【文档说明】八年级数学下册举一反三系列专题1.2 认识概率章末重难点题型（举一反三）（苏科版）（解析版）.docx，共(45)页，824.040 KB，由管理员店铺上传

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1专题1.2认识概率章末重难点题型【苏科版】【考点1必然事件、随机事件与不可能事件】【方法点拨】必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【例

1】（2020春•灯塔市期末）下列事件：①通常情况下，水往低处流；②随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是10；③车行到十字路口，正好遇上红灯；④早上的太阳从西方升起．下列作出的结论，错误的是（）A．①是必然事件B．②是随机事件C．③是随机事件D．④不可能事件【分析】根据事件发生的可能性

大小判断．【解答】解：①通常情况下，水往低处流，是必然事件，A说法正确，不符合题意；②随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是10，是不可能事件，B说法错误，符合题意；2③车行到十字路口，正好遇上红灯，是随机事件，

C说法正确，不符合题意；④早上的太阳从西方升起，是不可能事件，D说法正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下

，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【变式1-1】（2020•河北模拟）下列事件：①掷一次骰子，向上一面的点数是3；②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球；③13个人中至少有两个人的生日是在同

一个月份；④射击运动员射击一次，命中靶心；⑤水中捞月；⑥冬去春来．其中是必然事件的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：①掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件；②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球，是不可能事件；③1

3个人中至少有两个人的生日是在同一个月份，是必然事件；④射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；⑤水中捞月，是不可能事件；⑥冬去春来，是必然事件；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定

不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【变式1-2】（2020春•竞秀区期末）有两个事件，事件A：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件B：367人中至少有2人生日相同．下列说法正确的是（）A

．事件A、B都是随机事件3B．事件A、B都是必然事件C．事件A是随机事件，事件B是必然事件D．事件A是必然事件，事件B是随机事件【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．首先判断两个事件是必然事件、随机事件，然后找到正确的答案．【解答】解：事件A、抛掷一枚均匀

的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况，点数为偶数是随机事件；事件B、一年最多有366天，所以367人中必有2人的生日相同，是必然事件．故选：C．【点评】此题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题

．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【变式1-3】（2020春•揭阳期末）在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的5个红

球、3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件．（1）从口袋中任意取出一个球，是一个白球；（2）从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；（3）从口袋中一次任意取出9个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了．【分析】（1）（2）（3）根据事件发生的可能

性大小判断．【解答】解：（1）从口袋中任意取出一个球，可能是一个白球、一个红球也可能是一个蓝球，∴从口袋中任意取出一个球，是一个白球是随机事件，即不确定事件；（2）口袋中只有3个蓝球，∴从口袋中一次任取5个球，全是蓝球是不可能事件；（3）从口袋中一次任意取出9个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了是必

然事件．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【考点2可能性的大小】【方法点拨】事件发生的可能性大小往

往是由发生事件的条件来决定的，因此我们可以通过比较各事件发4生的条件及其对事件发生的影响来比较事件发生的可能性大小．【例2】（2020春•郑州期末）下面是一些可以自由转动的转盘，按照转出黄色的可能性由大到小进行排列正确的是（）A

．②④①③B．①②③④C．③①④②D．④①③②【分析】根据概率公式分别求出每个转盘中转出黄色的可能性大小，据此排列即可得．【解答】解：图①中转出黄色的可能性为48=12，图②中转出黄色的可能性为0，图③中转出黄色的可能性为1，图④中转出黄色的可能性为18，∴按照转

出黄色的可能性由大到小进行排列正确的是③①④②，故选：C．【点评】本题主要考查可能性大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．【变式2-1】（2020春•青羊区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的

可能性都相等的是（）A．一个封闭的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出的每个球可能性相等B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每个产品的可能性相同C．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性相同D．一枚质地均匀的骰子，任意

掷一次，1﹣6点数朝上的可能性相同【分析】利用随机事件发生的可能性是否一样对各选项进行判断．【解答】解：A、一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，因为只是颜色相同，没有什么其他性质相同，

所以摸出每个球的可能性不一定相同，不符合题意；B、在80个相同的零件中，只是种类相同，没有什么其他性质相同，所以取出每件产品的可能性不一定相同．不符合题意；C、小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不一

定相同，因为每种灯的时5间可能不同，不符合题意；D、一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性相同，这个事件满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等，符合题意；故选：D．【点评】本题考查可能性

，概率问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式2-2】（2020春•东台市期中）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列事件发生的可能性的大小，并将

这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排成一列是．（填序号）（1）指针落在标有3的区域内；（2）指针落在标有9的区域内；（3）指针落在标有数字的区域内；（4）指针落在标有奇数的区域内．【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出

每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可．【解答】解：（1）指针落在标有3的区域内的概率是18；（2）指针落在标有9的区域内的概率是0；（3）指针落在标有数字的区域内的概率是1；（4）指针落在标有奇数的区域内的概率是；12将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的

顺序排列为：（2）（1）（4）（3）．故答案为：（2）（1）（4）（3）．【点评】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．【变式2-3】（2020•常州模拟）A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景

