【文档说明】2021届高考高三数学三轮复习模拟考试卷（二十五）.docx，共(16)页，1.276 MB，由管理员店铺上传

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高三模拟考试卷（二十五）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合22{(,)|3Axyxy=+„，xZ，}yZ，{(,)|}Bxyyx==，则AB中的元素个数为()A．2B

．3C．4D．52．设复数z满足11ziz+=−，则(z=)A．iB．i−C．1D．1i+3．某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01，02，，60进行编

号，然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为()034743738636964736614698637162977424629242811457204253323732

1676（注:表中的数据为随机数表的第一行和第二行）A．24B．36C．46D．474．某养老院一楼有六个房间，现有6位男住户和4位女住户，要求安排其中2位女住户人住中间四个房间中的两个，安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，则不

同的安排方式有()A．25920种B．26890种C．27650种D．28640种5．在ABC中，6A=，3AB=，4AC=，则BC边上的高的长度为()A．2217B．2C．3D．2136．设椭圆22143xy+=的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，ABF

周长的最大值为()A．45+B．6C．252+D．87．已知实数a，b，c成等差数列，则点(2,1)P−到直线0axbyc++=的最大距离是()A．22B．1C．2D．28．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁，扇面形状较为美观．从半径为

r的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为512−，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为512−．则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为()A．512−B．51

4−C．352−D．52−二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。9．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学

生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2；你是否经常吸烟？按调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）；摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问

题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案，最后统计得出，这1000人中，共有260人回答“是”，则下列表述正

确的是()A．估计被调查者中的有510人吸烟B．估计约有10人对问题2的回答为“是”C．估计该地区约有2%的中学生吸烟D．估计该地区约有1%的中学生吸烟10．已知()(1)(2)(20)fxxxxx=−−

−，下列结论正确的是()A．(0)20!f=B．f（1）19!=C．(19)19!f=−D．(20)20!f=−11．在棱长为33+的正方体1111ABCDABCD−中，球1O同时与以B为公共顶点的三个面相切，球2O

同时与以1D为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球1O，2O的半径分别为1r，2r，则()A．113OBr=B．123rr+=C．这两个球的体积之和的最大值是9D．这两个球的表面积之和的最小值是1812．若01ab„，1c，则下列结论正确的有()A．loglogabcc…B．()

cclgaa−+有最小值C．acbccacb++„D．若()cabcab−−=，则cab+的最大值为122+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数4()fxxax=+的图象在点(1，f（1）)处的切线过点(2,1)，则a=．14．已知56565

10(2)()xxmaxaxaxa−+=++++，m为常数，若02a=，则4a=．15．已知球的球心为O，其中球的一条直径为AB，在球O内任取一点P，则APO为锐角的概率为．16．已知正方体1111ABCDABCD−的体积为

27，点E．F分别是线段BC，1CC的中点，点G在四边形11BCCB内运动（含边界），若直线1AG与平面AEF无交点，则线段CG的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{}na为等比数列，首项为函数223()

sin2sinf=+−的最小值，公比0q，且2a，3a是关于x的方程2120xxt−+=的根．其中t为常数．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设2lognnba=，12233411111nnnTbbbbbbb

b+=+++，求使4950nT的最大值．18．非直角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，22222cos()(cossin)bAbcaAA=+−−．（1）求角C；（2）若210c=，D为BC中点，在下列条件中任选一个，求AD的长度．条

件①5sin5B=；②ABC的面积为4S=，且BA．19．如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，PAPD⊥，PAPD=，ABAD⊥，1AB=，2AD=，5ACCD==．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否

存在点M，使得//BM平面PCD？若存在，求AMAP的值，若不存在，说明理由．20．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出*(nnN且4)n…瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡

忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以1a，2a，3a，，na表示第一次排序时被排在1，2，3，，n的n种酒在第二次排序时的序号，并令123|1||2||3||

|nXaaana=−+−+−++−，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（1）证明：无论n取何值，X的可能取值都为非负偶数；（2）取4n=，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，1a，2a，3a，4a等可能地为1，2，3，4的各种排列，且各轮测

试相互独立．①求X的分布列和数学期望；②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X„，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性．21．已知椭圆22122:1(0)xyCabab+=

的左、右焦点分别是双曲线222:14yCx−=的左、右顶点，且椭圆1C的上顶点到双曲线2C的渐近线的距离为55．（1）求椭圆1C的方程；（2）设椭圆1C的左、右焦点分别为1(,0)Fc−，2(,0)Fc，经过左焦点1F的直线l与椭圆1C

