【文档说明】2021-2022学年高一数学人教B版必修1教学教案：2.1.1 函数 （1）含解析【高考】.doc，共(15)页，611.500 KB，由小赞的店铺上传

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12.1函数第一课时(教学设计)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解构成函数的基本要素，理解并掌握函数的概念，熟悉用“区间”、“无穷大”等符号表示取值范围，在数学抽象、数学建模中体会对应关系在刻画函数概念中的作用．（二）学习目标1．通过实例，进一步体会函数是描述

变量之间的依赖关系的重要数学模型．2．学习用集合语言和对应关系刻画函数，并明确函数的基本要素，掌握判别两个函数是否相同的方法．3．会求一些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示．（三）学习重点1．体会函数的重要模型化思想，了解构成函数的要素并理解函数的概念．2．会求一

些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示．（四）学习难点1．体会并理解函数概念中的“任意性”和“唯一性”．2．符号“y=f(x)”的含义．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页至第18页，填空：设BA,是非空数集，如果按照某种确定的对应关系

f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()xf和它对应，那么就称BAf→:为从集合A到集合B的一个函数，记作()xfy=，Ax.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合()Ax

xf叫做函数的值域．2（2）写一写：区间(设a＜b)定义名称区间数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]{x|x≥a}半开半闭区间[a，＋∞){x

|x＞a}开区间(a，＋∞){x|x≤a}半开半闭区间(－∞，a]{x|x＜a}开区间(－∞，a)2．预习自测(1)()xf与()af的区别与联系？答：()af表示当ax=时函数()xf的值，是一个常量，而()xf是自变量x的函数，在一般情况下，它是一

个变量；()af是()xf的一个特殊值．(2)通过学习函数的概念，你觉得函数的基本要素有哪些？定义两个函数是否相等时，是否需要函数的几个基本要素必须都相同？答：基本要素有定义域、对应关系、值域。在判定两个函数是否为同一函数时，只需

判定两个函数的定义域和对应关系是否分别相同即可．这是因为只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，它们的值域就一定相同．(3)用区间表示下列集合①=−02xx________________；②=10xxx或____________

________；③函数()xxf=的定义域是____________。答案：0,2−；(()+−,10,；)+,03(二)课堂设计1．知识回顾初中函数定义：在一个变化的过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地_就确定了唯一的y值与之对应_，那

么我们称xy是的函数，其中x是自变量，y是因变量_．2．问题探究探究一引出新知●活动①整合旧知，感受学习新知的必要性。问题：研究下面三个实例：A.一枚炮弹发射后，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是

21305htt=−.B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.年份199119921993199419

95…恩格尔系数%53.852.950.149.949.9…讨论：以上三个实例中存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间是否有主动和被动关系?利用初中函数的概念能否判断他们是否为函数？【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，以三种不同

形式的变量间关系让学生体会初中函数概念的局限性（的值不一定一直变化y），从而需要从4新的高度来认识函数。●活动②抽象函数概念分析以上三个实例，结合之前所学的集合知识，能否试着将这种变量间的对应关系用集合的语言描述出来？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，函数概念：★设BA,是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()xf和它对应，

那么就称BAf→:为从集合A到集合B的一个函数，记作()xfy=，Ax.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域（domain），与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合()Axxf叫做函数的值域

（range）．【设计意图】体会概念的提炼、抽象过程．探究二辨析新知●活动①▲明确定义域、值域概念．抢答：下列对应是否为函数，若是函数，说出定义域与值域．【答案】①是函数，一对一的函数，定义域A＝{1，2，3}，值域C＝{4，5

，6}＝B；②是函数，一对一的函数，定义域A＝{1，2，3}，值域C＝{4，5，6}⊆B＝{4，55，6，7}；③是函数，多对一的函数，定义域A＝{1，2，3}，值域C＝{4，6}⊆B＝{4，5，6，}；④不是函数，因为不满足对于集合A中的任意一个数x，在集合B中