区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案：A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第6三

辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？（2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？【分析】（1）利用列表展示所有6种不同的可能；（

2）分别求出两个方案使自己乘上等车的概率，然后比较概率大小可判断谁的可能性大．【解答】解：（1）列表：三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能；（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率=26=13；B采用的方案使自己乘上等车的概率=36=12，因为13＜12，所以B人采用的方案使自己乘上等车的可能

性大．【点评】本题考查了可能性的大小：某事件的可能性等于所求情况数与总情况数之比．【考点3概率的意义】【方法点拨】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．【例3】（2020春•莱州市期末）对于“莱州市明天的降雨概率是80%”这种说法，下列解释中

正确的是（）A．莱州市明天将有80%的地区降雨B．莱州市明天将有80%的时间降雨C．莱州市明天降雨的可能性比较大D．莱州市明天肯定下雨【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也

可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．【解答】解：对于“莱州市明天的降雨概率是80%”，7可以解释为：莱州市明天降雨的可能性比较大．故选：C．【点评】本题主要考查概率的意义，正确理解概率的含义是解决本

题的关键．【变式3-1】（2020春•凌海市期末）在七年（1）与七年（2）班举行拔河比赛前，根据双方的实力，环环预测：“七年（1）获胜的机会是80%”，那么下面四个说法正确的是（）A．七年（2）班肯定会输掉这场比赛B．七年（1）班肯定会赢得这场比赛C．若比赛10次，则七年（1）班会赢得8次D．

七年（2）班也有可能会赢得这场比赛【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．【解答】解：80%的机会获胜是说明机会发生机会的大小，80%的机会并不是说明比赛胜的场数一定是80%．七年（1）获胜的机会是80

%，即七年（2）班也有可能会赢得这场比赛，只不过获胜的可能性小，只有D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小．【变式3-2】（2020秋•三门县期末）商场举行摸奖促销活动，

对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（）A．抽101次也可能没有抽到一等奖B．抽100次奖必有一次抽到一等奖C．抽一次也可能抽到一等奖D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即

可．【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，故选：C．【点评】此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．【变式3-3】（2019秋•莱西市期中）下列说法正确的是（）8A．投掷

一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨C．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都

是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数不一定是500次，故原说法错误，不合题意；B、天气预报“明天降

水概率10%”，是指明天下雨的可能性是10%，故原说法错误，不合题意；C、一种福利彩票中奖率是千分之一，但买这种彩票1000张，也不一定会中奖，故原说法错误，不合题意；D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，正确．故选

：D．【点评】此题主要考查了概率的意义，正确掌握概率的实际意义是解题关键．【考点4概率公式】【方法点拨】概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．【例4】（2020•阜新）掷

一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（）A．1B．25C．35D．12【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．【解答】解：∵掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，∴再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是12．故选：D．【点评】

此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的意义是解题关键．【变式4-1】（2019秋•曲靖期末）从√2，0，π，227，√4，0.3010010001……（两个1之间依次多一个0）这六个数中随机抽取一个数，

抽到无理数的概率是（）A．12B．13C．23D．569【分析】直接利用概率公式计算可得．【解答】解：在所列的6个数中，无理数有√2，π，0.3010010001…这3个，∴这六个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是12，故选：A．【点评】本题主要考查概率公

式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【变式4-2】（2020•丹东）四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽

出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（）A．14B．12C．34D．1【分析】根据中心对称图形的概念，结合概率公式求解可得．【解答】解：∵从这4张卡片中任意抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的卡片正面是中心对称图形的是圆、平行四边形、正六边形这3种结果，∴抽

到的卡片正面是中心对称图形的概率是34，故选：C．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式和中心对称图形的概念．【变式4-3】（2020•绍兴）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是

（）A．12B．13C．14D．16【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，10小球最

终落出的点共有E、F、G、H四个，所以小球从E出口落出的概率是：14；故选：C．【点评】本题考查了概率的求法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总

情况数之比．【考点5概率公式（方程思想）】【方法点拨】概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．【例5】（2020春•成都期末）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红

球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个红球的概率为29，则n的值为．【分析】根据概率的意义列方程求解即可．【解答】解：由题意得，22+1+𝑛=29，解得，n＝6，经检验，n＝6是原方程的解，所以原方程的解为n＝

6，故答案为：6．【点评】考查概率的意义，用频率估计概率，利用概率的意义列方程是正确解答的关键．【变式5-1】（2020春•海淀区校级期中）设计一个摸球游戏，先在一个不透明的小盒子中放入5个白球，如果希望从中任意摸出一个球，是白球的概率为14，那

么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球（游戏用球除颜色外均相同）（）A．5B．10C．15D．20【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，

解答即可．【解答】解：设应该向盒子中再放入x个其他颜色的球，由题意得：5𝑥+5=14，解得：x＝15，11经检验x＝15是原方程的解，∴应该向盒子中再放入15个其他颜色的球．故选：C．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m

