【文档说明】云南省昆明市2021届高三“三诊一模”高考数学模拟试卷（理科）（2021.05） 含解析.doc，共(22)页，1.416 MB，由小赞的店铺上传

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2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．[﹣1，1]D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知向量＝（0，3）

，＝（4，0），则cos＜，﹣＞＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．给出下列三个结论：①若复数z＝（a2﹣a）+ai（a∈R）是纯虚数，则a＝1；②若复数，则复数z在复平面内对应的点在第二象限；③若复数z满足|z|＝1，则z在复平面内所对应点的

轨迹是圆．其中所有正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．34．2021年3月28日，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”

．其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．若某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为

（）A．B．C．D．5．△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．已知等差数列{an}的公差为d，有下列四个等式：①a1＝﹣1；②d＝1；③a1+a2＝0；④a3＝3．若其中只有一个等式不

成立，则不成立的是（）A．①B．②C．③D．④7．叫做二项式定理，取a＝b＝1，可得二项式系数的和．执行如图所示的程序框图，如果输入n＝8，则输出S＝（）A．64B．128C．256D．5128．已知平面α截球O所得截面圆半径为，该球面上的点到平面α的距离最大值为3，则球O的

表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．32π9．智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音．已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可

以为（）A．B．C．D．10．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x＝0时，y的值表示2021年年初的种群数量．若t（t∈N*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：ln3≈1.09）A．9

B．10C．11D．1211．设F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且|OP|＝3a（O为坐标原点），则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（e，+

∞）B．C．D．（1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件，则z＝﹣x+2y的最小值为．14．甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要

使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则（a，b）为．（只需填一组）甲12ab10乙12471115．两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为．16．已知数列{an}的前n项和为S

n，a1＝1，Sn+Sn﹣1＝4n2（n≥2，n∈N*），则S25＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作

答．（一）必考题：共60分．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，A＝60°，D为BC边上一点，BD＝2CD．（1）若CD＝1，求sinC；（2）若△ABC的面积为，求AD的长．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

四边形BCC1B1是菱形，AB⊥BC，C1在底面ABC上的射影是BC的中点．（1）证明：CB1⊥平面ABC1；（2）若BC＝2AB，求CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值．19．我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫

困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组为了了解脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x，消费支出y，食品支出z（

单位：千元），整理数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，8）得到下面的折线图，由数据（yi，zi）（i＝1，2，⋯，8）得到如表．家庭（i）12345678消费支2730333537404244出（y）食品支出（z）910111312111212

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程（精确到0.01），并解释的现实生活意义；（2）恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重．通常一个家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中）用来购

买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标．根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%～59%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．根据上述样本

数据，请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数．参考数据：，，，．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．20．设函数的极大值点为x1，极小值点为x2．（1）若x1∈（0，1），求a的取值范围；（2）若∃a∈（0，1]，f（x

1）+f（x2）≤2m，求实数m的取值范围．21．已知斜率为的直线与圆x2+（y﹣3）2＝5相切，切点为T，且T在抛物线E：y2＝2px（p＞0）上．（1）求点T的坐标和E的方程；（2）已知点M（a，0），N（2a，0），R（4a，0）（a＞0），点A是E上的任意一点（异于顶点）

，连接AM并延长交E于另一点B，连接BN并延长交E于另一点C，连接CR并延长交E于另一点D，设直线AC与BD的交点为P．设△PAB和△PCD的面积分别为S1，S2，证明：为定值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答

．并用2B铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ＝2acosθ（a＞0

）．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设射线与C1相交于A，B两点，与C2相交于M点（异于O），若|OM|＝|AB|，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式2a+3b+

4c≤|x|+|x﹣1|（x∈R）恒成立．（1）求2a+3b+4c的最大值；（2）当a＞﹣，b，c＞﹣，2a+3b+4c取得最大值时，证明：++≥3．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．[﹣1，1]D．{﹣2，﹣1，0，1，2}解：∵A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：A．2．已知向量＝（0，3），＝（4，0），则cos＜，﹣＞＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：∵向量＝（0，3），＝（4，0），∴＝（﹣4，3），∴cos＜，﹣＞＝＝＝．故选：

