【文档说明】福建省泉州市永春一中2019-2020学年高一新生夏令营学科素质测试数学试题含解析【精准解析】.doc，共(25)页，1.949 MB，由小赞的店铺上传

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永春一中2019年高一新生夏令营数学学科素质测试2019.7一、选择题（本大题共15小题，共60.0分）1.下列各点中与2,6不表示极坐标系中同一个点的是（）A.112,6B.132,6C.112,6D.232,6

【答案】C【解析】【分析】观察四个选项横坐标均为2，因为与极坐标2,6相同的点可以表示为2,26kkZ，则判断A，B，C，D四个选项的纵坐标能否写成+2,6kkZ的形式.找出不能用+2,6kkZ形

式表示的选项即可.【详解】解：与极坐标2,6相同的点可以表示为2,26kkZ，A.111266ky.可以B.113266ky.可以.C.116y不能用+2,6kkZ的形式表示.D.2234

66ky,可以.只有C.112,6不可以．故选：C．【点睛】考查极坐标的概念.极坐标(,)与,2()()kkZ表示同一个点.解题关键为是否能将选项中的纵坐标写成2,()6kkZ

的形式.2.直线34100xy和圆25cos15sinxy的位置关系是（）A.相切B.相离C.相交但不过圆心D.相交且过圆心【答案】C【解析】【分析】将圆的参数方程25cos()15sinxy为

参数化成圆的普通方程，则可得其圆心，和半径r，再用点到直线的距离公式求出圆心到直线34100xy的距离d,再将距离d与圆的半径r比大小即可解.【详解】解：由25cos15sinxy，得圆的普通方程为222125xy，∴圆的圆心为2

,1，半径=5r．圆心到直线的距离64104916d.∵0dr，∴直线与圆相交但不过圆心．故选：C．【点睛】考查圆的参数方程化普通方程，考查直线和圆的位置关系，运用了点到直线的距离公式.点到直线距离公式：点00,Pxy到直线:0lAxByC的距离为：0022A

xByCdAB.3.将参数方程2sin2sin2xy（为参数）化为普通方程是（）A.2yxB.2yxC.213yxxD.201yxy【答案】C【解析】【分析】先求自变量x的取值范围，由1sin21

的取值范围，可知2sin2x的范围.2sin2x①，sin2y②，再将②-①可消去sin2即可解.【详解】解：∵1sin21，∴12sin23.又∵2sin2x，则有13x，由2sin2x

①，sin2y②，②-①可得2yx，∴将参数方程2sin2sin2xy（为参数）化为普通方程是213yxx，故选：C．【点睛】考查直线的参数方程消参化普通方程，要注意自变量x的取值范围.经过点000,Mx

y，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为00cossinxxtyyt（t为参数）.题目难度较易.4.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53xxyy后，曲线C变为曲线2241xy，则曲线C的方程为（）A.2225361xyB.2291001xyC.1

0241xyD.22281259xy【答案】A【解析】【分析】将伸缩变换53xxyy代入曲线2241xy中即可解.【详解】解：把53xxyy代入曲线2241xy，可得：225431xy，

即2225361xy，即为曲线C的方程．故选：A．【点睛】考查平面直角坐标系的伸缩变换，题目较为简单.伸缩变换：设点(,)Pxy是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)xxyy的作用下，点(,)Pxy对应到点(

,)Pxy，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.5.已知点M的极坐标是2,6，它关于直线2的对称点坐标是（）A.112,6B.72,6

C.2,6D.112,6【答案】B【解析】【分析】利用极坐标的意义作出极坐标点M，再做出点M关于2的对称点N，则可得出其极坐标.【详解】解：作出极坐标是2,6的点M，如图，它关于直线2的对称点是N，其

极坐标为2,6或72,6．故选：B．【点睛】考查极坐标的概念，以及对称点的求法.题目较易.6.将点的直角坐标2,23化为极径是正值，极角在0到2之间的极坐标是（）A.24,3B.54,6C.43,6

D.43,3【答案】A【解析】【分析】由P点的直角坐标2,23，可得22,tanyxyx，再利用P点在第二象限且极角在0到2之间即可求.【详解】解：∵点P的直角坐标2

