【文档说明】河北省衡水市2022届高三下学期二模考试数学试题含解析.docx，共(15)页，462.901 KB，由管理员店铺上传

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2021～2022学年高三4月质量检测数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

．1．已知集合22Axx=−≤，1,2,3,4,5B=，则AB=A．2,3,4,5B．1,2,3,4C．1,2,3D．2,3,42．复数342izi+=−（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在A．第一象限B．第

二象限C．第三象限D．第四象限3．已知双曲线C：()222210,0xyabab−=）的焦距为25，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为A．12yx=B．2yx=C．5yx=D52yx=4．已知为锐角，且sinsin36

+=−，则tan=A．3B．6C．23+D．63+5．共有5名同学参加演比赛，在安排出场顺序时，甲、乙排在一起，且丙与甲、乙都不相邻的概率为A．110B．15C．16D．256

．已知某圆台的高为7，上底面半径为2，下底面半径为22，则其侧面展开图的面积为A．9B．62C．82D．927．已知sin1sin11aee=+，tan2tan21bee=+，cos3cos31cee=+，则A．abcB．acbC．bcaD

．cab8．在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，2AB=，点C满足ACBC⊥，则点C到点()3,1P的距离的最大值为A．3B．72C．4D．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的

得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列na的前n项和为2212nannS+=，公差为d，则A．11a=B．1d=C．2222nnnSaa=+D．()213521nnSan−=++++−10．在某独立重复实验中，事

件A，B相互胜立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1-p，其中()0,1p．若进行x次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列说法正确的是A．()()EXEY=B．()()DXDY=C．()()EZDX=D．()(

)()nDXDXDY=11．已知三棱锥P-ABC外接球的球心为O，外接球的半径为4，4ABAC==，PBPC=，BCm=（m为正数），则下列命题是真命题的是A．若42m=，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为

321623+B．若P，O，A不共线，则平面POA⊥平面ABCC．存在唯一点P，使得OP⊥平面ABCD．m的最大值为4212．已知函数()()sinxfx=+，其中0．对于任意的,62，函数()fx在区间,124上至少能取到两次最大值

，则下列说法正确的是A．函数()fx的最小正周期小于6B．函数()fx在0,12内不一定取到最大值C．52123≤D．函数()fx在0,12内一定会取到最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20

分．13．已知向()(),20akkk=，()3,4b=，若abab+⊥−，则实数k=．14．已知奇函数()fx在0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，且()fx有且仅有一个零点，则()fx的函

数解析式可以是()fx=．15．已知抛物线()21120ypxp=与抛物线()22220xpyp=在第一象限内的交点为()00,Pxy，若点P在圆C：()()2210108xy−+−=上，且直线OP与圆C相切，则

12pp=．16．在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解．例如：曲线2yx=在1x=处的切线方程为21yx=−，且221xx−≥，若已知3mnt++=，则2222121213mntmnt++−+−+−=≥，取等条件为1mnt===，所以222

mnt++的最小值为3．已知函数()32612fxxxx=−+，若数列na满足2na≤，且121010aaa+++=，则数列()nfa的前10项和的最大值为；若数列nb满足0nb≥，且12100180bbb+++=，则数列()nfb的前100项和的

最小值为．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分在△ABC中，角A，B，C所对的边分到为a，b，c，已知222cos2cosbbcAaacB−=−，2c=．（1

）证明：△ABC为等腰三角形；（2）设△ABC的面积为S，若，S的值．在①7cos2cosBC=；②2CACBS=；③2228abc+=三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）设等比数列

na的前n项和为nS，已知1132nnnSSa+++=−，且11a=．（1）求数列na的通项公式；（2）已知数列nc是等差数列，且11ca=，32cS=，设nnnbac=，求数列nb的前n项和nT。19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，

四边形ABCD是菱形60BADBPD==，2PBPD==．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若二面角P-BD-A的余弦值为13，求二面角B-PA-D的正弦值．20．（本小题满分12分）在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分，已知某同学在此次考试中，在前两道题中，每道题答

对的概率均为56，答错的概率均为16；对于第三道题，答对和答错的概率均为12；对于最后一道题，答对的概率为13，答错的概率为23．（1）求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于15分的概率；（2）设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为X，求X的分布列．21．（本

