【文档说明】浙江省杭州市s9联盟2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.316 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第二学期S9联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写

在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸．第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.若集合{1},22xAxxBx==∣∣，则AB=（）A.1,2−B.10,2

C.10,2D.1,12【答案】C【解析】【分析】解无理不等式确定集合A，解指数不等式确定集合B，然后由交集定义求解．【详解】{|1}{|01}Axxxx==，1{|22}{|}2==x

Bxxx，所以1{|0}2ABxx=．故选：C．2.设复数3i1iz−+=−，则在复平面内复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的四则运算化简，得到复数z对应的点，即可判断所在象限.【详解】由题意可知：()()()()

223i1i3i32ii42i2i1i1i1i1i2z−++−+−−+−−=====−−−−+−，则在复平面内复数z对应的点为()2,1−−，位于第三象限，故选：C.3.已知2sin44+=，则sin2=（）A.34−B.34C.34D.74−【答案】A【解析】【

分析】对2sin44+=展开化简可得1sincos2+=，再对等式两边平方化简后结合二倍角公式可求出sin2的值.【详解】因为2sin44+=，所以2sincoscossin444

+=，所以222sincos224+=，所以1sincos2+=，所以()21sincos4+=，所以221sin2sincoscos4++=，即112sincos4+=，所以3sin24=−，故选：A4.已知a，b为实数，则“2ab”是“ab”的（）A.充分

不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】通过分析条件能否推出结论，结论能否推出条件，即可确定正确选项.【详解】因为2ab，如果b是负数，则b是虚数，与a无法比较大小，即由2ab不

可推出ab，因为ab，取2a=，2b=，则2ab，即由ab不可推出2ab，所以“2ab”是“ab”的既不充分也不必要条件，故选：D.5.已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为35π，则该圆台的体积为（）A.8π3B.14π3C.5πD.16

π3【答案】B【解析】【分析】根据扇环的面积公式求出母线长，利用勾股定理求高，在根据圆台体积公式计算即可.【详解】解：圆台的侧面展开图是个扇环，()()12ππ1235π5Srrlll=+=+==扇环，所以圆台的高()()225212h=−−=，则()()1114π4ππ4π2π

333VSSSSh=++=++=下下上上圆台，故选：B.6.已知0.3sin3,ln2,2abc===，则（）A.bacB.cbaC.abcD.acb【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数，对数函数及指数函数的单调性结合中间量法即可得解.【详解】因为5π3π6

，所以1sin32，而0.301ln2lne,2212bc====，所以abc.故选：C.7.若函数2cosyx=在区间2π0,3单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（）A.1B.12C.2D.13【答案】A【解析】【分析】分0和0两种情况

讨论，结合余弦函数的单调性求出的范围，即可得解.【详解】当0时，()2cos2cosyxx==−，由2π0,3x，得2π0,3x−−，因为函数2cosyx=在区间2π0,3

单调递减，且最小值为负值，所以π2ππ23−，解得3324−−，当0时，由2π0,3x，得2π0,3x，因为函数2cosyx=在区间2π0,3单调递减，且最小值为负值，所以π

2ππ23，解得3342，综上所述3333,,2442−−.故选：A.8.已知函数()fx的定义域为R，且()21fx−是奇函数，()1fx+是偶函数，则下列命题正确的个数是（）①()()16fxfx=−②()

110f=③()()20220ff=−④()()20231ff=−A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得函数的周期性、对称性，然后逐一分析即可.【详解】因为()21fx−是奇函数，所以()()2121fxfx−−=−−，故()()11f

xfx−−=−−，()()2fxfx=−−−，又因为()1fx+是偶函数，则()()11fxfx+=−+，()()2fxfx=−+，所以()()22fxfx−+=−−−，()()4fxfx+=−，所以()()()84fxfxfx+=−+=，即函数的周期为8，由(

)()11fxfx−−=−−可得()10f−=，由()()4fxfx+=−可得()()310ff−−==，对于①，()()()()2816fxfxfx=+−=−，正确；对于②，()()()118330fff=+==，正确；对于③，()()()()20228253

222ffff=−=−=−，错误；对于④，()()()2023825311fff=−=−，正确；故选：C.二、多选题（每题5分，共20分．多选错选不得分，少选得2分）9.已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线22:1xyCmn+=描述正确的是（）A.曲线C

可表示为焦点在y轴椭圆B.曲线C可表示为焦距是4的双曲线C.曲线C可表示为离心率是22的椭圆D.曲线C可表示为渐近线方程是2yx=的双曲线【答案】ACD【解析】【分析】由已知条件先求出,mn的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可【详

解】由m为3与5的等差中项，得2358m=+=，即4m=，由n为4与16等比中项，得241664n==，即8n=，的的则曲线22:1xyCmn+=的方程为22148xy+=或22148xy−=．其中22148xy+=表示焦点在y轴的椭圆，此时它的离心率22222

