【文档说明】北京市陈经纶中学2020届高三上学期开学摸底考试数学试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.679 MB，由小赞的店铺上传

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2020陈经纶高三数学上学期第一次摸底考试一、选择题1.已知集合10Axx=−，21xBx=，则AB=（）A.B.01xxC.0xxD.1xx【答案】B【解析】【分析】求出集合A、B即可.【详解】因为1Axx=，0Bxx

=，所以AB=01xx故选：B【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.2.已知a，3，b，9，c成等比数列，且0a，则33loglogbc−等于（）A.1−B.12−C.12D.1【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求

出.【详解】a，3，b，9，c成等比数列，则81bc=，227b=，∴213bbbcc==，∴333loglog113logbc==−−，故选：A.【点睛】该题考查的是有关等比数列与对数运算的综合题，涉及到的知识点有等比数列的性质

，对数式运算法则，属于基础题目.3.在ABC中，若::4:5:6abc=，则其最大内角的余弦值为（）A.18B.14C.310D.35【答案】A【解析】【分析】先根据大边对大角定理判断出ABC的最大角，再利用余弦定理求解即可.【详解】::

4:5:6abc=，则C为ABC的最大内角，设()40att=，则5bt=，6ct=，由余弦定理得()()()2222224561cos22458tttabcCabtt+−+−===故选：A.【点睛

】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，涉及大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.4.将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种．A.72B.36C.64D.81【答案】B【解析】【分析】先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它

同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果.【详解】解：将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有234336CA=．

【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏．5.毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“

到长城”是“好汉”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先理解诗词意义，再利用充分性和必要性的定义去判断即可．【详解】解：根据对毛主席诗词的理解得：好汉一定到长城，但是到了长城不一

定是好汉，故“到长城”是“好汉”的必要条件．故选：B.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，其中对题意的理解是关键，是基础题．6.若等差数列na的前n项和为nS，且130S=，3421aa+=，则7S的值为（）．A.21B.6

3C.13D.84【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d，1a，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】解：因为130S=，3421aa+=，所以111313602521adad+=+=，解可得，3d=

−，118a=，则7171876(3)632S=+−=．故选：B．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．7.在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动

，每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为13,22，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是()A.31,22B.13,22−C.3,221−

D.31,22−−【答案】C【解析】【分析】计算出运动3分钟时动点M转动的角，再利用诱导公式可求得结果.【详解】每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为32122=.

设点M的初始位置的坐标为()cos,sin，则1cos2=，3sin2=，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是cos,sin22M++.由诱导公式可得3cossin22+=−=−，1sincos22+==

，所以，点M的坐标为3,221−.故选：C.【点睛】本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8.将函数sin(2)3yx=−图象上的点(,)4Pt向左平移s（0s）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin2yx=的图象上，则（）A.1

2t=，s的最小值为6B.32t=，s的最小值为6C.12t=，s的最小值为3D.32t=，s的最小值为3【答案】A【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t=−=，可得，因为P'位于函数sin2yx=的图象上所以，可得，s的最小值为，故

选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.9.设函数()(

)1xfxxe=−.若关于x的不等式()1fxax−有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（）A.(0,eB.(20,eC.20,2eD.211,2e+【答案】D【解析】【分析】利用导数分析函数()yfx=

的单调性与极值，作出函数()yfx=与1yax=−的图象，数形结合即可得解.【详解】()()1xfxxe=−，()xfxxe=，所以函数()yfx=的单调递减区间为(),0−，单调递增区间为()0,+，则函数()yfx=

在0x=处取得极小值，且极小值为()01f=−，又当1x时，()()10xfxxe=−，直线1yax=−恒过点()0,1−，所以可在同一直角坐标系中作出函数()yfx=与1yax=−的图象，如图所示，当0a时，若关于x的不等式()1fxax−有且仅有

一个整数解，则()()11221fafa−−，即20121aea−−，解得2112ea+；当0a时，由于直线1yax=−与x轴的负半轴交于点1,0a，当1xa时，关于x的不等式()1fxax−有无数个整数解，不合题意；综上所述，实数a的取值范围是2

11,2e+.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数确定函数的图象，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中等题.10.设()fx是定义在R上的函数，若存在两个不等实数1x，2xR，使得()()121222fxfxxxf+

+=，则称函数()fx具有性质P，那么下列函数：①()1,00,0xfxxx==；②()2fxx=；③()21fxx=−；具有性质P的函数的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据题意，

找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在1x，2xR，使得1212()()()22xxfxfxf++=．【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如1(1)(1)(1)11()(0)0222ffff+−+−−====，存在；②假设存在不相等