种结果，那么事件A的概率P（A）=𝑚𝑛．【变式5-2】（2020•东莞市一模）不透明袋子中有红球10个，黄球20个，还有一些蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机摸出一个恰好是黄球的概率为13，则蓝球有（）A．30个B．60个C．40个D．20个【分

析】设蓝球有x个，根据随机摸出一个恰好是黄球的概率为13，利用概率公式可得关于x的方程，解之可得．【解答】解：设蓝球有x个，根据题意，得：2010+20+𝑥=13，解得x＝30，经检验：x＝30是分式方程的解，∴袋子中蓝球有30个，故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事

件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【变式5-3】（2020•朝阳区一模）一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是黄球的概

率与不是黄球的概率相同，下列m与n的关系一定正确的是（）A．m＝n＝8B．n﹣m＝8C．m+n＝8D．m﹣n＝8【分析】由一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，可得88+𝑚+𝑛=𝑚+𝑛8+𝑚+𝑛，即可得求得m与n的关

系．【解答】解：∵一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，∴任意摸出一个球，是黄球的概率为：88+𝑚+𝑛，不是黄球的概率为：𝑚+𝑛8+𝑚+𝑛，∵是黄球的概率与不是黄球的概率相同，∴88+𝑚+𝑛=𝑚+𝑛8

+𝑚+𝑛，12∴m+n＝8．故选：C．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．【考点6概率公式（列举法）】【方法点拨】概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性

相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，解题的关键是将事件发生的所有可能一一列举.【例6】（2020•衢州模拟）小明要给朋友小林打电话，电话号码是七位正整数，他只记住了电话号码前四

位顺序，后三位是3，6，7三位数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨对的概率是（）A．13B．16C．112D．127【分析】让1除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：因为后3位是3，6，7三个数字共6种排列情况，而正确的只有1种，故小明第一次就拨对的概率是16．故

选：B．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=𝑚𝑛．【变式6-1】（2019秋•九龙坡区期末）在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾

抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国“四个字，最后由主持人打开小

盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（）A．23B．58C．34D．916【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到小嘉宾中奖的概率．【解答】解：设“我”、“爱”、“祖”、“国“四个字对应的字母为a

、b、c、d，则所有的可能性为：（abcd）、（abdc）、（acbd）、（acdb）、（adbc）、（adcb）、（badc）、（bacd）、（bcad）、（bcda）、（bdac）、（bdca）、13（cabd）、（cadb）、（cbad）、（cbda）、（cdab）、（cdb

a）、（dabc）、（dacb）、（dbac）、（dbca）、（dcab）、（dcba），则都不相同的可能有：（badc）、（bcda）、（bdac）、（cadb）、（cdab）、（cdba）、（dabc）、（dcab）、（dcba），故

小嘉宾中奖的概率为：24−924=58，故选：B．【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．【变式6-2】（2020•浙江自主招生）小勇所在的生物兴趣小组要去博物馆参观，老师要求沿街道走最短的路线．小勇想：最短的路线有很多条，如果刚好经过自家门口A，就带弟弟去参观，但

没跟老师说．学校与博物馆之间的街道如图，那么兴趣小组刚好经过A的概率等于（）A．335B．435C．1235D．25【分析】列举出所有情况，看兴趣小组刚好经过A的情况数占所有情况数的多少即可．【解答】解：把所有的交点编号，画

树图如下：共有35种等情况数，其中兴趣小组刚好经过A的有12条，所以所求的概率为1235；故选：C．14【点评】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到兴趣小组刚好经过A的情况数是解决本题的关键；列举出所有情况是解决本题的难点；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．【变式6-3】（20

19•青山区模拟）有两把不同的锁和4把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，则一次打开锁的概率是（）A．12B．13C．14D．18【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有÷可能出现的结果数．【解答】解：

由题意得，共有2×4＝8种等可能情况，其中能打开锁的情况有2种，故一次打开锁的概率为28=14，故选：C．【点评】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．【考点7概率公式（几何概型）】【方法点拨】几何概型＝相应的面积与总面

积之比【例7】（2020•金昌一模）如图所示是“赵爽弦图”飞镖板，是由直角边长分别为2和1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（）A．13B．14C．15D．√5

5【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出针扎到小正方形（阴影）区域的概率．【解答】解：直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则小正方形的边长为1，根据勾股定理得大正15方形的边长为√5，∴飞镖落在阴影部分的

概率=小正方形的面积大正方形的面积=15，故选：C．【点评】本题将概率的求解设置于“赵爽弦图”的游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用

到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．易错点是得到两个正方形的边长．【变式7-1】（2019秋•莱西市期中）如图是一个是圆形房间的地板图案，其中大圆的直径恰好等于两个小圆的直径的和．若在房间内任意扔一颗小玻璃珠，则小玻璃珠静止后

，滚落在阴影部分的概率是（）A．12B．13C．14D．1𝜋【分析】根据题目中的图形和图形中的数据可以得到阴影部分，根据概率公式即可得到结论．【解答】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r，由图可得，大圆的面积＝π×（2r）2＝4πr2，S阴影＝π×（2r）2﹣2π×r2＝2πr2，

