【文档说明】北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，859.421 KB，由小赞的店铺上传

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牛栏山一中2023-2024学年第二学期4月考试高二数学2024.04第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一是符合题目）1.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为()242stt=−（()st的单位：m，t的单

位：s），则2t=时的瞬时速度为（）A.16m/sB.14m/sC.13m/sD.12m/s【答案】A【解析】【分析】利用导数求瞬时变化率.【详解】()242stt=−，则()8stt=，有()216s=，所以2t=时的

瞬时速度为16m/s.故选：A2.在()621x+的二项展开式中，二项式系数最大的项是（）A.第7项B.第3和第4项C.第4项D.第3项【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式系数性质直接求出结论.【详解】二项式()6

21x+的展开式有7项，所以二项式系数最大的项是第4项.故选：C3.已知函数()fxx=，则在(2,(2))f点处的切线斜率是（）A.2B.12C.2D.24【答案】D【解析】【分析】求出函数()fx的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率.的【详解】函数()

fxx=，求导得1()2fxx=，所以所求切线的斜率为12(2)422f==.故选：D4.下列函数的求导运算中，错误的是（）A.2(3e)23exxxx+=+B.(2sin3)2cosxx−=C.2ln1ln

()xxxx+=D.(cos)cossinxxxxx=−【答案】C【解析】【分析】利用基本函数的导数公式及导数的运算法则逐项求导判断即可.【详解】对于A，22(3e)()(3e)23exxxxxx+=+=+，A正确；对于B，(2sin3)(2s

in)(3)2cosxxx−=−=，B正确；对于C，221lnln1ln()xxxxxxxx−−==，C错误；对于D，(cos)cos(cos)cossinxxxxxxxx=+=−，D正确.故选：C5.下列函数中，在区间()0,+上单调递减

的是（）A.()12logfxx=−B.()2lnfxxx=−C.()2fxxx=−+D.()32133fxxx=−−+【答案】D【解析】【分析】利用导数求出各函数的单调区间，即可判断.【详解】对于A：()12logfxx=−定义域为()0,+，

且()101ln2fxx=−，所以()fx在区间()0,+上单调递增，故A错误；对于B：()2lnfxxx=−定义域为()0,+，()()()212121122xxxxxxxfx−+−=−==，所以当202x时()0fx¢>，当22x时()0

fx，即()fx在20,2上单调递增，在2,2+上单调递减，故B错误；对于C：()221124fxxxx=−+=−−+，所以()fx在1,2−上单调递增，在1,2+上单调递减，故C错误；对

于D：()32133fxxx=−−+定义域为R，又()()222fxxxxx=−−=−+，所以<2x−或0x时()0fx，当20x−时()0fx¢>，所以()fx在(),2−−，()0,+上单调递减

，在()2,0−上单调递增，故D正确.故选：D6.在0，1，2，3，4，5这6个数中任取4个，可组成无重复数字的四位数的个数（）A.240B.300C.320D.360【答案】B【解析】【分析】由分步乘法原理计算可得.【详解】分步完成，第一步，首位数字不能为零，有5种取法；第二步，其余三位数可以从

剩下的五位数中任取三位，共有35A60=种取法；所以一共有560300=种，故选：B.7.如图所示为函数()fx的导函数图象，则下列关于函数()fx的说法正确的有（）①单调减区间是[2,2]−；②4−和4都是极小值点；③没有最大值

；④最多能有四个零点.A.①②B.②③C.②④D.②③④【答案】C【解析】【分析】利用给定的导函数图象，求出函数()fx的单调区间，再逐一分析各个命题判断得解.【详解】观察图象知，当<4x−或04x时，()0fx，

当40x−或>4x时，()0fx，因此函数()fx在(,4),(0,4)−−上单调递减，在(4,0),(4,)−+上单调递增，函数()fx在[2,2]−上不单调，①错误；4−和4都是极小值点，②正确；函数()fx在0x=取得极大值，当()0f不小于函数()f

x在(,4),(4,)−−+上的所有函数值时，函数()fx有最大值，③错误；当(0)0f，(4)0,(4)0ff−，且函数函数()fx在(,4),(4,)−−+上的图象都与x轴相交时，函数()fx在(,4),(4,0),(0,4)

