【文档说明】北京市八一学校2021届高三年级十月月考数学试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.913 MB，由小赞的店铺上传

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北京市八一学校2021届高三年级十月月考试卷一､选择题1.已知集合24Axx=Z，1,2B=−，则AB=（）A.1−B.1,2−C.{}1,0,1,2-D.2,1,0,1,2−−【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为2

41,0,1Axx==−Z，1,2B=−，所以AB={}1,0,1,2-.故选：C.【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2.已知向量(),1at=，()1,2b=.若//ab，则实数t的值为

（）A.2−B.2C.12−D.12【答案】D【解析】【分析】由向量平行的坐标表示求解即可.【详解】//ab，210t−=，解得12t=故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数的值，属于基础题.3.在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（）A.sinyx=B.

cosyx=C.||yxx=D.ln||yx=【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，结合定义域，即可得出答案.【详解】对A项，令()sinfxx=，定义域为R，()sin()sin()fxxxfx−=−=−=−，则函数sinyx=为奇函数，故A错

误；对B项，令()cosfxx=，定义域为R，()cos()cos()fxxxfx−=−==，则函数cosyx=为偶函数，故B正确；对C项，令()||fxxx=，(1)1(1)1ff−=−=，则函数||yxx=不是偶函数，故C错误；对D项，ln||yx=的定义域为{|0}xx，故D错误；

故选：B【点睛】本题主要考查了判断函数的定义域和奇偶性，属于中档题.4.设na是公比为的等比数列，则“”是“na为递增数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：当时，不是递增数列；当

且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列5.为得到sin23yx=−的图象，只需要将sin2yx=的图象（）A.向左平移3个单位B.向左平移6个单位C.向右平移3个单位D.向右平移6个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到sin23yx=−

的图象，只需要将sin2yx=的图象向右平移6个单位；故选D．考点：三角函数的图像变换．6.在ABC中，5AB=，sin2sinAC=，cos45B=，则ABC的面积为（）A.10B.15C.20D.30【答案】B【解析】【分析】先求出10

a=，再求出3sin5B=，最后求ABC的面积即可.【详解】解：在ABC中，sin2sinAC=，由正弦定理：2ac=，因为5ABc==，所以10a=，因为cos45B=，0B，23sin1cos5BB=−=，所以113sin51015225SacB===，故选：B.【点睛】本题考查正

弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数关系、是中档题.7.已知函数()3lnfxxmx=+在区间1,2上不是单调函数，则m的取值范围是（）A.(),3−−B.24,3−−C.()24,3−−D.()24,−+【答案】C【

解析】【分析】求导，分别对0m，0m分类讨论，确定()fx的单调性，根据题意，列出不等式，即可得出答案.【详解】323()3mxmfxxxx+=+=当0m时，()0fx，即函数()fx在区间1,2上单调递增，不符合题意当0m时，3()03mfxx−

，3()003mfxx−则函数()fx在区间30,3m−上单调递减，在区间3,3m−+上单调递增要使得函数()3lnfxxmx=+在区间1,2上不是单调

函数，则3123m−解得243m−−故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.8.已知函数()21fxxkx=−−+恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A.10,2B.1,12C.()1,2D.

()2,+【答案】B【解析】【分析】先利用函数的零点转化成方程的根、函数图像的交点问题，再数形结合即得结果.【详解】由函数()21fxxkx=−−+有两个零点，即方程21xkx−+=有两个根，即函数()21gxx=−+与()hxkx=有两个交点，作图如下：

()hxkx=恒过()0,0，旋转过程中，在直线12yx=和yx=之间时有两个交点，故1,12k.故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根、函数图像的交点之间的等价转化，考查了数形结合思想，属于中档题.9.在ABC中，90BAC=，2BC=，

点P在BC边上，且()1APABAC+=，则AP的取值范围是（）A.1,12B.2,12C.1,12D.2,12【答案】A【解析】【分析】以BC的中点为

原点，过O垂直于BC的直线为y轴，BC为x轴，建立平面直角坐标系，再利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标表示即可求解.【详解】以BC的中点为原点，过O垂直于BC的直线为y轴，BC为x轴，建立平面直角坐标系，如图：则()1,0B−，

()1,0，设(),0Px，(),Aab，1x，1OA=，221ab+=，则由()1APABAC+=，得()()1,,2xabab−−−−=，化简12ax=，所以()22222222APxabxaxabx=−+=−++=，由221ab+=