∴滚落在阴影部分的概率=𝑆阴影𝑆大圆=2𝜋𝑟24𝜋𝑟2=12，故选：A．【点评】本题考查了几何概率，圆的面积的计算，正确的理解题意．【变式7-2】（2020•广西一模）如图，正方形ABCD是一块绿化带，E，F，G，H分别是

AB，BC，CD，AD的中点，阴影部分EOCF，AOGH都是花圃，一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）16A．12B．23C．13D．25【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得小鸟在花圃上的概率．【解答】解：∵正方

形ABCD是一块绿化带，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，∴S四边形AHGO+S四边形OEFC=12S正方形ABCD，∴一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为12，故选：A

．【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积与正方形的面积的比，难度不大．【变式7-3】（2020•高唐县一模）正方形ABCD的边长为4，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒

米，则米粒落在阴影部分的概率为（）A．𝜋−22B．𝜋−24C．𝜋−28D．𝜋−216【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．【解答】解：如图，连接PA、PB、OP；则S半圆O=𝜋⋅222=2π，S△ABP

=12×4×2＝4，由题意得：图中阴影部分的面积＝4（S半圆O﹣S△ABP）＝4（2π﹣4）＝8π﹣16，则米粒落在阴影部分的概率为：8𝜋−1616=𝜋−22；故选：A．【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积

．【考点8列表法或树状图法求概率】【方法点拨】列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A17或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．【例8】（2020•连云港）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物

、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是；（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．【分析】（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，可得选择生物的

概率；（2）用树状图表示所有可能出现的结果数，进而求出相应的概率．【解答】解：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物的概率为13；故答案为：13；（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：共有12种

可能出现的结果，其中选中“化学”“生物”的有2种，∴P（化学生物）=212=16．【点评】本题考查树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果数是解决问题的关键．【变式8-1】（2019•连

云港）现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒18中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球．（1）从A盒中摸出红球的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球

中至少有一个红球的概率．【分析】（1）从A盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，由概率公式即可得出结果．【解答】解：（1）从A盒中摸出红球的概率为13；故答案为：13；（2

）画树状图如图所示：共有12种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，∴摸出的三个球中至少有一个红球的概率为1012=56．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或

事件B的概率．【变式8-2】（2019•鼓楼区二模）甲、乙、丙，丁四个人做“击鼓传花”游戏，游戏规则是：第一次由甲将花随机传给乙、丙、丁三人中的某一人中的某一人，以后的每一次传花都是由接到花的人随机传给其他三人中的某一人．（1）甲第一次传花时，恰好传给乙的概率是

；（2）求经过两次传花，花恰好回到甲手中的概率；（3）经过三次传花，花落在丙手上的概率记作P1，落在丁手上的概率记作P2，则P1P2（填“＞”、“＜”或者“＝”）【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后，球恰在甲手中的情19况，再利用概率公式即可求得答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球后，球恰在丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）甲第

一次传花时，恰好传给乙的概率是13，故答案为：13；（2）画树状图：共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，∴P（第2次传球后球回到甲手里）=39=13．（3）画树状图如下，由树状图知经过三次传花共有27种等可能结

果，其中花落在丙手上的有7种结果，花落在丁手上的有7种结果，∴P1=727、P2=727，则P1＝P2，故答案为：＝．20【点评】本题考查了树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，画树状图列出所

有等可能结果是解题关键．【变式8-3】（2020•盐城）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网

格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为；（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”

，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为．【分析】（1）画出树状图，即可得出答案；（2）画出树状图，即可得出答案；（3）由题意得出规律，即可得出答案．【解答】解：（1）画树状图如下

：共有4种等可能结果，∴图③可表示不同信息的总个数为4；（2）画树状图如下：21共有16种等可能结果，故答案为：16；（3）由图①得：当n＝1时，21＝2，由图④得：当n＝2时，22×22＝16，∴n＝3时，23×23×23＝512，∵16＜492＜512，∴n的

最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查的是列表法和树状图法以及规律型．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．【考点9频率与概率的关系】【方法点拨】大

量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【例9】（2020秋•罗湖区校级月考）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是（）

A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各实验小组所得频率的值也会相同D．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近【分析】根据大量重复试验事件发生的频率逐渐

稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发22生的概率解答．【解答】解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，∴D选项说法正确．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常

数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．【变式9-1】（2020•冷水滩区一模）如果事件A发生的概率是1100，那么在相同条件下重复试验，下列4种陈述中，不正确的有①说明做100次这种试验，事件A必发生1次②说明事件A发生的频率是1100③说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生

，后1次事件A才发生④说明做100次这种试验，事件A可能发生1次（）A．①、②、③B．①、②、④C．②、③、④D．①、②、③、④【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．【解答】解：∵事件A发生的概率是1100，并不能说明做100次

这种试验，事件A必发生1次，有可能多次，也有可能1次不发生，∴选项①符合题意；∵事件A发生的概率是1100，并不能说明事件A发生的频率是1100，∴选项②符合题意；∵事件A发生的概率是1100，并不能说明做100次这种试验中，前99次事件A没发