A．3．给出下列三个结论：①若复数z＝（a2﹣a）+ai（a∈R）是纯虚数，则a＝1；②若复数，则复数z在复平面内对应的点在第二象限；③若复数z满足|z|＝1，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆．其中所有正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①若复数z＝（a2﹣a）+ai（a∈R

）是纯虚数，则，解得a＝1，故①正确；②因为复数＝＝1+i，则复数z在复平面内对应的点（1，1）在第一象限，故②错误；③设z＝x+yi（x，y∈R），因为复数z满足|z|＝＝1，所以x2+y2＝1，即z在复平面内所对应点的轨迹是圆，故③正确；综上

所述，所有正确结论的个数是2个，故选：C．4．2021年3月28日，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”．其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇

、德钦梅里雪山小镇．若某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（）A．B．C．D．解：这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南

特色小镇中任意选两个去旅游，基本事件总数n＝，其中一个是安宁温泉小镇包含的基本事件个数m＝＝5，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为P＝＝．故选：A．5．△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为（）A．B．C

．D．解：由题意△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，可知：△ABC是等腰直角三角形，设：BC＝2c，AC＝2c，AB＝2由椭圆的定义可知：2+2c＝2a，则椭圆的离心率：＝＝．故选：D．6．已知等差数列{an}

的公差为d，有下列四个等式：①a1＝﹣1；②d＝1；③a1+a2＝0；④a3＝3．若其中只有一个等式不成立，则不成立的是（）A．①B．②C．③D．④解：假设①②成立，则a1＝﹣1，d＝1，a1+a2＝﹣1+0＝﹣1≠0，③不成立

，a3＝2≠3，④不成立；故①②不可能同时成立，则③④一定同时成立，即a1+a2＝0，a3＝3，所以，解得d＝2，a1＝﹣1，所以②不成立．故选：B．7．叫做二项式定理，取a＝b＝1，可得二项式系数的和．执行如图

所示的程序框图，如果输入n＝8，则输出S＝（）A．64B．128C．256D．512解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝+++...+的值，由于，取a＝b＝1，n＝8，可得（1+1）8＝+++...+

＝28＝256．故选：C．8．已知平面α截球O所得截面圆半径为，该球面上的点到平面α的距离最大值为3，则球O的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．32π解：如图，设平面α截球O所得小圆为圆G，圆心为G，由题意可得，PG＝3，

AG＝，再设球的半径为R，则，解得：R＝2．∴球O的表面积为4πR2＝4π×4＝16π．故选：C．9．智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音．已知某噪音的

声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（）A．B．C．D．解：根据曲线在上大致图象，可得Asin（0+）＝1，∴A＝2．再根据五点法作图，可得ω×+＝π，∴ω＝π，故函数的解析式为y＝2s

in（πx+），故选：D．10．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x＝0时，y的值表示2021年年初的种群数量．若t（t∈N*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：l

n3≈1.09）A．9B．10C．11D．12解：由题意可知＝8k，∴，即，∴，∴，∴≈10.9．故选：C．11．设F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且|OP|＝3a（O为坐标原点），则C的渐近线方程为

（）A．B．C．D．解：设P在双曲线的右支上，|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a，又＝（+），两边平方可得2＝（2+2+2•），即为9a2＝（m2+n2+2mncos）＝[（m﹣n）2+3mn]＝（4a2+3mn），可得mn

＝a2，在△PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝m2+n2﹣2mncos＝（m﹣n）2+2mn﹣mn＝4a2+a2，化为c＝a，则b＝＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：A．12．已知函数有两个不同的

零点，则实数a的取值范围是（）A．（e，+∞）B．C．D．（1，+∞）解：依题意，有且仅有两个根，即函数g（x）＝ex﹣a﹣1与函数的图象有且仅有两个交点，而，易知函数h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且x→0时，h（x）→