,(4,)−−−+上各有1个零点，共有4个零点，因此()fx最多能有四个零点，④正确，所以关于函数()fx的说法正确的有②④.故选：C8.若函数()2lnfxaxx=+存在极大值，则实数a的取值范围

是（）A.a<0B.0aC.0aD.0a【答案】A【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，分0a=、0a、a<0三种情况讨论，分别得到函数的单调性，从而确定函数的极值点，即可判断.【详解】函数()2lnfxaxx=+的定

义域为()0,+，又()()ln1fxax=+，当0a=时()2fx=为常数函数，不存在极值，故舍去，当0a时，令()0fx=，解得1ex=，则当10ex时()0fx，当1ex时()0fx¢>，所以()fx在10,e上单调递减，在1,e

+上单调递增，则()fx在1ex=处取得极小值，不存在极大值，不符合题意；当a<0时，令()0fx=，解得1ex=，则当10ex时()0fx¢>，当1ex时()0fx，所以()fx

在10,e上单调递增，在1,e+上单调递减，则()fx在1ex=处取得极大值，符合题意；综上可得a<0.故选：A9.对于R上可导的任意函数()fx，若当1x时满足()01fxx−，则必有（）A.()()()0221fff+B.

()()()0221fff+C.()()()0221fff+D.()()()0221fff+【答案】C【解析】【分析】根据给定不等式，得到函数()fx在1x、1x时的函数值变化关系，结合不等式性质推理得

解.【详解】由()01fxx−，得当10x−，即1x时，()0fx，函数()fx不单调递减，则(2)(1)ff；当10x−，即1x时，()0fx，函数()fx不单调递增，则(0)(1)ff；由不等式的性质得：()

()()0221fff+.故选：C10.已知函数321()43fxaxx=−+，若()fx有且只有一个零点0x，且00x，则实数a的取值范围是（）A.3(,)3−−B.3(,0)3−C.3(,)3+D.3(0,)3【答案】A【解析】【

分析】求出函数()fx的导数，按0,0,0aaa=分类，结合函数单调性、极值讨论函数的零点是否符合题设要求即可得解.【详解】显然0a，否则函数()fx有2,2−两个零点，不符合题意，函数321()43fxaxx=−+，求导得22()2()fxaxxaxxa=−=−，当0a时，由

()0fx，得0x或2xa，函数()fx在(,0)−上单调递增，8(2)0,(0)403faf−=−=，则函数()fx在(,0)−上有一个零点，不符合题意；当a<0时，由()0fx，得2xa或0x，由()0fx，得20xa，函

数()fx在2(,),(0,)a−+上单调递减，在2(,0)a上单调递增，当2xa=时，()fx取得极小值224()43faa=−，当0x=时，()fx取得极大值(0)4f=，而8(2)03fa=，则()fx在(0,)+上有唯一零点，因为()fx有且只有一个零点

0x，且00x，则当且仅当224()403faa=−，于是33a−，所以实数a的取值范围是3(,)3−−.故选：A第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.口袋中有4个红球，5个白球

，且都编有不同号码，现要从中取出1个白球和2个红球的不同取法有__________种.（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合应用问题列式计算即得.【详解】求不同取法种数，需要两步，先取出一个

白球，有15C种方法，再取出两个红球，有24C种方法，由分步计数乘法原理得不同取法有1254CC5630==（种）.故答案为：3012.()52x−的展开式中含3x的系数为__________．（用数字作答）【答案

】40【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求指定项的系数.【详解】()52x−的展开式中通项公式为515()C2rrrrTx−+=−，令53r−=，解得2r=，∴展开式中含3x项是第3项，它的系数是225C(2)40−=.故答案为：4

0.13.现有3名女生，3名男生要站成一排，则男生甲不能站在左端，并且3名女生必须相邻的不同排列方式有__________种.（用数字作答）【答案】108【解析】【分析】把3名女生视为一个整体，利用相邻问题及有位置限制的排列问题，列式计算即得.【详解】把3名女生视为一个整体，与除甲外的另2名男生任

选一个在左端，有13A种方法，再把甲与余下两个作全排列，有33A种方法，最后排相邻的3名女生，有33A种方法，所以不同排列方式有133333AAA366108==（种）.故答案为：10814.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长

