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2019学年第一学期高三数学教学质量检测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合1,2,3,4,5A=，2,4,6,8B

=，则AB=______.【答案】2,4【解析】【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出交集．【详解】解：∵1,2,3,4,5A=，2,4,6,8B=，∴2,4AB=．故答案为：2,4【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的

定义是解本题的关键．2.方程23x=的解为______.【答案】2log3x=【解析】【分析】把指数式化为对数式即可求出方程的解．【详解】解：23x=，∴指数式化为对数式得：2log3x=，故答案为：2log3x=．【点睛】本题主要考查了指数式与对

数式的互化，是基础题．3.行列式2112−的值为______.【答案】5【解析】【分析】直接利用行列式公式可求．【详解】解：()212211512−=−−=故答案为：5【点睛】本题考查二阶行列式计算．属于基础题．4.计算2lim1nnn→=+______.【答案】2【解析】

【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【详解】解：222limlim211101nnnnn→→===+++故答案为：2．【点睛】本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基础题．5.若

圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的母线长为______.【答案】2【解析】【分析】根据圆面积公式算出底面半径r＝1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线l的方程，解之即可得到该圆锥的母线长．【详解】解：∵圆锥的底面积为，∴圆锥的底面半径为r，满足2r=，解得1r=又∵圆锥的侧面积为2

，∴设圆锥的母线长为l，可得2rl=，12l=，解之得2l=故答案为：2【点睛】本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题．6.已知向量13,22A

B=，31,22AC=，则BAC=______.【答案】6【解析】【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得BAC的值．【详解】解：向量13,22AB=，31,2

2AC=，则131332222cos112ABACBACABAC+===，6BAC=故答案为：6．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题．7.2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种.

【答案】72【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A=种情况，②、3名

男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A=种情况，则2位女生不相邻的排法有61272=种；故答案为：72【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8.已知

点()2,y−在角终边上，且()tan22−=，则sin=______.【答案】223【解析】【分析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y，然后即可求解．【详解】解：由题意可得，tan2y=−，()tantan22−=−=ta

n222y=−=−解得42y=()()224222sin3242==−+故答案为：223．【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．9.近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费

习惯.某企业为了解该企业员工A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A，B两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A、B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分

布如下：支付金额（元）支付方式(0,1000(1000,2000大于2000使用A18人29人23人使用B10人24人21人依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A、B两种支付方

式都使用过的概率为______.【答案】310【解析】【分析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率．【详解】解：依题意，使用过A种支付方式的人数为：18292

370++=，使用过B种支付方式的人数为：10242155++=，又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有()()7055100530+−−=，所以该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率30310010p==．故答案为：310．【点睛】本题考查了古典概型

的概率，主要考查计算能力，属于基础题．10.已知非零向量a、b、c两两不平行，且()//abc+，()//bac+，设cxayb=+，,xyR，则2xy+=______.【答案】－3【解析】【分析】先根据向量共线把c用a和b表示出来，再结合平面向量基

本定理即可求解．【详解】解：因为非零向量a、b、c两两不平行，且()//abc+，()//bac+，(),0ambcm=+，1cabm=−(),0bnacn=+1cban=−1111mn=−

−=，解得11mn=−=−cxayb=+1xy==−23xy+=−故答案为：3−．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题，属于基础题.11.已知数列na满足：11a=，112,,,

nnnaaaaa+−()*nN，记数列na的前n项和为nS，若对所有满足条件的na，10S的最大值为M、最小值为m，则Mm+=______.【答案】1078【解析】【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和

最大，何时和最小，进而求得结论．【详解】解：因为数列{an}满足：11a=，112,,,nnnaaaaa+−()*nN，211aaa−即211aaa−=解得22a=；3212,aaaa−321aa−=或322aa−=33a=或34a=；43123,,aaaaa

−431aa−=或432aa−=，433aa−=，434aa−=所以4a最小为4，4a最大为8；所以，数列10S的最大值为M时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项和：()10112102312M−==−；10S取最小值m

时，是首项为1，公差为1的等差数列的前10项和：()101011011552m−=+=；∴1078Mm+=．故答案为：1078．【点睛】本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n项和公式，考查

了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．12.已知函数()1fxxax=++，若对任意实数a，关于x的不等式()fxm在区间1,32上总有解，则实数m的取值范围为______.【答案】2,3−【解析】【分析】本题要根据数形结合

法将函数1yxx=+的图象向下平移到一定的程度，使得函数()1fxxax=++的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m的取值范围．【详解】解：由题意，1yxx=+在区间1,32上的图象如下图所示：根据

题意，对任意实数a，关于x的不等式()fxm在区间1,32上总有解，则只要找到其中一个实数a，使得函数()1fxxax=++的最大值最小即可，如图，函数1yxx=+向下平移到一定才程度时，函数()1fxxax=++的最大值最小．此时只有当()()13ff=时，才能保证

函数()fx的最大值最小．设函数1yxx=+图象向下平移了t个单位，（0t）．()1023tt−=−−，解得83t=.∴此时函数()fx的最大值为1082333−=．根据绝对值函数的特点，可知实数m的取值范围为：2,3−．故答案为：2,3−．【点睛】本题主要考查

了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑.13.

