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专题1-4椭圆与双曲线22类常考题型汇总知识点梳理模块一：椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭圆与双曲线的定义与概念【题型2】双曲线的渐近线相关计算【题型3】求焦点三角形面积【题型4】定义法求轨迹【题型5】设点运算求轨迹方程【题

型6】光学性质【题型7】椭圆与双曲线共焦点问题模块二：最值问题【题型8】坐标轴上的点与椭圆距离最短【题型9】直线与椭圆距离最短【题型10】线段和差最值问题【题型11】焦点弦的最小值【题型12】焦半径的最小值问题【题型13】

利用基本不等式求最值模块三：求离心率与其它值【题型14】结合余弦定理求焦半径【题型15】余弦定理用2次【题型16】构造齐次化方程【题型17】双焦点三角形模型：导边【题型18】利用几何性质求离心率【题型20】与向量结合【题型21】其它计算求值问题【

题型22】求离心率范围知识点梳理一、椭圆的基本量1.如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径．图(1)图(2)2.如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1

PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．3.椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________．4.设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值________．1.2b2a2.b2·tanθ23

.a＋ca－c4.－b2a2二、直线与椭圆1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ

，有：①Δ>0直线与圆锥曲线________；②Δ＝0直线与圆锥曲线________；③Δ<0直线与圆锥曲线________．2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝________．答案：1

.(1)①相交②相切③相离2.1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|三、双曲线的基本量运算1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．2.如图，P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为____

____．3.焦点到渐近线的距离为________．4.设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为________．答案：1.2b2a2.b2tanθ23.b4.b2a2四、点差法椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆()2222=

10xyabab+上任意2点，且弦AB不平行x轴，M为线段AB中点，则有222=1ABOMbkkea=−−证明（点差法）：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则1212,22xxyyM++，1212OMyykxx+=+，1212AByykxx−=−，22

122212ABOMyykkxx−=−∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得221122=1xyab+①222222=1xyab+②两式相减得：2222121222=0xxyyab−−+，整理得2221222212=yybxxa−−−Oxy

ABMABOMkk=？∴222=1ABOMbkkea=−−五、第三定义那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两

个定点1(,0)Aa−，2(,0)Aa的斜率乘积等于常数21e−的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时2221bea−=−；当常数大于0时为双曲线，此时2221bea−=．【第三定义推

广】：平面内与两个关于原点对称的点()Amn，，()Bmn−−，的斜率乘积等于常数21e−的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时2221bea−=−；当常数大于0时为双曲线，此时222

1bea−=．【证明】,AB是椭圆()2222=10xyabab+上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有222=1PAPBbkkea=−−证明（点差法）：设()11,Pxy，22(,)Axy，22(,)Bxy−−，OxyABPOxyABPOxyABPPAPBkk=？1212PAy

ykxx−=−，1212PByykxx+=+，22122212PAPByykkxx−=−∵P，A在椭圆上，代入坐标得221122=1xyab+①222222=1xyab+②两式相减得：2222121222=0xxyyab−−+，整理得222

1222212=yybxxa−−−∴22221222212=1PAPByybkkexxa−==−−−法二：通过椭圆的垂径定理转换中点弦和第三定义本质上是一样的222=1PAPBOMPBbkkkkea==−−OxyAB

PM模块一：椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭圆与双曲线的定义与概念1．已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真

命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.【详解】因为方程，其中，所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程；当时，

方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；若方程为双曲线的标准方程，则有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；所以真命题有3个.2．（2023上·广东深圳·

高二统考期末）已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据椭圆的焦点位置可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则，解得.3．（2023佛山·高二期末）（多选）已知曲线的方程为，则可能是（）220

AxByCxyDxEyF+++++=ABCDEF220AxByCxyDxEyF+++++=ABCDEF101ABCDEF======−2210xy+−=221xy+=1012ABCDEF=====−=−220xy−−=22yx=−2101A

BCDEF======−22210xy+−=22112xy+=0,0,0ABCDEF===ABCDEF22:135xyCkk+=+−yk()3,1−()1,5()3,5−()1,3Ckk22

:135xyCkk+=+−y305053kkkk+−−+31k−C221259xykk+=−+CA．半径为的圆B．焦点在上的椭圆，且长轴长为C．等轴双曲线D．焦点在上的双曲线，且焦距为【答案】AD【详解】对于A选项，若曲线为圆，则，解得，此时，曲线的方程

为，该圆的半径为，A对；对于B选项，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，此时，椭圆的长轴长为，B错；对于C选项，若曲线为等轴双曲线，则，无解，C错；对于D选项，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，此时，双曲线的焦距为，D对.4．（2023上·广东惠州·高二统考期末）（多选

）已知曲线，则下列判断正确的是（）A．若，则是圆，其半径为B．若，则是双曲线，其渐近线方程为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是两条直线【答案】BC【分析】根据椭圆，双曲线的几何性质，圆的定义逐个进行判断即可【详解】

若时，转化为，半径为，故A错误；若，当，是焦点在轴上的双曲线，当，是焦点在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是的渐近线，故B正确；若，转化为，由于可知，是焦点在轴上的椭圆，故C正确；若，转化为，是双曲线不是两条直线，故D错误.5．（多选）已知方程表示的曲线为

，则下列四个结论中正确的是（）A．当或时，曲线是双曲线B．当时，曲线是椭圆17x25k−y2216k−C259250kkk−=+−8k=C2217xy+=17Cx25990kkk−++98k−C225k−

