【文档说明】《四川中考真题数学》2020年四川省资阳市中考数学试卷（解析版）.docx，共(26)页，382.980 KB，由envi的店铺上传

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2020年四川省资阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。1．（4分）﹣5的绝对值是（）A．﹣5B．C．5D．±5【分析】负数的绝对值是其相反数，依此即可求解．【解答】解：﹣5的绝对值是5．故

选：C．【点评】本题考查了绝对值的知识，掌握绝对值的意义是本题的关键，解题时要细心．2．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．圆柱B．球体C．圆锥D．四棱柱【分析】根据主视图和左视图得出该几何体是柱体，再根据俯视图可得这个几何体的形状．【解答】解：由于主视图和左视图为正方形

可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得这个几何体是圆柱．故选：A．【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．3．（4分）2020年的政府工作报告中，在回顾2019年的工作时提到：农村贫困人口

减少1109万，贫困发生率降至0.6%，脱贫攻坚取得决定性成就．将数据1109万用科学记数法表示为（）A．0.1109×108B．1.109×106C．1.109×107D．1.109×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看

把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1109万＝11090000＝1.109×107．故选：C．【点评】此题考

查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）下列计算正确的是（）A．x+x2＝x3B．x2÷x2＝xC

．（x+y）2＝x2+y2D．（﹣3x3）2＝9x6【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A、x与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意

；B、x2÷x2＝1，故本选项不合题意；C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故本选项不合题意；D、（﹣3x3）2＝9x6，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式以及

幂的乘方与积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．5．（4分）将一副直角三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的位置摆放，使AB∥EF，则∠DOC的度数是（）A．70°B．75°C．80°D．85°【分析】在Rt△DEF中，由两角互余得∠F＝45°，根据直线AB

∥EF得∠A＝∠ACF，再由三角形外角的性质即可求解．【解答】解：∵∠D＝90°，∴∠E+∠F＝90°，又∵∠E＝45°，∴∠F＝45°，又∵AB∥EF，∴∠A＝∠ACF，又∵∠A＝30°，∴∠ACF＝30°，∴∠DOC＝∠ACF+∠F＝30°+45°＝75°．故选

：B．【点评】本题综合考查了平行线的性质，三角形的外角的性质等相关知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形的外角的性质等知识．6．（4分）一组数据3，5，2，a，2，3的平均数是3，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．3，3B．3，2C．2，3D．3，2.5【分析】先根据平均数的定义

列出关于a的方程，解之求出a的值即可还原这组数据，再由中位数和众数的定义求解即可．【解答】解：∵这组数据的平均数为3，∴3+5+2+a+2+3＝3×6，解得a＝3，∴这组数据为2、2、3、3、3、5，∴这组数据的众数为3，中

位数为＝3，故选：A．【点评】本题主要考查中位数、众数、平均数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．求一组数据的众数的方法：找出频数

最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．7．（4分）一次函数y＝kx+k2+1与反比例函数y＝﹣同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特

点对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx+k2+1中，k2+1＞0，∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意，C、D符合题意，C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知k＜0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k＞0，两结论相矛盾，故选项C错误；D、由一次函数的图象过一、二、三

象限可知k＞0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k＞0，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．8．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC＝2．将△ABC绕着点A

顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为（）A．B．πC．D．2π【分析】根据勾股定理求出AB，根据旋转求出∠CAC1＝90°，根据图形得出阴影部分的面积S＝S+S﹣S△ACB﹣S，再求出答案即可．【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90o，AC＝BC＝2，由勾股定

理得：AB＝＝2，∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，∴∠CAC1＝90°，∴阴影部分的面积S＝S+S﹣S△ACB﹣S＝+2×2﹣2×2﹣＝π，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质和扇形的面积计算等知识点，能把求出不规则图形的面积转

化成求规则图形的面积是解此题的关键．9．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，连接BF，使tan∠ABF＝2，则DE的长是（）A．1B．C．D．【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝

x，则FN＝2x，则AN＝4﹣x，由折叠的性质得出DE＝EF，DA＝AF＝4，∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理求出x，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，∵tan∠ABF＝2，∴＝2，设BN＝x，则FN＝2x，∴

AN＝4﹣x，∵将△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴DE＝EF，DA＝AF＝4，∠D＝∠AFE＝90°，∵AN2+NF2＝AF2，∴（4﹣x）2+（2x）2＝42，∴x＝，∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣

2x＝4﹣＝，∵∠EFM+∠AFN＝∠AFN+∠FAN＝90°，∴∠EFM＝∠FAN，∴cos∠EFM＝cos∠FAN，∴，∴，∴EF＝．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及折叠的