已知xR，则“0x”是“1x”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】解：由题意可知，xR，|0xx⫌|1xx∴“0x”是“1

x”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题．14.下列函数中，值域为()0,+的是（）A.2xy=B.12yx=C.lnyx=D.cosyx=【答案】A【解析】【分析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解．【详解】解：选项A.

2xy=的值域为()0,+，选项B.12yx=的值域为)0,+，选项C.lnyx=的值域为R，选项D.cosyx=的值域为1,1−．故选：A．【点睛】本题考查常见函数的值域，属于简单题．15.已知正方体1111ABCDABCD−，点P是棱1CC的中点，设直线A

B为a，直线11AD为b.对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45角.以下判断正确的是（）A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，

②为假命题【答案】B【解析】【分析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②．【详解】解：直线AB与A1D1是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB1的中点Q，则PQ

∥A1D1，且PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，直线EP必与A1D1相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．∴①为真命

题，②为假命题．故选：B．【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．16.某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型0.5sin3.246yx

=++（0）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）A.16时B.17时C.18时D.19时【答案】D【解析】【分析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作

图以及函数的最值的位置，判断即可．【详解】解：由题意可知，0x=时，0.5sin03.243.496y=++=，由五点法作图可知：如果当16x=时，函数取得最小值可得：51662+=，可得748=，此时函数70.5sin3.24486yx=++

，函数的周期为：296147748T==，该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，如果当19x=时，函数取得最小值可得：51962+=，可得757=，此时函数70.5sin3.24576yx

=++，函数的周期为：21147757T==，24x=时，70.5sin243.243576y=++，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，故选：D．【点

睛】本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图，底面为矩形的直

棱柱1111ABCDABCD−满足：14AA=，3AD=，2CD=.（1）求直线1AC与平面11AADD所成的角的大小；（2）设M、N分别为棱1BB、CD上的动点，求证：三棱锥1NAAM−的体积V为定值，并求出该值.【答案】（1）2arctan5=；（2）证明

详见解析，4V=.【解析】【分析】（1）说明1CAD即直线1AC与平面11AADD的所成角，通过求解三角形，推出结果即可．（2）记点N到平面1AAM的距离为d，由于底面积和高都不变，故体积不变.【详解】解：（1）由直棱柱知1AA⊥平面ABCD

，所以1AACD⊥，又因为ADCD⊥，所以直线CD⊥平面11AADD，所以1CAD即直线1AC与平面11AADD的所成角由题意15AD=，2CD=，所以2tan5=所以直线1AC与平面11AAD

D的所成角2arctan5=.（2）记点N到平面1AAM的距离为d，三角形1AAM的面积为1AAMS，则1113NAAMAAMVVdS−==，由已知3d=，112442AMMS==,所以13443V==为定值.【点睛】本题考查几何体

的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18.在复平面内复数1z、2z所对应的点为1Z、2Z，O为坐标原点，i是虚数单位.（1）112zi=+，234zi=−，计算12zz与12OZOZ；（2）设1zabi=+，2zcdi=+（,,,abcdR），

求证：1212OZOZzz，并指出向量1OZ、2OZ满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112zzi=+，125OZOZ=−；（2）证明详见解析，当abcd=时.【解析】【分析】（1）根据复数的乘法运

算法则进行运算即可求出12zz，可知()11,2OZ=，()23,4OZ=−，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12zz，以及复数的几何意义表示出1OZ、2OZ计算其数量积，利用作差法比较221212,||zzOZOZ的大小

，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112zziii=+−=+()11,2OZ=，()23,4OZ=−所以125OZOZ=−证明（2）1zabi=+，2zcdi=+()()12acbdadzizbc=−++()()22212zzacbda

dbc=−++()1,OZab=，()2,OZcd=12OZOZacbd=+，()2212OZOZacbd=+()()()222221212||zzOZOZacbdadbcacbd−−=−+++()()2240adbcacbdadcb=−−=+所以121

2OZOZzz，当且仅当adcb=时取“=”，此时12OZOZ.【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．19.如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图.其

中4AB=百米，3BC=百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求4MDN=.（1）若2ANCM==百米，判断DMN是否符合要求，并说明理由；（2）设

CDM=，写出DMN面积的S关于的表达式，并求S的最小值.【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2）32coscos4S=−，最小值为()1221−.【解析】【分析】（1）通过求解三角形的边长

，利用余弦定理求解MDN，判断MDN是否符合要求，即可．（2）CDM=，4ADN=−，求出132sin24coscos4SDNDM==−，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．【详解】解：（1）由题意5MN=，13DN=，25DN=，所以1