生，后1次事件A才发生，∴选项③符合题意；∵事件A发生的概率是1100，说明做100次这种试验，事件A可能发生1次，23∴选项④不符合题意，∴4种陈述中，不正确的有：①、②、③．故选：A．【点评】此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解

答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．【变式9-2】（2019•台州模拟）某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表：移植总数n400750150035007000900014000成活

数m369662133532036335807312628成活的频率𝑚𝑛0.9230.88290.8900.9150.9050.8970.902则下列说法正确的是（）A．由于移植总数最大时成活的频率是0.902，所以这

种条件下幼树成活的概率为0.902B．由于表中成活的频率的平均数约为0.89，所以这种条件下幼树成活的概率为0.89C．由于表中移植总数为1500时，成活数为1335，所以当植树3000时，成活数为2670D．从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左

右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就

是这个事件的概率．据此判断可得．【解答】解：从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90，故选：D．【点评】本题考查利用频率估计概率、算

术平均数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的结论是否成立．【变式9-3】（2020•密云区二模）新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，

到正式投产后达成日均生产100万个口罩的产能．不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”．以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下：抽检数量n/个20501002005001000200050001000024合格数量m/个1946

93185459922184045959213口罩合格率𝑚𝑛0.9500.9200.9300.9250.9180.9220.9200.9190.921下面四个推断合理的是（）A．当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是92

13个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.921B．由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时，口罩合格率均是0.920，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920C．随着抽检数量的增加，“

口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920D．当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的概率一定是0.921【分析】观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可．【解答】解

：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920附近，所以可以估计这批口罩中合格的概率是0.920，故选：C．【点评】考查了利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率

的稳定值估计概率，难度不大．【考点10概率的应用（放回与不放回）】【例10】（2020•高邮市一模）在一不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，这些卡片除数字外其余均相同．小明同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数

字相加．如图是他所画的树状图的一部分．（1）由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后（填“放回”或“不放回”），第二次随机再抽出一张卡片：（2）帮小明同学补全树状图，并求小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率．【分析

】（1）根据树状图可得答案；25（2）补全树状图，利用概率公式求解可得．【解答】解：（1）游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后不放回，第二次随机再抽出一张卡片；故答案为：不放回．（2）补全树状图如图所示

：由树状图得：共有12种等可能结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，∴小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为412=13．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法

或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式10-1】（2020春•太原期末）小明与小颖用一副

去掉大王、小王的扑克牌作摸牌游戏：小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大，谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏．

（1）若小明已经摸到的牌面为4，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？（2）若小明已经摸到的牌面为2，直接写出小颖获胜的概率；若小明已经摸到的牌面为A，两人获胜的概率又如何呢？【分析】（1）

小明已经摸到的牌面为4，而小4的结果为4×2，大于4的结果数为4×10，然后根据概率公式求解；（2）小明已经摸到的牌面为2，而小于2的结果为0，大于2的结果数为4×12，然后根据概率公式求解；小明已经摸到的牌面为A，而小于A的结果为

4×12，大于2的结果数为0，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）由题意知，去掉大王、小王的扑克牌共有52张，其中比4小的牌有2，3，所以，小明获胜的概率是2×451=851；26小明与小颖摸到的相同的牌面的概率为351，所以，小颖获胜的概率是1−851−351=4051；（2）若小明已经

摸到的牌面为2，比2小的牌没有，所以小明获胜的概率是0，小颖获胜的概率是1−351=1617；若小明已经摸到的牌面为A，没有比A更大的牌，所以小颖获胜的概率是0，小明获胜的概率是1−351=1617．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合

事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．【变式10-2】（2019秋•丹江口市期末）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛现有三张不透明的卡片，其中两张卡

片的正面图案为“红脸”，另外张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．（1）请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都

是“红脸”的概率（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）；（2）若第一次抽出后不放回，请直接写出求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．【分析】（1）根据题意画出树状图，求出所有的

情况数和抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可；（2）根据概率公式直接求解即可．【解答】解：（1）画树状图为：27由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P（两张都是“

红脸”）=49．（2）第一次抽出后不放回，抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率为13．【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．【变式10-3】（2020•和平区二模）一

个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后

不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．【分析】（1）①根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；②找出两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，再根据

概率公式即可得出答案；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意画图如下：①共有9种等情况数，其中第一次摸

到蓝球，第二次摸到红球的有2种，则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是29；②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是49；故答案为：49；28（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两次摸到的

球的颜色能配成紫色的有4种，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率46=23；故答案为：23．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完

成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【考点11概率的应用（代数问题）】【例11】（2020春•青羊区校级期末）有9张正面分别标有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，32，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上

，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m，则使关于x的分式方程1−𝑚𝑥𝑥−2+2=12−𝑥有正整数解的概率为．【分析】先解分式方程得到x=22−𝑚（m≠2且m≠1），再分别计算m为﹣3，﹣2，﹣1，0，32，3，4对应的x的值，然后确定x的正整数的个数后利用概率公式计算．【解答】解