性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点（3，0）的右侧，直线y＝﹣x+c经过A、B两点．给出以下四个结论：①b＞0；②c＞；③3a+2b+c＞0；④＜a＜0，其中正确的结论是（

）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】根据抛物线开口方向和对称轴即可判断①；把A（3，0）代入y＝﹣x+c，求得c的值，即可判断②；由3a+2b+c整理得到3a﹣4a+c＝﹣a+c即可判断③；根据图象即可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，故①正

确；∵直线y＝﹣x+c经过点A，点A在点（3，0）的右侧，∴﹣+c＞0，∴c＞，故②正确；∵a＜0，c＞0，b＝﹣2a，∴3a+2b+c＝3a﹣4a+c＝﹣a+c＞0，故③正确；由图象可知，当x＝3时，9a+3b+

c＞﹣+c，∴9a+3b＞﹣，∴3a＞﹣，∴a＞﹣，∴＜a＜0，故④正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与x轴，y轴的交点以及对称轴推理对称a，b，c之间的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题

，每小题4分，共24分）11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是x≥．【分析】根据二次根式中被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，解得：x≥．故答案为：x≥．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量

的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．（4分）在一个不透明的口袋里装有除颜色不同外，其余都相同的4个红球和若干个绿球，袋中

的球已被搅匀，若从中任意取出一个小球为绿球的概率是，则口袋里绿球个数是2个．【分析】首先设袋中的绿球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，解方程即可求得答案；【解答】解：设袋中的绿球个数为x个，∴＝，解得：x

＝2，经检验，x＝2是原方程的解，∴袋中绿球的个数2个；故答案为：2．【点评】考查了概率公式的知识，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，难度不大．13．（4分）关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等

的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是﹣2．【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到a+1≠0且△＝b2﹣4×（a+1）＝0，则b2﹣4a＝4，再将代数式8a﹣2b2+6变形后把b2﹣4a＝4代入计算即可．【解答】解：根据题意得a+1≠0且△＝b2﹣4×（a+1）＝0，即b2﹣4a﹣4

＝0，∴b2﹣4a＝4，所以原式＝﹣2（b2﹣4a）+6＝﹣2×4+6＝﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．14．（4分）一机器人在平地上按如图设置的程序行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为32m．【分析】该机器人所经过的路径是

一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，即所行走的路程．【解答】解：该机器人所经过的路径是一个正多边形，360°÷45°＝8，则所走的路程是：4×8＝32（m）．故答案为：32m．【点评】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经

过的路线是正多边形是关键．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D是AB的中点，连接CD，将△BCD沿射线CA方向平移，在此过程中，△BCD的边CD与Rt△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，当△AEF的面积是Rt△ABC面积的时，

则△BCD平移的距离是2﹣．【分析】根据三角形中线把三角形的面积分成相等的两部分得到S△ACD＝S△ABC，根据题意得到△AEF的面积是△ADC面积的，通过证得△AEF∽△ADC求得AF，即可求得CF．【解答】

解：∵D是AB的中点，∴S△ACD＝S△ABC，∵△AEF的面积是Rt△ABC面积的，∴△AEF的面积是△ADC面积的，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴＝（）2＝，即＝，∴AF＝，∴CF＝2﹣，∴△BCD平移的距离是2﹣，故答案为2﹣．【点评】本题考查

了直角三角形斜边中线的性质，三角形的面积，平移的性质，三角形相似的判定和性质，求得CF的长是解题的关键．16．（4分）如图，一次函数y＝2x+2的图象为直线l，菱形AOBA1，A1O1B1A2，A2O2B2A3，…按图中所示的方式放置，顶点A，A1，A2，A3，…均在直线l上，顶点O，O

1，O2，…均在x轴上，则点Bn的坐标是（3×2n﹣1﹣1，2n）．【分析】首先求得直线的解析式与x、y轴的交点，然后根据菱形的性质求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．【解答】解：∵一次函数y＝2x+2，∴M（﹣

1，0），A1（0，2），∵四边形AOBA1是菱形，∴A1O1与A1M关于y轴对称，OA1与AB互相垂直平分，∴O1（1，0），AB∥x轴，且AB是△MA1O1的中位线，∴B（，1），同理，O1A2与A1B1互相垂直平分，把x＝1代入y＝2x+2得y＝4，∴A2（1，4），∵O1A