C2590kk−++=Cy90250kk+−25kC29252216kkk++−=−22:1xyCab−=0ab=−Ca0abCbyxa=0ab−Cx1ab==C0ab=−22:1xyCa

b−=22xya+=a0ab0,0abCx0,0abCy220xyab−=byxa=C0ab−22:1xyCab−=22:1xyCab+=−0ab−Cx1ab==22:1xyCab−=221xy−=22162xymm+=−−C6m2mC26m

CC．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则【答案】AD【分析】根据双曲线、椭圆标准方程的特征，依次构造不等式求得每种曲线对应的的范围即可.【详解】对于A，若曲线为双曲线，则，解得：或，A正确；对于B，若曲线为椭圆，则，解得：或，B错误

；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，C错误；对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，D正确6．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．若是椭圆，则其长轴长为B．若，则是双曲线C．C不可能表示一个

圆D．若，则上的点到焦点的最短距离为【答案】BC【分析】根据可知若为椭圆，则焦点在轴上，进而可判断A,进而可判断BC，根据椭圆的几何性质可判断D.【详解】由于，所以，对于A,当时，故表示焦点在轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为，故A错误,对于B,当时，是双曲线，故B正确,对于

C,由于，故C不可能表示一个圆，故C正确，对于D,时，，表示焦点在轴上的椭圆，且此时故椭圆上的点到焦点的最小距离为，故D错误7．（多选）已知曲线，（）A．若，则C的离心率是B．若，则C的离心率是C．若，则C是双曲线D．若，则C是椭圆Cy6mCx

24mmC()()620mm−−6m2mC602062mmmm−−−−24m46mCy260mm−−46mCx620mm−−24m222:11xyCmm+=+C2m0mC1m=C2221mm+x

22131024mmm+−=−+21mm+0m222:11xyCmm+=+x221m+0mC21mm+1m=22:121xyC+=x2222,1,1,===abc21ac−=−22:1Cmxny+=0mnmnm−0mn

mnn−0mn0mn【答案】AC【详解】对A、B：若，则，由于，即，表示焦点在y轴的椭圆，则，可得，故A正确，B错误；对C：若，即异号，则异号，当故，即表示焦点在x轴上的双曲线；当故，即表示焦点在y轴上的双曲线，综上所述：

若，则C是双曲线，C正确；对D：若，曲线C不一定是椭圆，例如，曲线C是圆，D错误8．（2023·广东汕头·统考二模）（多选）已知曲线，，则下列结论正确的是（）A．曲线C可能是圆，也可能是直线B．曲线C

可能是焦点在轴上的椭圆C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为【答案】ABD【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.【详解】设，故曲线C的方程可表示为，对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直

线；当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A正确；对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，故C错误；0mn110mn221mxny+=22111xymn+=2211,abnm==22

222221111ccabbmnmeaaaamn−−====−=−=0mn,mn11,mn110,0mn221mxny+=22111xymn−=−110,0mn221mxny+=22111yxnm−=−0mn0mn

0mn=22:cos1Cxy+=[0,π]y2cos1,1ma=−mcos1,1ma=−22(1)11xmym+=−0m=21x=1x=1m=221xy+=01m11m2211yxm+=11co

sem=−=−对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，此时离心率为，由，可得，即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确9．（2023宝安中学期中）若方程表示椭圆，则m的取值范围是.（易错）【答案】【解析】由，且可得．【详解】方程表示椭圆⇔，解得且

.所以m的取值范围是【题型2】双曲线的渐近线相关计算10．（2023·深圳高二统考期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A．B．C．D．【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再

根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.11．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意，双曲线的焦

点在轴上，由于双曲线的渐近线方程为，所以，即，所以.10m−11m−2211yxm−=−11em=−10m−112em=−222113xymm+=−−(1,2)(2,3)10m−30m−13mm−−22113xymm+=−−103

013mmmm−−−−13m2m(1,2)(2,3)22221(0,0)xyabab−=32yx=3yx=22yx=32yx=2222223,1312,2,cbcabeeaaaa−====−=−==byxa=2yx=

Cy2yx=C52235y2yx=2ab=12ba=2222222151122ccabbeaaaa+====+=+=12．已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】设双曲线的半焦距为，因为双曲线的离心率为，所以，解得

，由，得，所以，所以渐近线方程为，所以两条渐近线的倾斜角分别为和，因为，所以，两条渐近线所夹的锐角为；即双曲线的两条渐近线的夹角为.13．（2023上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．

D．【答案】C【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，，即，则双曲线方程可化为：，由双曲线过点，，解得：，，双曲线方程为：.14．（2023上·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（）22221(0,0)xyabab−=

233π6π4π35π1222221xyab−=c22221xyab−=233233cea==233ca=222+=abc22222223133bcaaaa=−=−=33ba=3333abyxxxaa===

π65π65ππ2π663−=2πππ33−=π3()222210,0yxabab−=32yx=()22,322168yx−=22186yx−=22134yx−=22143yx−=ayxb=32ab=32ab=2222413yxbb−

=()22,32236813bb−=24b=23a=22134yx−=2213xy−=2OFPF=OPF△A．1B．C．D．【答案】B【分析】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出即可计算作答.【详解】双曲线C：中，，其渐近线，它与x轴的夹角为，即，在中

，，由余弦定理得：，即，整理得：，解得，所以的面积为.【题型3】求焦点三角形面积15．已知点P在椭圆221164xy+=上，1F与2F分别为左、右焦点，若1223FPF=，则12FPF△的面积为（）A．43B．63C．83D．133【答案】A【详解】由12222121212128c

os2PFPFPFPFFFFPFPFPF+=+−=，，又1243FF=，解得1216PFPF=，1212121sin313422162FPFSPFPPFFF===△.16．已知P是双曲线22221(,0)xyaba

b−=上的点，1F，2F是其焦点，双曲线的离心率是54，且120PFPF=，若12PFF△的面积为9，则ab+的值为__________.【答案】7【详解】解：如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上．设1||PFm=，2||PFn=．则2mna