，因为1a，所以1a，所以1122xa=，所以APx=的取值范围为1,12.故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10.已知集合,AB满足：（ⅰ）AB=Q，AB=；（ⅱ）1xA，若2xQ且21xx，则2

xA；（ⅲ）1yB，若2yQ且21yy，则2yB.给出以下命题：①若集合A中没有最大数，则集合B中有最小数；②若集合A中没有最大数，则集合B中可能没有最小数；③若集合A中有最大数，则集合B中没有最小数；④若集合A中有最大数，则集合B中可能有最小数.其中，所有正确结论

的序号是()A.①③B.②③C.③④D.①④【答案】B【解析】【分析】根据并集和交集的结果可知QACB=；由条件（ⅱ）（ⅲ）可知两集合的元素以1x为分界，可确定集合,AB的构成；当集合A有最大数时，根据有理数的特点可知大于1x的有理数无最小数，知③正确；

当集合A无最大数时，若1xa→中的a为有理数或无理数，此时集合B可能最小数为a或无最小数，知②正确.【详解】若AB=Q，AB=QACB=则集合A为所有小于等于1x的有理数的集合，集合B为所有大于等于1y的有理数的集合QACB=1y∴无限接近1x

，即集合B为所有大于1x的有理数的集合当集合A有最大数，即1x有最大值时，大于1x的有理数无最小数，可知③正确；当集合A无最大数，即1xa→时，a为集合B中的最小数；也可能a为无理数，则1ya→，集合B中无最小数，可知②正确故选B【点睛】本题考

查根据并集和交集的结果确定集合、元素与集合关系的应用；本题的解题关键是明确有理数的特点：无最大数也无最小数；本题较为抽象，对于学生的分析和解决问题能力有较高要求.二､填空题11.已知复数2zi=−，则z=______.【

答案】5【解析】【分析】根据复数的模长的定义直接进行计算即可.【详解】∵复数2zi=−，∴415z=+=.故答案为：5.【点睛】本题考查复数的模的概念及求法，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

()()()(),(,,.)++=−++abicdiacbdadbciabcdR.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)abiabR+的实部为a、虚部为b、模为22ab+、对应点为(,)ab、共轭为.−abi12.

设na是等差数列，且13a=，2536aa+=，则na的通项公式为__________．【答案】63nan=−【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列na的公差为d，13334366addd=+++==Q，，，36

(1)63.nann=+−=−【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题

既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.13.已知向量a、b的夹角为60，2a=，1b=，则2ab+=___________.【答案】23【解析】【分析】利用平面向量数量积计算得出22ab+rr的值，进而可求得2ab+的值.【详解

】()222222224444cos60abababababab+=+=++=++144421122=++=，因此，223ab+=.故答案为：23.【点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用

到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.14.已知函数()21,,xaxxafxxxae−=（a为常数）．若()112f−=，则a

=________；若函数()fx存在最大值，则a的取值范围是________．【答案】(1).12(2).(,0]−【解析】【分析】（1）分别在1a−和1a−两种情况下求得()1f−，利用()112f−=求得a；（2）当xa≥时

，求导得()11xxfxe−−=；当1a时，可知xa时，()fx→+不存在最大值，不符合题意；当1a时，可得()fx在),a+上的单调性，得到()()max11fxf==；分别在01a、0a

=和0a三种情况下验证xa时函数的最大值，可得(,0a−时，()()max11fxf==，从而得到结果.【详解】（1）当1a−时，()112fa−==，满足题意；当1a−时，()21112fe−−−=，不合题意；

12a=（2）当xa≥时，()1xxfxe−=()112211xxxxexexfxee−−−−−−==①若1a，则10x−()0fx()fx在),a+上单调递减()()1maxaafxfae

−==此时，当xa时，()2fxax=，当x→−时，()fx→+，不合题意②若1a，则1ax时，()0fx；1x时，()0fx()fx在(),1a上单调递增，在()1,+上单调递减()()max1

1fxf==此时，当xa时，()2fxax=若01a，则当x→−时，()fx→+，不合题意若0a=，()()01fxf=，此时()max1fx=，满足题意若0a，则()()()3max01fxfaaf==，此时()max1fx=，满足题意综上所述：(,0a−时，()fx存

在最大值故答案为12；(,0−【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量、根据分段函数的最值求解参数范围的问题；本题中根据最值求解参数范围的关键是能够通过分类讨论的方式，确定函数在不同情况下的单调性，进而得到最值取得的情况，从而分析得到结果.