：去分母得1﹣mx+2（x﹣2）＝﹣1，解得x=22−𝑚，而x≠2，即22−𝑚≠2，解得m≠1，∴m的范围为m≠2且m≠1；当m＝﹣3时，x=25，x不为正整数；当m＝﹣2时，x=12，x不为正整数；当m＝﹣1时，x=23，x不为正整数；29当m＝0时，x＝1，x为正整数；当m=32，

x＝4，x为正整数；当m＝3时，x＝﹣2，x不为正整数，当m＝4时，x＝﹣1，x不为正整数，所以满足条件的m的值有2个，所以使关于x的分式方程1−𝑚𝑥𝑥−2+2=12−𝑥有正整数解的概率=29．故答案为29．【点评】本题考查了概

率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了解分式方程．【变式11-1】（2020春•锦江区期末）已知m是不等式组{𝑚−2≤3𝑚−10𝑚＜8的正整数解，则分式方程2𝑥−2=𝑚𝑥

+1有整数解的概率为．【分析】先解不等式组求出解集，确定正整数m的值，再解分式方程，得到方程有整数解时m的值，然后利用概率公式求解即可．【解答】解：解不等式m﹣2≤3m﹣10，得m≥4，所以不等式组{𝑚−2≤3𝑚−10𝑚＜8的解集为4≤m＜8

，∴正整数m＝4，5，6，7．分式方程去分母得：2（x+1）＝m（x﹣2），整理，得（m﹣2）x＝2m+2，当m﹣2≠0即m≠2时，x=2𝑚+2𝑚−2，即x＝2+6𝑚−2，∵分式方程有整数解，且x≠2，x≠﹣1，∴m＝4，5，∴分式方程2𝑥−2=𝑚�

�+1有整数解的概率为：24=12．故答案为：12．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了一元一次不等式组的整数解以及解分式方程．30【变式11-2】（2

019秋•金牛区校级期中）若关于x的不等式组{2𝑥+1＜2𝑎2𝑥−1≥6无解，且关于y的分式方程𝑎𝑦−2−3=6−𝑦2−𝑦有正整数解，则从满足条件的a值中选取一个值，能使一次函数y＝（a﹣2）x+3为减函数的概率为．【分析】依据不等式组无解，即可得

到a≤4；依据分式方程有正整数解，即可得到a＞﹣12且a≠﹣4，进而得出﹣12＜a≤4且a≠﹣4，根据y=𝑎4+3是正整数，可得a＝﹣8，0，4，再根据减函数的性质和概率公式即可得出答案．【解答】解：由不等式组{2𝑥+1＜2𝑎2𝑥−1≥6无解，可得，{𝑥＜�

�−12𝑥≥72，∵不等式组无解，∴a−12≤72，解得a≤4；由分式方程𝑎𝑦−2−3=6−𝑦2−𝑦，可得y=𝑎4+3，∵分式方程有正整数解，∴y＞0且y≠2，即𝑎4+3＞0且𝑎4+3≠2，解得a＞﹣12

且a≠﹣4，∴﹣12＜a≤4且a≠﹣4，∵𝑎4+3是正整数，∴a＝﹣8，0，4，从a中取一个值，能使一次函数y＝（a﹣2）x+3为减函数的有2种情况，∴能使一次函数y＝（a﹣2）x+3为减函数的概率为23；故答案为：23．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解、

分式方程的解，解题的关键是根据不等式组以及分式方程31求出a的范围．【变式11-3】（2019•郓城县模拟）从−32，﹣1，0，1这四个数中，任取一个数作为m的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组{2𝑥−

𝑦=−𝑚𝑥−𝑦=2有整数解，且使以x为自变量的一次函数y＝（m+1）x+3m﹣3的图象不经过第二象限，则取到满足条件的m值的概率为．【分析】首先由题意可求得满足条件的m值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案

．【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组{2𝑥−𝑦=−𝑚𝑥−𝑦=2有整数解，∴{𝑥=−𝑚−2𝑦=−𝑚−4，∴m的值为：﹣1，0，1；∵一次函数y＝（m+1）x+3m﹣3的图象不经过第二象限，∴{𝑚+1＞03𝑚−3≤0，解得：﹣1＜m≤1，∴m的值为：0，1；综上满足条

件的m值为：0，1；∴取到满足条件的m值的概率为：24=12．故答案为：12．【点评】此题考查了概率公式的应用、二元一次方程组的正整数解以及一次函数的性质．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【考点12概率的应用（几何图形）】【例12】（2019•河北模拟）如图，数轴上的点A，B

，C，D表示的数分别为﹣3，﹣1，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点，所取两点之间的距离为2的概率是（）A．16B．14C．23D．13【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出所取两点之间的距离为2的结果数，然后根据概率公式求解．【解

答】解：画树状图为：32，共有6种等可能的结果数，其中所取两点之间的距离为2的结果数为2，所以所取两点之间的距离为2的概率=13，故选：D．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B

