【文档说明】专题3-9 利用导函数研究极值点偏移问题(原卷版）-高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（新高考专用）.docx，共(12)页，435.859 KB，由envi的店铺上传

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专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题目录专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题...................................................................................1........

........................................................................1题型一：对称化构造...................................................

....................................................................1题型二：比值代换法........................

...............................................................................................4题型三：对数均值不等式法.................

..........................................................................................6........................................

......................8题型一：对称化构造【典例分析】例题1．（2022·江苏南通·高三期中）已知()()32fxxaxa=−R，其极小值为-4.(1)求a的值；(2)若关于x的方程()fxt=在

()0,3上有两个不相等的实数根1x，2x，求证：1234xx+.例题2．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数()lnfxxx=−(1)求函数()fx单调区间；(2)设函数()()gxfxa=+，若(12,0,exx是函数()gx的两个零点，①求a的取值范围；

②求证：121xx．【提分秘籍】主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为0x)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点0x．(2)构造函数，即对结论1202xxx+型，构造函数0

()()(2)Fxfxfxx=−−或00()()()Fxfxxfxx=+−−；(3)对结论2120xxx型，构造函数20()()()xFxfxfx=−，通过研究()Fx的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论()Fx的单调性．(5)比较大小，即判断函数()Fx在某段区间上的正负，

并得出()fx与0(2)fxx−的大小关系．(6)转化，即利用函数()fx的单调性，将()fx与0(2)fxx−的大小关系转化为x与02xx−之间的关系，进而得到所证或所求．【变式演练】1．（2022

·福建·厦门外国语学校高二期末）已知函数()(0).exaxfxa=(1)若对任意的xR，都有1()efx恒成立，求实数a的取值范围；(2)设,mn是两个不相等的实数，且emnmn−=．求证：2.mn+2．（2

022·全国·高三专题练习）已知函数()()211ee1ee22xxfxx=−+++.(1)求()fx的极值.(2)若()()()123fxfxfx==，123xxx，证明：232xx+.3．（2022·河北·开滦第二中学高二期末）设函数()22ln1fxxmx=

−+．（1）当()fx有极值时，若存在0x，使得()01fxm−成立，求实数m的取值范围；（2）当1m=时，若在()fx定义域内存在两实数12xx，满足12xx且()()12fxfx=，证明：122xx+．4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()ln

1=−+afxxx（aR且0a）.(1)若函数()fx的最小值为2，求a的值；(2)在（1）的条件下，若关于x的方程()fxm=有两个不同的实数根12,xx，且12xx，求证：122xx+.题型二：比值代换法【典例分析】例题1．（2

022·全国·高二期末）已知函数()()3ln010fxaxxaa=+.(1)讨论()fx的单调性.(2)若函数()fx有两个零点12xx，，且12xx，证明：12310xx+.例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()lnfx

x=.(1)设函数()()lntgxxtx=−R，且()()gxfx恒成立，求实数t的取值范围；(2)求证：()12eexfxx−；(3)设函数()()1yfxaxaRx=−−的两个零点1x、2x，求证：2122exx.【提分秘籍】比值换元的

目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用t表示)表示两个极值点，即12xtx=，化为单变量的函数不等式，继而

将所求解问题转化为关于t的函数问题求解．【变式演练】1．（2022·四川成都·高三期中（文））已知函数()lnfxaxx=−有两个零点1x，2x.（1）求a的取值范围；（2）求证：212xxe.2．（2022·全国·高三专题练习）设函数()()3211232xfxexkxkx=−−+.（1）若1

k=，求()fx的单调区间；（2）若()fx存在三个极值点1x，2x，3x，且123xxx，求k的取值范围，并证明：1322xxx+.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()1ln22elnxfxxaxaR=−−，且()fx¢是函数()fx的导函数，(1)求函数(

)fx的极值；(2)当1a时，若方程()0fx=有两个不等实根()1212,,xxxx．（ⅰ）证明：121212lnlnxxxxxx−−；（ⅱ）证明：()120fxx．题型三：对数均值不等式法【典例分析】例题1．（2022·全