小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：()222210xyabab+=的左，右焦点为1F，2F，离心率为22．过点()2,0P作直线l与椭圆C相交于A，B两点．若A是椭圆C的短轴端点时23

AFAP+=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试判断是否存在直线l，使得21FA，2112FP，21FB成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．（本小题端分12分）已知函数()()lnxafxaRt+=（1）当1a=

时，求函数()fx的极值：（2）若曲线()yfxx=−有1x，()212xxx两个零点．（ⅰ）求a的取值范图；（ⅱ）证明：存在一组m，()0nnm，使得()fx的定义域和值域均为,mn．参考答案、提示及评分细则1．

【答案】B【解析】因为22x−≤的解为0,4，所以0,4A=，所以1,2,3,4AB=．2．【答案】A【解析】易知()()()()342211225iiizii+++==−+，所以复数z对应的点为211,55．3．【答案】B【解析】由题意可知

，225c=，22a=，所以5c=，1a=，所以222bca=−=，则2ba=．4．【答案】C【解析】因为sinsin36+=−，所以1331sincossincos2222

+=−，所以()31cos+()31sin=−，所以31tan2331+==+−．5．【答案】B【解析】把甲、乙捆绑在一起，然后与余下的两个排列，再把捆绑的甲、乙和丙一起插空，所求概率为22235522411205AAA==．6．【答案】D【解析】易知母线长为()

()2272223+−=，且上底面圆周长为22，下底面圆周为42，易知展形图为圆球的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，所以面积1164232222S=−92=．7．【答案】C【解析】设

函数()1xxfxee=+，则()fx为偶函数，且当0x≥时，()1'0xxfxee=−≥，所以()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，因为3sin12，3tan21cos32−−，所以tan21−3cos3sin102

−，又()sin1af=，()()tan2tan2bff==−，()()cos3cos3cff==−，所以bca．8．【答案】C【解析】由题意可知点C在以线段abcd，为直径的圆上，设AB的中点坐标为(),Mab，有1OMAMB

M===，可得221ab+=，由1MPOP+≤，()22312OP=+=，有CPMP+≤1112114OP++=++=≤．当且仅当O，M，P三点共线时取等号．9．【答案】ABD【解析】取1n=，则21112aa+=，解得11a=，即A正确；由A可知，22nnnS+

=，则212321dSa=−=−=，即B正确；因为()222222222nnnnnSnnaa+==+=+，即C错误；因为22nnSan−=，且()()212113212nnnn+−+++−==，即D正确．10．【答案】BC

【解析】因为()EXnp=，()()1EYnp=−，即A错误；因为()()1DXnpp=−，()()1DYnp=−，即B正确；因为A，B独立，所以()()1PABpp=−，所以()()()1EZnppDX=−=，即C正确；因为()()()2111nDZ

npppp=−−−，()()()2221DXDYnpp=−，即D错误．11．【答案】AB【解析】若42m=，则ABAC⊥，则△ABC外接圆的半径22r=，所以球心O到平面ABC的距离()2242222d

=−=，所以三棱锥高的最大值为422+，所以体积的最大值为()211321624422323++=，即A正确；设BC的中点为H，易知PHBC⊥，AHBC⊥，所以BC⊥平面POA，所以平面POA⊥平面ABC，即B正确；设直线OP与球的另一交点为0P，若OP

⊥平面ABC，则0OP⊥平面ABC，即C错误；当m最大时，O，A，B，C共面，因为4OBOCABACOA=====，所以23BAC=，所以43BCm==，即D错误．12．【答案】AD【解析】由题意可知，26T=4

126T−=，即A正确；因为26T=，所以12，则当0,12x，,12x++，又62，12++766=，所以函数()f

x在0,12上一定有极大值点，即B错误；由题意可知，()2462321222kkk+++−Z≥≤，整理得4824243kk+−≤≤，可得2k≥，4823+≥523=，即C错误；当0,12x

时，,12x++，又因为62，523，5213121239++≥2936182+=，所以函数()fx在0,12上一定有极小值点，即D正确．13．【答案】5【解析】易知()3,24abkk+