2垂直平分A1B1，∴O2（3，0），B1（2，2），把x＝3代入y＝2x+2得y＝8，∴A3（3，8），∵O2A3垂直平分A2B2，∴B2（5，4），∴Bn的横坐标是：3×2n﹣1﹣1，纵坐标是：2n．∴Bn的坐标是（3×2n﹣1﹣1，2n）．故答案为：（3×

2n﹣1﹣1，2n）．【点评】本题主要考查的是菱形的性质，一次函数图形上点的坐标特征，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（9分）化简求值：（﹣1）÷，其中a＝+1．【分析】先算括号内的减法，把除法变成

乘法，算乘法，最后求出答案即可．【解答】解：（﹣1）÷＝•＝•＝﹣（a﹣1）＝1﹣a，当a＝+1时，原式＝1﹣（+1）＝﹣．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．18．（10分）某市为了解垃圾分类投放工作的落实情况，在全市范围内对部分社区进行抽查，

抽查结果分为：A（优秀）、B（良好）、C（一般）、D（较差）四个等级，现将抽查结果绘制成如图所示的统计图．（注：该市将垃圾分为干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾共四类）（1）本次共抽查了20个社区，C（一般）所在扇形的圆心角的度数是3

6度，并补全直方图；（2）若全市共有120个社区，请估计达到良好及以上的社区有多少个？（3）小明和他的妈妈将分好类的四种垃圾每人各提两袋去分类投放，请用树状图或列表法求小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是多少？【分析】（1）根据A（优秀）社区的个数和所占

的百分比求出抽取的总个数，再用总个数减去其它等级的个数，求出C（一般）的社区的个数，再用360°乘以C（一般）所占的百分比，即可得出C（一般）所在扇形的圆心角的度数，最后补全统计图即可；（2）用全市共有的社区个数乘以达到良好及以上的社区所占的

百分比即可；（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答．【解答】解：（1）本次共抽查的社区有：10÷50%＝20（个），C（一般）的社区有：20﹣10﹣6﹣2＝2（个），C（一般）所在扇形的圆心角的度数是：36

0°×＝36°，补全统计图如下：故答案为：20，36；（2）120×＝96（个），答：达到良好及以上的社区有96个．（3）将干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾分别用A、B、C、D表示，根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，其中小明恰好提到干垃圾和湿垃圾

的有2种，则小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（10分）如图，AB是⊙O的弦，直径C

M⊥AB于点E，延长CM到点D，连接AD、CB，使∠BAD＝2∠BCD．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若DE：OE＝5：1，且⊙O的半径是，求弦AB的长．【分析】（1）连接OA，由圆周角定理及直角三角形的

性质得出∠OAD＝∠AED＝90°，则可得出结论；（2）证明△OAE∽△ODA，由相似三角形的性质得出，求出OA，OE的长，由勾股定理可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵CE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴＝，∴∠AOM＝2∠BCD，又∵∠DAB＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠DAB，又∵∠

D＝∠D，∴∠OAD＝∠AED＝90°，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵∠AOE＝∠DOA，∠AEO＝∠OAD，∴△OAE∽△ODA，∴，∴OA2＝OD•OE，∵DE：OE＝5：1，∴OD＝6OE，又∵AO＝，∴OE＝1，∴AE＝＝＝，∵AB是⊙O的弦，

直径CM⊥AB，∴AB＝2AE＝2．【点评】本题综合考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．20．（10分）新冠肺炎疫情发生以来，国家紧急调拨了大量物资驰援武汉，全国各地的民间组织也积极捐赠，我市的民间组织捐赠了一批医用物资即

将运往武汉，现有A、B两种车型，A种型的载重量比B种车型的载重量多5吨，2辆A种车型与4辆B种车型的总载重量为100吨．（1）求A、B两种车型的载重量分别是多少吨？（2）现有医用物资264吨，计划用A、B两种车型共15辆将

这批医用物资一次性的运往武汉，那么至少安排A种车型多少辆？【分析】（1）设1辆A型车的载重量是x吨，1辆B型车的载重量是y吨，由题意列出二元一次方程组可得出答案；（2）设安排A种车型a辆，则B种种车型（15﹣a）辆，由题意列出一元一次不等式，则可得出答案．【解答】解：（1）

设1辆A型车的载重量是x吨，1辆B型车的载重量是y吨，依题意，，解得．答：A种车型的载重量是20吨，B种车型的载重量是15吨；（2）设安排A种车型a辆，则B种种车型（15﹣a）辆，由题意得，20a+15（15﹣a）≥264，解得a，∵a为整数，∴a的最小值为8，答：至