−=，192mn=，2224mnc+=，即22224mnmna+−=，所以224364ca−=，又222cab=+，所以3b=．322212POF||OP2213xy−=||2OF=33yx=3030POF=OPF△22OFPF==22

2||||||2||||cosPFOPOFOPOFPOF=+−2221||22||2cos30OPOP=+−2||23||30OPOP−+=||3OP=OPF△113||||sin32sin30222OPFSOPOF

POF===又54ca=，2222516aab=+，解得2216169ab==，所以4a=．7ab+=．故答案为：7．17．已知椭圆22192xy+=的焦点分别为12FF，点P在椭圆上，若1||4PF=，则三角形12FPF的面枳为A．32B．3C．23

D．43【解答】解：椭圆22192xy+=的焦点分别为12FF，点P在椭圆上，则：26a=，若1||4PF=，所以2||2PF=，227c=．利用余弦定理：2221224(27)1cos2242FPF+−==−，所以1223FPF=，则：12132423

22FPFS==18．已知1(4,0)F−､2(4,0)F是双曲线()22:104xyCmm−=的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且1260FMF=，12FMF△的面为________【答案】43【详解】因为1(4,0)F−､2

(4,0)F是双曲线()22:104xyCmm−=的两个焦点，法一：由双曲线焦点三角形面积公式可得12FMF△的面积2443tan30tan2bS===法二：所以416m+=，所以12m=；设11MFt=，22

MFt=，因为点M是双曲线上一点，且1260FMF=，所以1243tt−=；在△12FMF中，由余弦定理可得：2212122cos6064tttt+−=；联立上述两式可得：1216tt=，所以12FMF△的面积121s

in60432Stt==.19．已知12FF，为双曲线C：221164xy−=的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF=，则四边形12PFQF的面积为________．【答案】8【详解】由题意得，4,2,25abc===，由双曲线的对称性

以及12PQFF=可知，四边形12PFQF为矩形，所以122221228480PFPFaPFPFc−==+==，解得128PFPF=，所以四边形12PFQF的面积为128PFPF=．故答案为：8．【题型4】定义法求轨迹20．如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个

定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（）A．圆B．射线C．长轴为4的椭圆D．长轴为2的椭圆【答案】C【分析】连接，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得，再由椭圆的定义可得其轨

迹.【详解】连接，因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以，2AB=BQ42AQBQAPAB+===BQBQPQ=因为，所以，所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆21．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（）A．B．C．

D．【答案】B【分析】设，利用三角形的重心坐标公式可得，将其代入可得结果.【详解】分别为椭圆的左、右焦点，设，G点是三角形的重心则，得，又是椭圆E上一动点，，即，又G点是三角形的重心，所以点G的轨迹方程为22．（2023上·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，

则圆心E的轨迹方程为.【答案】【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，由于动圆E与圆，都外切，设动圆E的半径为，则，所以，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右

支，设方程为，则，所以E的轨迹方程为.42AQPQAPAB+===42AQBQAPAB+===Q,AB12,FF22:19xEy+=P12PFF2291xy+=2291(0)xyy+=221819xy+=221(0)819xyy+=(,),(,)GxyPmn3

3mxny==2219xy+=12,FF22:19xEy+=12(22,0),(22,0)FF−(,),(,)GxyPmn12PFF22223003mxny−++=++=33mxny==P()()223319xy+=2291xy+=12PF

F0y2291(0)xyy+=()221:39++=Cxy()222:31Cxy−+=1C2C()22118yxx−=1212312ECECCC−=−=()221:39++=Cxy()13,0

C−13r=()222:31Cxy−+=()23,0C21r=1C2Cr123,1ECrECr=+=+1212312ECECCC−=−=E1C2C22221(0,0)xyabab−=221,3,22acbca===−=()22118yxx−=23．（2023上·广东深圳

·高二校考期末）如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M，求点M的轨迹方程.【答案】【详解】，圆心，半径.由连接，由点Q在圆内，又由点M在线段的垂直平分线上.，，由椭圆的定义知，点M的轨迹是以，Q为焦点的椭圆，其中，

.，点M的轨迹方程为.【题型5】设点运算求轨迹方程24．已知点A在曲线22:186xyC+=上，O为坐标原点，若点B满足2OAOB=，记动点B的轨迹为Γ，求Γ的方程【答案】22143xy+=【详解】设()(),,,AABxyAxy，因

为点A在曲线22:186xyC+=上，所以22186AAxy+=，因为2OAOB=，所以22AAxxyy==，()212:216Cxy++=()2,0QPQ1CP2C22142xy+=()212:216Cxy++=()

12,0C−4r=1224CQ=MQ1CPQ||||QMPM=111||||422QMMCPMMCrQC+=+===1C24ar==1222cQC==2222bac=−=2C22142xy+=代入22186AAxy+=可得22(2)(2)186xy+=，即22143xy+=，即Γ的

方程为22143xy+=25．已知22:4Oxy+=交x轴于,AB两点，P为O上位于x轴上方的动点，将O上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C，求曲线C的方程【答案】2214xy+=【详解】设所求曲

线C上任一点的坐标为(,)xy，圆O上的对应点的坐标为()00,xy由题意可得002xxyy==，因为22004xy+=，所以2244xy+=即2214xy+=26．已知P是圆C：2212xy+=上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点

M满足2PQPM=，记点M的轨迹为E，求E的方程【答案】221123xy+=【详解】（1）设(),Mxy，则(),0Qx，因为2PQPM=，则(),2Pxy，因为P在圆C上，所以()22212xy+=，故E的方程为