421182cabbeaaa−===−=−=，故A正确，C正确；其中22148xy−=表示焦点在x轴的双曲线，焦距为222224843cab=+=+=，渐近线方程为y=2222bxxxa==，故B不正确，D正确．故选:ACD．10.已知函数()sin4π6fxx=+，则（）A.(

)fx的最小正周期为π2B.()fx在ππ,88−上单调递增C.()fx的图象关于点5π,024中心对称D.()fx在π23π,2424−上有4个零点【答案】AC【解析】【分析】根据周期的计算公式可判断A

，根据整体法即可验证是否单调，判断B,计算05π5π4sin4sinπ=6π242f=+=，由此可判断C,将函数零点转化为方程的根，即可求解D.【详解】对于A;周期2ππ42T==,故A正确；对于B;当ππ,88x

−时，ππ2πππ4,,63322x+−−，故()fx在ππ,88−上不单调递增，B错误；对于C;05π5π4sin4sinπ=6π242f=+=，故5π,024

是()fx的一个对称中心，故C正确；对于D;令()sin4=04=6π6ππ,Zfxxxkk=++,解得ππ,Z244kxk=−+，故当π23π,2424x−时，取0,1,2,34k=，分别得12345

π5π11π17π23π2424242424xxxxx=−====，，，，，故()fx在π23π,2424−上有5个零点，D错误,故选：AC11.我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两老鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自

半.下列说法中正硆的有（）A.大鼠与小鼠在第三天相逢B.大鼠与小鼠在第四天相逢C.大鼠一共穿墙5917尺D.大鼠和小鼠穿墙的长度比为59:27【答案】AC【解析】【分析】对A和B构造等比数列，利用等比数列求和公式即可求出n

的值，对C，首先求出前两天每天各自的工作量，再列方程求出第三天大小老鼠打通的长度，最后即可判断C和D.【详解】对A和B，今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，由题得大鼠和小鼠每一天的穿墙长度成等比数列，分别设大鼠和小鼠每日穿墙长度所

成的数列为,nnab，则大鼠第n日穿墙12nna−=，小鼠第n日穿墙112nnb−=，则11122511212nnnS−−=+=−−，整理得11242nn−−=，解得16212n−=+，则()261log12,32n=+

+，Nn，3n=，故大鼠与小鼠在第三天相逢，故A正确，B错误；对C，第一天大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还

剩0.5尺.第三天按道理应是大老鼠打4尺，小老鼠0.25尺，可是总长度只剩0.5尺没有打通，所以在第三天肯定可以打通.设第三天大老鼠打了x尺，小老鼠则打了()0.5x−尺，则打洞时间相等：()40.50.25xx=−，解方程得8,17x=大老鼠在第三天打了817尺，小

老鼠打了810.51734−=，三天总的来说：大老鼠打了85931717+=尺，故C正确；对D，大鼠和小鼠穿墙的长度比为：5959:559:261717−=，故D错误.故选：AC.12.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E，F，G分别是11,,ABBCB

C的中点.下列命题正确的是（）A.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形B.P在直线FG上运动时，APDE⊥C.Q在直线1BC上运动时，三棱锥1ADQC−的体积不变D.M是正方体的面1111DCBA内到点D和1C距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段【答案

】BCD【解析】【分析】画出正方体图形，A：以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；作出反例否定A；B；根据线面垂直判定可得判断；C：根据底面积不变，高不变，则体积不变，即可判断；D：根据线段11AD满足可判断．【详解】画出图

形，如图（1）四个面都是直角三角形，1112AACAABABCABC====,所以A不正确．对于B，P在直线FG上运动时，APDE⊥；如图（2），因为,,,DEAFDEPFAFPFF⊥⊥=,AFPF平面FAP，所以DE⊥平面FAP，所以APDE

⊥,所以B正确．对于C，Q在直线1BC上运动时，三棱锥1ADQC−的体积不变；如图（2）三角形1ADQ面积不变，C到平面距离不变，所以体积为定值．所以C正确；对于D，M是正方体的面1111DCBA内到点D和1C距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．线段11AD满足题意

．故选：BCD【点睛】方法点睛：求空间几何体的体积常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择解答.第II卷（非选择题部分）三、填空题（每题5分，共20分

）13.已知向量()3,4a=+，()2,2b=−，ab∥，则=______．【答案】7−【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示进行求解.【详解】由题意，得2(3)80−+−=，解得7=−.故答案为：7−.14.设函数()exfxx=，则在2x=处

的切线方程为_________．【答案】2e4xy=【解析】【分析】利用函数解析式求得切点坐标，利用导数求切线斜率，可得切线方程.【详解】函数()exfxx=，在2x=处的切点坐标为2e2,2，()()21exxfxx−=，则在2x=处的切点斜率为()2e2

