【文档说明】江苏省宿迁市泗阳县两校2023-2024学年高一下学期5月联考试题 数学 Word版含解析.docx，共(14)页，734.988 KB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年度高一年级第二学期第二次数学学科学情调研一、单选题1．已知向量()2,m=，()2,4n=−−，若m与n共线且反向，则实数的值为（）A．4B．2C．2−D．2−或42．一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（）A．12πB．10πC．8πD．4π3．在正

三棱锥A-OBC中，顶点A在底面OBC的射影为点D，1OAOB==，则AD=（）A．22B．32C．223D．634．如图，正方形OABC边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（）A．24B．22C．2D．

225．在△ABC中，已知π4B=，22c=，433b=，则C=（）A．π3B．π6C．π3或2π3D．2π36．已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是6，则这个正三棱锥的侧面积为（）A．27B．93C．96

D．927．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱AB和1DD的中点，过点1B，E，F的平面交AD于点G，则AG=（）A．13B．23C．34D．438．已知π1tan

42−=−，则22sinsin21sin2+=+（）A．12−B．0C．12D．13二、多选题9．下列命题正确的是（）A．一个棱锥至少5个面B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形C．有一个面是平

行四边形的棱锥一定是四棱锥D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形10．已知m，n，l为空间中三条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A．若m=，m⊥，则⊥，⊥B．若m，n，则m与n为异面直线C．若l=，m=，n=，且lmP=，则P

nD．若m⊥，m⊥，∥，则∥11．函数()2sin3sincosxxxfx=+，则（）A．()fx的一条对称轴方程为π3x=B．()fx的一个对称中心为π,012C．()fx的最小值是12D．()fx的最大值是32三、填空题12．方程2460xx++=在复数范围内的解是．

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，若4MNBC==，43PA=，则异面直线PA与MN所成角大小是．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin0cbC−=，π0,2B，1b=，3a

=，则△ABC的面积为.四、解答题15．已知z是复数，2iz+与2iz−均为实数.（1）求2z；（2）若复数z是方程20xmxn++=（m，nR）的一个解，求mn−的值.16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知coscosaBbAac−=−−.（1）求B；（2）

若2a=，27b=，D为AC边的中点，求BD的长.17．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD.（1）求证：BC⊥平面CDP；（2）若4DP=，求直线PB与平面PCD所成的角大小.18．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面

ABCD，SAAB=，点M是SD的中点，ANSC⊥于点N．（1）求证：平面SAC⊥平面AMN；（2）求二面角D−AC−M的正切值．19．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系就称为斜

坐标系．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，1e，2e分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量12OPxeye=+，则把有序数对(),xy叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标．（1）设1232OPee=+，求OP；（2）若()2,4m=，()6,3n=−，m与n

的夹角为，求的余弦值．参考答案：1．A【分析】利用向量共线的坐标表示求出，再结合反向共线即可得解.【详解】由向量()2,m=，()2,4n=−−共线，得()28−=−，解得2=−或4=，当2=−时，()2,2m=−，()4,4n=−，m与n同向，不符合题意，当4=时，()2

,4m=，()2,4n=−−，m与n反向，符合题意，所以实数的值为4.故选：A2．A【分析】借助圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得底面半径，再利用圆锥表面积公式计算即可得.【详解】圆锥的底面半径为r，由圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得21π4π48π2r=

=，即圆锥的底面半径2r=，则2π4π8π4π12πSrr=+=+=表.故选：A.3．D【分析】利用正三棱锥的性质，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，然后用勾股定理可解得高.【详解】正三棱锥A-OBC中，点A在

平面OBC的射影是点D，即为等边△OBC的中心，已知1OAOB==，可得2π31sin333OD==，由AD⊥底面OBC，OD底面OBC，可得ADOD⊥，则由勾股定理可得高2216133ADOAOD=−=−=.故选：D.4．D【分析】把直观图还

原成原来的图形，则原图形是平行四边形，根据斜二测画法法则求得原图形的面积.【详解】由斜二测画法知：对应原图OA＇B＇C＇中1OAOA'==，122OBOB'==，且OB'OA'⊥，且OA＇B＇C＇为平行四边形，如下图示，所以原图形OA＇B＇C＇