,23，∴22222234xy，23tan32yx，又点P在第二象限，极角在0到2之间，∴23．∴满足条件的点P的极坐标为24,3．故选：A．【点睛

】考查直角坐标和极坐标的互化.极坐标概念：点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离||OM叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为(,)M.7.已知曲线C的极坐标方程为2221

23cos4sin，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换1233xxyy后，得到的曲线是（）A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线【答案】C【解析】【分析】将曲线C的极坐标方程222123cos4sin化为普通方程，

再将曲线C的普通方程进行1233xxyy的伸缩变换后即可解.【详解】解：由极坐标方程22222123(cos)4(sin)123cos4sin，可得：223412xy

，即22143xy，曲线C经过伸缩变换1233xxyy，可得23xxyy，代入曲线C可得：221xy，∴伸缩变换得到的曲线是圆．故选：C．【点睛】考

查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.其中将1233xxyy转化为23xxyy为解题关键.8.若直线l的参数方程为2334xtyt（t为参数），则直线l的倾斜角的余弦值为（）

A.45B.35-C.35D.45【答案】B【解析】【分析】先将直线l的参数方程化为一般方程，可得出斜率4tan3k，则直线l的倾斜角的余弦值可求.【详解】解：设直线l的倾斜角为，由题意23431034xtxyyt，∴4tan3k，(,)2

，∴3cos5．故选：B．【点睛】考查直线的参数方程化一般方程，以及直线的倾斜角.题目较为简单.9.已知二次函数221yaxax在4,2x上的最大值为4，则a的值为（）A.3B.38

C.3D.3或38【答案】D【解析】【分析】由题设二次函数221yaxax，所以0a，则可求出其对称轴，再分类讨论当0a时或0a时，x取何值为二次函数221yaxax的最大值，进而求出参数a的值.【详解】由题意得：二次函数221yaxax的对称轴为212axa

.当0a时，二次函数221yaxax图象开口向下，则1x时，为函数221yaxax的最大值.又∵1[4,2]，∴21max(1)2114xyyaaa，则3a.当0a时，二次函数221yaxax图象开口向上，

∵2,4xx距对称轴1x距离相等，则最大值为2222214xyaa，或24(4)2(4)14xyaa,则有814a，38a.∴3a或38.故选：D.【点睛】考查二次函数在给定区间求参数值,其中运用了分类讨论的思想，解题关键为求出二次函数的对称轴

.二次函数一般形式：2(0)yaxbxca，对称轴为2bxa.10.参数方程21,11xtytt（t为参数）所表示的曲线是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】消参化简整

理得221xy，即得方程对应的曲线.【详解】将1tx代入211ytt，化简整理得221xy，同时x不为零，且x，y的符号一致，故选D.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平

和分析推理能力.11.圆553cossin的圆心极坐标是（）A.45,3B.5,3C.5,3D.55,3【答案】C【解析】【分析】先将极坐标方程转化为普通

方程求出圆心的直角坐标，再由公式求出点的极坐标即可．【详解】553cossin两边都乘以得2553cossin，将222cos,sin,xyxy代入，225530xyxy，圆心直角坐标是553,22，

22222553sin25,tan322cosxy，即5,3，故圆心极坐标是5,.3故选：C.【点睛】本题考查简单曲线圆的极坐标方程，

解答的关键是圆的极坐标转化为普通方程，写出圆心坐标，再将其转化为极坐标．本题属于基本题．12.在极坐标系中，点,与,的位置关系为（）A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于直线2R对称【答

案】A【解析】【分析】由点,和点(,)为同一点.则比较点(,)和点,，可推出点,与,的位置关系.【详解】解：点,与点,是同一个点

，,与点,关于极轴对称.∴点,与,关于极轴所在直线对称.故选：A.【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.13.已知三个方程：①2xtyt②2tantanxtyt③2sinsinxtyt

(都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是()A.①②③B.①②C.①③D.②③【答案】B【解析】【分析】将参数方程转化为普通方程，且注意变量的范围，进而判断.【详解】①化为普通方程为x2=y②化

为普通方程为x2=y③化为普通方程为x2=y，（-1≤x≤1），可得①②表示同一曲线，故选B【点睛】本题考查了参数方程和普通方程的互化，由参数方程化为普通方程，消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）

消元法、三角代换法等．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.14.能化为普通方程210xy的参数方程为（）A.2sin,cosxtyt（t为参数）B.2tan,1tanxy（为参数）C.1,xtyt

