【文档说明】江苏省南京市第二十九中2020届高三下学期3月期初考试数学试题【精准解析】.doc，共(24)页，1.766 MB，由管理员店铺上传

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高三数学考试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上）1.复数112i−的共轭复数为________.【答案】1255i−【解析】【分析】化简得到1255zi=+，再计算共轭复数得到答案.【详解】()()1121212121255izi

iii+===+−−+，故1255zi=−.故答案为：1255i−.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.2.已知0,1A=，|ln1Bxx=，则AB=_______

_.【答案】0,e【解析】【分析】计算得到0Bxxe=，再计算并集得到答案.【详解】|ln10Bxxxxe==，0,1A=，故0,AeB=.故答案为：0,e.【点睛】本题考查了并集的计算，意在考查学生的计算能力.3.给出如下10个数据：63,65

,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为________．【答案】15【解析】落在区间[64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，则矩形的高等于411066.564.55频率＝＝组距－4

.已知函数()()sinfxAx=+（0A，0），则“πba−”是“函数()fx在(),ab上不单调”的________条件.（填“充分不必要、必要不充分、充分必要、非充分非必要”之一）【答案】充分不必要【解析】【分析】π2Tba−=

，故函数在(),ab不单调，充分性，函数()fx在(),ab上不单调，则只需满足(),ab包含最值点，故不必要，得到答案.【详解】函数()()sinfxAx=+，π2Tba−=，故函数在(),ab不单调，充分性；函数()fx在(),ab上不单调，则只需满足(),

ab包含最值点，故不必要.故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.5.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为________.【答案】10【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出S的值．【详解】

解：模拟程序的运行过程，得：1S=，1i=，满足条件5i„，执行循环112S=+=，3i=，满足条件5i„，执行循环235S=+=，5i=，满足条件5i„，执行循环5510S=+=，7i=，此时不满足条件5i„，退出循环，输出10S=

．故答案为：10．【点睛】本题考查了程序运行的应用问题和对循环结构的理解，是基础题．6.三张卡片上分别写有A、A、B，将三张卡片随机排成一排，恰好排成BAA的概率是________.【答案】13【解析】【分析】根据题意得到13p=，计算得到答案.【详解】根据题

意知：13p=.故答案为：13.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.7.已知双曲线()222103yxtt−=的一个焦点与抛物线218yx=的焦点重合，则实数t等于________.【答案】1【解析】【分析】计算抛物线的焦点为()0,2，得到234t+=，解得

答案.【详解】抛物线218yx=，即28xy=的焦点为()0,2.故234t+=，故1t=.故答案为：1.【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的焦点问题，意在考查学生对于双曲线和抛物线的理解.8.设xR，函数()cos

sinfxxx=+，()cossingxxx=−，()0,πx，则()()()233yfxgxfx=−+取得最大值时对应的x=________.【答案】56【解析】【分析】化简得到2sin26yx=−−，()0,πx

，故112,666x−−，故当3262−=x时函数有最大值，得到答案.【详解】()cossinfxxx=+，()cossingxxx=−，()0,πx，则()()()233yfxgxfx=−+()()()2cossincossin3cossin3cos23si

n2xxxxxxxx=+−−++=−2sin26x=−−，()0,πx，故112,666x−−，故当3262−=x，即56x=时函数有最大值.故答案为：56.【点睛】本题考查三角恒等变换，根据三角函数的最值求变量，意在考查学生的

综合应用能力.9.设nS为等差数列na的前n项和，414S=，则1ad的最大值为________.【答案】4924【解析】【分析】化简得到1237ad+=，2137492624dad−−+=，计算得到答案.【详解】414614Sad=+=，即1237ad+=，173

2da−=，2173374922624dddad−=−−+=.当76d=时，有最大值为4924.故答案为：4924.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，意在考查学生的综合应用能力.10.已知函数()2,0,2,0.xfxxx=−+则满足不等式()(

)232fxfx−的x的取值范围为________.【答案】()3,0−【解析】【分析】讨论23020xx−，23020xx−，23020xx−，23020xx−四种情况，分别解不等式得到答案.【详解】当23020xx−时，即3x−时，需满

足232xx−，解得31x−，故33x−−；当23020xx−时，即3x时，需满足2322x−+，无解；当23020xx−时，即30x−时，需满足222x−+，解得0x，故30x−；当23020xx−

时，即03x时，22，无解.综上所述：()3,0x−故答案为：()3,0-.【点睛】本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.11.若函数(1)xyaa=的定义域和值域均为,mn,则a的范围是________.【答案】1(1,)ee【解析】试题分析：函数(1