221123xy+=27．在平面直角坐标系xOy中，已知动点C到定点(1,0)F的距离与它到直线:4lx=的距离之比为12，求动点C的轨迹方程【答案】22143xy+=【详解】设动点(,)Cxy，由动点C到定点(1,0)F的距离与它到直线:4lx=的距离之比为12.得22(1)1|4

|2xyx−+=−，化简得22143xy+=，即点C的轨迹方程为22143xy+=28．已知(22,0),(22,0)AB−，直线,PAPB的斜率之积为34−，记动点P的轨迹为曲线C,求C的方程【答案】221(22)86xyx+=【详解】（1）设(,)Pxy，则直

线PA的斜率(22)22PAykxx=−+，直线PB的斜率(22)22PBykxx=−，由题意223842222PAPByyykkxxx===−−+−，化简得221(22)86xyx+=29．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知点，，点满

足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为．【答案】20【分析】根据条件，运用斜率公式求出P点的轨迹方程，再根据轨迹确定面积的最大值.【详解】设，由题意可知，，整理得；得动点的轨迹为以，为长轴顶点的椭圆除去，两点，显然当点位于上下顶点时面积取得最大值，因为，，所以30．已知双曲

线()2222Γ:1,0xyabab+=，经过双曲线上的点()2,1A作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为14−,求双曲线的方程【答案】2212xy−

=【详解】解：设()11,Mxy､()22,Nxy，线段AM､AN的中点分别为(),Bmn､(),Cpq，由已知，得2211221xyab−=；2222211ab−=两式相减，得22221122210xyab−−−=，即2112111122yybxxa

+−=+−①根据中点坐标及斜率公式，得()50A−，()50B，PPAPB1625−PABPAB()Pmn，2216552525PAPBnnnkkmmm===−+−−()22152516mnm+=PA

B(AB)PPAB5a=4b=()max12202PABSab==122xm+=，112yn+=，1112AMykx−=−，1112OBynkmx+==+.代入①，得22AMOBbkka=②同理，得22ANOC

bkka=③，②③相乘，得44AMANOBOCbkkkka=.∵14OBOCkk=−，1AMANkk=−，∴4414ba=④由2222211ab−=，与④联立，得22a=，21b=，双曲线的方程为：2212xy−=.【题型6】光学性质31．椭圆的光学性

质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：()2221024xybb+=，12,FF为其左、右焦点．M是C上的动点，点()0,3N，若1MNMF+的最大值为6.动直线l为

此椭圆C的切线，右焦点1F关于直线l的对称点()11,Pxy，113424Sxy=+−，则椭圆C的离心率为；S的取值范围为．【答案】127,47【解析】根据椭圆定义得：122MFMFa+=，所以12222MNMFMNMFaNFa+=−++，因为1MNMF+的最大值为6，2a=，所以22N

F=，即()2232c+=，解得1c=，所以离心率为12ca=；右焦点()21,0F关于直线l的对称点()11,Pxy，设切点为A，由椭圆的光学性质可得：1,,PAF三点共线，所以111224FPFAAPFAAFa=+=+==，即点()11,Pxy的轨迹是以()1,0−为圆心，半径为4的圆

，圆心()1,0−到直线34240xy+−=的距离为324275916−−=+，则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为277455−=，最大值为2747455+=，所以点()11,Pxy到直线34240xy+−=的距离为1134245xy+−，所以113424Sxy=+−表示点()

11,Pxy到直线34240xy+−=的距离的5倍，则1174734245,555Sxy=+−，即7,47S.32．已知椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，过2F的直线与E交于点A

、B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M.由椭圆的光学性质知，1F、A、M三点共线.若ABa=，1157BFMF=，则21BFAF=.【答案】14/0.25【解析】如下图所示：因为点B关于l的对称点为M，则AMAB=，因为()()1112124AFABB

FAFAFBFBFa++=+++=，且ABa=，所以，113AFBFa+=，所以，111111537BFBFBFMFABAFaaBF===++−，可得153aBF=，则11433aAFaBF=−=，所以，2123aBFaBF=−=，故2131344BFaAFa==.33．圆锥

曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它的一条

对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是BC，若120PFB=，90FBC??，则该双曲线的离心率等于．【答案】31+/13+【解析】在平面直角坐标系中，如图，反射

光线BC的反向延长线经过双曲线的另一个焦点1F，由120PFB=，90FBC??，可得160BFF=，190FBF=，在直角三角形1FBF中，11sin603BFFFc==，1cos60BFFFc==，由双曲线的定义可得12aBB

FF−=，所以32cca−=，即(31)2ca−=，所以23131cea===+−，34．圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另

一个焦点．如图，从双曲线C的右焦点2F发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点1F．已知入射光线2FP的斜率为2−，且2FP和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线C的渐近线方程为．【答案】20xy+=和20

xy−=【解析】设双曲线的方程为22221xyab−=，设()00,Pxy，()()1100Fc,Fc-，，，故210000122PFPFyyk,kxcxc==-==-+，由此003455ccx,y,==所以3455ccP,,将其代入双曲线方程中得222234551c

cab−=，结合222cab=+，bka=，所以42932160kk--=，解得24k=或249k=−（舍去），因此2k=，所以渐近线方程为：20xy+=和20xy−=.35．双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射

光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左､右焦点分别为12,FF，从2F发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且5cos,013BACABBD=−

=，则E的离心率为（）A．173B．375C．102D．5【答案】B【解析】由题意知延长,CADB则必过点1F,如图：由双曲线的定义知121222AFAFaBFBFa−=−=，又因为5cos13BAC=−，所以15cos13FAB=，因为0ABBD=，所以AB