都有唯一确定的数()xf和它对应，也就是说，一对多的不是函数．显然，值域是集合B的子集。注意：(1)“A、B”是非空的数集，一方面强调了A、B只能是数集，即A、B中的元素只能是实数；另一方面指出来定义域、值域都不能是空集，也就是说，定义域为空集的函数是不存在的．

(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．(3)定义域、值域的结果应该写成集合形式．【设计意图】通过简单例子，加深对定义域，值域的理解．●活动②★▲正确理解函数符号()xfy=()xfyfx=→→产品加工器原材料如图，自变量x

相当于是原材料，对应关系f是加工器，而函数值y则是产品。故定义域、对应关系、值域是函数的三个基本要素。显然原材料和加工器确定了，产品也就会相应的确定下来，所以三个基本要素中若定义域和对应关系相同，则值域一定相同，这也是判断两个函数是否相等的重要依据．注意：(1)“()xfy=”是函数符号，可以用任

意()xgy=的字母表示，如“()xhy=”都可以；(2)函数符号“()xfy=”中的()xf表示与x对应的函数值，是一个数，而不是f乘x.如一次函数()12−=xxf，对应关系f的含义就是“乘2减1

”，故()11121=−•=f．【设计意图】通过“加工器”形象比喻，帮助学生正确理解抽象函数符号．●活动③抢答：()Rxxf=,1是函数吗？为什么？如果是，说说其定义域、对应关系、6值域．【设计意图】进一步体会高中函数定义的合理性，进一步加深对函数概念的

理解。探究三实例分析与课堂巩固★▲●活动①巩固基础检查反馈例1.判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数？①A＝B＝N*，f：x→y＝|x－3|；②A＝R，B＝{0，1}，f：x→y＝1（x≥0），0（x＜0）；

③A＝B＝R，f：x→y＝±x；④A＝Z，B＝Q，f：x→y＝1x；⑤(),,,,RRR==ByxyxA()yxsyxf+=→,:．【知识点】函数的概念及其构成要素．【数学思想】【解题过程】利用函数的概念进行判断．【思路点拨】注意非空数集、任意性、存在性、唯一性等要求．【答案】①

对于A中的元素3，在f作用下得0，但0∉B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中任意一个非负数都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数都有唯一元素0与之对应，所以是函数．③集合A中的负数，在B中没有元

素与之对应，故不是函数．④集合A中的元素0在B中没有元素和它对应，故不是函数．⑤集合A不是非空数集，故不是函数．同类训练1.下图中，能表示函数y＝f(x)的图像的是()【知识点】函数的概念及其构成要素.7【数学思想】【解题过程】对于A，B两图，可

以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x＝0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y＝f(x)。【思路点拨】注意非空数集、任意性、存在性、唯一性等要求．【答案】D例2下列各组函数是否表示同一个函数？(1)f(x)＝x，g(x)＝(x)2；(2)

f(x)＝x，g(x)＝(3x)3；(3)f(n)＝2n－1，(n∈Z)，g(n)＝2n＋1(n∈Z)；(4)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.【知识点】判断两个函数是否为同一函数.【数学思想】【解题过程】(1)定义域不同，不是同一函数．(2

)是同一函数．(3)虽然f(n)与g(n)的定义域及值域均相同，但对应法则不同，∴不是同一函数．(4)尽管表示自变量和对应法则的字母分别不相同，但它们的实质相同，因此是相同的函数．【思路点拨】只有当两个

函数的定义域、值域，对应法则都相同时，两个函数才表示同一函数，但由于值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域及对应法则相同，两函数即表示同一函数．【答案】(2)(4)表示同一函数同类训练2.下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(

x)＝x2，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x2－1x－1，g(x)＝x＋1D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1【知识点】判断两个函数是否为同一函数.8【数学思想】【解析过程】A项，中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．B项中，f(x)

＝|x|，g(x)＝x(x≥0)，∴两函数的定义域不同．C项中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1，∴两函数的定义域不同．D项中，f(x)＝x＋1·x－1(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；g(x)＝x2－1(x2－