)xyaa=的定义域和值域均为,mn，则(1)xyaa=与yx=的图象必有两个不同的交点，这两个交点的坐标就分别为(,),(,)mmnn.设()xfxax=−，则()ln10xfxaa=−=.设极小值点为0x

，则00011ln10lnlnlnlnxxaaaxaaa−===.由题意得00000()0xxfxaxax=−（接下来仔细看如何用条件，如何变形）.因为01lnxaa=，所以0011lnlnxxaa.又因为

01lnlnlnxaa=，所以111ln1ln(ln)ln(ln)1lnlnaaae−−=.所以11lnlneaee=，1eae.考点：1、指数函数；2、指数与对数运算；3、不等式.12.设a

，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于_________．【答案】﹣1【解析】验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0令f（x）=x

4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1

+a≥0又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1故ab=﹣1故答案为﹣113.已知cos232p−=，tantan3p

−=，则正常数p的值为________.【答案】21−【解析】【分析】设sinsin3A=−，coscos3B=−，根据题意得到2pBA−=，12BA+=，故14pA−=，

14pB+=，1tantan31ppp−−==+，解得答案.【详解】设sinsin3A=−，coscos3B=−.故cos2cos332pBA−=+−=−=，1co

scos332BA−=−−=+=，故14pA−=，14pB+=.sinsin13tantan31coscos3AppBp−−−====+−，且0p，解得21p=−.故答案为：21−.【点睛

】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力，取sinsin3A=−，coscos3B=−，是解题的关键.14.设点A，B是圆224xy+=上的两点，点()1,0C，如果2ACB=，则线段AB长

度的取值范围是________.【答案】71,71−+【解析】【分析】设直线AB方程为：ykxb=+，()11,Axy，()22,Bxy，根据2ACB=得到222233bkbk+−=，设矩形顶点(),Pxy，故121

21xxxyyy=+−=+，计算得到227xy+=，得到答案.【详解】设直线AB方程为：ykxb=+，()11,Axy，()22,Bxy，则224xyykxb+==+，故()2221240kxkbxb+++−=，故1222

1kbxxk+=−+，212241bxxk−=+.()()()()()11221212121,1,1CACBxyxyxxxxkxbkxb=−−=−+++++()()()()222121222111

12301kbkbkxxkbxxbbk−=++−+++=−−=+.即222233bkbk+−=.如图所示：设以,CACB为邻边的矩形顶点(),Pxy，故根据AB中点和PC中点为Q得到12121xxxyyy=+−=+.故()()()()2222222121224411424171kbb

kxykxxkbxxbk++++=+++−+++==+.故P在圆心为()0,0，半径为7的圆上.故7171ABPC−=+，当p在圆与x轴的左右交点时取等号.故答案为：71,71−+.【点睛】本题考查了圆的轨迹方程，长度范围，确定P

在圆心为()0,0，半径为7的圆上是解题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，正三棱柱111BCDBCD−的所有棱长都是2，四边形ABCD是菱形，ACBDE=

I.（1）求证：面1ACD⊥面11BDDB；（2）求四棱锥1BABCD−与1DABCD−的公共部分体积.【答案】（1）证明见解析；（2）233【解析】【分析】（1）证明1DDAC⊥，ACBD⊥得到AC⊥平面11BDDB，得到证明.（2）如图所示，连接OA，OC，OE，易知11//2OEDD，故OE

⊥平面ABCD，四棱锥1BABCD−与1DABCD−的公共部分为四棱锥OABCD−，计算得到体积.【详解】（1）正三棱柱111BCDBCD−，故1DD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，故1DDAC⊥.四边形ABCD是菱形，故ACBD⊥，1BDDDD=，故AC⊥平面11BDDB.

AC平面1ACD，故面1ACD⊥面11BDDB.（2）如图所示：连接OA，OC，OE，易知11//2OEDD，故OE⊥平面ABCD.根据图像知：四棱锥1BABCD−与1DABCD−的公共部分为四棱锥OABCD−.122sin602232ABCDS=

=，故12333OABCDABCDVSOE−==.【点睛】本题考查了面面垂直，体积的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16.如图，在平行四边形ABCD中，APBD⊥，垂足为P.（1）若18APAC=uuuruuur，求AP的长；（2）设6AB=，8AC=

，3BAC=，APxAByAC=+，求xy的值.【答案】（1）3；（2）13【解析】【分析】（1）化简得到2218APAPACAPACAPAO===uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

