【文档说明】高中数学人教A版《必修第二册》全书课件8.6.3.ppt，共(38)页，2.517 MB，由小赞的店铺上传

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8.6.3平面与平面垂直最新课标从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系，归纳出判定定理和性质定理，能用已获得的结论证明平面与平面垂直关系的简单命题.要点一二面角半平面的定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面二面角的定

义从一条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角二面角的相关概念这条直线叫做二面角的________，这两个半平面叫做二面角的________二面角的画法两个半平面棱面二面角的记法二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q定义在二面角α-l-β的棱l上任取

一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角图形二面角的平面角范围∠AOB的范围是____________[0°，180°]状

元随笔作二面角的平面角的方法方法一(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角α­a­β的平面角．方法二(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半

平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α­l­β的平面角．方法三(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠AFE为二面角A-BC-D的平面

角．要点二平面与平面垂直平面与平面垂直定义如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直，记作：________画法通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：判定定理文字表述：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．符号表示：

a⊥β⇒α⊥β直二面角α⊥β垂线a⊂α状元随笔定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．要三平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，则____________垂直于______的直线与

另一个平面______符号语言α⊥βα∩β＝l⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒________垂直；②作面的垂线一个平面内交线垂直a⊂αa⊥l线面状元随笔对面面垂直的性质定理的理解1．定理

的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．[教材答疑]教材P156思考如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应

该怎样刻画二面角的大小呢？提示：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面

角是多少度，就说这个二面角是多少度．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知一条直线垂直于某一个平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直．()(2)两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直．()(3)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定

不存在直线垂直于平面β.()(4)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.()√×√√2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面

DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC.又因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.故选D.答案：D3．对于直线m、n和平面α、β，能得

出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：取正方体ABCD-A1B1C1D1，连接AC，A1C1，把AD所在直线看作直线m，BB1所在直线看作直线n，把平面BB1C1C作

为平面α，平面AA1C1C作为平面β.对于A虽满足m⊥n，m∥α，n∥β，但α不垂直于β，从而否定A.类似地可否定B和D.答案：C4.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有________对．解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面AB

CD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对．答案：5题型一求二面角——师生共研例1如图，在正方体AB

CD-A′B′C′D′中：(1)求二面角D′-AB-D的大小；(2)求二面角A′-AB-D的大小．解析：(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45

°，所以二面角D′-AB-D的大小为45°.(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD为二面角A′-AB-D的平面角．又∠A′AD＝90°，所以二面角A′-AB-D的大小为90°.方法归纳解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，

通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．跟踪训练1在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，

其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V-AB-C的余弦值的大小为()A.23B.24C.73D.223解析：如图所示，取AB的中点E，连接VE，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE.根据题意可知，∠VEO是二面角V-AB-C的平面角．因为OE＝1，

VE＝32－1＝22，所以cos∠VEO＝OEVE＝122＝24.故选B.答案：B题型二证明面面垂直——微点探究微点1利用面面垂直的定义证明例2如图，四面体A-BCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，

AB＝BD.证明：平面ACD⊥平面ABC.证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.如图，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角．在Rt

△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.所以平面ACD⊥平面ABC.方法归纳证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：(1)找出两相关平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个相交平面互相垂

直．微点2利用面面垂直的判定定理证明例3如图，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.欲证平面EBD⊥平面ABCD，只需在平面EBD内找到一条直线垂直于平面ABCD，可考虑直线EF.证明：如图，连接AC，与BD

交于点F，连接EF.∵F为▱ABCD的对角线AC与BD的交点，∴F为AC的中点．∵E为SA的中点，∴EF为△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又∵EF⊂平面EBD，

∴平面EBD⊥平面ABCD.方法归纳利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从已知条件的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来解决．跟踪训练2如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90

°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥

BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C.所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.题型三面面垂直的性质定理的应用——师生共研例4如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，A

B＝2，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面A

BCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，CF⊂平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.方法归纳(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线．(2)证

明线面垂直的常用方法：①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α⇒a⊥α.跟踪训练3在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明：如图所示，在平面P

AB内作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵PA∩AD

＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.易错辨析平面与平面垂直的条件把握不准确致误例5(多选)已知两个平面垂直，则下列说法中正确的有()A．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面解析：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对于A，AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且

夹角为60°，故A错误；B正确；对于C，A1A⊥平面ABCD，A1A⊂平面A1ABB1，所以平面A1ABB1⊥平面ABCD，C正确；对于D，过平面AA1D1D内的点D1，作D1C，因为AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，所以AD⊥D1C，但D1C不垂直于平面ABCD，故D错误

．故选BC.答案：BC易错警示易错原因纠错心得对平面与平面垂直的条件把握不准确，很容易认为D正确，导致错选为BCD.D选项其实与平面与平面垂直的性质定理是不同的，即“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面

垂直”与“两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在平面内.