320572cos22251365MDN+−==所以4MDN，DMN不符合要求（2）CDM=，4ADN=−，所以cos4DM=，3cos4DN=−132sin24coscos4SDNDM==−，()2coscoscosc

ossin42−=+()2sin2cos214=++1212sin224424=+++所以()1221S−，S的最小值为()1221−.【点睛】本题考查三角

形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.已知数列na各项均为正数，nS为其前n项的和，且()2*,,nnnaSanN成等差数列.（1）写出1a、2a、3a的值，并猜想数

列na的通项公式na；（2）证明（1）中的猜想；（3）设1(0)nnbtat=−，nT为数列nb的前n项和.若对于任意*nN，都有*|nmTbmN，求实数t的值.【答案】（1）11a=，22a

=，33a=，nan=；（2）详见解析；（3）1,12.【解析】【分析】（1）代入22nnnaaS+=，求出1a，2a，3a，猜想出即可；（2）利用等差数列的定义证明即可；（3）由（2）知1mbmt

=−，(1)2nnnTtn+=−，因为m，n都是整数，所以对于任意*nN，1nt−都是整数，进而1t是整数，所以1tk=，kZ，此时()()112nnmkn+=−−，因为n的任意性，不妨设2mbT=，求出即可．【详解】（1）

解：由已知22nnnaaS+=，所以11a=，22a=，33a=，猜想nan=证明（2）当2n时，22nnnaaS+=，21112nnnaaS−−−+=所以2211122nnnnnnnaaaaaSS−−−++=−=−得()()1110nnn

naaaa−−+−−=，因为()*0nanN，所以11nnaa−−=数列na为等差数列，又由（1）11a=，22a=所以()*nann=N（3）解由（2）知1mbmt=−，(1)2nnnTtn+=−.若mnbT=，则()112nnnmt+−=−，因为m，n都是整数

，所以对于任意*nN，1nt−都是整数，进而1t是整数所以1tk=，kZ，此时()()112nnmkn+=−−，设2mbT=，则30mk=−，所以1k=或2①当1k=时，对于任意*nN，()*112nnmN−=+②当2k=时，对于任

意*nN，()*322nnmN−=+所以实数t取值的集合为1,12【点睛】考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n项和公式的应用，中档题．21.已知函数()fxxxa=−，其中a为常数.（1）当1a=时，解不等式()2fx；（2）已知()gx是以2

为周期的偶函数，且当01x时，有()()gxfx=.若0a，且3524g=，求函数()ygx=()1,2x的反函数；（3）若在0,2上存在n个不同的点()1,2,,.3ixinn=，12nxxx，使得()()()()()()122

318nnfxfxfxfxfxfx−−+−++−=，求实数a的取值范围.【答案】（1）(),2−；（2）()310,3yxx=−+；（3）(),26,−−+.【解析】【分析】（1

）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果．【详解】解：（1）解不等式12xx

−当1x时，220xx−−，所以12x当1x时，220xx−+，所以1x，综上，该不等式的解集为(),2−（2）当01x时，()gxxxa=−，因为()gx是以2为周期的偶函数，所以3111122222ggga=−==−，由3524g

=，且0a，得2a=−，所以当01x时，()()2gxxx=+所以当12x时，()()()()()2240,3gxgxgxxx=−=−=−−，所以函数()()1,2ygxx=的反函数为()310,3yxx=−+（

3）①当0a时，在0,2上()()fxxxa=−，是0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112nnnfxfxfxfxfxfxfxfxf−−+−++−=−所以()()2228fa=−，得2a−；②当4a时，在0,2上

()()fxxax=−，是0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112nnnfxfxfxfxfxfxfxfxf−−+−++−=−所以()()2228fa=−，得6a；③当04a时，()fx在0,2上不

单调，所以()()()()()()()1223m1ax2nnfxfxfxfxfxfxfx−−+−++−2424aaf=，()2224fa=−，在0,2上，()()maxmax,242

afxff=.()()()()()()()12231max28nnfxfxfxfxfxfxfx−−+−++−，不满足.综上，a的取值范围为(),26,−−+.③当24a时，则122a，所以()fx在0,2a上单调递增，在,22a

上单调递减，于是()()()()()()12231nnfxfxfxfxfxfx−−+−++−()22max22(0)2242aaafxff=−==令282a，解得4a−或4a，不符合题意；④当02

a时，()fx分别在0,2a、,2a上单调递增，在,2aa上单调递减，()()()()()()12231nnfxfxfxfxfxfx−−+−++−()()()2(0)22affffa−+−()()2222222

24242aaaffaa=+=+−=−+令22482aa−+，解得223a−或223a+，不符合题意.综上，所求实数a的取值范围为(),26,−−+.【点睛】本题考查的知识要点：绝对值不等

式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．