15.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少

”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足573002tNN−=（0N表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时

期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log31.6,log52.3）【答案】(1).12(2).4011【解析】【分析】（1）根据衰变规律，令5730t=，代入求得012NN=；（2）令035NN=，解方程求得t即可.【详解】当5730t=时，1

00122NNN−==经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035NN=，则5730325t−=2223loglog3log50.757305t−==−−0.757304011t==良渚古城存在的时期距今约在

4011年到5730年之间故答案为12；4011【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.三､解答题16.已知等差数列na的前n项和为nS，12a=，520S=.（1）求数列na的通项公式；

（2）若等比数列nb满足449ab+=，且公比为q，从①2q=；②12q=；③1q=−这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列nnab−的前n项和nT.【答案】（1）1nan=+；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列na的d，根据求和公式可得510

1020Sd=+=，又12a=，即可得解；（2）根据na为等差数列，nb为等比数列，则：11221212()()()()()nnnnnTabababaaabbb=−+−++−=+++−+++，分组求和即可得解.【详解】（1

）设等差数列na的公差为d，又因为1(1)2nnnSnad−=+，且12a=，所以5101020Sd=+=，故1d=，所以1nan=+；（2）由（1）可知，45a=，又449ab+=，所以44b=.若选择条件①2q=，可得11312bbq==，11221212()()()()

()nnnnnTabababaaabbb=−+−++−=+++−+++111()(1)(3)1=22122nnnnaabqnnq−+−+−=−+−；若选择条件②12q=，可得41332bbq==，11221212()()()()()nnnnnTabababaaabbb=−+−++−=+++

−+++6-11()(1)(3)=264212nnnnaabqnnq+−+−=−−−；若选择条件③1q=−，可得4134bbq==−，11221212()()()()()nnnnnTabababaaabbb=−+−++−=+++−+++11()(1)(3)=+

2(1(1))212nnnnaabqnnq+−+−=−−−.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列基本能量的运算，考查了数列的分组求和法，有一定的计算量，属于中档题.17.在ABC中，1cos7A=，8BC=，7AC=.（1）求B的大小；（2）若D是BC的中点，求AD的长

.【答案】（1）3B=；（2）21.【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得43sin7A=，再利用正弦定理即可求解.（2）利用余弦定理可得5AB=，由()12ADABAC=+，再利用向量模的求解即可求解.【详解】解：（1）∵在ABC中，1cos7A=，8BC=，7AC=

，∴243sin1cos7AA=−=，∵由正弦定理sinsinBCACAB=，可得437sin37sin82ACABBC===，又ACBC，可得B为锐角，∴3B=.（2）∵在ABC中，由余弦定理2222cosBCABACABACA=+−，可得222187277ABAB=+−

，可得：22150ABAB−−=，∴解得5AB=或3−(舍去)，∵D是BC的中点，∴()12ADABAC=+，两边平方可得：()2222211125725721447ADABACABAC=++=++

=，∴21AD=，即AD的长为21.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18.已知函数2()3sin22cos()fxxxmmR=++.（1）求()fx的最小正周期；（2）求()fx的

单调递增区间；（3）对于任意[0,]2x都有()0fx恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）[,]()36kkkZ−++；（3）(,3)−−.【解析】【分析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周

期公式即可求函数f（x）的最小正周期T；（2）利用整体代入法求得函数()fx的单调递增区间；（3）原问题等价于()fx的最大值小于零，根据()fx在区间0,2上的最大值列不等式，解不等式求得m的取值范围.【详解】（1）因为()23sin22cosfx

xxm=++3sin2cos21xxm=+++，2sin216xm=+++.所以()fx的最小正周期2π2T==.（2）由（1）知()2sin216fxxm=+++.又函数sinyx=的单调递增区间为ππ2,222kk−++(kZ).由2222

62kxk−+++，kZ，得36kxk−++，kZ.所以()fx的单调递增区间为(),36kkkZ−++.（3）因为02x，所以72666x+.所以1sin2126x−+

.所以2sin2136mxmm++++.当262x+=，即6x=时，()fx的最大值为3m+，又因为()0fx对于任意0,2x恒成立，所以30m+，即3m−.