=++，()3,24abkk−=−−，所以()()2294160ababkk+−=−+−=，解得5k=．由0k，可得5k=．14．【答案】221xx+或()(),1,11,,11,xxxx−−−+（答案不唯一）【解析

】由题意可知，()fx仅有一个零点0x=，结合单调性，可知()221xfxx=+或()()(),1,11,,11,xxfxxx−=−−+．15．【答案】310【解析】因为()()22

0010108xy−+−=，所以()220000210120xyxy+−++=，因为20102ypx=，20202xpy=，所以00124xypp=，当OP与圆相切时，222200812OPxyOC=+=−=，所以001210xy+=，所以()()22200000012

25xyxyxy=+−+=，所以00123410xypp==．16．【答案】70540【解析】()2'31212fxxx=−+，则()17f=，()'13f=，所以曲线()yfx=在1x=处的切线方程为34yx=+，且易知()()342fxxx+≤≤，所以()34nnf

aa+≤，所以()()()1210fafafa+++()121034070aaa++++=≤，当且仅当12101aaa====时，等号成立，曲线()yfx=在0xx=处的切线为()()23200000031212612yxxxxxxx=−+−+−+，因

为0nb≥，则令此切线过原点，解得03x=或00x=，所以曲线()yfx=在3x=处的切线方程为3yx=，且()()30fxxx≥≥，所以()()()()12100121003540fbfbfbbbb++++++=≥，当且仅当0nb=或3nb=

时，等号成立，取1b=2603bb===，62621000bbb====，即nb的前100项中有60项为2，40项为0时，等号成立．17．【答案】（1）略（2）选①，15S=；选②，12S=+；选③，15S=【解析

】（1）证明：因为222cos2cosbbcAaacB−=−，所以22222cos2cosbcbcAacacB+−=+−，由余弦定理可知，22ab=，即ab=，即△ABC为等腰三角形；（2）解：选①，由（1）可知，AB=，所以2

CB=−，所以()27cos2cos2cos22cos224cosBCBBB==−=−=−，整理得24cos7cos20BB+−=，解得1cos4B=，所以77coscos28CB==，所以215sin1cos8CC=−=，又由1cosBa=，可得4a=，所以1115sin4415228S

abC===；选②，因为2CACBS=，所以22cossinaCaC=，解得4C=，所以2224222aa=−，得2422a=+，()212242212224Sa==+=+；选③，因为2228abc+=，且ab=，2c=，所以4ab=

=，所以222161647cos22448abcCab+−+−===，所以215sin1cos8CC=−=，所以1115sin4415228SabC===．18．【答案】（1）12nna−=（2）()121nnTn=−+【解析】（1）因

为1132nnnSSa+++=−，所以()1322nnnSSan−+=−≥，两式相减，可得()11332nnnnaaaan+++=−≥，整理得()122nnaan+=≥，∵1n=时，1221222232232242aSaaaa

aa+=−+=−==，∴212aa=，所以公比2q=，即数列na是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12nna−=；（2）略19．【答案】（1）略（2）223【解析】（1）证明：设ACBD

O=，连接PO，在菱形ABCDK，O为BD中点，且BDAC⊥，因为PBPD=，所以BDPO⊥，又因为POACO=，PO，AC平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为BD平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD；（2）解：作OM⊥平面ABCD，以,,OAOBOM为x，y，z轴，建立空间直角坐

标系，易知2PBPDBDABAD=====，则3OAOP==，1OB=，因为OABD⊥，OPBD⊥，所以POA为二面角P-BD-A的平面角，所以1cos3POA=，则326,0,33P，()

3,0,0A，()0,1,0B，()0,1,0D−，所以()3,1,0AD=−−，()3,1,0AB=−，2326,0,33AP=−，设平面PAB的法向量为()111,mxyz=，则1

111302326033mABxymAPxz=−+==−+=，取11z=，则12x=，16y=，所以()2,6,1m=，设平面PAD的法向量为()22,,znxyz=，则2222302326033nADxynAPxz=−−==