交于M，N两点，且满足222FPFMFN=+的点P也在椭圆1C上，求四边形2FMPN的面积．22．已知函数()(0)fxlnxaxaa=−+．（1）讨论函数()fx的零点的个数；（2）当0a…时，若关于x

的不等式()2fxba+„恒成立，证明：2ba−…．高三模拟考试卷（二十五）答案1．解：22{(,)|3Axyxy=+„，xZ，}yZ，{(,)|}Bxyyx==，{(1,1)AB=−−，(0,0)，(1,1)}，AB中的元素个数为3．故选：B．2．解

：因为11ziz+=−，所以1(1)(1)21(1)(1)2iiiiziiii−+−+−====++−，故zi=−．故选：B．3．解：由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24．故选：C．4．解：先安排其中2位女住户人住中间四个房间

中的两个，有2244CA种方法；再安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，有46A种方法．由乘法原理可得：22444625920CAA=种方法．故选：A．5．解：111sin433222ABCSABACA===，由余弦定理，得222cos7BCABACABACA=+−=，

所以BC边上的高的长度为2322177=．故选：A．6．解：椭圆22143xy+=的一个焦点为F（不妨为左焦点），则对于椭圆上两动点A，B，如图：F为右焦点，可得||||||||||||||48ABAFBFAFBFAFBFa+++++==„，当且仅当AB经过椭圆的右焦点时，三

角形的周长取得最大值．故选：D．7．解：由a，b，c成等差数列，得2acb+=，所以2cba=−；则点(2,1)P−到直线0axbyc++=的距离是222222|2||22|||abcabbaabdababab−+−+−+===+++，由222()2()a

bab++„，即2221()2abab++…，所以221||2abab++…．当且仅当ab=时取等号，所以||21||2abdab+=+„，即点(2,1)P−到直线0axbyc++=的最大距离是2．故选：C．8．解：设扇形OAB的圆心角为，OC的长为r，20ROAcm

==，由题意可得22151212(2)2RR−=−，解得(35)=−，由于222115122122RrR−−=，解得512010(51)2r−==−，故扇形装饰品的面积为221122SRr=−221(

)2Rr=−22135(35)(2020)22−=−−2(52)20=−．400(52)=−．则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为2400(52)52(20)−=−．故选：D．9．解：随机抽出的1000名学生中，回答第一个问

题的概率是12，其编号是奇数的概率也是12，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为11100025022=，回答问题2且回答的“是”的学生人数为26025010−=，由此可估计该地区中学生吸烟人数的百分比为

102%500=，估计被调查者中吸烟的人数为10002%20=．故选：BC．10．解：因为()(1)(2)(20)fxxxxx=−−−，所以()(1)(2)(20)(2)(3)(20)(1)(3)(20)(1)(2

)(19)fxxxxxxxxxxxxxxxx=−−−+−−−+−−−++−−−，所以(0)(1)(2)(20)20f=−−−=！，故选项A正确；f（1）1(1)(2)(10)19!=−−−=−，故选项B错误；(19)19181(1)19f=−=−

！，故选项C正确；(20)2019120!f==，故选项D错误．故选：AC．11．解：由题意可得113OBr=，2123ODr=，则121(31)(31)3(33)rrBD+++==+，从而123rr+=，故这两个球的体积之和为：3

3221212112244()()()33rrrrrrrr+=+−+，因为123rr+=，所以222121211221227()()3(93)3[93()]24rrrrrrrrrr++−+=−−=…，即33124()93rr+…，当且仅当1232rr==时等

号成立；这两个球的表面积之和22212124()4()92rrSrr+=+=…，当且仅当1232rr==时等号成立．故选：AB．12．解：:1Ac，logxcy=为增函数，01ab„，loglog0abcc„，11loglogabcc…，即l

oglogccab…，A正确．:22ccccBaaaa−−+=…，当且仅当ccaa−=即0c=时取等号，1c，ccaa−+无最小值，()cclgaa−+无最小值，B错误．:1Cc，xyc=为增函数，01ab„，abcc„，1c，cyx

=为增函数，01ab„，ccab„，acbccacb++„，C正确．:0Da，0b，2()4abab+„，()cabcab−−=，22()()4abcabc+−+„，2244()()cabcab−++„，222()