1≥0)，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A项．【思路点拨】只有当两个函数的定义域、值域，对应法则都相同时，两个函数才表示同一函数，但由于值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域及对应法则

相同，两函数即表示同一函数．【答案】A●活动②强化提升、灵活应用例3.已知函数f(x)＝3x2＋2x求f(－2)，f(a)，f(a＋1)，f(2x)的值．【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】f(－2)＝3·(－2)2＋2·(－2)＝8，f(a)＝3·a2＋2·a＝3a2

＋2a，f(a＋1)＝3·(a＋1)2＋2·(a＋1)＝3(a2＋2a＋1)＋2(a＋1)＝3a2＋8a+5f(2x)＝3·(2x)2＋2·(2x)＝12x2+4x【思路点拨】回到定义中去！弄清对应关系f的含义，即如何将原材料x进行加工？就是将原材料平方的3倍加

上原材料的2倍。本例中()1+af是常数是函数值；而()xf2是函数表达式。【答案】略同类训练3.已知()11+−=xxxf，求()()xffxfaf,1,−．9【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】();1111−+=+−−−=−aaaaa

fxxxxxf+−=+−=1111111()()().111111111xxxxxxfxfxff−=++−−+−=+−=【思路点拨】回到定义中去！弄清对应关系f的含义。【答案】略活动③自主探究举一反三例4.设函数BAf→:，其中集合

，，集合4,3,2,13,2,1==BA求可构成多少个函数？【知识点】函数的概念.【解题过程】A集合任一元素在B集合中对应的函数值都有4种可能，故34个。【思路点拨】注意满足任意性和唯一性。【答案】64同类训练4.设函数BAf→:，其中集合个元素有个元素，集合有nBmA，求可构成多少个

函数？【知识点】函数的概念.【数学思想】【解题过程】A集合任一元素在B集合中对应的函数值都有n种可能，故有nm个．【思路点拨】注意满足任意性和唯一性．【答案】nm．3.课堂总结知识梳理（1）函数的概念：设BA,是非空数集，如果按照某种确定的对应

关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()xf和它对应，那么就称BAf→:为从集合A到集合B的一个函数，记作()xfy=，Ax.10其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域（domain），与

x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合()Axxf叫做函数的值域（range）．（2）函数的三要素：定义域、对应关系、值域。如果两个函数的定义域和对应关系相同则值域一定相同．（3）能正确使用“区间”表示取值范围．重难点归纳（1）正确理解函数概念中的“任意性”和“唯一性”，定义域就是非

空数集中的A，而值域则是集合B的子集．（2）符号“y=f(x)”的含义，对x所进行的计算相当于加工器对原材料x进行加工，对应关系f不变的情况下，其运算过程也就是加工过程不变．（三）课后作业基础型自主突破1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是()A．x＝2yB．3x＋2y

＝1C．x＝2y2＋1D．x＝y【知识点】函数的概念【数学思想】【解题过程】易知ABD是可以表示函数的【思路点拨】利用任意性，唯一性辨析【答案】C2．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于()A．π2B．πC.πD．不确定【知识点】函数的对应法则【

数学思想】【解题过程】因为π2∈R，所以f(π2)＝π.【思路点拨】辨析常数函数【答案】B解析113.下列函数f(x)和g(x)中，表示同一函数的是()A．y＝f(x)与y＝f(x＋1)B．y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈RC．f(x)＝x2，g(x)＝x3xD．f(

x)＝2x＋1与g(x)＝4x2＋4x＋1【知识点】判断两个函数是否为同一函数.【数学思想】【解题过程】判断定义域和对应关系【思路点拨】只要定义域和对应关系相同，值域则一定相同【答案】B4．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是()A．0B．3a2－1C．6a2－2D．6a

2【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.【思路点拨】正确运算，注意符号。【答案】A5．设f(x)＝xx2＋1，则f(1x)是()A．f(x)B．－f(

x)C.1f（x）D.1f（－1）【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】f(1x)＝1x（1x）2＋1＝x1＋x2＝f(x)．【思路点拨】正确理解f的含义，注意运算。【答案】A126．将下列集合用区间表示出来．(1){x|x≥