所以m的取值范围是(),3−−.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间、最值的求法，属于中档题.19.设函数2()ln()fxxaxxa=+−R．（1）若1a=，求函数()fx的单调区间．（2）若函数()fx在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．（3）过

坐标原点O作曲线()yfx=的切线，证明：切点的横坐标为1．【答案】（1）单调减区间为10,2，单调增区间为1,2+．（2）1a−（3）见解析【解析】试题分析：（1）当1a=时，

求出函数的导函数()()()211xxfxx−+=，分别令()0fx和()0fx，解出不等式得单调区间；（2）函数()fx在区间(0,1上是减函数，即()0fx对任意(0,1x恒成立，利用分离参数法可得最后结果；（3）设切点为()(),Mtft，对函数进行求导，根据导

数的几何意义得12ktat=+−，根据切线过原点，可得斜率为()ftkt=，两者相等化简可得21ln0tt−+=，先证存在性，再通过单调性证明唯一性.试题解析：（1）当1a=时，()2ln(0)fxxxxx=+−，()(

)()211121xxfxxxx=−+=+−，令()0fx，则12x，令()0fx，则102x，∴函数()fx的单调减区间为10,2，单调增区间为1,2+．（2）()12fxxax=+−，∵()fx在区间

(0,1上是减函数，∴()0fx对任意(0,1x恒成立，即12axx−对任意(0,1x恒成立，令()12gxxx=−，则()minagx，易知()gx在(0,1上单调递减，∴()()min11gxf==−，∴1a−．（3）设切点为()(

),Mtft，()12fxxax=+−，∴切线的斜率12ktat=+−，又切线过原点，()ftkt=，∴()12fttatt=+−，即22ln21tatttat+−=+−，∴21ln0tt−+=，存在性，1t=满足方程21ln0tt−+=，所以1t=是方程21ln0tt−+=的根唯一性

，设()21lnttt=−+，则()120ttt−+，∴()t在()0,+上单调递增，且()10=，∴方程21ln0tt−+=有唯一解1t=，综上，过坐标原点O作曲线()yfx=的切线，则切点的横坐标为1．点睛：本题主要考察了导数与函数

单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由()0fx，得函数单调递增，()0fx得函数单调递减；函数单调递减等价于()0fx恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()ahx或()a

hx恒成立，即()maxahx或()minahx即可，利用导数知识结合单调性求出()maxhx或()minhx即得解.20.已知函数()()ln0xfxaxa=+．（Ⅰ）求曲线()yfx=在点()()

1,1f处的切线方程；（Ⅱ）当1a=时，证明：()12xfx−；（Ⅲ）判断()fx在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【答案】（Ⅰ）(1)10xay−+−=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数()fx在定义域内不是单调函数．理由见解

析【解析】【分析】根据解析式可确定函数定义域并求得()fx（Ⅰ）求得()1f和()1f，根据导数几何意义可知切线斜率为()1f，从而得到切线方程；（Ⅱ）将所证不等式转化为22ln10≤xx−+；令()22ln1hxxx=−+，通过导数求得

函数单调性，可得()max0hx=，即()0hx，从而证得结论；（Ⅲ）令()ln1agxxx=−++，通过导数可知()gx单调递减；利用零点存在定理可知()gx在()11,ae−内存在零点m，从而得到()fx的符号，进而得到()fx单调性，说明()fx不是单

调函数.【详解】由题意得：函数()fx的定义域为()0,+，()()2ln1axxfxxa−++=+（Ⅰ）()10f=，()111fa=+()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为：()1011yxa−=−+即()110xay−+−=（Ⅱ）当1a=时，()ln1xfxx=+欲证()

12xfx−，即证ln112≤xxx−+，即证22ln10≤xx−+令()22ln1hxxx=−+，则()()()21122xxhxxxx−−+=−=．当x变化时，(),()hxhx变化情况如下表：x()0,11()1,+()hx+0−

()hx↗极大值↘函数()hx的最大值为()10h=，故()0≤hx()12xfx−（Ⅲ）函数()fx在定义域内不是单调函数．理由如下：令()ln1agxxx=−++，()2210axagxxxx+=−−=−()gx在()0,+上单调递减()110g

a=+，()11111ln110aaaaageeaee++++=−++=−存在()11,ame+，使得()0gm=当()0,xm时，()0gx，从而()0fx，所以函数()f

x在()0,m上单调递增；当(),xm+时，()0gx，从而()0fx，所以函数()fx在(),m+上单调递减故函数()fx在定义域内不是单调函数【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、函数单调性的判断等知

