【文档说明】湖南省部分学校2024届高三上学期入学摸底考试数学试题+含解析.docx，共(18)页，929.271 KB，由小赞的店铺上传

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2024届高三入学摸底考试数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3

.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2230Axxx=−−，1,0,1,2,3,4B=−，则AB=（）A.0,1,2B.1,0,1−C.1,0,1,2−D.1,0,1,2,3−2.若复数z满足()()11i1iz+−=+，则在

复平面内，z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和2，圆台的高为3，则圆台的体积为（）A.21B.15C.7D.54.若圆心在第一象限的圆过点()2,0，且与两坐标轴都相切，则圆心到直线2110xy+−=的距离为（）A.1B

.655C.2D.55.已知函数()lnfxx=.若0ab，且()()fafb=，则2ab+的取值范围为（）A.)22,+B.)3,+C.()22,+D.()3,+6.已知函数()()2sin0,22fxx=+−

图象的相邻两条对称轴之间的距离为3，且关于点5,018对称，则的值为（）A.12B.6C.4D.37.甲、乙两位游客慕名来到张家界旅游，准备从天门山、十里画廊、袁家界、大峡谷4个景点中随机选择其中一个，在甲、乙两位游客选择的景点不同

的条件下，恰好有一名游客选择大峡谷景点的概率为（）A.14B.38C.12D.348.已知函数()()22exfxxa=−，其中aR，则“230ea−”是“函数()fx有两个极值点”的（）A.充分不必要条件B.必要

不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.在频率分布直方

图中，各小长方形的面积等于各组的频数B.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C.在残差图中，若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高D.若随机变量()22,N，()

40.84P=，则()240.34P=10.如图，在平面直角坐标系xOy中，阿基米德螺线与坐标轴依次交于点()11,0A−，()20,2A−，()33,0A，()40,4A，()55,0A−，…，则

下列结论正确的是（）A.点6A的坐标为()0,6−B.78OAA△的面积为56C.122nnnOAOAOA++=+（其中*nN）D.若12nnnAAA++△的面积为169，则n的值为1211.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDAB

CD−中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段11CD上的动点（含端点），以正方体中心O为球心的球与正方体的每条棱有且只有一个公共点，则下列结论正确的是（）A.球O的表面积为2B.球O在正方体外部的体积小于213−C.存在点P，使得MNNP⊥D.直线NP与平面ABCD所成角的正切值的

最小值为25512.已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为()1,0F，P是抛物线C上位于第一象限内的点，过点P且斜率为34的直线交抛物线C的准线l于点Q，点P在准线l上的射影为点R.若PQRPQF

=，则下列结论正确的是（）A.抛物线C的标准方程为24yx=B.90PFQ=C.169PF=D.四边形FPRQ的面积为625108三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量a，b满足22ab==，2

23ab+=，则向量a与b的夹角为______.14.已知23sincos3+=，则cos23+的值为______.15.已知函数()fx的定义域为R，()1fx+是奇函数，()()31fxfx+=−，()02f=−，则()202

31kfk==______.16.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，左、右顶点分别为1A，2A，以12FF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点P，且1245PAA

=，则双曲线C的离心率为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列na是等差数列，且123nnaan+=++.（1）求na的通项公式；（2）设数列nb满足2nanb

=，证明：数列nb是等比数列，并求数列nb的前n项和nT.18.（本小题满分12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin3sincossinsinABCBC=−.（1）求角B的大小；（2）若B的角平分线交AC于点D，且2BD=，求ABC

△面积的最小值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，90ABCCDA==，120BAD=，2ABAD==，E为PC的中点.（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若23PCP

D==，平面PCD⊥平面ABCD，求二面角BCPD−−的余弦值.20.（本小题满分12分）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为23；该应聘者应聘

乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为56，23，m，其中01m.技能测试是否通过相互独立.（1）若23m=，分别求该应聘者应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率；（2）若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，

该应聘者只能应聘其中一家，若以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，该应聘者更希望通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()()lnfxaxxxa=−R.（1）若10,2x，()1fx−，求a的取值范围；（2）当1a=时，记函数()(

)()ln1gxxfx=+−的最大值为M，证明：2M.22.（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点别为1F，2F，离心率为12，P是椭圆C上一动点，12PFF△面积的最大值为3.（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的

动直线l与椭圆C交于A，B两点，平面上一点D满足OAAD=，连接BD交椭圆C于点E（点E在线段BD上且不与端点重合），若25EABOABSS=△△，求原点O到直线l的距离的取值范围.2024届高三入学摸底考试·数学参考答案1.【答案】A【解析】由不等式2230xx−−，可得13x−