1}＝________；(2){x|2≤x≤8}＝________；(3){y|y＝1x}＝________．【知识点】区间与无穷的概念.【数学思想】【解题过程】逐一改写。【思路点拨】注意区间两端的开，闭。【答案】(1)[1，＋∞)(2)[2，8](3)(－∞，0)∪(0，＋∞)能力型师生共研7．

函数y＝f(x)的图像如图所示，那么f(x)的定义域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．【知识点】函数的定义域及其值域.【数学思想】【解题过程】观察函数图像可知f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；只与x的一个值对应的y值的范围是[1，2)∪(4，

5]．【思路点拨】根据定义仔细辨图识图。【答案】[－3，0]∪[2，3]；[1，2)∪(4，5]．8．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B对任意x∈A，x→y＝ax＋b是从A到B的函数，若输出值1和8分别对应的

输入值为3和10，求输入值5对应的输出值．【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】由题意可得3a＋b＝1，10a＋b＝8，解得a＝1，b＝－2，所以对应关系f：x→y＝x13－2，故输入值5对应的输出值为3.【思路点拨】正确运算，正确理解对应关系的含义．【答案】3

探究型多维突破9.函数3,2,13,2,1:→f满足，则这样的函数个数共有（）A.1个B.4个C.8个D.10个【知识点】函数的概念.【数学思想】【解题过程】f(1)=f(2)=f(3)=1或2或3，共3个；f(1)=1，f(2)=f(3)=2或3，共2个；f(2)=2，f

(1)=f(3)=1或3，共2个；f(3)=3，f(2)=f(1)=2或1，共2个；f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，共1个；【思路点拨】注意满足任意性和唯一性．【答案】D10．已知f(x)＝11＋x，求[f(2)＋f(3)＋…＋f(

2018)]＋[f(12)＋f(13)＋…＋f(20181)]．【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】f(x)＋f(1x)＝11＋x＋11＋1x＝11＋x＋x1＋x＝1，则原式＝f（2）＋f（12）＋f（3）＋f（13）

＋…＝2017.【思路点拨】仔细观察，寻求规律．【答案】2017．自助餐1．下列四种说法中，不正确的一个是()A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义域和

对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素14【知识点】函数的概念．【数学思想】【解题过程】易知ACD是正确的．【思路点拨】利用概念以及三要素辨析．【答案】B2．已知P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列对应不表示从P到Q的函数的

是()A．f：x→y＝x2B．f：x→y＝x3C．f：x→y＝3x2D．f：x→y＝x【知识点】函数的概念．【数学思想】【解题过程】ABD都满足函数概念，而C选项中f(4)=6在集合Q中没有元素与之对应.【思路点拨】利用任意性，唯一性辨析．【答案】C．3．若函数f(x

)的定义域为[－2，3]，则y＝f(x)的图像与直线x＝2的交点个数为()A．0B．1C．2D．不确定【知识点】函数的概念．【数学思想】【解题过程】易知ACD是错误的．【思路点拨】利用唯一性辨析．【答案】B．4．四个函数：①y＝x＋1；②y＝x3；③y＝x2－1；④y＝1x.其中定义域相同的函数有

()A．①②和③B．①和②C．②和③D．②③和④【知识点】函数的定义域．15【数学思想】【解题过程】略．【思路点拨】注意x的限制条件．【答案】A5.若函数()xf满足()()(),bfafabf+=且()()

,3,2qfpf==则()72f=_______。【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】令3,2==yx求出()6f；令6,2==yx求出()12f；再令12,6==yx求出()72f．【思路点拨】赋值法．

【答案】qp23+．6．已知函数g(x)＝x＋2x－6，(1)点(3，14)在函数的图像上吗？(2)当x＝4时，求g(x)的值；(3)当g(x)＝2时，求x的值．【知识点】函数的对应法则.【数学思想】【解题过程】略．【思路点拨】正确运算．【答案】(

1)不在(2)－3(3)14．