的面积为12222S==.故选：D5．C【分析】由三角形角的范围以及大边对大角原理并结合正弦定理计算即可求解.【详解】由正弦定理可得43223πsinsin4C=，所以3sin2C=，又()0,πC，且cb，所以π3C=或2π3C=，故选：C.6．A【分析】利用已知条件求解

斜高，然后求解正三棱锥的侧面积．【详解】由题意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的边的距离为：136332=，所以正三棱锥的斜高为：633+=，所以这个正三棱锥的侧面积为：1363272=

.故选：A.7．D【分析】通过平行得到平面与11CD的交点H，从而得到与面1111ABCD的交线，再由平行得到与平面ABCD的交线，从而确定点G的位置，根据H为11CD的四等分点得到G为AD的三等分点，从而得到AG的长.【详解】如图，平面1BEF与平面1

1CCDD的交线与1BE平行，即过点F作1BE的平行线，交11CD于点H，连接1BH，因为E，F分别为棱AB和1DD的中点，所以H为11CD的四等分点，过点E作1EGBH∥，交AD于点G.从而G为AD的三等分点，故24233AG==.故选：D.8．C【分析】利用两角差的正切

公式计算可得1tan3=，结合切弦互化即可求解.【详解】由π1tan42−=−，得tan111tan2−=−+，解得1tan3=，所以2222222sinsin22sin2sincos2

tan2tan11sin2cossin2sincostan12tan2+++===+++++.故选：C9．BCD【分析】根据柱体和锥体的体结构特征和基本性质对每一题进行逐一分析判断.【详解】对于A，三棱锥只有4个面，故A错误；对于B，由平行六面体的定义可知，平行六

面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确；对于C，由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边数决定了它是几棱锥，从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确；对于D，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确.故选：BCD.

10．ACD【分析】利用面面垂直的判定判断A；确定线线位置关系判断B；利用平面基本事实判断C；利用线面垂直的性质、面面平行的性质判断D.【详解】对于A，显然m，m，又m⊥，则⊥，⊥，A正确；对于B，由m，n，得m与n可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B错误；对

于C，由l=，m=，lmP=，知点P在平面，，内，即为平面，的公共点，而n=，因此Pn，C正确；对于D，由m⊥，m⊥，得∥，而∥，因此∥，D正确.故选：ACD11．AD【分析】先化简()fx，令ππ2π62xk−=+，kZ求出()fx的对称轴

可判断A；令π2π6xk−=，kZ求出()fx的对称中心可判断B；当πsin216x−=或1−求出()fx的最大值和最小值可判断C，D.【详解】()21cos23π1sin3sincossin2s

in22262fxxxxxxx−=+=+=−+对于A，令ππ2π62xk−=+，kZ，所以ππ32kx=+，kZ，令0k=，所以()fx的一条对称轴方程为π3x=，故A正确；对于B，令π2π6xk−=，kZ，则ππ122kx=+，k

Z，令0k=，所以()fx的一个对称中心为π1,122，故B错误；对于C，当πsin216x−=−时，()fx的最小值是11122−+=−，故C错误；对于D，当πsin216x−=时，()fx的最大值

是13122+=，故D正确.故选：AD.12．22i,22i−+−−【分析】利用配方法和复数的运算性质结合虚数单位，求解即可.【详解】由2460xx++=，得()222x+=−，所以22ix+=，即22ix=−，则解集为

22i,22i−+−−.故答案为：22i,22i−+−−.13．π6【分析】取PD的中点E，证明AEMN∥，得到∠PAE是异面直线PA与MN所成的角或其补角，结合题设条件在△PAE中，求∠PAE即得.【详解】如图，取PD的中

点E，连接AE，EN，因M，N分别是AB，PC的中点，底面ABCD是平行四边形，故ENDC∥且12ENDC=，又AMCD∥且12AMCD=，故得AMNE□，即AEMN∥，故∠PAE是异面直线PA与MN所成的角或其补角.由()12AEAPAD=+，两边取平方，()222124AEA

PADAPAD=++，设AP，AD的夹角为，因43PA=，4AEMNAD===，代入上式，整理可得，cos0=，即90=，故()224438PD=+=，则4PE=，在△PAE中，设PAE=，1648163cos224

43+−==，因0π，故π6PAE=.故答案为：π614．32或34【分析】根据题意利用正弦定理可得π6B=，结合余弦定理可得2c=或1c=，代入面积公式即可得结果.【详解】因为2sin0cbC−=，由正弦定理可得sin2sinsin0CBC−=，且(