，即集合13Axx=−，又集合1,0,1,2,3,4B=−，所以0,1,2AB=.故选A.2.【答案】B【解析】因为()()11i1iz+−=+，所以()()()21i1i2i1i1i1i

1i2z+++====−−+，所以1iz=−+，所以z对应的点位于第二象限，故选B.3.【答案】C【解析】由已知圆台的体积为()()()()222211212373V=++=，故选C.4.【答案】D【解析】由题设可设圆心为

()(),0aaa，则圆的半径为a.故圆的方程为()()222xayaa−+−=，再把点()2,0代入得()()22220aaa−+−=，解得2a=，故圆的方程为()()22224xy−+−=，故所求圆的圆心为()2,2，故圆心到直线2110xy+−

=的距离2222211521d+−==+.故选D.5.【答案】D【解析】由()()fafb=得lnlnab=.根据函数lnyx=的图象及0ab，得lnlnab−=，01ab，所以1ba=.令()122gbabbb=+=+，根据对勾函数的

图象与性质易得()gb在()1,+上单调递增，所以()()13gbg=.故23ab+，故选D.6.【答案】B【解析】因为函数()()2sin0,22fxx=+−的两条相邻的对称轴之间的距离为3，所以23T=，即223

=，解得3=，从而552sin301818f=+=，即5sin06+=，所以()56kk+=Z，解得56k−+=，kZ，又22−，所以6=，故选B.7.【答案】C【解析】记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：

甲和乙恰好有一人选择大峡谷景点，由题知，()241144A3CC4PA==，()11231144CA3CC8PAB==，所以()()()318324PABPAPBA===，故选C.8.【答案】B【解析】由题意知：

()fx定义域为R，()()2212exfxax=−+，令()0fx=，则()212e2xax=+，令()()212exgxx=+，则()()()2222e212e44exxxgxxx=++=+，∴当()

,1x−−时，()0gx；当()1,x−+时，()0gx，∴()gx在(),1−−上单调递减，在()1,−+上单调递增，又()21eg−−=−，当12x−时，()0gx恒成立，∴()gx大致图象如图所示，则当210e2a−，即220ea−时，()gx与2ay=

有两个不同交点，此时()fx有两个零点，所以()fx有两个极值点；因为220ea−时，230ea−成立，()fx有两个极值点，但230ea−时，若2232eea−−，()()()2212e20xfxaxagx=−+=

−，所以()fx没有极值点，所以230ea−是函数()fx有两个极值点的必要不充分条件，故选B.9.【答案】BCD【解析】对于A，在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故A错误

；对于B，因为80.756=，故该组数据的第75百分位数为第6个数和第7个数的平均数10，故B正确；对于C，由残差定义，如果样本数据点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高，故C正确；对于D，根据正态分布密度函数的性质知()()4140.16PP=−=，∴()()040.16

PP==，()0410.1620.68P=−=，()()04240.342PP==，故D正确.故选BCD.10.【答案】ACD【解析】由题意，螺线与坐标轴依次交于()11,0A−，()20,2A−，()33,0A，()40,4A，()55,0A−，…，可知()60,6A

−，故选项A正确；可得nOAn=，11nOAn+=+，22nOAn+=+，所以122nnnOAOAOA++=+，故选项C正确；78OAA△的面积为7811782822OAOA==，故选项B错误；因为121121121

122AnnnnnnAAAOAAOAAnnnnSSSOAOAOAOA++++++++=+=+△△△()()()()211112122nnnnn=++++=+，又12nnnAAA++△的面积为169，可得()21

169n+=，解得12n=.故选项D正确.故选ACD.11.【答案】ACD【解析】对于A，如下图所示，正方体的棱切球O的半径22R=，所以球O的表面积为22422=，故A正确；对于B，若球体、正方体的体积分别为1V，2V，球O在正方体外部的

体积31242211323VVV−=−=−，故B错误；对于C，设CD中点为Q，连接MQ，PQ，若P为11CD中点，则PQ⊥平面ABCD，MN在面ABCD内，所以PQMN⊥，在NMQ△中，22112222M

NNQ==+=，1MQ=，所以222MNNQMQ+=，故MNNQ⊥，因为PQNQQ=，PQ，NQ平面NPQ，所以MN⊥平面NPQ，因为NP平面NPQ，所以MNNP⊥，故C正确；对于D，过点P

作PH⊥平面ABCD，连接NH，则直线NP与平面ABCD所成角为PNH，所以222111142tanPHNHDDPHHNH===++，当P在1C时，max1DH=，所以()min125tan5114PNH==+，故D正确.故选ACD

.12.【答案】ABD【解析】由已知2p=，故A正确；因为点P在准线l上的射影为点R，即PRQR⊥，所以PRPF=，因为PQRPQF=，即PQ为FQR的角平分线，所以90PFQQRP==，故B正确；点Q是斜率为34的直线