少安排A种车型8辆，才能将这批医用物资一次性的运往武汉．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准不等关系，正确列出一元一次不等式．21．（11分）如图，

平行四边形OABC中，AB＝2，OA＝2，它的边OC在x轴的负半轴上，对角线OB在y轴的正半轴上．反比例函数y＝的图象经过点A，一次函数y＝kx+b的图象经过A、C两点且与反比例函数图象的另一支交于点D．（1）求反比例函数

和一次函数的解析式；（2）连接BD，求△BDC的面积．【分析】（1）由题意得OB＝4，即可得到A、C的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据S△BDC＝S△ABD﹣S△ABC求得即可．【解答】解：（1）由题意得：OB＝4，∴点A的坐标是（2，4），点C

的坐标是（﹣2，0），把点A代入y＝得m＝8，∴反比例函数解析式是y＝，又∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，4），点C（﹣2，0），∴，解得，∴一次函数解析式是：y＝x+2；（2）联立解得或，∴D

（﹣4，﹣2），∴S△BDC＝S△ABD﹣S△ABC＝×2×6﹣×2×4＝2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积计算等知识，求得交点坐

标是解题的关键．22．（11分）”毗河引水工程”能解决我市大部分地区严重缺水的问题．如图中，BC是该工程修建的一条引水渡槽，为测量它的长度，某人将无人机放飞到点A处测得渡槽端点B的俯角是60°后，再沿俯角30°的方向飞行400米到达点D处，此时测得渡槽端点B和端点C的俯角分别为14°和

45°（点A、B、C、D在同一平面内）．（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）（1）求无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度和水平距离（结果保留根号）；（2）求渡槽BC的长度（计算结果精确到0.1米）．【分析】（1）过点A作AF⊥

CB，交CB的延长线于点F，过点D作DE⊥AF于点E，利用特殊角三角函数值即可求出结果；（2）过点D作DG⊥BC于点G，设DG＝x，根据锐角三角函数和矩形的性质即可求出结果．【解答】解：（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点D作

DE⊥AF于点E，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝400米，∴AE＝AD•sin30°＝200米，DE＝AD•cos30°＝200米．答：无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度为200米，水平

距离为200米；（2）过点D作DG⊥BC于点G，设DG＝x，∴CG＝DG＝x，在Rt△DBG中，∠DBG＝14°，∴BG＝＝≈＝4x，∵四边形EFGD是矩形，∴EF＝DG＝x，FG＝DE＝200，∴BF＝200﹣4x，AF＝AE+EF＝200+x，在Rt△AFB中，∠

ABF＝60°，∴tan∠ABF＝＝，∴x＝50.38，∴BC＝5x≈251.9（米）．答：渡槽BC的长度为251.9米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．23．（12分）在矩

形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．（1）如图1，当DE＝DA时，求证：AF＝EF；（2）如图2，点E在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折

得到△HEF，连接DH交EF于点K，当AD＝2，CD＝2时，求KH的长．【分析】（1）连接DF，证明Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），由全等三角形的性质得出AF＝EF；（2）如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，证明△EAM∽△CAD，得出比例线段①，

证明△DME∽△FNE，得出比例线段，由①②可得，则可得出结论；（3）连接GH交EF于点I，由勾股定理求出DF的长，证明△AGF∽△CGD，由相似三角形的性质得出，则，由折叠的性质可知GI＝IH，GH⊥EF，证明△GFI∽△DFE，由相似三角形的性质得出，证明

△DEK∽△HIK，由相似三角形的性质得出＝，由勾股定理可求出答案．【解答】（1）证明：如图，连接DF，在矩形ABCD中，∠DAF＝90°，又∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∵AD＝DE，DF＝DF，∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），∴AF＝EF；（2）解：的值不变；如图，过

点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，∴四边形ANEM是矩形，∴EN＝AM，∵∠EAM＝∠CAD，∠EMA＝∠CDA．∴△EAM∽△CAD，∴，即，∵∠DEF＝∠MEN＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，又∵∠DME＝∠ENF＝90°，∴△DME∽△FNE，∴，由①②可得，∵AD与DC的

长度不变，∴的长度不变；（3）连接GH交EF于点I，∵点F是AB的中点，∴AF＝，在Rt△ADF中，DF＝＝＝，由（2）知＝，∴DE＝EF，在Rt△DEF中，EF＝，DE＝，又∵AB∥DC，∴△AGF∽△CGD，∴，∴，由折叠的性质可知GI＝IH，GH⊥E