﹣∞，x→+∞时，h（x）→0，函数相当于函数y＝ex﹣1在水平方向向左（或右）平移了|a|个单位，作出函数g（x）与h（x）的草图如下，当曲线g（x）与曲线h（x）恰好相切时，设切点为（x0，y0），则，解得，由图象可知，当a＞1时，函数g（x）＝ex﹣a﹣1与函数的图象有且仅有两个交点，

符合题意．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件，则z＝﹣x+2y的最小值为1．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），由z＝﹣x+2y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴

上的截距最小，z有最小值为﹣1+2＝1．故答案为：1．14．甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则（a，b）为（6，6）（其它答案；（5，7），（7，5），（4，

8），（8，4））．（只需填一组）甲12ab10乙124711解：由题意可得，1+2+a+b+10＝1+2+4+7+11，所以a+b＝12，平均数为5，因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以（1﹣5）2+（2﹣5）2+（a﹣5）2+（b﹣5）2

+（10﹣5）2＜（1﹣5）2+（2﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（11﹣5）2，即（a﹣5）2+（b﹣5）2＜16，所以（a，b）可以为（4，8），（6，6），（5，7），（7，5），（8，4）．故答案为：（6，6）（其它答案：（5，

7），（7，5），（4，8），（8，4））．15．两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为．解：设这捆书所受的重力为G，进行力的合成，如图所示：根据正弦定理得：，∴．故答案为：．16．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝

1，Sn+Sn﹣1＝4n2（n≥2，n∈N*），则S25＝1297．解：∵Sn+Sn﹣1＝4n2（n≥2，n∈N*），Sn+1+Sn＝4（n+1）2，相减可得：an+1+an＝8n+4，∴S25＝1+8（2+4+……+24）+12×4＝49+8×＝1

297．故答案为：1297．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已

知c＝2，A＝60°，D为BC边上一点，BD＝2CD．（1）若CD＝1，求sinC；（2）若△ABC的面积为，求AD的长．解：（1）依题意得BD＝2，则BC＝3，在△ABC中，由正弦定理得：，即，所以．（2）因为，所以b＝4，由

BD＝2CD可得，，则＝+，＝＝，所以．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，AB⊥BC，C1在底面ABC上的射影是BC的中点．（1）证明：CB1⊥平面ABC1；（2）若BC＝2AB，求CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：设BC

中点为D，连结C1D，因为C1在底面ABC上的射影为BC中点，所以C1D⊥平面ABC，又因为C1D⊂平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面ABC，又因为平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AB⊥BC，所以AB⊥平面BCC1B1，因为B1C⊂平面BCC1B1，所以AB⊥B1

C，又因为四边形BCC1B1为菱形，所以B1C⊥BC1，而AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1．（2）解：不妨设BC＝2，则AB＝1，因为C1D⊥BC，BD＝DC，所以C1B＝C1C，又因为四边形BCC1B1为菱形，所以C1C＝CB，故△C1

BC为等边三角形，所以∠BCC1＝60°，故，由（1）知AB⊥平面BCC1B1，AB⊥BC，以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz如图，B（0，0，0），A（0，1，0），C（2，0，0），，，所以，设平面ACC1A1法向量为，，由，可得一个，设CB1与平面ACC1A1所成角

为θ，则，所以CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值为．19．我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组为了了解脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法

抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x，消费支出y，食品支出z（单位：千元），整理数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，8）得到下面的折线图，由数据（yi，zi）（i＝1，2，⋯，8）得到如表．家庭（i）12345678消费支出（y）2730333537404244

食品支出（z）910111312111212（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程（精确到0.01），并解释的现实生活意义；（2）恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重．通常一个家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中）

用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标．根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%～59%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为

富裕，低于30%为最富裕．根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数．参考数据：，，，．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．解：（1）由题意可知，，，所以，故，所以

y关于x的回归方程为，的现实意义为年收入每增加1千元，估计消费支出增加0.68千元；（2）由题意可知，8户脱贫家庭的恩格尔系数如下表所示：家庭（i）12345678恩格尔系数33.3%33.3%33.3%37.1%32.4%27.5%28.6%27.2%所