，得到答案.（2）2APxAByAO=+，根据BPO三点共线，故21xy+=，0APBO=，得到3yx=，解得答案.【详解】（1）2cos218APAPACAPACPACAPACAPAO====uuuruuuruuuruuuruuuruuur

uuuruuuruuur，故3AP=uuur.（2）2APxAByACxAByAO=+=+，BPO三点共线，故21xy+=.APBD⊥，故()()20APBOxAByAOAOAB=+−=，64cos123ABAO==.展开化简得到：3yx=，解得17x=，37

y=，故13xy=.【点睛】本题考查了向量的数量积求长度，平面向量共线定理，向量垂直，意在考查学生的综合应用能力.17.如图，椭圆E：()222210xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，R是椭圆E上任意一点，1RF的取值范围是22,22−+，动直线l：1ykx=+与椭圆相交于

A，B两点.（1）求椭圆E的标准方程：（2）若()0,2Q，B关于y轴的对称点是B，证明：//QAQBuuuruuur；（3）若()()0,2,2Qqqq，B关于y轴的对称点是B，试探究：//QA

QBuuuruuur是否成立？说明理由.【答案】（1）22142xy+=；（2）证明见解析；（3）答案不唯一，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到2222acac−=−+=+，解得22ac==，得到答案.（2）设()11,A

xy，()22,Bxy，则()22',Bxy−，联立方程得到122122421221kxxkxxk−+=+−=+，111QAkxkx−=，2'21QBkxkx−=−，计算'0QAQBkk−=得到证明.（3）计算得到()'221

QAQBkkkqk−=−−，得到答案.【详解】（1）1RF的取值范围是,acac−+，故2222acac−=−+=+，解得22ac==，2b=.故椭圆方程为：22142xy+=.（2）设()11,Ax

y，()22,Bxy，则()22',Bxy−.221421xyykx+==+，故()2221420kxkx++−=，故122122421221kxxkxxk−+=+−=+.111121QAykxkxx−−==，22'2221QBykxkxx−−==−−，故1212'1212

112220QAQBkxkxxxkkkkkxxxx−−+−=+=−=−=，即'QAQBkk=.当斜率不存在时，易知成立.综上所述：//QAQBuuuruuur.（3）11111QAyqkxqkxx−+−==，22'221QByqkxqkxx−+−=

=−−，()()()1212'1212112122122QAQBkxqkxqxxkkkqkqkkqxxxx+−+−+−=+=+−=+−=−.故当0k=时，//QAQBuuuruuur，当0k时，//QAQBuuur

uuur不成立.【点睛】本题考查了椭圆方程，证明向量平行，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下：其中，点,AE为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，且曲线段BCD在图纸上的图形

对应函数的解析式为()282,24yxx=−+，曲线段,ABDE均为开口向上的抛物线段，且,AE分别为两抛物线的顶点，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（,BD）的切线的斜率相等.（1）求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域；（2）车辆从A经B倒C爬坡，定义车辆

上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：PM=（该点P与桥顶间的水平距离）（设计图纸上该点处的切线的斜率），其中PM的单位：米.若该景区可提供三种类型的观光车:①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力.它们的爬坡能力分别为0.8米,1.5

米,2.0米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?【答案】⑴()()21662.16yxx=+−−⑵“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.【解

析】试题分析：（1）据题意，抛物线段AB与x轴相切，且A为抛物线的顶点，设()(),2Aaoa−，则抛物线段AB在图纸上对应函数的解析式可设为()()()220yxaax=−−，因为B点为衔接点,

则()()221,{122,2aa−−=−−=解得6,{1.16a=−=所以曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为()()21662.16yxx=+−−（2）设(),Pxy是曲线段AC上任意一点,分别求P在两段上时，函数的

最大值若P在曲线段AB上,则通过该点所需要的爬坡能力，()()()()()21116396288PMxxxx=−+=−+−−−，利用二次函数求其最值()1max98PM=（米），若P在曲线段BC上,

则通过该点所需要的爬坡能力()()()()2222222161644PxxMxxx−=−=++()20x−，令2,0,4txt=，换元法求其最大阻值，()2max1PM=（米），所以可知:车辆过桥所需要的最大爬

坡能力为98米,又因为90.81.52,8,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．试题解析：⑴据题意，抛物线段AB与x轴相切，且A为抛物线的顶点，设(),(2)Aaoa−，则抛物线段AB在图纸上对应函数

的解析式可设为()()22(0)yxaax=−−，其导函数为()2yxa=−．由曲线段BD在图纸上的图像对应函数的解析式为()282,24yxx=−+,又()22164yx−=+

,且()2,1B−,所以曲线在B点处的切线斜率为12,因为B点为衔接点,则()()221,{122,2aa−−=−−=解得6,{116a=−=．所以曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为()()2166216yxx=+−−．⑵设(