与抛物线准线的交点，PFQF⊥，如图所示，设2,4mPm，则直线PQ为2344mymx−=−，令1x=−，得21631216Qmmy−−=，由2222316312163121,2,20416216mmmmmmmFPFQm−−−

−=−−=−+=，整理可得()()3223812324380mmmmm−+−=+−=，则83m=，得168,93P，故225149mPR=+=，故选项C错误；由83m=，得直线PQ为3443yx=+，令1x=

−得71,12Q−，又81,3R−，从而2512RQ=，所以四边形FPRQ的面积为25256252912108PRQSPRRQ===△，故D正确.故选ABD.13.【答案】3【解

析】设向量a，b夹角为，由已知()22222244ababaabb+=+=++()2222421cos4123=++=，得1cos2=，又0,，所以3=.14.【答案】79【解析】因为23sincos3+=，所以311sincos223+=，所以1sinc

oscossin663+=，所以1sin63+=，所以2217cos212sin123639+=−+=−=.15.【答案】2【解析】因为()1fx+是奇函数，所以()()11fxfx+=−−，又()(

)31fxfx+=−，可得()()31fxfx+=−+，所以()()2fxfx+=−，所以()()()42fxfxfx+=−+=，所以()fx是周期为4的周期函数，因为()()2fxfx+=−，所以()()240ff+=，()()130ff+=，

所以()()()()()()()202315061234202402kfkffffff==+++−=−=.16.【答案】5【解析】连接OP，由已知12PFPF⊥，在12RtPFF△中，1212OPFF

c==，在2OPA△中，2tanbPOAa=，则2cosaPOAc=，又2OAa=，则由余弦定理得22222222cosPAOPOAOPOAPOA=+−，解得2PAb=，由22222OPOAPA+=知22PA

OA⊥，即212PAAA⊥（由题意，联立方程222xycbyxa+==，可求得点P的坐标为(),Pab），所以在12RtPAA△中，21212tanPAPAAAA=，即12ba=，则2ba=，所以双曲线C的离心率215bea=+=.17.【解析】（1）

由已知na为等差数列，记其公差为d.当2n时，()1123213nnnnaanaan+−=++=+−+，两式相减得()()1121nnnnaaaa+−−=−+，……2分所以21dd=+，解得1d=，……3分当1n=时，21213aa=++，得()11214aa+=+，所以12

a=，……4分所以()2111nann=+−=+；……5分（2）由（1）知122nannb+==，所以211222nnnnbb+++==，……7分又14b=，所以数列nb是首项为4，公比为2的等比数列，……8分所以()()12141224112nnnnbqTq+−−===−−−（或(

)421n−；424n−）.……10分18.【解析】（1）因为3sin3sincossinsinABCBC=−，所以3sincossinsin3sin()BCBCCB−=+……1分3sincos3cossinCBCB=+，所以sinsin3sincosBCCB−=，……3分由于

0C，则sin0C，所以sin3cosBB−=，……4分即tan3B=−，又0B，所以23B=；……6分（2）因为B的角平分线交AC于点D，且2BD=，ABCABDBCDSSS=+△△△，根据三角形面积公式可得1211sinsinsin232323accBDaBD

=+，……8分又2BD=，得2()4acacac=+，得16ac，当4ac==时等号成立，……10分所以113sin1643222ABCSacB==△，即ABC△的面积最小值为43.……12分19.【解析】（1）取CD的中点O，连接EO，BO

，∵E为PC中点，∴EOPD∥，而EO平面PAD，PD平面PAD，∴EO∥平面PAD，……2分∵90ABCCDA==，120BAD=，∴60BCD=，又ABAD=，∴()1180120

302ADBABD==−=，∴903060CBDCDB==−=,∴BCD△为等边三角形，∴BOCD⊥，又ADCD⊥，∴BOAD∥，……4分而BO平面PAD，AD平面PAD，∴BO∥平面PAD，又EOBOO=，∴平面EOB∥平面PAD，而EB平面EOB，∴EB∥平面

PAD；……6分（2）∵PCPD=，∴POCD⊥.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，又BCD△为等边三角形，∴BOCD⊥，……7分∵在ABD△中，2ADAB==，120DAB=，∴23BD=，∵23PCPD==，∴()()222333PO=−=，在等边BCD△中，∵223B

DOD==，∴3ODOC==，3OB=.……8分以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则()3,0,0B，()0,3,0C−，()0,3,0D，()0,0,3P，∴()3,

0,0OB=，()3,3,0CB=，()0,3,3CP=，……9分设平面PCB的法向量为(),,nxyz=，所以330330nCBxynCPyz=+==+=，令1x=，则()1,3,1n=−，……10分∵OBCD⊥，∴PO⊥平面ABCD，平面P