识；利用导数研究函数单调性时，若导函数零点不易求得，则可利用零点存在定理和导函数的单调性确定零点所在区间，进而得到函数的单调区间.21.已知无穷数列,,nnnabc满足：*nN，1nnnabc+=−，1nnnbca

+=−，1nnncab+=−．记max,,nnnndabc=（max,,xyz表示3个实数,,xyz中的最大值）．（Ⅰ）若11a=，22b=，33c=，求1b，1c的可能值；（Ⅱ）若11a=，12b=，求满足

23dd=的1c的所有值；（Ⅲ）设111,,abc是非零整数，且111,,abc互不相等，证明：存在正整数k，使得数列,,nnnabc中有且只有一个数列自第k项起各项均为0．【答案】（Ⅰ）1183bc==或1183bc==−或1183bc=−=或1183bc=−=

−；（Ⅱ）所有取值是2,1,1,2−−；（Ⅲ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）依次代入2n=，3n=即可求得12,ca，根据2133ab=−−可确定2a和1b的取值，从而得到结果；（Ⅱ）记1cx=，可表示出2d，进而得到333,,abc，分别在01x、12x和2x

三种情况下利用32dd=求得x的取值即可得到结果；（Ⅲ）假设对任意正整数3k，,,kkkabc都不为0，由111,,kkkabc+++可证得1111max,,kkkkkdabcd++++=，得到kd

严格单调递减；可知必存在正整数3m，使得0≤md，与kdN矛盾，从而,,kkkabc中至少有一个为0；设0ka=，可知111kkkbca−−−=，则10ka+=，1kkbc+=，1kkkcbc+=−=−，依次类推可得对n

k，0na=，1nkbc+=，1nkcc+=−且0kc，从而证得结论.【详解】（Ⅰ）由211bca=−得：112c−=13c=由322cab=−得：223a−=25a=又211133abcb=−=−−，故25a=，18b=11,bc

的所有可能值为1183bc==或1183bc==−或1183bc=−=或1183bc=−=−（Ⅱ）若11a=，12b=，记1cx=，则22ax=−，21bx=−，21c=−22,011,1||21,2xxdxxx−

=−311ax=−−，312bx=−−，321cxx=−−−当01x时，3ax=−，31bx=−，31c=，31d=由32dd=得：1x=，不符合；当12x时，32ax=−，31bx=−，332cx=−32,11.51,1.52xxdxx

−=−由32dd=得：1x=，符合；当2x时，32ax=−，33bx=−，31c=−31,232,3xdxx=−由32dd=得：2x=，符合；综上所述：1c的所有取值是2,1,1,2

−−.（Ⅲ）先证明“存在正整数3k，使,,kkkabc中至少有一个为0”假设对任意正整数3k，,,kkkabc都不为0由111,,abc是非零整数，且111,,abc互不相等得：1dN，2dN若对任意3k，,,kkkabc都不为0，则kdN即对任意1k

³，kdN当1k³时，1max,kkkkkkabcbcd+=−，1kkkkbcad+=−，1kkkkcabd+=−1111max,,kkkkkdabcd++++=kd严格单调递减2d为有限正整数必存在正整数3m，使得0≤md，矛盾存在正整

数3k，使,,kkkabc中至少有一个为0不妨设0ka=，且10a，20a，……，10ka−则11kkbc−−=，且111kkkbca−−−=，否则，111kkkbca−−−==，由1110kkkab

c−−−++=，必有1110kkkabc−−−===，矛盾110kkkbca−−=−，110kkkcab−−=−，且kkbc=−10ka+=，1kkbc+=，1kkkcbc+=−=−依次递推，即有：对nk，0na=，1nkbc+=，1nk

cc+=−且0kc此时有且仅有一个数列na自第k项起各项均为0综上，结论成立【点睛】本题考查数列中的新定义运算问题的求解，涉及到根据递推关系求解数列中的项、数列证明问题中的存在性与唯一性问题的证明；证明有且仅有一个数

列满足题意的关键是能够首先证明存在性，即存在数列数列满足题意，再证明唯一性，即满足题意的数列有唯一的一个；本题对学生分析和推理能力有较高的要求，属于难题.