)0,πC，则sin0C，可得12sin0B−=，即1sin2B=，且π0,2B，可知π6B=，由余弦定理可得2222cosbacacB=+−，即2133cc=+−，解得2c=或1c=，所以△ABC的面积为1113sin322222ABC

SacB===或1113sin312224ABCSacB===.故答案为：32或34.15．（1）21216iz=−（2）28−【分析】（1）由复数的运算结合复数的几何意义即可求解；（2）将复数42iz=−代

入方程，再由几何意义求出m，n，求出最后结果即可.【详解】（1）设izab=+（a，bR），则()2i2izab+=++为实数，所以2b=−，()()()()()()2i2i224i2i2i2i5aaaz−+++−==−−+为实数，所以4a=，

所以42iz=−，所以()2242i1616i41216iz=−=−−=−.（2）因为复数z是方程20xmxn++=（m，nR）的一个解，代入可得()()242i42i0mn−+−+=，整理可得12401620mnm++=−−=，解得8m=−，20

n=所以28mn−=−.16．（1）2π3B=（2）3．【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解；（2）根据余弦定理求出c边，再根据向量运算求BD.【详解】（1）因为coscosaBbAac−=−−，根据正弦定理，得()si

ncoscossinsinsinsinsincoscossinABABACAABAB−=−−=−−+，化简得2sincossinABA=−，因为sin0A，所以1cos2B=−，因为()0,πB，所以2π3B=.（2）在△ABC中，由余弦

定理得()2222π27222cos3cc=+−，所以22240cc+−=，解得4c=．因为BD为△ABC的中线，所以2BDBABC=+，所以2222π42cos3BDcaac=++，因为2a=，4c=，所以2412BD=，解得3BD

=.17．（1）证明见解析（2）3arctan5【分析】（1）欲证线面垂直，需证线线垂直.根据条件，先证直线BC垂直于平面CDP内的两条相交直线即可；（2）先确定所求的线面角，再在三角形中求解.【详解】（1）如图：因为底面ABCD是正方形BCDC⊥；又因为PD⊥底面ABCD，BC

平面ABCDPDBC⊥；又PD，CD平面PCD，且PDCDD=；所以BC⊥平面CDP.（2）因为BC⊥平面CDP，所以∠BPC即为直线PB与平面PCD所成的角.在直角△PCB中：π2PCB=，3BC=，2222435PCPDCD=+=+=.所以33tanarctan55BCBPC

BPCPC===.即为所求.18．（1）证明见解析（2）2【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证明出平面SAC⊥平面AMN；（2）先根据条件作出二面角D-AC-M的平面角∠FQM，假设边长后利用Rt△MFQ即可求出结果.【详解】（1）证明：由

条件有DCSA⊥，DCDA⊥，且SA，DA平面SAD，SADAA=，∴DC⊥平面SAD，又AM平面SAD，∴AMDC⊥；又∵SAAD=，M是SD的中点，∴AMSD⊥；又DC，SD平面SDC，DCSDD=，∴AM⊥平面SDC，SC平面SDC，∴SCAM⊥．由已知SCAN⊥，且AM

，AN平面AMN，AMANA=，∴SC⊥平面AMN．又SC平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．（2）取AD中点F，则MFSA∥，作FQAC⊥于Q，连结MQ．∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD．∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影，∵FQAC⊥，∴MQ

AC⊥，∴∠FQM为二面角D-AC-M的平面角．设SAABa==，在Rt△MFQ中，122aMFSA==，1244aFQBD==，∴2tan224aFQMa==；∴二面角D-AC-M的正切值为2．19．（1）19（2）2114−【分析】（1）由题意计算12ee，再代入向

量模的公式()212123232OPeeee=+=+，即可求解；（2）首先求mn，m和n，再代入向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）由题意可知，121ee==，12121cos602eeee==，所以()2221212121

232329412OPeeeeeeee=+=+=++94619=++=；（2）()2,4m=，()6,3n=−，根据（2）的结果可知，()()1126432346922mn=−+++−=−；()2221

212122441616416827meeeeee=+=++=++=；()22212121263369363691833neeeeee=−+=+−=+−=，则921cos142733mnmn−===−.