),Pxy是曲线段AC上任意一点,①若P在曲线段AB上,则通过该点所需要的爬坡能力()()()()()21116396288PMxxxx=−+=−+−−−．令()211398yx=−+−()62x−−,所

以函数()211398yx=−+−()62x−−在区间6,3−−上为增函数,在区间3,2−−上是减函数,所以()1max98PM=（米）②若P在曲线段BC上,则通过该点所需要的爬坡能力()()()()2222222161644Px

xMxxx−=−=++()20,x−令2,0,4,txt=则()()2216,0,4,4PtMtt=+记()2216,0,4,4tytt=+当0t=时,20,y=而当04t时,216,168ytt=

++所以当4t=时,16tt+有最小值16,从而2y取最大值1,此时()2max1PM=（米）所以由①,②可知:车辆过桥所需要的最大爬坡能力为98米,又因为908152,8．．,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动

力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．19.已知函数()2lnbfxaxxx=−−，()10f=.（1）若函数()fx在其定义域内为单调减函数，求a的取值范围；（2）若函数()fx的图像在x=1处的切线斜率为0，

且()()()1111122221nnxgxfxxx−=+−−−−−，证明：对任意的正整数n，当1x时，()1ngxx+成立.【答案】（1）(,0−；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据()10f=得到ab=，求导得

到()222'0axxafxx−+=，即221xax+恒成立，利用均值不等式得到答案.（2）根据切线斜率为0得到1a=，化简得到()1lnnxxx−−，设()lnFxxx=−，确定函数单调递增，得到()()11FxF=，()11nx−，得到证明.【详解】（1）()2lnbfxaxx

x=−−，()10fab=−=，故ab=，函数定义为()0,+?.()2lnafxaxxx=−−，()22222'0aaxxafxaxxx−+=+−=恒成立.即220axxa−+在()0,+?恒成立，故221xax+恒成立，2201xx+，故0a.（2）()22'a

fxaxx=+−，()'120faa=+−=，故1a=.()()()()()11111112ln1ln12222111nnnxgxxxxxxxx−=+−−−−−−=+−−−−−.()()11lnnngxxx+=+−，即证()1lnnxxx+−，故证()1ln

nxxx−−.设()lnFxxx=−，1x，故()11'10xFxxx−=−=，函数单调递增，故()()11FxF=，且当1x时，()11nx−，故()1lnnxxx−−恒成立.【点睛】.本

题考查了根据函数单调性求参数，根据切线斜率求参数，利用导数证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.20.已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数列，公差为d（d＞0）．在a，b之间和b，c之间共插入n

个实数，使得这n+3个数构成等比数列，其公比为q．（1）求证：|q|＞1；（2）若a＝1，n＝1，求d的值；（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，且s，t都为奇数，试比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用a

，c，n表示）．【答案】（1）见解析；（2）152d+=．（3）当n＝4k﹣2（k∈N*）时，积为122()nacac++；当n＝4k（k∈N*）时，积为122()nacac++．【解析】【分析】（1）先由条件求出知2ncqa

+=，又有c＝a+2d代入即可得|qn+2|＞1，就可证明结论；（2）先求出b＝1+d，c＝1+2d，然后对插入的数分所在位置所存在的两种情况分别求出d的值即可；（3）先由条件求得|q|s+1＞|q|t+1⇒s＞t．然后再对q所存在的可为正数，也可为负数两种情况分别求

出插入的n个数的乘积即可．【详解】（1）由题意知2ncqa+=，c＝a+2d，又a＞0，d＞0，可得2211ncdqaa+==+＞，即|qn+2|＞1，故|q|n+2＞1，又n+2是正数，故|q|＞1．（2）由a，b，c是首项为1、公差为d的等差数列，故b＝1+

d，c＝1+2d，若插入的这一个数位于a，b之间，则1+d＝q2，1+2d＝q3，消去q可得（1+2d）2＝（1+d）3，即d3﹣d2﹣d＝0，其正根为152d+=．若插入的这一个数位于b，c之间，则1+d＝q，1+2d＝q3，消去q可得1+2d＝（1+d）3，即d3+

3d2+d＝0，此方程无正根．故所求公差152d+=．（3）由题意得1sbadqaa++==，12tcadqbad++==+，又a＞0，d＞0，故()220adaddaadaad++−=++＞，可得2adadaad+++＞，又20adad++＞，故qs+1＞

qt+1＞0，即|q|s+1＞|q|t+1．又|q|＞1，故有s+1＞t+1，即s＞t．设n+3个数所构成的等比数列为an，则1232snacaaabac，，+++====，由akan+4﹣k＝a1an+3＝ac（k＝2，3，4，n+2），可得