1人，普通队员1人组成3人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法.（用数字作答）【答案】216【解析】【分析】根据题意，分为1女2男和2女1男，再利用排列、组合求解每类的种数，结合计数原理，即可求解.【详解】第一类，选1女2男，有1226CC30=种，

这3人选2人作为队长和副队有23A6=种，故有306180=种；第二类，选2女1男，有2126CC6=种，这3人选2人作为队长和副队有23A6=种，故有6636=种，根据分类计数原理共有18036216+=种，故答案为：21615.已知

函数2()exxxfx−=，下列命题中：①函数有且仅有两个零点；②函数()fx在区间()0,1和()1,2内各存在1个极值点；③函数不存在最小值；④()11,x+，()2,0x−，使得()()12fxfx；⑤存在负数a，使得方程()fxa=有三个不等的

实数根.其中所有正确结论的序号是_______________.【答案】①④【解析】【分析】求出()fx的定义域及导数，结合函数零点、极值点及最小值的意义逐一判断各个命题得解.【详解】函数2()exxxfx−=的定义域为R

，求导得231()exxxfx−+=−，对于①，由()0fx=，得0x=或1x=，函数()fx有且仅有两个零点，①正确；对于②，由()0fx=，即2310xx−+=，解得352x−=或352x+=，352x−或352x+时，()0

fx，当353522x−+时，()0fx，即3535,22−+是函数()fx的极值点，而3522+，②错误；对于③，显然函数()fx在3535(,),(,)22−+−+上递减，在3535(,)22−+上递增，而当1x时，()0fx恒成立，又()f

x的极小值35()(0)02ff−=，因此35()2f−是()fx的最小值，③错误；对于④，由于(1,)x+，()0fx恒成立，当x→+时，()0fx→，因为()00f=，所以2(,0)x−时，使得12()()fx

fx，④正确；对于⑤，显然当0x或1x时，()0fx，而当3502x−时，()fx递减，当3512x−时，()fx递增，且当01x时，()0fx，因此直线(0)yaa=与函数()yfx=的

图象最多有两个公共点，即方程()(0)fxaa=最多有两个不等的实数根，⑤错误，所以所有正确结论的序号是①④.故答案为：①④三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.）16.已知2nxx−的二项展开式中第二项

的系数与第三项的系数的和是48.（1）求n的值以及展开式的通项；（2）求展开式中的常数项；（3）直接写出展开式系数最大的项.【答案】（1）6n=，通项为()6216C2rrrrTx−+=−，0,1,2,,6r=；（2）160−；（3）2240x−【解析】【分

析】（1）写出通项公式()21C2rrnrrnTx−+=−，得到第二项和第三项的系数，得到方程，求出6n=，进而得到通项；（2）在（1）的基础上得到3r=，求出常数项；（3）当r为奇数时，项的系数为负数，当r为偶数时，项的系数为正数，列举出r为偶数时各项的系数，比较后得到

答案.【小问1详解】2nxx−的通项公式为()()21C2C2rrrnrrrnrrnnTxxx−−−+=−=−，第二项的系数为()1C22nn−=−，第三项的系数为()()2221C24222nnnnn−−==−，故

222248nnn−+−=，解得6n=，负值舍去，故展开式的通项为()6216C2rrrrTx−+=−，0,1,2,,6r=；【小问2详解】由（1）知()6216C2rrrrTx−+=−，0,1,2,,6r=，令620r−=，解得3r=，故()3

346C2160T=−=−，故常数项为160−；【小问3详解】系数最大的项为2240x−，理由如下：由通项公式可得，0,1,2,,6r=，当r为奇数时，项的系数为负数，当r为偶数时，项的系数为正数，故当0r=时，()006616C2Txx=−=

，当2r=时，()222236C260Txx=−=，当4r=时，()442256C2240Txx−−=−=，当6r=时，()666676C264Txx−−=−=，故展开式系数最大的项为2240x−.17.已知函数32()2fxxxax=−−+在1x=时取得极值.（1）求函数()fx

的单调区间；（2）求函数()fx在区间22−,上的最小值.【答案】（1）递增区间是1(,),(1,)3−−+，递减区间是1(,1)3−；（2）8−.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，由给定的极值点求出a值并验证，再解导数