441()()cabcabab+−++„，设ctab=+，则上式可化为24410tt−−„，121222t−+剟，cab+的最大值为122+，D正确．故选：ACD．13．解：函数4()fxxax=+的导数为3()4fxxa=+，可得图象在点(1，f（1）)处的切线的斜率为4a+，

又切点为(1,1)a+，可得11412aa+−+=−，解得2a=−，故答案为：2−．14．解：5665510(2)()xxmaxaxaxa−+=++++，当0x=时，有5022ma−==，解得1m=−．55(2)()(2)(1)xxmxx−+=−−，3241455(

1)2(1)20aCC=−−−=．故答案为：20．15．解：设球的半径为Ra=，以AO为直径的球记为1O，当点P落在1O内时APO为钝角，334()1732114883aPa=−=−=，故答案为：78．16．解：正方体1111ABC

DABCD−的体积为27，所以正方体的棱长为3，分别取线段11BC，1BB的中点P，Q，连结1AP，1AQ，PQ，则有//PQEF，又PQ平面AEF，EF平面AEF，所以//PQ平面AEF，1//APAE，又1AP平

面AEF，AE平面AEF，所以1//AP平面AEF，又1PQAPP=，PQ，1AP平面1APQ，所以平面1//APQ平面AEF，故点G在线段PQ上运动（含端点位置），当G与Q重合时，CG最大，此时2222335

()322CGCQQBBC==+=+=，当CGPQ⊥时，CG最小，此时221339233444CGCB==+=，所以CG的取值范围为9235[,]42．故答案为：9235[,]42．17．解：（1）令2sin(0m=，1]，3()2gmmm=+−在(0，1]递减，可得12a=，

又2a，3a是关于x的方程2120xxt−+=的根．其中t为常数，可得2312aa+=，由22212qq+=，解得2(3q=−舍去），则1222nnna−==；（2）22loglog2nnba==nn=，1

1111(1)1nnbbnnnn+==−++，122334111111111111...1223111nnnnTbbbbbbbbnnnn+=+++=−+−++−=−=+++．由4950nT，可得49150nn+，解得4

9n，则n的最大值为48．18．解：（1）ABC中，由余弦定理知，2222cosbcabcA+−=，由22222cos()(cossin)bAbcaAA=+−−，所以，22cos2cos(cossin)bAbcAAA=−，由cos0A，即(cossi

n)bcAA=−，由正弦定理知，sinsinbBcC=，得sinsin(cossin)BCAA=−，所以，sin()sin(cossin)ACCAA+=−，即sincoscossinsincossinsinACACC

ACA+=−，所以，sincossinsinCACA=−，因为sin0A，所以cossincc=−，所以tan1c=−，又0c，所以34c=．（2）若选择条件①，因为5sin5B=，所以225cos1sin5BB=

−=，又10sinsin()sincoscossin10BACBCBCBC=+=+=，由正弦定理知，sinsincaCBAC=，所以sin22sincBACaC==，又D为BC中点，所以2BD=，在ABC中，由余弦定理知2222cosADABBDAB

BDB=+−，得26AD=．若选择条件②，因为ABC的面积1134sinsin224SabCab===，所以82ab=，由余弦定理知22223(210)402cos4cabab===+−，所以，22240abab++=，由2224082abab

ab++==，解得422ab==或224ab==，因为BA，所以ba，所以224ab==，又D为BC中点，所以2CD=，在ACD中，22232cos162242cos264ADCACDCACDC=+−=+−=，所以26AD=．19．（Ⅰ）

证明：平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD=，且ABAD⊥，AB平面ABCD，AB⊥平面PAD，PD平面PAD，ABPD⊥，又PDPA⊥，且PAABA=，PD⊥平面PAB

；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，5CDAC==，COAD⊥，又PAPD=，POAD⊥．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则(0P，0，1)，(1B，1，0)，(0D，1−，0)，(2C，0，0)，

则(1,1,1),(0,1,1)PBPD=−=−−，(2,0,1),(2,1,0)PCCD=−=−−，设00(,,1)nxy=为平面PCD的法向量，则由00nPDnPC==，得0010210yx−−=−=，则1(,1,1)2n=−．设PB与平面PCD的夹角为，则

11132sin|cos,|||||3||||11134nPBnPBnPB−−====++；（Ⅲ）解：假设存在M点使得//BM平面PCD，设AMAP=，(0M，1y，1)z，由（Ⅱ）知，(0A，1，0)，