4kf==，所以切线方程为()22ee224yx−=−，即2e4xy=.故答案为：2e4xy=.15.已知数列na满足111,nnaaan+==−，则na=_________．【答案】222nn−++【解析】【分析】利用累加

法结合等差数列前n项和公式即可得解.【详解】由1nnaan+=−，得1nnaan+−=−，当2n时，()()()112211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+()()()1211nn=−−+−−++−+()(

)21112122nnnn−−−−−++=+=，当1n=时，上式也成立，所以222nnna−++=.故答案为：222nn−++.16.已知抛物线2yax=，直线l交该抛物线于M，N两点（直线l不过原点），若0OMON=，则直线l经过定点____

____．【答案】(),0a【解析】【分析】由题意可设直线l的方程为()0xmynn=+，()()1122,,,MxyNxy，联立方程，利用韦达定理求出1212,yyyy+，再根据0OMON=，可得12120xxyy+=，求出n，即可得

解.【详解】由题意可设直线l的方程为()0xmynn=+，()()1122,,,MxyNxy，联立2yaxxmyn==+，消x得20yamyan−−=，则2240aman=+，1212,yyamyyan+==−，因为0OMON=，所以12120xxyy+=，即()()12120

mymyyynn++=+，即()()12212201mnymyyyn+++=+，所以()2210anmmnamn−+++=，所以2nan=，又0n，所以an=，所以直线l的方程为xmya=+，所以直线l经过定点(),0a.故答案为：(),0a.【点睛】求解直线过定点问题常用方

法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求

点；（3）求证直线过定点()00,xy，常利用直线的点斜式方程()00yykxx−=−或截距式ykxb=+来证明.四、解答题（第17题10分，其余5题每题12分．共70分）17.如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数．．．．）

整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）80~90这一组的频数､频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数.（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.【答案】（1）4，0.1（2）68.5，75，

70（3）715【解析】【分析】（1）先求得40~50，50~60，60~70，70~80，90~100各组的频率，再利用对立事件的概率求解，进而得到频数；（2）根据频率分布直方图，利用平均数的平均数､众数､中位数的定义求解；（3）易得80~90和90~100之间的

人数分别为4人和2人，然后利用古典概型的概率求解.【小问1详解】根据题意，40~50的这一组的频率为0.01100.1=，50~60的这一组的频率为0.015100.15=，60~70的这一组的频率为0

.025100.25=，70~80的这一组的频率为0.035100.35=，90~100的这一组的频率为0.005100.05=，则80~90这一组的频率为()10.10.150.250.350.05−++++0.1=，其频数为400.14=；【小问2详解】这次竞赛的平均数为

450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5+++++=，70~80一组的频率最大，人数最多，则众数为75，70分左右两侧频率均为0.5，则中位数为70；【小问3详解】记“取出的2人在同一分数段”为事件E，因为

80~90之间的人数为400.14=，设为a､b､c､d，90~100之间有400.052=人，设为A､B，从这6人中选出2人，有(),ab、(),ac、(),ad、(),aA､(),aB、(),bc、(),bd、()

,bA、(),bB、(),cd、(),cA､(),cB、(),dA、(),dB、(),AB，共15个基本事件，其中事件E包括(),ab、(),ac、(),ad、(),bc、(),bd、(),cd、(),AB，共7

个基本事件，则()715PE=.18.已知公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，且412420,,,Saaa=成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设()14Nnnnbnaa++=，求证数

列nb的前n项和1nT．【答案】（1）2nan=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意求出数列的首项根公差，再根据等差数列的通项即可得解；（2）利用裂项相消法求解即可.【小问1详解】设公差为()0dd，由412420,,,S

aaa=成等比数列，的得()()12341211146203aaaaadadaad+++=+=+=+，解得12ad==，所以2nan=；【小问2详解】由（1）得()144112211nnnbaannnn+===−++，所以1

1111221111131nTnnn=−+−−=−++++.19.如图，ABD△与BCD△所在平面相互垂直，ABD△是边长为2的等边三角形，BCBD⊥，23BC=．（1）求证：BCAD⊥；（2）求二面角ADCB−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析

（2）55【解析】【分析】（1）取BD的中点M，根据面面垂直性质定理证明AM⊥平面BCD，由此证明BCAM⊥，结合BCBD⊥，根据线面垂直判定定理证明BC⊥平面ABD，由此证明BCAD⊥；（2）建立空间直角坐标系，求平面

ACD和平面BCD的法向量，结合向量夹角公式求二面角ADCB−−的余弦值．【小问1详解】取BD的中点M，连接AM．因为ABD△为等边三角形，所以AMBD⊥．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，AM平面ABD，所以AM⊥平面BCD．因为BC平面