大于0、小于0的不等式即得.（2）利用（1）中单调区间求出极小值及端点处的函数值即得.【小问1详解】函数32()2fxxxax=−−+，求导得2()32fxxxa=−−，由函数()fx在1x=时取得极

值，得(1)10fa=−=，解得1a=，此时2()321(31)(1)fxxxxx=−−=+−，显然1x=是()fx的变号零点，即1x=是极值点，因此1a=，1()3()(1)3fxxx=+−，当13x−或1x时，()0fx，当113−x时，()

0fx，所以函数()fx的递增区间是1(,),(1,)3−−+，递减区间是1(,1)3−.【小问2详解】由（1）知，函数32()2fxxxx=−−+的在1[2,),(1,2]3−−上单调递增，在1(,1)3−上单调

递减，32(2)(2)(2)(2)28f−=−−−−−+=−，32(1)11121f=−−+=，所以函数()fx在区间22−,上的最小值是8−.18.已知函数()ln1fxxx=+，()lngxxax=−，其

中aR.（1）求证：对任意()0,x+，总有()fxx恒成立；（2）求函数()gx在区间1,e上的最小值；（3）当0a时，求证：函数()()()hxfxgx=−在区间()1,+上存在极值.【答案】（1）证明见解析（2）()min1

,1e,eln,1eagxaaaaaa=−−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得ln10xxx+−对任意的()0,x+恒成立，令()ln1mxxxx=−+，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证；（2）求出函数的导函数，分0a、0a两种情

况讨论得到()gx在()0,+上的单调性，再结合所给区间，分3种情况讨论函数的最小值；（3）利用导数说明导函数单调性，以及隐零点的思想证明即可.【小问1详解】依题意()fxx对任意的()0,x+恒成立，即l

n10xxx+−对任意的()0,x+恒成立，令()ln1mxxxx=−+，()0,x+，则()lnmxx=，所以当01x时()0mx，当1x时()0mx，所以()mx在()0,1上单调递减，

在()1,+上单调递增，所以()()min10mxm==，则()0mx恒成立，即()fxx对任意的()0,x+恒成立；小问2详解】的的【因为()lngxxax=−，则()1axagxxx−=−=，①当0a时()0gx，所

以()gx在()0,+上单调递增，当1,ex时()()min11gxg==；②当0a则0xa时()0gx，xa时()0gx，即()gx在()0,a上单调递减，在(),a+上单调递增；又1,ex，所以当01a时()gx在1,e上单调递增，

所以()()min11gxg==；当ea时()gx在1,e上单调递减，所以()()mineegxga==−；当1ea，则()()minlngxgaaaa==−；综上可得()min1,1e,eln,1eagxaaaaaa

=−−.【小问3详解】因为()()()()ln1xhxfxgxxax=−=++−，()1,x+，则()ln1lnxaahxxxxx+=+−=+，令()()lnaFxhxxx==+，则()221axaFxxxx−=−=，因为a<0，所以()0Fx恒成立，所以()Fx即()

hx在()1,+上单调递增，又()10ha=，当x→+时lnx→+，0ax→()0a，所以()hx→+，所以()01,x+使得()00hx=，则当()01,xx时()0hx，()hx单调递减，当()0,xx+时()0hx，()hx单调递增，所以()hx在0x

x=处取得极小值，即函数()()()hxfxgx=−在区间()1,+上存在极值.19.已知函数()esinxfxx=.（1）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；（2）判断函数()fx在区间π(0,)2上的单调性；（3）是否存在π(0,)2x，使得()fxa

x成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）yx=；（2）递增；（3）存在，π22eπa.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）由导数值恒正判断函数()fx单调递增.（3）假定存在，分离参数构

造函数(es)inπ()0,2,xxgxxx=，利用导数探讨最大值即可得解.【小问1详解】函数()esinxfxx=，求导得π()esincos)2e(sin()4xxfxxxx=+=+，则(0)1f=，而(0)0f=，所以曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为yx

=.【小问2详解】当π(0,)2x时，ππ3π(,)444x+，2πsin()124x+，因此()0fx，所以函数()fx在区间π(0,)2上的单调递增.【小问3详解】假定存在π(0,)2x，使得()fxax成立，即存在π(0