（t为参数）D.2cos,sinxy（为参数）【答案】B【解析】A:21,[1,1]yxx;B21,yxxR;C:21,[0,)yxx;D:21,[1,1]yxx，所以选B.点睛：化参数方程为普通方

程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：22221cossin1,1tancos.不要忘了参数的范围.15.两圆4cos，4sin的公共部分面积是（）

A.142B.24C.12D.2【答案】B【解析】【分析】由两圆的极坐标方程4cos，4sin可求出两圆的标准方程，再求出两圆的交点，四边形OABC为正方形，则公共面积可求.公共面积112()42BOABCS

SS.【详解】解：两圆4cos，4sin的直角坐标方程分别为B：2224xy.A：2224xy，圆心分别为B2,0，A0,2，半径都等于2.两个圆的交点为O0,0，C2,2，则公共面积为112()42B

OABCSSS，故公共部分面积是21122222442.故选：B．【点睛】考查将圆的极坐标方程化为圆的标准方程,和两圆相交公共面积的求法.其中求两圆的相交面积为难点，需多思考.二

、填空题（本大题共10小题，共40.0分）16.在极坐标系中，若点A、B的极坐标分别为3,3，74,6，则AOB（O为极点）的面积等于______．【答案】3【解析】【分析】O为极点，先求出AOB的大小，已知AO和OB的边长，再根据三角形面积公式1sin2SAOO

BAOB即可解.【详解】解：由题意，75636AOB，3AO，4OB，∴AOB（其中O为极点）的面积为1534sin326．故答案为：3.【点睛】考查极坐标系中三角形面积的求法，解题关键为三角形面积公式

1sin2SAOOBAOB.题目较为简单.17.在直角坐标系xoy中，圆M的参数方程为12cos22sinxtyt（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sincosm，mR

.若直线l与圆M相交于A，B两点，MAB的面积为2，则m值为_______．【答案】1或5【解析】【分析】先将圆M的参数方程化为标准方程，再将直线l的极坐标方程化为普通方程，再求出圆心M到直线l的距离d，d即为MAB的高

，再求出底边AB的长，利用三角形面积公式即可解出m的值.【详解】解：圆M的参数方程为12cos22sinxtyt（t为参数），化为标准方程：22124xy，可得1,2M，半径2r=．直线l的极坐标方程为2sin4m

，mR化为普通方程：0yxm，即0xym．∴圆心M到直线l的距离12322mmd，∵MAB的面积为2，∴31222mAB，又23242mAB，∴212422dd，解得2d，∴322m，解得1m

或5．故答案为：1或5.【点睛】考查圆的极坐标化普通方程，直线的极坐标方程化普通方程，点到直线的距离公式.其中求出圆心M到直线l的距离d，MAB的AB的边长为解出m值的关键.18.直线l：12xatyt（t为参数），圆C：4sin

4cos（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则实数a_______．【答案】426【解析】【分析】先将直线l的参数方程化为普通方程，再将圆C的极坐标方程化为圆的标准方程，再由圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，

利用点到直线距离公式可求出a的值.【详解】解：直线l的一般方程为20xaya，∵342sin4，∴24sin4cos，∴圆的直角坐标方程为2244xyyx，即2

2228xy，∴圆心为2,2C，半径22r，∵圆C上恰有三个点到直线l的距离恰为2，∴圆心C到直线l的距离也为2，即24224aaa，解得426a.故答案为：426.【点睛】考查直线的极坐标方程化一般方程，圆的极坐标方程化标准方程，以及圆中求直

线解析式的参数问题.其中利用点到直线距离公式为解题的关键.点到直线的距离公式考查较为频繁.19.若直线yxb与曲线cossinxy(为参数，且12128222,328ttatta有两个不同的交点，则实数b的取值范围是_________．【答

案】2,1【解析】试题分析：曲线cos{sinxy（为参数，且22）的普通方程为221(0)xyx，它是半圆，单位圆在y右边的部分，作直线yxb，如图，它过点(0,1)A时，

1b，当它在下方与圆相切时，2b，因此所求范围是(2,1]b．考点：两曲线的交点个数．【名师点睛】在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题

进行代数分析）在许多时候是很难行得通的．在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，如本题，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．20.在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已