−+=，取11z=，则12x=，26y=−，所以()2,6,1n=−，设二面角B-PA-D为，则2611cos3261261mnmn−+===++++，所以222sin1cos3=−=．20．【答案】（1）55108（2）略【解析】（1）设得分不低于15分为事件A，则()2

22125111511511512556236623623623108PAC+++==;（2）易知X的取值可能为0，5，10，15，20，则()211210623108PX===；()2212112111

15122356236236623216PXC==++=，()2211221115121511151281310623623662366232168PXCC==+++

==，()2212151151151285156623623623216PXC==++=，()25112520623216PX===，则X的分布列为X05101520P11082321638852162521621．【答

案】（1）2212xy+=（2）不存在，理由见解析【解析】（1）由题意可知，22cea==，即2ac=，当A为椭圆的短轴端点时，不妨设()0,Ab，则()2,AFbc=−，(),2APb=−，所以2223AFAPbc=+=，因为22222

abcc=+=，所以22bc=，所以223cc+=，解得1c=，所以2a=，1b=，所以椭圆C的标准方程为2212xy+=；（2）设l：()2ykx=−，将直线方程与椭圆C的方程联立，()22212ykxxy=−+=

，消去y，整理得()2222218820kxkxk+−+−=，因为()()42264421820kkk=−+−，解得22,22k−，设()11,Axy，()22,Bxy，则2122821k

xxk+=+，21228221kxxk−=+，所以()()()42222121212224821221kkxxxxxxk−++=+−=+，易知()11,0F−，所以()()2222221111111111112222FAxyxxxx=++=++−=++，同

理2121222FBxx=++∣，所以()()2242221211122248122244221xxkkFAFBxxk++++=+++=++，又因为219FP=，所以()4222481224921kkk+++=+，刯得4228830kk−−=

，因为分解为()()22211430kk−+=，解得22k=，因为210,2k，所以不存在直线l符合题意．22．【答案】（1）()fx的极大值为()11f=，无极小值（2）（ⅰ）ln21

22a+；（ⅱ）略【解析】（1）解：当1a=时，()ln1xfxx+=，则()2ln'xfxx−=，令()'0fx=，解得1x=，列表可知，x（0，1）1()1,+()'fx+0-()fx单调递增1单调递减()fx的极大值为()11f=，无极小值；（2）（ⅰ）解：由题意可知，ln0xaxx+

−=有两解，即2ln0xxa−+=有两解，设()2lngxxxa=−+，则()2112'2xgxxxx−=−=，令()'0gx=，解得22x=，列表可知，()min2ln21222gxga==−−

+，因为()gx有两个零点，所以()max0gx，解得ln2122a+，当0axe−时，有ln0xa+，可得()ln0gxxa+，令()21ln2xxx=−，有()211'?xxxxx−=−=，可得函数()x的增区间为()1,+，减区间

为()0,1，有()()1102x=−≤，可得21ln02xx−，当2xa时，()2221111ln202222gxxxaxaxaa=−+−−−=．所以存在122x，222x，使得()()1

20gxgx==，所以ln2122a+；（ⅱ）证明：因为()21ln'axfxx−−=，令()'0fx=，解得1axe−=，列表可知，()fx在()10,ae−上单调递增，在()1,ae−+上单调递减，①当12axe−≤时，()()122210aageeg

x−−=−=≤，解得ln21124a+≤，所以()ln11xfxx+≤≤，所以11amne−≤≤，即()fx在,mn上单调递增，所以()fmm=，()fnn=，即1mx=，2nx=，所以当ln21124a+≤时，存在一组m，n符合题意；②当1a时，()122

10aagee−−=−，所以112axex−，所以不存在1anme−≤符合题意，若1anme−≥，则()fx在,mn上单调递减，所以()lnmafmnm+==，()lnnafnmn+==，所以lnlnmanamn+=+=，即mn=，不符题意；若1amen

−，()fx在)1,ame−上单调递增，在(1,ae−+上单调递减，所以()()max111aafxfene−−===，又因为()()1121aafneaem−−=−，所以()max()fxfmm==，即1mx=，11

ane−=，所以当1a时，存在一组m，n符合题意；综上，存在一组m，n符合题意．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com