BD⊥，设113,0AFmm=，则15,12ABmBFm==，因此22132122AFmaBFma=−=−，从而由22AFBFAB+=得1321225mamam−+−=，所以5am=，则1125BFa=，225BFa=，122FFc=，又因为22212

12BFBFFF+=，所以()222122255aac+=，即223725ac=，即375e=【题型7】椭圆与双曲线共焦点问题36．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F，2F，P，Q分别是它

们在第一象限和第三象限的交点，且260QFP=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，则221231ee+等于()A．4B．23C．2D．3【答案】A【解答】解：设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的半实轴长为2a，P在双曲

线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得121||||2PFPFa+=，122||||2PFPFa−=，可得112||PFaa=+，212||PFaa=−，设12||2FFc=，260QFP=，四边形12FPFQ是平行四边形，所以，12120FPF

=，在△12PFF中由余弦定理得，222121212124()()2()()coscaaaaaaaa=++−−+−120，化简得2221234aac+=，该式可化为：22122234aacc+=，结合

11cea=，22cea=，则2212314ee+=．37．已知1F、2F为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点，1260FPF=，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（）A．23B．1C．32D．2【答案】C【分析】由椭圆及双曲线的定义，结合余弦定理可得2221314ee+=，

再根据基本不等式求解最值即可．【详解】不妨设1PFm=，()2PFnmn=．椭圆的长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，两曲线的半焦距均为c，由椭圆及双曲线的定义得12mna+=，22mna−=，于是，12maa=+，12naa

=−，又在12PFF△中，由余弦定理得()()()()222222121212122cos6044mnmncaaaaaaaac+−=++−−+−=，则2221234aac+=，得2221314ee+=，

由均值不等式得12222212121333422eeeeee=+，当122e=，262e=时，等号成立，所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为32．模块二：最值问题【题型8】坐标轴上的点与椭圆距离最短38．已知点P在椭圆22193xy+=上运动，点Q在圆225(1)8xy−+=上

运动，则||PQ的最小为()A．2B．102C．1024−D．104【解答】解：设圆225(1)8xy−+=的圆心为A，则(1,0)A，设(,)Pxy，则222||(1)APxy=−+，椭圆22193xy+=，2233xy=−，22222||2132433xAPxxxx=−++

−=−+，[3x−，3]，令22()243hxxx=−+，()hx在[3−，3)2单调递减，3(,3]2单调递增，()hx在32x=时最小，即2||AP最小值为52，10||2minAP=，10

1010||||244minminPQAPr=−=−=．【题型9】直线与椭圆距离最短39．（2023上·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【

分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.【详解】设与直线平行的直线的方程为，∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，设切点，，所以，，，，点，直线的方程为，两点间距

离的最小值为平行线和间的距离，1yx=+22xy=−142422181yx=+lyxm=+l22xy=−QPQl1yx=+lyxm=+l22xy=−QPQ()00,Qxy22xy=−212yx=−yx=−0011xx

−==−012y=−11,2Q−−l12yx=+,PQ12yx=+1yx=+两点间距离的最小值为.【题型10】线段和差最值问题40．（2023上·福建福州·高二校联考期末）已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值

等于.【答案】6【详解】结合题意，绘制图像：根据双曲线的性质可知，得到，所以，而，所以，所以最小值为641．（2023上·广东佛山·高二统考期末）已知是双曲线：的右焦点，Р是的左支上一动点，，若周长的最小值为10，则的渐近线方程

为.【答案】【详解】由题意可得，设，由双曲线的定义可得，，，则的周长为,当且仅当共线时，取得最小值，且为，由题意可得，即解得，则渐近线方程为故答案为：.,PQ112242−=22:13yCx−=1F(0,23)QPC1PFPQ+1222PFPFa−==122PFPF=+12222PFPQPFP

QQF+=+++()()20,23,2,0QF()2222234QF=+=FC()222103xyaa−=C()0,23AAPFC3yx=()()0,23,,0AFc(,0)Fc−2PFPFa−=2PFaPF

=+2||12AFc=+APF22||||||||||212||212PAPFAFPAPFacAFac++=+++++++,,APF22212ac++2221210ac++=22212310aa+++=1a=3byxxa==3yx=42．已知椭圆

22143xyC+=：的左、右焦点分别为1F，2F，M为C上任意一点，N为圆22(5)(4)1Exy−+−=：上任意一点，则1MNMF−的最小值为．【答案】425−/542−+【分析】首先根据椭圆的定义将1MNMF−的最小值转化为2

4MNMF+−，再根据1MNME−（当且仅当M、N、E共线时取等号），结合22MEMFEF+，求得1MNMF−的最小值．【详解】如图，由M为椭圆C上任意一点，则124MFMF+=，又N为圆E：22(5)(4)1xy

−+−=上任意一点，则||1MNMEENME−=−（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号），()124MNMFMNMF−=−−，()2224145MNMFMEMFEF=+−−+−−，当且仅当M、N、E、2F共线且M、N在E、2F之间时等

号成立．由题意知，()210F，，()5,4E，则222(51)(40)42EF=−+−=，1MNMF−的最小值为425−【题型11】焦点弦的最小值43．（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦

距为8，过的直线与该椭圆交于M，N两点，若的最小值为，则周长为.1F2F()222210xyabab+=1FMN1852FMN【答案】【分析】根据焦距为8，的最小值为可得：，，结合椭圆的定义进而求解.【详解】由题意可知：，解得：，，由椭圆的定义可得：周长为【题型12】