BCD，所以BCAM⊥．因为BCBD⊥，AMBDM=，AM平面ABD，BD平面ABD，所以BC⊥平面ABD．因为AD平面ABD，所以BCAD⊥．【小问2详解】过点M作BC的平行线交CD于点N，以M为原点，MD，MN

，MA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Mxyz−．由题意可知()0,0,0M，()1,0,0B−，()1,0,0D，()1,23,0C−，()003A,,，所以()0,0,3MA=为平面B

CD的一个法向量．设平面ACD法向量为()111,,xnyz=，()1,0,3AD=−，()1,23,3AC=−−，由00nADnAC==，可得11111302330xzxyz−=−+−=，令13z

=，则13x=，13y=，所以()3,3,3n=为平面ACD的一个法向量，所以()()()2222220303335cos,5003333nMA++=−=++++，由图可知二面角ADCB−−为锐角

，则二面角ADCB−−的余弦值为55．20.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos2aBcb=+．（1）求A；（2）若4,25abc=+=，求ABC中BC边中线AD长．【答案】（1）2π3A=（2）2AD=【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再

根据三角形内角和定理结合两角和得正弦公式化简即可得解；（2）先利用余弦定理求出bc，再利用向量化即可得解.【小问1详解】因为2cos2aBcb=+，由正弦定理得2sincos2sinsinABCB=+，即()2sincos2sinsin

ABABB=++，即2sincos2sincos2cossinsinABABABB=++，所以2cossinsin0ABB+=，又sin0B，所以1cos2A=−，又()0,πA，所以2π3A=；小问

2详解】由余弦定理得()22222cosabcbcBACbcbc=+−=+−，即1620bc=−，所以4bc=，因为AD为ABC中BC边的中线，所以()12ADABAC=+，则()22211222ADABACABACABAC=+=++()

22212π112cos3201222322cbbccbbc=++=+−=−=，所以2AD=【.21.在直角坐标平面内，已知()2,0A−，()2,0B，动点P满足条件：直线PA与直线PB的斜率之积等于14，记动点P的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过点()4,0C作直线l交E于M，N两点

，直线AM与BN交点Q是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由．【答案】（1）2214xy−=()2x（2）点Q在直线1x=上【解析】【分析】（1）设(),Pxy()2x，由斜率公式得到方程，整理即可得解；（2）依题意直线M

N的斜率不为0，设直线MN的方程为4xmy=+，11(,)Mxy，22(,)Nxy，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线AM、BN的方程，即可得到直线AM，BN的交点00(,)Qxy的

坐标满足210012(2)2(2)(2)yxxxyx++=−−，根据韦达定理求出2112(2)(2)yxyx+−，即可求出0x，从而得解.【小问1详解】解：设(),Pxy()2x，则1224yyxx=+−，得2244yx=−，即2214x

y−=()2x，故轨迹E的方程为：2214xy−=()2x．【小问2详解】解：根据题意，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为4xmy=+，由22414xmyxy=+−=，消去x并整理得()2248120mymy

−++=，其中2226448(4)161920mmm=−+=−，则23m或23m−．设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则12284myym+=−−，122124yym=−．显然12,2xx，从而可设直线AM的方程为11

(2)2yyxx=++①，直线BN的方程为22(2)2yyxx=−−②，所以直线AM，BN的交点00(,)Qxy的坐标满足：210012(2)2(2)(2)yxxxyx++=−−．而()21211221212121(2)(6)6(2)22yxymymyyyyxymymyyy+++==−++2

122121121286366(4)44312122(4)24mmymmymmmmmyym+−−−−=−−−−==−++−，因此，01x=，即点Q在直线1x=上．22.已知函数()2lnfxxx=．（1）求函

数()fx的单调区间；（2）函数()()31139hxxfxx=−，若方程()20hxa−=在1,e上有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）()fx的增区间为12e,−+，减区间为120,e−；（2

）31,189e−．【解析】【分析】（1）利用函数导数，求得函数的单调区间.（2）利用导数，求得()hx的单调区间和值域，根据()20hxa−=在1,e有解列不等式，解不等式求得a的取值范围.【详解】（1）函数()fx的定义域为()0,+

，()2lnfxxxx=+，令()0fx=解得：12xe−=，120,xe−时，()0fx，此时函数是减少的．12,xe−+时，()0fx¢>，此时函数是增加的．函数()fx的增区间为12e,−+，减区间为

120,e−．（2）()3311ln39hxxxx=−，则()2lnhxxx=，由（1）知，()2lnhxxx=在1,e为增函数，()()10hxh=，()3311ln39hxxxx=−在

1,e为增函数，()()()1hhxhe即()31299ehx−．()20hxa−=在1,e有解，只需满足312299ea−即31189ea−实数a的取值范围为31,189e−

．【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的值域，属于中档题.