CD⊥平面ABCD，∴BO⊥平面ABCD，∴平面PCD的一个法向量为()3,0,0OB=，……11分∴35cos,553nOBnOBnOB===，故二面角BCPD−−的余弦值为55.……12分另解：又BCD△为等边三角形，∴BOCD⊥，又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD

CD=，∴OB⊥平面PCD，过点O作OHPC⊥，连接BH，则BHCP⊥，故BHO为二面角BCPD−−的平面角.……9分∵在ABD△中，2ADAB==，120DAB=，∴23BD=，∵23PBPD==，∴()()222333PO=−=，在等

边BCD△中，∵223BDOD==，∴3ODOC==，3OB=.∴333223OCOPOHCP===，2222335322BHOBOH=+=+=，……11分所以352cos5352OHBHOBH===.故二面角BCPD−−的余弦值为55.……12分20.【解析】（1）设该应聘者

应聘甲公司恰好通过两项技能测试为事件A，应聘乙公司恰好通过两项技能测试为事件B，根据题意可得()223224C1339PA=−=，……2分()125225224C116336339PB=

−+−=；……5分（2）设该应聘者应聘甲公司通过的项目数为X，应聘乙公司通过的项目数为Y，根据题意可知，23,3XB，则()2323EX==，……6分()()52110111631818PYmm==−−−=−，……7分()()()5

25252711111111636363183PYmmmm==−−+−−+−−=−，……8分()()52525251211163636396PYmmmm==−+−+−

=−，()5253639PYmm===，……9分则随机变量Y的分布列为Y0123P111818m−71183m−5196m−59m……10分()7151531231839692EYmmmm=−+−+=+，……11分若

()()EYEX，则322m+，故112m，即m的取值范围是1,12.……12分21.【解析】（1）由10,2x，()1fx−，得1lnxaxx−，……1分令()1lnxhxxx−=，10,2x，则()

()2ln1lnxxhxxx−+=，……2分又10,2x时，ln1xx−，可知()0hx，所以()hx在10,2上单调递减，……4分所以()112ln2hxh=，故1ln

2a；……5分（2）由()()ln1lngxxxxx=+−+可知()gx的定义域为()0,+，因为()()1ln1txgxxx=−+=，……6分()()21101txxx=−−+，所以()gx在()0,+上单调递减，……7分()110

2g=，323ln0252g=−，存在031,2x，使得()00gx=，即001ln1xx=+，……8分当()00,xx时，()0gx，()gx单调递增，当()0,xx+时，()0gx，()gx单调递减

，所以()gx在0xx=处取得唯一极大值，也是最大值，……9分所以()()()000000000lnln1ln11xMgxxxxxxxx==+−+=+−++，……10分令()()1ln111xxxx=+++−+，31,2x，则()()21

01xxx=++，()x单调递增，……11分故()00003599ln1ln121221010xMxxx=+−+=+++，所以2M.……12分22.【解析】（1）设椭圆半焦距为c，点()00,Pxy，则0yb，则12120132P

FFSFFycb==△，即3bc=.……2分又12cea==，222abc=+，求得2a=，3b=，1c=，……3分所以椭圆C的标准方程为22143xy+=；……4分（2）如图所示，设()11,Axy，()22,Bxy，当直线l的斜率存在时，设直线l：()0ykxmm=+，与221

43xy+=联立可得()2224384120kxkmxm+++−=，且有122843kmxxk+=−+，212241243mxxk−=+，()()()()22284434120*kmkm=−+−.……5分()()()22221212121223

1243mkyykxmkxmkxxkmxxmk−=++=+++=+，……6分由OAAD=可得点A为OD中点，可得()112,2Dxy，且有25EABEABOABDABEBSSSSBD===△△△△，所以可得1212234343,555555OEODOBxxyy=+=++，即点E

的坐标为12124343,5555xxyy++，……7分将点E代入椭圆22143xy+=，可得2212121431431455355xxyy+++=，化简后，得222211221212169241254325432543xyxyxxyy

+++++=，……8分由于点A，B分别满足2211143xy+=，2222143xy+=，代入上式可得1212043xxyy+=，即1212340xxyy+=.……9分代入韦达定理可得22243mk=+，满足（*）式，……10分点O到直线

l的距离()2222223212211211kmmdkkkk+====−++++，由于20k，可得()2212k+，()2110221k+，所以()23122221k−+；……11分当直线l的斜率不存在时，

此时有12xx=，12yy=−，代入1212340xxyy+=，可得2211340xy−=，又2211143xy+=，可得12x=，所以直线l的方程为2x=，点O到直线l的距离为2.故原点O到直线l的距离的取值范围为6,

22.……12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com