的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．【变式12-1】（2020春•太原期末）如图，在3×3的正方形网格的格点上摆放了两枚棋子，第三枚棋子随机摆放在其他格点上（每个格点处最多摆放一枚），这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为（）A．27B．13C．

47D．23【分析】利用概率公式求解可得．【解答】解：由图知第三枚棋子可摆放的位置共有14种，其中这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的有8种，∴这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为814=47，故选：C．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）

＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【变式12-2】（2020春•江阴市期中）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．33（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概

率；（2）从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．【分析】（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；（2）利用树

状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．【解答】解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形

，故P（所画三角形是等腰三角形）=14；（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，∴所画的四边形是平行四边形的概率P=412=13．【点评】此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是

解题关键．【变式12-3】如图是9×7的正方形点阵，其水平方向和竖直方向的两格点间的长度都为1个单位，以这些点为顶点的三角形称为格点三角形．请通过画图分析、探究回答下列问题：（1）请在图中画出以AB为边且面积为2

的一个网格三角形；（2）任取该网格中能与A、B构成三角形的一点M，求以A、B、M为顶点的三角形的面积为2的概率；（3）任取该网格中能与A、B构成三角形的一点M，求以A、B、M为顶点的三角形为直角三角形的概率．34【分析】（1）可以直接画出一个满足条件的三角形；（2）首先找出可以

组成的所有三角形的个数，然后再计算面积为2的三角形的个数，由此可得到所求的概率；（3）首先找出可以组成的所有三角形的个数，然后再看其中的直角三角形的个数，由此可得到所求的概率．【解答】解：（1）如图所示（共12个，这是其中一个）：（2）

由分析可知：只要M不再AB上或者AB的延长线上，ABM都可以构成三角形，共有9×7﹣7＝63﹣7＝56个，又∵由（1）知，以A、B、M为顶点的三角形的面积为2的三角形共有12个，∴以A、B、M为顶点的三角形的面积为2的概率为1256=314；（3）由分析可知：以A、B、

M为顶点的直角三角形共有12个，以A、B、M为顶点的三角形为直角三角形的概率为1256=314．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=𝑚𝑛．35【考点13概率的应用

（公平性问题）】【例13】（2020•陕西四模）某校举行数学竞赛活动，小娜和小葵两位同学得分相同，获并列第一名，于是每人可在准备好的2件奖品中获得其中一件，为了决定谁先选择奖品，并同时检验学生所学的数学知识，某位数学老师设计了一个趣味性游戏，游戏规则为：将如图1所示的四张扑克牌（方

块2、黑桃4、黑桃5、梅花5）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小娜从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图2是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6，小葵掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数；若小娜记下的牌面数字大于小葵记下骰子的点数

，则小娜先挑取奖品，否则，小葵先挑取奖品．（1）小娜从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是多少？（2）请用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方公平吗？【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）利用图表展示所有等可能的结果数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求出各

自获取奖品的概率，最后通过比较两概率的大小即可得出游戏的公平性．【解答】解：（1）∵共有4张扑克牌，其中牌面数字是5的有2张，∴小娜从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是24=12；（2）根据题意列表如下：12345612，1

3，14，15，16，121，23，24，25，26，231，32，34，35，36，341，42，43，45，46，451，52，53，54，56，561，62，63，64，65，636共有30种等可能的情况数，其中小娜记下的牌

面数字大于小葵记下骰子的点数有15种则小娜先挑取奖品的概率是1530=12，小葵先挑取奖品的概率也是12，所以这个游戏规则公平．【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等

就公平，否则就不公平．【变式13-1】（2020春•肃州区期末）小亮、小颖的手上都有两根长度分别为5、8的木棒，小亮与小颖都想通过转动转盘游戏来获取第三根木棒，如图，一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有木棒的长度2，3，5，8，10，12这6个数字．小亮与小颖各转动

转盘一次，停止后，指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度．若三根木棒能组成三角形则小亮获胜，三根木棒能组成等腰三角形则小颖获胜．（1）小亮获胜的概率是；（2）小颖获胜的概率是；（3）请你用这个转盘设计一个游戏，使得对小亮与小颖均是公平的；（4）小颖发现，她连续转动转盘10次，都没

转到5和8，能不能就说小颖获胜的可能性为0？为什么？【分析】（1）设构成三角形的第三根木棒的长度为x，则3＜x＜13，由在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成三角形的有5、8、10、12这四个，利用概率公式计算可得；（2）由

2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成等腰三角形的有5，8这两个，利用概率公式计算可得；（3）只要是两人获胜的概率相等即可得；（4）由随机事件的可能性大小解答即可得．【解答】解：（1）设构成三角形的第三根木棒的长度为x，则8﹣5＜x＜5+8，即3＜x＜13，

∵在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成三角形的有5、8、10、12这四个，∴小亮获胜的概率是46=23，37故答案为：23；（2）∵在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成等腰三角形的有5，8这两个，∴小颖获胜的概率是

26=13；（3）小亮转动转盘一次，停止后指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度．若三根木棒能组成三角形则小亮获胜；小颖转动转盘一次，停止后指针指向的数字为偶数，则小颖获胜；（4）不能，她连续转动转盘10次，都没转到5