（a2a3an+2）2＝（a2an+2）（a3an+1）（an+1a3）（an+2a2）＝（ac）n+1，又10sbqa+=＞，10tcqb+=＞，由s，t都为奇数，则q既可为正数，也可为负数，①若q为正数，则a2a3a

n+212()nac+=，插入n个数的乘积为122()nacac++；②若q为负数，a2，a3，an+2中共有12n+个负数，故a2a311222(1)()nnnaac+++=−，所插入的数的乘积为11222(1)()nnacac++−

+．所以当n＝4k﹣2（k∈N*）时，所插入n个数的积为122()nacac++；当n＝4k（k∈N*）时，所插入n个数的积为122()nacac++．【点睛】本题综合考查等差数列与等比数列的通项公

式以及分类讨论思想在解题中的应用．考查了等比数列的性质的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于难题．数学11（附加题）（考试时间：30分钟试卷满分：40分）21.已知矩阵14abA=若矩阵A属于特征值1

的一个特征向量为131a=−uur，属于特征值5的一个特征向量为211a=uur求矩阵A.【答案】2314【解析】【分析】根据矩阵A属于特征值1的一个特征向量为131a=−uur得到3

3−=ab，属于特征值5的一个特征向量为211a=uur，故5ab+=，解得答案.【详解】矩阵A属于特征值1的一个特征向量为131a=−uur，1114abaa=，故33−=ab；属于特征值5的一个特征向量为211a=uur

，21514abaa=，故5ab+=，解得23ab==，故2314A=.【点睛】本题考查了矩阵的特征向量，意在考查学生的计算能力和对于特征向量的理解.22.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π

)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标.【答案】(,)【解析】以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线ρ=2sinθ可化为:x2+(y-1)2=1,曲线ρcosθ=1可化为x=1,由可得交点坐标为(1,1),所以交点Q的极坐标是(,).23.在棱长为1的正

方体1111ABCDABCD−中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.【答案】（1）36（2）λ＝2【解析】分析：以1,,DADCDD为单位正交基底建立如图

所示的空间直角坐标系Dxyz−，写出各点的坐标，（1）求出异面直线DE与CD1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余弦值）（2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0

，由此方程求参数的值即可．详解：(1)以1,,DADCDD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−．则A(1，0，0)，11022O，，，()010C，，，D1(0，0，1)，E111442，，，于是111442DE=

，，，()1011CD=−，，.由cos1DECD，＝11||DECDDECD＝36.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为36.（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·CO＝0，m·1CD＝0得1111110220xyyz−=−

+=，，取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).………8分由D1E＝λEO，则E()()121211+++，，，DE=()()121211+++，

，.10分又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·CD＝0，n·DE＝0.得()()22220021211yxyz=++=+++，，取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).12分因为平面C

DE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得2＝．点睛：本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线，面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度．24.设正整数m，n满

足1nm，1F，2F，3F，…，kF为集各1,2,3,mL的n元子集，且1ijk；（1）若,kabF，满足1ab−；（i）求证：12mn+；（ii）求满足条件的集合kF的个数；（2）若ij

FFI中至多有一个元素，求证：()()11mmknn−−.【答案】（1）（i）证明见解析；（1）（ii）1nmnC−+；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）（i）设kF中的n个元素满足121...naaam，则得到()1121n

maan−−−，得到证明.（1）（ii）从m个元素中选不相邻的n个元素，即等价于将剩余的mn−个元素排成一排，形成1mn−+空，共有1nmnC−+种放法，得到答案.（2）根据题意知iF，jF没有相同的二元集合，kF中所有的二元集合个数为2nkC，1,2,3

,mL的二元集合个数为2mC，故22nmkCC，得到证明.【详解】（1）（i）设kF中的n个元素满足121...naaam，,kabF，满足1ab−，故()()()()1112211...21nnnnnmaaaaaaaan−−−−−

=−+−++−−，故12mn+.（1）（ii）从m个元素中选不相邻的n个元素，即等价于将剩余的mn−个元素排成一排，形成1mn−+空，共有1nmnC−+种放法，故共有1nmnC−+个集合.（2）根据题意知iF，jF没有相同的二元

集合，kF中所有的二元集合个数为2nkC，1,2,3,mL的二元集合个数为2mC，故22nmkCC，即()()11mmknn−−.【点睛】本题考查了集合的证明问题，集合的个数问题，意在考查学生的综合应用能力.