,)2x，不等式esinxaxx成立，令(es)inπ()0,2,xxgxxx=，求导得esinsinco(s())xxxxxxgx=+−，令π(0)(),s2in,hxxxx=−，求导得()1cos0hxx=−，即函数()hx在π(0,)2上递增，则()(0)0hx

h=，即sin0xx，于是sin1xx，而πsincos2sin14xxx+=+，因此()0gx，函数()gx在π(0,)2上单调递增，π(0,)2x，π2π2e()()2πgxg=，则π22eπa，所以a的取值范围是π22eπ

a.20.设函数()()()2ln1fxxxax=++−，曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线斜率为1.（1）求a的值；（2）设函数()()gxfx=，判断函数()gx的零点的个数；（3）求证：

()0xfx.【答案】（1）1a=（2）0个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）求出()gx的导数，判断导数的正负，即可求得单调区间，再求出极小值，即可判断；（3）结合（2），可得()fx在

()1,−+为增函数，结合函数值的正负，即可证明结论.【小问1详解】由题意得()()()2ln1fxxxax=++−的定义域为()1,−+，又()()2ln11xfxxax+=++−+，因为()01f=，所以ln121a+−=，解得1a=.【小问2详解】由（

1）可得()()()2ln1fxxxx=++−，则()()()2ln111xgxfxxx+==++−+，()gx的定义域为()1,−+，()()()2211111xgxxxx=−=+++，令()0gx

=，得0x=，()gx与()gx在区间()0,+上的情况如下：x()1,0−0()0,+()gx−0+()gx单调递减极小值单调递增所以()gx的单调递减区间为()1,0−，单调递增区间为()0,+，又()0ln12110g=+−=，所以()0gx恒成立，所以函数()gx的零点的个数

为0；【小问3详解】由（2）得，在0x=时，()gx取得最小值1，所以()0fx¢>恒成立，所以()fx在()1,−+为增函数，又因为()00f=，当10x−时，()0fx，所以()0xfx；当0x时，()0fx，所以()0xfx，当0x=

时，()0xfx=，综上可得，()0xfx.21.已知数列A：1a，2a，…，na（120naaa，3n）具有性质P：对任意i，j（1ijn），jiaa+与jiaa−两数中至少有一个是该数列中的一项，nS为数列A的前n项和.（1）分别判断数列0，1，3与数列0，1，3，4是否具有

性质P；（2）证明：10a=，且2nnnaS=；（3）证明：当5n=时，1a，2a，3a，4a，5a成等差数列.【答案】（1）数列0,1,3不具有性质P，数列0,1,3,4具有性质P；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用数列新定义直接判断即可.（2）由定

义知nkaaA+，()1,2,3,,nkaaAkn−=，证得1nknkaaa+−−=，再利用累加法求和即可证得结论.（3）由（2）可证得54232aaaa=+=，利用定义知43aa−是数列A中项，可知432aaa−=，即可证得数列12345,,,,aaaaa是以0为首项，公差

为2a的等差数列．【小问1详解】由于134A+=，312A−=，所以数列0,1,3不具有性质P；10,10+−；30,30+−；40,40+−；31,31+−；41,41+−；43,43+−，六组数中，每一组至少有一个数属于0,1,3,4，所以数列0,1,3

,4具有性质P．【小问2详解】由数列()1212:,,,0,3nnAaaaaaan具有性质P，则nnaa−与nnaa+中至少有一个属于A，又0na，nnnaaa+，则nnaaA+，于是nnaaA−，即10a=；由A具有性质P可知nkaaA+

，()1,2,3,,nkaaAkn−=，因此1231nnnnnnnaaaaaaaaaa−−−−−−，即1nnaaa−=，21nnaaa−−=，32nnaaa−−=，，1nnaaa−=，上边n个式子累

加得：1211()nnnnnaaaaaaa−−++=+++，则nnnnaSS−=，所以2nnnaS=.【小问3详解】由（2）知，542aaa−=，533aaa−=，则54232aaaa=+=，而43352aaaa+=不是数列A中的项，则43aa

−是数列A中的项，于是133435aaaaaa−−=，则有432aaa−=，因此213243542aaaaaaaaa−=−=−=−=，所以数列12345,,,,aaaaa是以0为首项，公差为2a的等差数列.【点睛】方法点

睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函的数分析.计算特性，将复杂

的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.