焦半径的最小值问题44．（2023·深圳一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为．【答案】【详解】依题意，由图象的性质可知，点到焦点距离的最大值为，最小值为，所以，化简得，即

离心率45．（2023·温州一模）已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为．【答案】【分析】先结合椭圆的定义表示出，化简后结合的范围可求出的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率.【详解】

因为，所以，所以当时，取得最大值，因为，所以的最小值为，因为的最大值是它的最小值的2倍，所以，所以，所以，所以椭圆的离心率为【题型13】利用基本不等式求最值46．函数3(0,1)xyaaa−=的图象恒过定点A，若点A在双曲线221(0,0)xymnmn−=上，则20

MN1854c=5a=2222282185cbaabc===+4c=5a=2FMN420a=13ac+ac−2acac+=−13ca=13e=1F2F12MFMF22()12112MFMFMFaMF=−1MF12MFMF,ac122MFMFa+=()()22212111112

2MFMFMFaMFMFaMFMFaa=−=−+=−−+1MFa=12MFMF2a1[,]MFacac=−+12MFMF222cab−+=12MFMF222ab=2222cabb=−=2,abcb==222

cbeab===mn−的最大值为()A．6B．4C．2D．1【答案】B【解答】解：由题意可知，函数3(0,1)xyaaa−=的图象恒过定点(3,1)A，又点A在双曲线221(0,0)xymnmn−=上，911(0,

0)mnmn−=，9199()()()10()1024nmnmmnmnmnmnmn−=−−=−+−=„，当且仅当9nmmn=时，即2n=，6m=时，等号成立．47．已知函数log(1)1(0ayxa=−+，且1)a的图象恒过定点A，若点A在椭圆221x

ymn+=上，则mn+的最小值为()A．12B．10C．9D．8【答案】C【解答】解：对于函数log(1)1(0ayxa=−+，且1)a的图象，令11x−=，求得2x=，1y=，可得它的图象恒过定点(2,1)A．因为点(2,1)A在椭圆221(0xymmn+=，0n

，)mn上，则411mn+=，则4144()()5529nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=…，当且仅当2mn=时，等号成立，故mn+的最小值为948．设O为坐标原点，直线xa=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=

的两条渐近线分别交于A，B两点，若C的焦距为12，则OAB面积的最大值为()A．72B．36C．18D．9【答案】C【解答】解：双曲线22221xyab−=的渐近线方程为byxa=，C的焦距为12，212c=，即6c=，2

2236abc+==，直线xa=与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，不妨取(,)Aab，B(,)ab−，OAB面积221136||2182222abSaABabab+=====„，当且仅当32ab==时，等号成立，O

AB面积的最大值为18模块三：求离心率与其它值【题型14】结合余弦定理求焦半径49．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知结合双曲线的定义及

性质，利用余弦定理，总综合可得，进而即可求解．【详解】不妨设，在△中，由余弦定理知，，因为，则，两式联立得，因为，，整理得，化简得，所以离心率．故选：．50．已知1F，2F为双曲线2222:1(0,0)xy

Cbab−=的左、右焦点，过2F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，若22212||||2PFPFc−=，则双曲线离心率的值为()A．2B．3C．2D．3【答案】A【解答】解：设双曲线2222:1(0,0)xyCb

ab−=的一条渐近线方程为byxa=，点2(,0)Fc到渐近线的距离222||bcdPFbab===+，222coscbaPOFcc−==，在1POF中，运用余弦定理，可得22222221111||||||2|

|||cos2()3aPFPOOFPOOFPOFacacacc=+−=+−−=+，22222212||||34PFPFacba−=+−=，1F2FC()222210,0xyabab−=PC12

60FPF=5OPb=C3262522246ca=12||||PFPF12PFF222212121212||4||||2||||cosFFcPFPFPFPFFPF==+−||5OPb=2222222212||||2||21021210PFPFOPcbcca+=+=+=−2212||||8

10PFPFca=−2222121212124||||||||(||||)||||cPFPFPFPFPFPFPFPF=+−=−+122||||aPFPF=−2246ca=26ca=62cea==C22212||||2PFPFc−=，2242ac=，22caeaa=

==．51．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，点P为C上一点，12120FPF=，△12FPF的内切圆与外接圆的半径分别为1r，2r，若216rr=，则C的离心率为()A．32B．154C．1920D．910【答案】D【解答】解

：设12||2FFc=，则22222sin1203ccrr==．因为12||||2PFPFa+=，所以22121212||(||||)2||||(1cos120)FFPFPFPFPF=+−+，则221244||||c

aPFPF=−，则212||||4PFPFb=．由等面积法可得222111(22)4sin1203()22acrbac+==−，整理得13()rac=−，因为216rr=，所以263()3cac=−，故910c

ea==．52．已知F是椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若||3||PFQF=，且120PFQ=，则椭圆E的离心率为()A．74B．12C．34D．32【答案】

A【解答】解：设椭圆的右焦点F，连接PF，QF，根据椭圆对称性可知四边形PFFQ为平行四边形，则||||QFPF=，且由120PFQ=，可得60FPF=，所以||||4||2PFPFPFa+==，则1||2PFa

=，3||2PFa=由余弦定理可得2222(2)||||2||||cos60(||||)3||||cPFPFPFPFPFPFPFPF=+−=+−，即2222974444caaa=−=，椭圆的离心率2277164cea===，【题型15】余弦定理用2次53．椭圆2222:1(

0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过点1F的直线l交椭圆C于A，B两点，若122||||FFAF=，112AFFB=，则椭圆C的离心率为（）A．57B．22C．53D．13【答案】D【解析】因为122||||2FFAFc==