(0P，0，1)，(0,1,1)AP=−，(1B，1，0)，11(0,1,)AMyz=−，则有AMAP=，可得(0M，1−，)，(1,,)BM=−−，//BM平面PCD，1(,1,1)2n=−为平面PCD的法向量，0BMn=，即

102−++=，解得14=．综上，存在点M，即当14AMAP=时，M点即为所求．20．解：（1）证明：首先有123|1||2||3|||0nXaaana=−+−+−++−…，（1分）取绝对值不影响数的奇偶性，故123|1||2||3|||nXa

aana=−+−+−++−与123123naaana−+−+−++−的奇偶性一致，而123123123(123)()0nnaaananaaaa−+−+−++−=++++−++++=为偶数，故X的可能取值都为非负偶数．（3分）（2）①由（1

）知当4n=时，X的可能取值为0，2，4，6，8，4411(0)24PXA===，13441(2)8CPXA===，11424417(4)24CCPXA++===，111122224413(6)8CCCCPXA+++==

=，1244111(8)6CPXA++===，所以X的分布列为X02468P124187243816（8分）从而X的数学期望11731()0246852482486EX=++++=．（9分）②记“在相继进行的三轮测试中都有2X„”为事件A，“在

某轮测试中有2X„”为事件B，则111()(0)(2)2486PBPXPX==+==+=，（10分）又各轮测试相互独立，1111()()()()()666216PAPBBBPBPBPB====，（11分）因为P（

A）表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，而1()0.0046216PA=，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理．（12分）21．解

：（1）椭圆的左右焦点分别为1(,0)Fc−，2(,0)Fc，而双曲线222:14yCx−=的顶点分别为(1,0)−，(1,0)，所以1c=．又椭圆的上顶点为(0,)b，而双曲线222:14yCx−=的一条渐近线为2yx=，则有||555b=，

解得1b=．222112a=+=，所以椭圆E的方程为2212xy+=．（2）设直线l的方程为1xty=−，(t一定存在），代入2222xy+=，并整理得22(2)210tyty+−−=，△2244(2)0tt=++恒成立，设1(1Mty−，1)y，2(1Nty−，2)y，则12222tyyt

+=+，12212yyt−=+．设0(Px，0)y，由222FPFMFN=+，得012012122xtytyyyy−=−+−=+，即2012201226()3222txtyyttyyyt+=+−=−+=+

=+，又点P在椭圆1C上，故2222222(6)412(2)(2)tttt++=++，即4212280tt−−=，解得214t=（舍负），因为满足222FPFMFN=+的点P也在椭圆1C上，所以四边形2FMPN是平行四边形，设四边形2FMPN的面积为S

，则有22221212121222242(1)44(2)||||2()42(2)2tttSFFyyyyyytt+++=−=+−==++，代入214t=，得四边形2FMPN的面积304S=．22．解：（1）函数()fx的定义域是(0,)+，11()axfxaxx−

=−=，①当0a时，10ax−，()0fx恒成立，故()fx在(0,)+上单调递增，又f（1）0=，故函数()fx只有1个零点；②当0a时，由()0fx，得10xa，由()0fx得1xa，故函数()fx在区间1(0,)a递增，在1(a，)+上递减，且f

（1）0=，当01a时，11a，函数()fx在区间1(0,)a递增，故函数()fx在区间1(0,)a上只有1个零点，且1()0fa，根据对数函数以及幂函数的增长速度可知：yax=比ylnx=变化的快，故

当x→+，()fx→−，故()fx在区间1(a，)+上也一定有1个零点，故当01a时，()fx有2个零点，当1a=时，11a=，()fx在区间(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，且f（1）0=，此时函数()fx只有1个零点，当1a时，101a

，()fx在区间1(0,)a递增，在1(a，)+单调递减，且f（1）0=，故函数()fx在区间1(a，)+上只有1个零点，且1()0fa，当0x→时，()fx→−，故()fx在区间1(0,)a上也一定有1个零点，故当1a时，()fx有2个零点；综上：

当0a或1a=时，()fx只有1个零点，当01a或1a时，()fx有2个零点；（2）证明：由（1）可知欲使()2fxba+„恒成立，只需1()()2maxfxfbaa=+„即可，即11lnaba−−„，故111

1blnaaaa−−…，故()1gttlntt=−−，则()gtlnt=，由()0gt，得1t，由()0gt，得01t，故()gt在(0,1)递减，在(1,)+上递增，故()mingtg=（1）2=−，故()2gt−…，即2ba−…．