国·高三专题练习）已知函数()21ln12fxxxax=−+()aR（()fx为()fx的导函数）.(1)讨论()fx单调性；(2)设12,xx是()fx的两个极值点，证明：12101xx.例题2．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级

中学高三阶段练习）已知函数21()ln2fxxxax=−．(1)若()fx在(0,)+上单调递减，求实数a的取值范围．(2)若12,xx是方程()0fx=的两个不相等的实数根，证明：121xxa+．【提分秘籍】

两个正数a和b的对数平均定义：(),(,)lnln().ababLababaab−=−=对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2ababLab+（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅

当ab=时，等号成立．【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（1m）的大小；

（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()lnfxaxxa=++存在两个零点1x，2x.（1）求a的取值范围；（2）证明：121xx.一、单选题1．（2022·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足

2eeaa−=−，()4ln2ebb−=，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（）A．e−B．2e−C．3e−D．4e−2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()lnxfxx=，对于正实数a，若关于t的方程()aftft

=恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（）A．()1,8B．()2,8eC．()8,+D．()2,e+3．（2021·河南·郑州外国语中学高三阶段练习（理））关于函数()2lnfxxx=+，下列说法错误的是（）A．2x=是(

)fx的极小值点B．函数()yfxx=−有且只有1个零点C．存在正实数k，使得()fxkx恒成立D．对任意两个正实数1x，2x，且12xx，若()()12fxfx=，则124xx+4．（2021·江西·鹰潭一中高三阶段练习（文））关于函数2

()lnfxxx=+，下列说法正确的是（）A．2x=是()fx的极大值点B．函数()yfxx=−有2个零点C．存在正整数k，使得()fxkx恒成立D．对任意两个正实数12,xx，且12xx，若()()12fxfx=，则124xx+二、多选题5．（202

2·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知函数()22lnfxxax=−则下列结论正确的有（）A．当1a=时，1x=是()yfx=的极值点B．当1ea时，()0fx恒成立C．当12ea时，()yfx=有2个零点D．若12,xx是关

于x的方程()0fx=的2个不等实数根，则12exx6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数()lnfxxax=−，则下列说法正确的是（）A．若()0fx恒成立，则1aB．当0a时，()yfx=的零点只有1个C．若函数()

yfx=有两个不同的零点12,xx，则212exxD．当1a=时，若不等式()2elnxmmfx+恒成立，则正数m的取值范围是1,e+7．（2022·全国·高二专题练习）已知函数()lnxfxx=，则（）A．()()25ffB．若()fxm=有两个不相等的

实根1x、2x，则212exxC．2ln2eD．若23xy=，x，y均为正数，则23xy三、解答题8．（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）已知函数()lnfxx=.(1)证明：()1fxx+.(2)若函数()()2hxxf

x=，若存在12xx使()()12hxhx=，证明：1221exx.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(2)exfxxa=−.(1)求()fx的单调区间(2)若()fx的极值点为12−，且()()()fmfnmn=，证明：3()0efmn−+.10．（2022·江苏

常州·高三期中）已知函数()exfxax=−，()lngxaxx=−，Ra．(1)若()fx在x＝0处的切线与()gx在x＝1处的切线相同，求实数a的值；(2)令()()()Fxfxgx=+，直线y＝m与函数()Fx的图象有两个不同的交点，交

点横坐标分别为1x，2x，证明：121xx+．11．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数()lnfxxxaxa=−+．(1)若1x时，()0fx，求a的取值范围；(2)当1a=时，方程()fxb=有两个不相等的实数根12,xx，证明：121xx

．12．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））已知函数()ln(R)afxxax=+.(1)讨论()fx的单调性；(2)若()fx有两个不相同的零点12,xx，设()fx的导函数为()fx.证明：1122()()

2ln2xfxxfxa++.四、双空题13．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知函数()exxmfx+=的极大值点为0，则实数m的值为_________；设12tt，且211212lnlntt

tttt−=−，不等式12lnln+tt恒成立，则实数的取值范围为_____________．