,(8分)同理平面
121ABCD的一个法向量(sin0cos)=,,m,(10分)设平面121ABCD与平面ABCD所成锐二面角为,则222222coscoscoscossincossincos===++,nm,所以平面121A
BCD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为2cos.(12分)考生若有其它解法,应给予充分尊重,并参照本标准评分.19.(12分)(1)因为(3cos)tansin2BAA−=,所以2(3cos)2sincossin2cos222BB
BAA−=,所以sin(3cos)sin(1cos)BAAB−=+,(2分)化简得3sinsinsincossincossinsin()BABAABAAB=++=++,又因为πABC++=,故3sinsinsi
n[π()]sinsinBAABAC=+−+=+,(4分)在ABC△中,由正弦定理得sinsinsinabcABC==,故3bac=+,从而48abcb++==,即2b=.(6分)(2)由于62acac=+≥,所以9ac≤,当且仅当3ac==时等号成
立,(7分)而1sin2ABCSacB=△,在ABC△中,由余弦定理得222cos2acbBac+−=,(9分)故2222222222222111sin(1cos)[1()]4442ABCacbSacBacBacac+−==−=−△222221()2[1()]
864842acacbacacac+−−=−=−≤,所以22ABCS△≤,故ABC△面积的最大值为22.(12分)考生若有其它解法,应给予充分尊重,并参照本标准评分.20.(12分)(1)不妨设A点到直线
l的距离比B点到直线l的距离大,作A点关于直线l的对称点A.当l为APB的平分线时,A,B,P三点共线,故PAPBPAPBAB−=−=,当l不是APB的平分线时,取这样的点P,则A,B,P能构成一个三角形,故PAPBPAPBAB−=−<,因此,当且
仅当P的位置使得l为APB的平分线时,||PAPB−取最大值.(4分)(2)不妨设双曲线的焦点在x轴上,半实轴长为a,左右焦点分别为1F,2F,入射光线1l从2F出射,入射点Q,反射光线2l,双曲线在Q点处的切线3l,3l在Q点处的垂线4l,由光的反射定律,1
l,2l关于4l对称,故1l,2l关于3l对称,要证:反射光线2l过点1F,只要证:3l是12FQF的角平分线,(7分)定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部,渐近线所在区域为双曲线的外部,由双曲线的定义,122FQFQa−=,对于双曲线内部的一点Q有12||2FQFQa−>,对于双曲
线外部的一点Q有12||2FQFQa−<,(9分)(命题:淮阴中学-朱振东兴化中学-姚楷徐州一中-赵嘉钰)又3l是双曲线在Q点处的切线,故在3l上有且仅有一点Q使得122FQFQa−=,3l上其他点Q均有122FQFQa−<,
故Q是3l上唯一使得12FQFQ−取最大值的点,(11分)又1F,2F到直线3l距离不相等,根据(1)中结论,可知3l是12FQF的角平分线,故反射光线2l过点1F,命题得证.(12分)考生若有其它解法,应给予充分尊重,并参照本
标准评分.21.(12分)(1)()fx的定义域(1)−+,,22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)xxxxxxxfxxxx++++−−=−=+++,(1分)令2()2(1)ln(
1)2gxxxxx=++−−,(1)x−+,,()2ln(1)2gxxx=+−,(2分)令()2ln(1)2hxxx=+−,(1)x−+,,2()21hxx=−+,当10x−<<时,()0hx>,当0x>时,()0hx<,(3
分)所以()hx在(10)−,单调递增,在(0)+,单调递减,又(0)0h=,故()0hx≤,即当1x−>时,()0gx≤,所以()gx在(1)−+,单调递减,(4分)于是当10x−<<时,()(0)0gxg=>
,当0x>时,()(0)0gxg=<,所以当10x−<<时,()0fx>,当0x>时,()0fx<,所以()fx的单调递增区间为(10)−,,单调递减区间为(0)+,.(6分)(2)不等式1(1)enan++≤*()nN等价于1()ln(
1)1nan++≤,又111n+>,故11ln(1)ann−+≤,(8分)设11()ln(1)xxx=−+,(01]x,,222222(1)ln(1)()()(1)ln(1)ln(1)xxxfxxxxxxx++−==+++,又()(0)
0fxf=≤,故当(01]x,时,()0x<,(10分)所以()x在(01],单调递减,于是1()(1)1ln2x=−≥,故11ln2a−≤,所以a的取值范围为1(1]ln2−−,.(12分)考生若有其它解法,应给予充分尊重,并参照本标准评分.22.(12分)(1)首先有1
23|1||2||3|||0nXaaana=−+−+−++−≥,(1分)取绝对值不影响数的奇偶性,故123|1||2||3|||nXaaana=−+−+−++−与123123naaana−+−+−++−的奇偶性一致,而123123123(123)()0nnaaanana
aaa−+−+−++−=++++−++++=为偶数,故X的可能取值都为非负偶数.(3分)(2)①由(1)知当4n=时,X的可能取值为0,2,4,6,8,4411(0)A24PX===,1344C1(2)A8PX===,114244CC17(4)A24
PX++===,1111222244CCCC13(6)A8PX+++===,1244C111(8)A6PX++===,所以X的分布列为X02468P124187243816(8分)从而X的数学期望11731()0246852482486EX=
++++=.(9分)②记“在相继进行的三轮测试中都有2X≤”为事件A,“在某轮测试中有2X≤”为事件B,则111()(0)(2)2486PBPXPX==+==+=,(10分)又各轮测试相互独立,1111()()()()()666216PAPBB
BPBPBPB====,(11分)因为()PA表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率,而1()0.0046216PA=≈,该可能性非常小,所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力,而不是靠随机猜测,故这种测试方法合理.(12分)考生若有
其它解法,应给予充分尊重,并参照本标准评分.