以样本中达到最富裕的家庭有3个，估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数为（户）．20．设函数的极大值点为x1，极小值点为x2．（1）若x1∈（0，1），求a的取值范围；（2）若∃a∈（0，1]，f（x1）+f（x2）≤2m，求实数m的取值范围．解：（1）函数，则f'（x）＝x2﹣2x+1

﹣a2＝[x﹣（1﹣a）][x﹣（1+a）]，①当1+a＝1﹣a，即a＝0时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，与题设矛盾，则a≠0；②当1+a＜1﹣a，即a＜0时，f（x）在（﹣∞，1+a]，[1﹣a，+∞）上单调递增，在（1+a，1﹣a）上单调递减，所以x1＝1+a，由0＜1+a＜1，解得﹣

1＜a＜0；③当1+a＞1﹣a，即a＞0时，f（x）在（﹣∞，1﹣a]，[1+a，+∞）上单调递增，在（1﹣a，1+a）上单调递减，所以x1＝1﹣a，由0＜1﹣a＜1，解得0＜a＜1．综上所述，a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）；（2）因为，所以f（x）图象关于对称，而，所以，又

因为∃a∈（0，1]使f（x1）+f（x2）≤2m，即∃a∈（0，1]使，令，x∈（0，1]，所以g'（x）＝3x2﹣2x＝x（3x﹣2），可得g（x）在上单调递减，单调递增，所以，则，综上，m的取值范围为．21．已知斜率为的直线与圆x2+（y﹣3）2＝5相切，切

点为T，且T在抛物线E：y2＝2px（p＞0）上．（1）求点T的坐标和E的方程；（2）已知点M（a，0），N（2a，0），R（4a，0）（a＞0），点A是E上的任意一点（异于顶点），连接AM并延长交E于另一点B，连接BN并延长交E于另一点C，连接CR并延长交E于另一点D，设直线A

C与BD的交点为P．设△PAB和△PCD的面积分别为S1，S2，证明：为定值．【解答】（1）解：由已知可得，经过T和圆心的直线方程为y＝﹣2x+3，代入x2+（y﹣3）2＝5得5x2＝5，x＝1或x＝﹣1（舍去），所以T（1，1）

．由点T在抛物线上，得12＝2p×1，所以，故E的方程为y2＝x．…（2）证明：设A（m2，m）（m≠0），直线AB的方程为x＝ty+a，代入E的方程，得y2﹣ty﹣a＝0，所以myB＝﹣a，所以，所以，同理可得C（4m2，2m），，直

线AC的方程为，即x﹣3my+2m2＝0，直线BD的方程为，即．由得，则．而，，，，所以是定值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分

．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ＝2acosθ（a＞0）．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设射线与C1相交于A，B两

点，与C2相交于M点（异于O），若|OM|＝|AB|，求a．解：（1）已知曲线C1：（t为参数），转换为直角坐标方程为：，根据转换为曲线C1的极坐标方程为：；曲线C2：ρ＝2acosθ（a＞0）．根据转换为曲线C2的直角坐标方程为：（x﹣a）2+y2＝a2．（2）将代入，得，即，解得ρ1

＝1，，所以．又，而|OM|＝|AB|，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式2a+3b+4c≤|x|+|x﹣1|（x∈R）恒成立．（1）求2a+3b+4c的最大值；（2）当a＞﹣，b，c＞﹣，2a+3b

+4c取得最大值时，证明：++≥3．【解答】（1）解：∵|x|+|x﹣1|＝，作出函数f（x）＝|x|+|x﹣1|的图象如图：由图可知，f（x）的最小值为1，∵不等式2a+3b+4c≤|x|+|x﹣1

|（x∈R）恒成立，∴2a+3b+4c的最大值为1；（2）证明：∵a＞﹣，b，c＞﹣，∴++＝（++）[（2a+1）+（3b﹣1）+（4c+2）]×＝（）×≥×＝9×．当且仅当a＝0，b＝，c＝时等号成立．