知直线的极坐标方程为(sin3cos)0，曲线的参数方程为1,{1xttytt(为参数)，与C相交于,两点，则AB．【答案】【解析】【详解】因为(sin3cos)0，所以，所以，即；由1,{1xttytt消去得．联立方程组，解得或，即，，由两点间的距离公式得

．21.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为82xtty，（t为参数），曲线C的参数方程为2222xsys，（s为参数）．设P为曲线C上的动点，点P到直线l的距离的最小值为________

__．【答案】455【解析】【分析】求出直线l的普通方程，点P在曲线C上，设22,22Pss，则可求得点P到直线l的距离，进而求得答案．【详解】直线l的普通方程为280xy．点P在曲线C上，设22,22Pss，从而点P到直线l的距离2222242

82(2)451(2)sssd．当2s时，min455d．因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值455．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式等，属于简单题．22.已知

点P是曲线C：2cos3sinxy（为参数，2）上一点，O为原点，若直线OP的倾斜角为3，则点P的直角坐标为___________．【答案】25215,55【解析】【分析

】先将曲线C的参数方程化为直角坐标系方程,再由直线OP过原点且倾斜角为3，得出直线OP的解析式，然后联立方程即可解.【详解】解：由题意得，222cos3si043n1xyyxy,曲线C的直角坐标方程为

221043xyy①，由直线OP的倾斜角为3，则直线OP的解析式为：3yx②，联立联立①②得2552155xy（舍去），或2552155xy，∴点P的直角坐标为25215,55.故答案为：25215

,55.【点睛】考查曲线的参数方程化为直角坐标系方程，直线的解析式，以及曲线方程中求点坐标的问题.题目难度一般，要注意坐标的取舍.23.,Pxy是曲线2cossinxy（为参数）上任意一点，则2231xy

的最大值为____．【答案】322【解析】【分析】先将曲线的参数方程消参化为标准方程，由2231xy表示动点P与3,1Q之间距离的平方，可先求PQ的距离利用数形结合即可求2231xy

的最大值.【详解】解：∵将2cossinxy（为参数），消去参数得A：2221xy，∴点P在以A2,0为圆心，半径为1的圆上运动，设3,1Q，可得2231PQxy∴

2231xy表示动点P与3,1Q之间距离的平方，∵22||12301121PQAQ最大值，由221322，即得2231xy的最大值为322.故答案为：322.【点睛】考查圆参数方程化为标准

方程，动点在圆上与圆外定点距离的最大值.利用了数形结合的思想.其中2231xy表示动点P与3,1Q之间距离的平方为解题的关键.24.变量,xy满足21xtyt（t为参数），则代数式22yx

的最小值是__________．【答案】23【解析】21xtyt（t为参数）化为直角坐标方程为221(0,0)4yxxy，为四分之一椭圆，如图，所以22yx的最小值是022123PAk

25.以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为222212xtyt（t为参数），圆C的极坐标方程为4s

incos．设曲线C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为2,1，则PAPB的值＝______．【答案】2【解析】【分析】先将圆C的极坐标方程化为直角坐标系方程，再将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标系方程，得2270tt①，又因为方程①两

实根的几何意义，则PAPB即可解.【详解】解：圆C的极坐标方程为42sin4，即4sin4cos，则24sin4cos，圆C的直角坐标系方程为22440xy

xy，点2,1P在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是222212xtyt（t为参数）代入22440xyxy，得2270tt，设两个实根为1t，2t，则122tt，1270tt，即1t，2t异号，所以

12122PAPBtttt.故答案为：2.【点睛】考查圆的极坐标方程，直线的参数方程，以及如何利用方程思想研究直线和圆的位置关系问题，要准确理解参数t的几何意义及应用.三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）26.己知直线l的参

数方程为132xtyt（t为参数），曲线C的极坐标方程为2sin16cos0，直线l与曲线C交于A、B两点，点13P，．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求11PAPB的值．【答案】（1）21yx，216yx；（2）

81035.【解析】【分析】（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程．由直角坐标与极坐标互换公式222cossinxyxy，求得曲线C普通方程．（2）直线的参数方程改写为5152535xtyt

（t为参数），由t的几何意义求值．【详解】1直线l的参数方程为1(t32xtyt为参数)，消去参数，可得直线l的普通方程y2x1，曲线C的极坐标方程为2ρsinθ16cosθ0，即22ρsinθ16ρcos