和8，只是说明可能性小，但并不一定为0．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．【变式13-2】（2020•赤峰）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角

形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得

点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为；（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．【分析】（1）

直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数，则可计算出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，然后通过比较她们回到圈A的概率的大小38可判断游戏是否公平．【解答】解：（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A

的概率=14；（2）这个游戏规则不公平．理由如下：画树状图为：共有16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5，所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率=516，因为14＜516，所以

这个游戏规则不公平．【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．【变式13-3】（2020春•铁西区期末）将正面分别写有数字1，2，3的三张卡片（卡片的形状、大

小、质地、颜色等其他方面完全相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上．甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为a，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上；再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为b，组成数对（a，b）．（1）请

写出数对（a，b）所有可能出现的结果；（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽取一次卡片，按照得到的数对计算ab2的值，若ab2的值为奇数则甲贏；ab2的值为偶数则乙贏．你认为这个游戏公平吗？请说明理由

．【分析】（1）画树状图可得所有等可能的结果；（2）从树状图得出所有等可能结果，并从中找到ab2的值为奇数和偶数的结果数，根据概率公式求出甲、乙获胜的概率，从而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：3

9（2）由树状图知，共有9种等可能结果，其中ab2的值为奇数的有1、9、3、27这4种结果，ab2的值为偶数的有4、2、8、18、12这5种结果，所以甲赢的概率为49，乙赢的概率为59，∵49≠59，∴这个游戏不公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平

性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【考点14概率与统计综合】【例14】（2020•德州）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数

）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为；（2）补全图2频数直方图；（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，

试判断他能否获奖，并说明理由；40（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．【分析】（1）用“89.5～99.5”的人数除以它们所占的百分比可得到调查的总人数；59.5～69.5”这一范围的人数占总

参赛人数的百分比，即可得出答案；（2）求出“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；补全图2频数直方图即可：（3）求出成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），由88＞84.5，即

可得出结论；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）本次比赛参赛选手共有：（8+4）÷24%＝50（人），“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为2+350×100%＝10%，∴79.5～89.5”这一范

围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；故答案为：50，36%；（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%＝15（人），∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），∵“79.5～89.5”

这一范围的人数为50×36%＝18（人），∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；补全图2频数直方图：（3）能获奖．理由如下：∵本次比赛参赛选手50人，∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），又∵88＞84.5，41∴能获奖；（4）画树

状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，所以恰好选中1男1女的概率=812=23．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或

B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．【变式14-1】（2020•泸州）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行使的路

程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：（1）求n的值，并补全频数分布直方图；（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行使的路程低于13km的该

型号汽车的辆数；（3）从被抽取的耗油1L所行使路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．【分析】（1）由D组的车辆数及其所

占百分比求得n的值；求出B组的车辆数，补全频数分布直方图即可；（2）由总车辆数乘以360°乘以耗油1L所行使的路程低于13km的汽车的辆数所占的比例即可；（3）画出树状图，由概率公式求解即可．【解答】解：（1）12÷30%＝40，即n＝40

，B组的车辆为：40﹣2﹣16﹣12﹣2＝8（辆），补全频数分布直方图如图：42（2）600×2+840=150（辆），即估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数为150辆；（3）设行使路程在12≤x＜12.5范围内的2辆车记为为A、B，行使路程在14≤x＜14.5范围内的

2辆车记为C、D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，∴抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为412=13．【点评】本题考查了列表法或画树状图法、频数分布直方图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式14-2】（2020•潍坊）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，

调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，

7，7，10.5，10.5；②图1和图2是两幅不完整的统计图．根据以上信息解答问题：43（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自

七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全

条统计图；（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；（3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．【解答】解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，因此A档共有：12﹣4＝8人，8÷20%＝40人，补全图

形如下：（2）1200×1640=480（人），答：全校B档的人数为480．（3）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，所以P（2名

学生来自不同年级）=1012=56．44【点评】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．【变式14-3】（2020•济宁）某校举行了“防溺水”知识竞赛．八年级两

个班各选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩（均为整数）绘制了统计表和折线统计图（如图所示）．班级八（1）班八（2）班最高分10099众数a98中位数96b平均数c94.8（1）统计表中，a＝，b＝，c＝；（

2）若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在成绩为98分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．【分析】（1）根据平均数和众数、中位数的定义分别求解可得；（2）先设

（1）班学生为A1，A2，（2）班学生为B1，B2，B3，根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可．【解答】解：（1）八（1）班的成绩为：88、89、92、92、96、96、96、98、98、100，八（2）班成绩为89、9

0、91、93、95、97、98、98、98、99，所以a＝96、c=110×（88+89+92+92+96+96+96+98+98+100）＝94.5，b=95+972=96，故答案为：96、96、94.5；45（2）设（1）班学生为A1，A2，（2）班学生为B1，B2，B3

，一共有20种等可能结果，其中2人来自不同班级共有12种，所以这两个人来自不同班级的概率是1220=35．【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识

点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．