，由椭圆定义知1||22AFac=−，又112AFFB=，所以1||BFac=−，再由椭圆定义2||2()BFaacac=−−=+，因为1212πAFFBFF+=，所以1212coscosAFFBFF=−，所以由余弦定理可得22222211221122112112||||||||||||

2||||2||||AFFFAFBFFFBFAFFFBFFF+−+−=−，即222222(22)(2)(2)()(2)()2(22)22()2acccaccacaccacc−+−−+−+=−−−，化简可得22340acac+−=，即23410ee−+=，解得13

e=或1e=（舍去）54．已知椭圆22221(0)xyCabab+=：的两个焦点为12FF，，过1F作直线与椭圆相交于,AB两点，若112AFBF=且2BFAB=，则椭圆C上的离心率为（）A．13B．14C．33D．63【答案】C解析：设1FBt=，则12AFt=，23FBt=，由椭圆定义

：1242FBFBta+==，2at=，1222FAFAaFAa+=+=，2FAa=，1212coscosAFFBFF=−，22222294444122222aacacaacac+−+−=−，化简223ca=,33e=，故选C55．设12FF，分别为椭圆222

21(0)xyCabab+=：的左、右焦点，点AB，均在C上，若122FAFB=，1125FBFA=，则椭圆C的离心率为（）A．22B．53C．64D．105【答案】B解析：设1AFt=，则22tFB=，152BFt=，由椭圆

定义：125222ttFBFBa+=+=，23at=，1222FAFAtFAa+=+=，243aFA=，12A2FFB=，12FAFB，1212coscosAFFFFB=−，2222224162544999921222233aaaaccacac+−+−=−，化简2295

ca=，53e=，故选B56．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且22||3||AFBF=．若1||||ABAF=，则双曲线C的离心率为()A．32B．2C．15D．

4【答案】D【解答】解：设2||BFx=，因为22||3||AFBF=，则2||3AFx=，由双曲线的定义可得1||23AFax=+，1||2BFax=+，因为1||||4232ABAFxaxxa==+=，所以2||2BFa=，2||6AFa=，1

||8AFa=，1||4BFa=，因为1212FFBFFA+=，所以1212coscos0FFBFFA+=，由余弦定理可得22222212211221122122||||||||||||02||||2

||||FFFBBFFFFAAFFFFBFFFA+−+−+=，即222222(2)(2)(4)(2)(6)(8)0222226caacaacaca+−+−+=，解得2cea==．故选：B．57

．已知椭圆C的焦点为1(1,0)F−，2(1,0)F，过2F的直线与C交于A，B两点．若22||3||AFBF=，12||5||BFBF=，则椭圆C的方程为()A．2212xy+=B．22132xy+=C．22143xy+=D

．22154xy+=【答案】A【解答】解：12||5||BFBF=，且12||||2BFBFa+=，2||3aBF=，15||3aBF=，22||3||AFBF=，2||AFa=，12||||2AFAFa+=，1||AFa=，12||||AFAF=，则A在

y轴上．在Rt△2AFO中，21cosAFOa=，在△12BFF中，由余弦定理可得2222154()()3233cos223aaaBFFaa+−−==，根据221coscos0AFOBFF+=，可得21320aaa−+=，解得22a=，2221bac=−=．椭圆C的方程为：2

212xy+=．【题型16】构造齐次化方程58．（2023上·广东湛江·高二统考期末）是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．P22221(0)xyabab+=AFPFx⊥

1tan2PAF=e32512−3312【答案】D【分析】轴得，在直角中由正切的定义可得的齐次式，从而得出的方程，求得结论．【详解】解：轴，，而由得，即，解得舍或.59．双曲线2222:1(0xyCaab−=，0

b的左、右焦点分别为1F，2F，P是双曲线C上一点，2PFx⊥轴，123tan4PFF=，则双曲线的离心率为()A．43B．2C．3D．2【答案】D【解答】解：因为点P在双曲线上，且2PFx⊥轴，所以点P的横坐标为c，代入双

曲线的方程可得2(,)bPca，则22||bPFa=，12||2FFc=，所以2221212||3tan||224bPFbaPFFFFcac====，所以223bac=，所以222()3caac−=，所以2232(1)cca

a−=，所以22320ee−−=，所以12e=−（舍去），或2e=60．（2023上·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．PFx⊥2b

PFa=PAF△,,abcePFx⊥2bPFa=AFac=+，1tan2PAF=12PFAF=，212baca=+（）2222acaac−=+（）2210ee+−=，1e=−（）12e=xOy()2222:10,0xyCa

bab−=12,FFA1AFyB2ABF△C23323332【答案】C【分析】由长度关系可得2112BFAF=，知212AFFF⊥，在12RtFFA△中，利用12tan3FAF=可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设2AFm=，2ABF为等边三角形，2ABBFm

==，12π3FAF=，又12BFBFm==，2112BFAF=，212AFFF⊥，22bAFa=，1212222tan3FFcFAFbAFa===，2222333acbca==−，23230ee

−−=，解得：33e=−（舍）或3e=，双曲线C的离心率为3.61．已知点P为双曲线()2222:10,0xyCabab−=右支上一点，12,FF分别为C的左，右焦点，直线1PF与C的一条渐近线垂直，垂足为H，

若114PFHF=，则该双曲线的离心率为（）A．153B．213C．53D．73【答案】C【详解】取1PF的中点M，连接2MF,由条件可知1111142HFPFMF==，O是12FF的中点，2//OHMF又1OHPF⊥，21MFPF⊥1222FFPFc==,根据双曲线的定义可知122PFac

=+，12acHF+=，直线1PF的方程是：()ayxcb=+，即0axbyac−+=，原点到直线的距离22acOHaab==+，1OHF中，2222acac++=，整理为：223250caca−−=，即23250ee−−=，解得：53e=，或1e=−（舍）故选：C【题