θ，曲线C的直角坐标方程为2y16x，2直线的参数方程改写为5152535xtyt（t为参数），代入2y16x，2445tt7055，12tt5，1235tt4，1212tt11810PAPBtt35．【

点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cossinxyxy，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．27.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面

直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为6．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换2xxyy后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．【答案】（1

）（x﹣2）2+4y2=4，312{12xtyt，（t为参数）；（2）15.【解析】试题分析：(Ⅰ)极坐标方程化简直角坐标方程可得曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+4y2=4，利用点的坐标和倾斜角可得直线的参数

方程为31212xtyt，（t为参数）；(Ⅱ)利用题意求得伸缩变换之后的方程，然后利用弦长公式可得弦长为15.试题解析：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣

4x+3y2=0，整理，得（x﹣2）2+4y2=4，∵直线l过点M（1，0），倾斜角为，∴直线l的参数方程为，即，（t是参数）．（Ⅱ）∵曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，∴曲线C′为：（x﹣2）2+y2=4，把直线l的参数方程，（t是参数）代入曲线C

′：（x﹣2）2+y2=4，得：，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=﹣3，|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．28.在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,,xtykt

（t为参数），直线l2的参数方程为2,,xmmmyk（为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设

3:cossin20l，M为l3与C的交点，求M的极径.【答案】（1）2240xyy（2）5【解析】（1）消去参数t得1l的普通方程1:2lykx；消去参数m得l2的普通方程21:2lyxk.设,Pxy,由题设得212ykxyxk

，消去k得2240xyy.所以C的普通方程为2240xyy.（2）C的极坐标方程为222cossin402π,π.联立222cossin4,cossin20得cossin2cossin

.故1tan3，从而2291cos,sin1010.代入222cossin4得25，所以交点M的极径为5.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转

化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.29.二次函数fx的图象顶点为1,16A，且图象在x轴上截得的线段长

为8.（1）求函数fx的解析式；（2）令()()(22)gxfxax.（ⅰ）求函数gx在0,2x上的最小值；（ⅱ）若0,2x时，不等式()17gx恒成立，试求实数a的取值范围.【答案】（1）2()215fxxx；（2）(

i)分类讨论，详见解析；（ii）,2.【解析】【分析】（1）先设二次函数fx为顶点式，然后根据其顶点为1,16A,可知函数fx的解析式为2()(1)16fxax，由图象在x轴上截得的线段长为

8，利用韦达定理即可解.（2）（i）先求出函数gx的解析式，再根据0,2x，分类讨论函数gx的对称轴xa，当0,01,12,2aaaa时，函数gx最小值的情况.（ii）不等式()17gx恒成立转化为函数gx在区间[0,2]上最大值小于等

于17，再利用分类讨论思想讨论a的范围即可解.【详解】解：（1）由题意设2()(1)16fxax，与x轴的交点坐标为1(,0)x，2(,0)x∴128xx，∵2()216fxaxaxa，由韦达定理可得1212162,axxxxa.∴2212

12121664()44464axxxxxxaa，∴1a，∴2()215fxxx（2）222()()(22)215()15gxfxaxxaxxaa，对称轴为xa，（ⅰ）当0a时，函数gx在区间[0,2]为单调减函数，∴

min()(2)411gxga；当01a时，函数gx在区间[0,]a上为单调增函数，在区间[],2a上为单调减函数，min()(2)411gxga.当12a时，函数gx在区间[0,]a上为单调增函数，在区间[],2a上为单调减函数，∴min()(0)15gxg

.当2a时，min()(0)15gxg．∴函数gx在0,2x上的最小值为min114,1()151aagxa，.（ⅱ）①当0a时，()17gx恒成立，只需(0)17g，即1517，显然成立，∴0a.②当02a时，()17gx恒成立，只需()17ga

，即21517a，即22a，∴02a.③当2a时，()17gx恒成立，只需(2)17g，即41117a，即32a，这与2a矛盾，故舍去．综上所述，a的取值范围是,2【点睛】考查二次函数的解析式，利用函数对称轴与

定义域的关系，进行分类讨论.考查二次函数在给定区间的最值和恒成立的问题.分类讨论的思想在函数章节即为重要,需多加练习掌握.