1x，2xR，使得1212()()()22xxfxfxf++=，即2221212()22xxxx++=，得12xx=，矛盾，故不存在；③函数为偶函数，(0)1f=，令2()|1|0fxx=−=，2x=，则22(2)(2)()(0)122ff

ff−+−===，存在．故选：C．【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，属于中档题．二、填空题11.在二项式()622x+的展开式中，8x的系数为________.【答案】60【

解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】二项式()622x+的展开式通项为：()6212216622rrrrrrrTCxCx−−+==，取2r=，则8x的系数为226260C=.故答案为：60.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能

力.12.能够说明“设a，b是任意非零实数”，若“ab，则11ab”是假命题的一组整数a，b的值依次为______.【答案】2，1−；(答案不唯一)【解析】【分析】取2,1ab==−，再使用反证法即可得出答案.【详解】取2,1ab==−，则ab

，但是1121−，即11.ab故答案为：2，1−.【点睛】本题考查了真假命题的定义及反例的应用，属于基础题目.13.已知数列na，0na，它的前n项和为nS，且22a是14a与3a的等差中项.若na为等比数列，11a

=，则7S=______.【答案】127【解析】【分析】根据已知条件列出方程，计算即可得解.【详解】因为数列na中，22a是14a与3a的等差中项.所以21344aaa=+，由0na，可得：244q

q=+，解得2q=，又11a=，所以777122112712S−==−=−.故答案为：127.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式中基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.14.设0,0,22xyxy+=，则xy的最大值为_____.【答案】12【解析】【分析】已知0x，0y

，22xy+=，直接利用基本不等式转化求解xy的最大值即可．【详解】0x，0y，222xyxy+…，即222xy…，两边平方整理得12xy„，当且仅当1x=，12y=时取最大值12；故答案为：12【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查转

化思想以及计算能力，注意基本不等式成立的条件．15.已知函数1,0()ln,0axxfxxx+=，给出下列三个结论：①当2a=−时，函数()fx的单调递减区间为(,1)−；②若函数()fx无最小值，则a的取值范围为(0,)+；③若1a

且0a，则bR，使得函数()yfxb=−.恰有3个零点1x，2x，3x，且1231xxx=-．其中，所有正确结论的序号是______．【答案】②③【解析】【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象

不妨设12301xxx，进而可得11bxa−=，2bxe−=，3bxe=，令111bxa−==−验证后即可判断③；即可得解.【详解】对于①，当2a=−时，由201e−，22(0)1()ln2ffee−−===，所以函数()fx在区间(,1)−不单调递减，故①错误；

对于②，函数1,0()ln,0axxfxxx+=可转化为1,0()ln,01ln,1axxfxxxxx+=−，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数()fx无最小值，则a的取值范围为(0,)+，

故②正确；对于③，令()0yfxb=−=即()fxb=，结合函数图象不妨设12301xxx，则1231lnlnaxxxb+=−==，所以11bxa−=，2bxe−=，3bxe=，所以231bbxxee−==，令111bxa−==−即1ba=−+，当0a时，11ba=−+，

()0yfxb=−=存在三个零点，且1231xxx=-，符合题意；当01a时，011ba=−+，()0yfxb=−=存在三个零点，且1231xxx=-，符合题意；故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查了分

段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.三、解答题16.从①前n项和2()nSnpp=+R，②13nnaa+=−，③611a=且122nnnaaa++=+，这三个条件中任选一个，补充到下面的

问题中，并完成解答．在数列na中，11a=，_______，其中*nN．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）若1,,nmaaa成等比数列，其中*,mnN，且1mn，求m的最小值．【答案】选择①：（Ⅰ）*21()nannN=−；（Ⅱ）5．选择②：（Ⅰ）32()nann=−N*；（Ⅱ）6

．选择③：（Ⅰ）*21()nann=−N；（Ⅱ）5．【解析】【分析】（Ⅰ）选择①，由11aS=求得p的值，再由()12nnnaSSn−=−可求得数列na的通项公式；选择②，可知数列na是以3为公差的等差数列，进而可求得数列na的通项公式；选择③，可知数列na是等

差数列，求出公差d的值，进而可求得数列na的通项公式；（Ⅱ）由21nmaaa=可得出m关于n的表达式，进而可求得m的最小值．【详解】选择①：（Ⅰ）当1n=时，由1111aSp==+=，得0p=.当2n时，由题意，得()21nSn=−，所以()1212nnnaS

Snn−=−=−．经检验，11a=符合上式，所以()21nannN=−；（Ⅱ）由1a、na、ma成等比数列，得21nmaaa=，即()()221121nm−=−．化简，得2211221222mnnn=−+=−+，因为m、n是大于1的正整数，且mn，