F，又∵DE⊥EF，∴GH∥DE，∴△GFI∽△DFE，∴，∴EI＝＝，GI＝IH＝，又∵GH∥DE，∴△DEK∽△HIK，∴＝，∴KI＝＝，∴HK＝＝．【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，相似三角形

的性质与判定，直角三角形的性质，矩形的性质等知识的综合运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点C的坐标是（6，﹣4），它的图象经过点A（4，0），其对称轴与x轴

交于点D．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，且点E、F在运动过程中始终保持DF⊥OE，垂足为点N，连接CN，当CN最短时，求点N的坐标；（3）连接AC（若点P是x轴下方抛物线上一动点（点P与顶点

C不重合），过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2﹣4，再将点A（4，0）代入，解得a的值，则可求得该抛物线的解析式；（2）由题意可得

点N是以OD为直径的圆上的一动点，设以OD为直径的圆的圆心为点G，连接CG，交⊙G于点N'，此时CN'即为最短的CN，过点N'作N'B⊥x轴于点B，判定△GBN'∽△GDC，从而得比例式，解得N'B＝，GB＝，根据OB＝OG+GB，求得OB，则可得点N

的坐标；（3）存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．分情况讨论：①当点P在抛物线的对称轴的右侧时，PM＝2CM，△PCM∽△CAD，如图2，延长CP交x轴于点Q，设Q（m，0），则（m﹣4）2＝（m﹣6）2+42，解得m的值，则可得点Q的坐标，用待定系数法求得直线CQ的解析式，将其与

抛物线的解析式联立，即可解得点P的坐标；②当点P在抛物线对称轴的左侧时，CM＝2PM，△PCM∽△ACD，如图3，过点A作AH⊥AC，交CP的延长线于点H，过点H作HK⊥x轴，交x轴于点K，判定△HCA∽△ACD，△

AHK∽△CAD，用待定系数法求得直线CH的解析式，将其与抛物线的解析式联立，即可解得点P的坐标．【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2﹣4，∵图象经过点A（4，0），∴a（4﹣6）2﹣4＝0，∴a＝1，∴y＝（x﹣6）2﹣4＝x2﹣12x+32，∴该抛物

线的解析式为y＝x2﹣12x+32；（2）如图1，∵点E、F在运动过程中始终保持DF⊥OE，∴点N是以OD为直径的圆上的一动点，设以OD为直径的圆的圆心为点G，连接CG，交⊙G于点N'，此时CN'即为最短的CN，过点N'作N'B⊥x轴于点B，由已知得OD＝6，CD＝4，∴GD＝3，

CG＝5，∵N'B⊥x轴，CD⊥x轴，∴N'B∥CD，∴△GBN'∽△GDC，∴，∴N'B＝，GB＝，∴OB＝OG+GB＝3+＝，∴点N的坐标为（，﹣）；（3）存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．∵A（4，0），D（6，0），∴AD＝2，∵，∠ADC＝90°，∴当PM、

CM的长度是2倍关系时，△PCM与△ACD相似．①当点P在抛物线的对称轴的右侧时，PM＝2CM，△PCM∽△CAD，如图2，延长CP交x轴于点Q，此时∠QCA＝∠QAC，∴QA＝QC，∴QA2＝QC2，设Q（m，0），则（m﹣4）2＝（m﹣6

）2+42，解得m＝9，∴Q（9，0），设直线CQ的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（6，﹣4），Q（9，0）代入，得：，解得，∴y＝x﹣12，联立，解得（舍去），，∴点P（，﹣）；②当点P在抛物线对称轴的左侧时，CM＝2PM，△PCM∽△ACD，如图3，过

点A作AH⊥AC，交CP的延长线于点H，过点H作HK⊥x轴，交x轴于点K，由勾股定理得AC＝＝2，∵AH⊥AC，PM⊥AC，∴AH∥PM，∴△PCM∽△ACH，∵△PCM∽△ACD，∴△HCA∽△ACD，∴＝，∴，∴AH＝，∵HK⊥x轴，AH⊥AC，∴∠HKA＝∠ADC＝∠HAC＝

90°，∴∠KAH+∠AHK＝90°，∠CAD+∠KAH＝90°，∴∠AHK＝∠CAD，∴△AHK∽△CAD，∴，∴，∴AK＝2，KH＝1，∴H（2，﹣1），设直线CH的解析式为y＝mx+n（m≠0），将C（6，﹣4），H（2，﹣1）代入，得：，解得，∴直线

CH的解析式为y＝﹣x+，联立，解得（舍去），，∴点P（，﹣）；综上所述，满足条件的点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、圆的性质及定义、动点

问题的存在性、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com