所以当2n=时，m有最小值5．选择②：（Ⅰ）因为13nnaa+=−，所以13nnaa+−=．所以数列na是公差3d=的等差数列.所以()()()1113132naandnnnN=+−=+−=−；（Ⅱ）由1a、na、ma成等比数列，得21nmaaa=，即()

()232132nm−=−．化简，得2222342333mnnn=−+=−+，因为m、n是大于1的正整数，且mn，所以当2n=时，m取到最小值6；选择③：（Ⅰ）由122nnnaaa++=+，得121nnnnaaaa+++−=−，所以数列na是等差数列，设等差

数列na的公差为d，又因为11a=，61511aad=+=，所以2d=.所以()()1121naandnnN=+−=−；（Ⅱ）因为1a、na、ma成等比数列，所以21nmaaa=，即()()221121nm−

=−．化简，得2211221222mnnn=−+=−+，因为m、n是大于1的正整数，且mn，所以当2n=时，m有最小值5．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.17.已知锐角ABC，

同时满足下列四个条件中的三个：①3A=②13a=③15c=④1sin3C=（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求ABC的面积.【答案】（1）ABC同时满足①，②，③，理由见解析（2）303【解析】【分析】（1）判断三角形的满足

条件，推出结果即可.（2）利用余弦定理求出b，利用面积公式求解ABC的面积.【详解】（1）ABC同时满足①，②，③.理由如下：若ABC同时满足①，④，则在锐角ABC中，11sin32C=，所以06C又因为3A=，所以32AC+所以2B，这与ABC

是锐角三角形矛盾，所以ABC不能同时满足①，④，所以ABC同时满足②，③.因为ca所以CA若满足④.则6AC，则2B，这与ABC是锐角三角形矛盾.故ABC不满足④.故ABC满足①，②，③.（2）因

为2222cosabcbcA=+−，所以222113152152bb=+−.解得8b=或7b=.当7b=时，22271315cos02713C+−=所以C为钝角，与题意不符合，所以8b=.所以ABC的面积1sin3032SbcA==.【点睛】本题主要考查解

三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目.18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A，B，C

三个社区的志愿者服务情况如下表：社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询A10030302020B12040352025C15050403030（1）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率；（2）从上表三个社区的志愿者中各任取

1人调查情况，以X表示负责现场值班值守的人数，求X的分布列；（3）已知A社区心理咨询满意率为0.85，B社区心理咨询满意率为0.95，C社区心理咨询满意率为0.9，“1A=，1B=，1C=”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询满意，“0A=，0B=，0C

=”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()AD，()BD，()CD的大小关系.（只需写出结论）【答案】（1）337（2）详见解析（3）()()()ACBDDD【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）先求出A，B，C三个社区负责现场值班

值守的概率，得出X的所有可能取值，并计算出相应的概率，即可得出分布列；（3）根据方差的意义进行判断即可.【详解】解：（1）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作”为事件D，()30310012015037PD==++.所以从上表三个社区的

志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率为337.（2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A，B，C三个社区负责现场值班值守的概率分别为310，13，13.X的所有可能取值为0，1，2，3.()7222814010339045PX====，

()3227127214041103310331033909PX==++==，()31232171119210331033103390PX==++=，()31131310339030PX===

=.X的分布列为：X0123P1445491990130（3）()()()ACBDDD【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列，属于中档题.19.已知函数2()e,xfxaxa=−R.（1）

当1a=时，求曲线()yfx=在点(0,(0))Af处的切线方程；（2）若()fx在区间(0,)+上单调递增，求实数a的取值范围；（3）当1a=−时，试写出方程()1fx=根的个数.(只需写出结论)【答案】（1）10xy−+=；（2）e2a；（3）2【解析】【分析】（1）当1a=时，2()ex

fxx=−，()e2xfxx=−，求出(0)f，(0)f，结合导数的几何意义，可求出曲线()yfx=在点(0,(0))Af处的切线方程；（2）()e2xfxax=−，由()fx在区间(0,)+上单调递增，可知()e20xfxax=−在(0,)+恒成立，进而可知e2xa

x在(0,)+恒成立，构造函数e()2xgxx=，求出()gx在(0,)+上的最小值min()gx，令min()agx即可；（3）构造函数()()1Txfx=−，讨论()Tx的单调性，并结合零点存在性定理，可得到()Tx的零点个数，即为

方程()1fx=根的个数.【详解】（1）当1a=时，2()exfxx=−，则()e2xfxx=−，所以0(0)e01f=−=，0(0)e01f=−=，所以曲线()yfx=在点(0,(0))Af处的切线方程为10yx−=−，即10xy−+=.（2）由题意，()e2xfxax=−，因

为()fx在区间(0,)+上单调递增，所以()e20xfxax=−在(0,)+恒成立，即e2xax在(0,)+恒成立，令e()2xgxx=，(0,)x+，则2e(1)()2xxgxx−=，所以(0,1

)x时，()0gx，此时函数()gx单调递减；(1,)x+时，()0gx，此时函数()gx单调递增，所以()gx在(0,)+上最小值为e(1)2g=，所以e2a.（3）当1a=−时，方程

()1fx=根的个数为2.证明如下：当1a=−时，2()exfxx=+，构造函数2()(11e)xTxfxx=−+−=，则()2exTxx=+，显然()yTx=在R上单调递增，因为0e(0)00T+=，1e(01)2T−−=−，所以()yTx

=存在唯一零点，设为()10mm-<<，故函数()Tx在(),m−上单调递减，在(),m+上单调递增，因为010)0e0(T+−==，所以()()00TmT=，所以()Tx在(),m+上存在唯一零点又因为11(1)

e11e0T−−−=+−=，所以()Tx在(),m−上存在唯一零点，故函数()Tx有2个零点，即方程()1fx=根的个数为2.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查

方程的根与函数的零点，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.20.已知函数()()24ln1fxaxx=−−，Ra.（1）当1a=时，求()fx的单调区间；（2）已知点()1,1P和函数()fx图象上动点()(),Mmfm，对任意2,1me+，直线PM倾斜角都是钝

角，求a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为()2,+，()fx的单调递减区间为()1,2；（2）1,4−.【解析】【分析】1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0或导数小于0，得到关于x的不等式，解之即可；（2）因为对任意2,1me+，直线PM倾斜角

都是钝角，化简最终转化为()1fm在区间2,1e+上恒成立，再通过研究()fx在2,1e+上的单调性求最值.【详解】简析：（1）当1a=时，()()24ln1fxxx=−−，定义域()1,+，()()()()22222142111xxxx

fxxxxx−−−+=−==−−−，()fx的单调递增区间为()2,+，()fx的单调递减区间为()1,2；（2）因为对任意2,1me+，直线PM的倾斜角都是钝角，故对任意2,1me+，直线PM的斜率小

于0，即()101fmm−−，()1fm，即()fx在区间2,1e+上的最大值小于1，()()2221axaxfxx−−=−，()1,x+，令()22gxaxax=−−，①当0a=时，()()4ln1fxx=−−在2,1e+上单调递减，()()max20

1fxf==，显然成立；②当0a时，二次函数()gx的图象开口向下，且()()012gg==−，()1,x+，()0gx，故()'0fx，()fx在()1,+上单调递减，故()fx在2,1

e+上单调递减，()()max240fxfa==，显然成立；③当0a时，二次函数()gx的图象开口向上，且()()012gg==−.所以()01,x+，当()01,xx时，()0gx.当()0,xx+时，()0gx

；所以()fx在区间()1,+内先递减再递增.故()fx在区间2,1e+上的最大值只能是()2f或()1fe+.()()21,11,ffe+即()241,141,aae+−，所以104a

.综上所述：a的取值范围为1,4−.【点睛】本题考查求函数的单调区间，考查利用导数讨论恒成立问题，考查分类讨论思想，属于中档题.21.对于正整数n，如果()*kkN个整数12kaaa，，，满足121kaaan，且12kaaan++

+=，则称数组()12kaaa，，，为n的一个“正整数分拆”.记12kaaa，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12nkfaaa，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为ng.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4nn，设()

12kaaa，，，是n的一个“正整数分拆”，且12a=，求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n，证明:nnfg;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”()12kaaa，，，与()12mbbb，，，，当且仅当km=且1122

kmababab===，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ)()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ)n为偶数时，2nk=，n为奇数时，12nk−=；(Ⅲ)证明见解析，2n=

，4n=【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n为偶数时，k最大为2nk=，当n为奇数时，k最大为12nk−=，得到答案.(Ⅲ)讨论当n为奇数时，0nf=，至少存在一个全为1的拆分，故nnfg，当n为偶数时，根据对应关系得到nnfg，再计算221fg==，442f

g==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n为偶数时，123...2kaaaa=====时，k最大为2nk=；当n

为奇数时，1231...2,3kkaaaaa−======时，k最大为12nk−=；综上所述：n为偶数，k最大为2nk=，n为奇数时，k最大为12nk−=.(Ⅲ)当n为奇数时，0nf=，至少存在一个全为1的拆分，故nnfg；当n为偶数时，设()12,,...,kaaa是每个

数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1kaaa−−−的均为奇数的“正整数分拆”，故nnfg.综上所述：nnfg.当2n=时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221fg=

=；当4n=时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3故442fg==；当6n时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正

整数分拆”，故nnfg.综上所述：使nnfg=成立的n为：2n=或4n=.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.