型17】双焦点三角形模型：导边62．已知椭圆22221(0)xyabab+=，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线2AF交椭圆于另一点P，若1PFPA=，则椭圆的离心率为【答案】33【分析】由题意结合椭圆定义可得123,22aaPFPF==，在1APF△中，

由余弦定理可得11cos3PAF=，再利用二倍角的余弦公式可得1sincOAFa=，从而求出椭圆的离心率.【详解】如图，点P在椭圆上，所以12+2PFPFa=，由122PFPAPFAF==+，2AFa=代入上式得，123,22aaPFPF

==在1APF△，222222111133122cos32322aaaAFAPPFPAFaAFAPa+−+−===，又2111cos12sin3PAFOAF=−=，所以13sin3OAF=，即13sin3cOAFea===63．（2023上·广东深圳·高二统考期

末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若，则的面积为．【答案】【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形即可根据勾股定理求解，由直角三角形的面积公式即可得解.【详解】如图，因为，所以．设，，得，

由，得所以，则，由，得，又，所以，，，故的面形.64．已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为.1F2F()222:103xyEaa−=1F22::5:12:13BFABAF=2ABF△12522a=22

::5:12:13BFABAF=2ABBF⊥25BFx=12ABx=213AFx=1221BFBFAFAF−=−1112||513||xAFxxAF+−=−13AFx=115BFx=2221212BFBFFF+=222504xc=12221023BFBFxaca−==

=+22a=25c=2225x=2ABF△221123025SABBFx===22221xyab−=()0,0ab1F2FAB2F,AB1ABAF⊥222AFFB=【答案】【分析】连接，设利用双曲线的定义得到利用直角和直角构造的关系，即可求出答案

【详解】连接，设则，由双曲线的定义可得在直角中，，即，化简可得，在直角中，，即，将代入上式可得整理可得，所以65．1F、2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点，过点1F的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，若2ABF是等边三角形，则该双曲线的离心率为

()A．2B．3C．5D．7【解答】解：因为2ABF为等边三角形，不妨设22||||||ABBFAFm===，B为双曲线上一点，1211||||||||||2FBFBFBBAFAa−=−==，A为双曲线上一点，则21||||2AFA

Fa−=，2||4AFa=，12||2FFc=，1731BF2,AFm=122,FBma=+12,FAma=+1AFB△12AFF△,ac1BF2,AFm=22FBm=12222,FBFBama=+=

+1222,FAFAama=+=+1AFB△22211FABAFB+=()()()2222322ammma++=+23ma=12AFF△2221212FAFAFF+=()()22222ammc++=23ma=()222222233aaac

++=22179ca=173cea==由260ABF=，则12120FAF=，在△12FAF中应用余弦定理得：2224416224cos120caaaa=+−，得227ca=，则27e=，解得7e=．66．已知点1F、2F分别为双曲线2222:1(0,0)x

yTabab−=的左、右焦点，过2F的直线与双曲线T的左、右两支分别交于A、B两点，若11||:||:||5:5:4AFBFAB=，则双曲线T的离心率为()A．462B．46C．27D．7【答案】A【解答】解：11||:||:||5:5:4AFBFAB=，设2||BFm=，1||5AFt=

，||4ABt=，则1||5BFt=，1||5AFt=，根据双曲线的定义，得2112||||||||2AFAFBFBFa−=−=，即4552tmttma+−=−=，解得ta=，3ma=，即1||5AFa=，2||7AFa=，1||5BFa=，|△21FB

F中，22212121221||||||2||||cosFFBFBFBFBFFBF=+−222214925235coscaaaaFBF=+−，在三角形12ABFF中，2221111||||||2||||cosAFBFABBFABABF=+−222141

625245coscaaaaABF=+−，211coscos0FBFABF+=，22446ca=，可得462ca=，因此，该双曲线的离心率462e=．【题型18】利用几何性质求离心率67．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以

为直径的圆与的左支交于、两点，若，则的离心率为（）()2222:10,0xyCabab−=1F2F12FFCMN12π3MFN=CA．B．C．D．【答案】C【分析】连接，求出、，利用双曲线的定义可得出关于

、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示，易知点、关于轴对称，连接，所以，，由圆的几何性质可得，所以，，，由双曲线的定义可得，因此，双曲线的离心率为.68．（2023上·福建福州·高二校联考期末）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆的切线，若

两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】如图，由题意可得，，即，则，∴，即．312+331+232MF1MF2MFacCMNx2MF12π3MFF=12π2FMF=1π2cos3MFcc==2π

2sin33MFcc==()21312MFMFca−=−=C23131cea===+−22xa22yb222xyb+=12222363222bbc+=()2222acc−=2223ac=2223ca=

63cea==69．（2023上·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为．【答案】【详解】设椭圆的左焦点为,连接，,由几何关系可知，则，

即，由椭圆的定义可知，即且，整理得，解得，.故答案为：.【题型20】与向量结合70．过双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点F作圆222xya+=的切线FM，交y轴于点P，切圆于点M，若1233OMOFOP=+，则双曲线的离心率是()A．5B．3C

．2D．2【答案】B【解答】解：若1233OMOFOP=+，可得2FMMP=，且OMPF⊥，由||OMa=，||OFc=，可得22||MFcab=−=，||2bMP=，在OPF中，由直角三角形的射影定理可得2||||||OMMFMP=，则22bab=，即2ba=，则221123cbeaa=

=+=+=，2222:1(0)xyCabab+=222xyb+=531F1AFOT112OTAFb==2222TFOFOTcb=−=−222AFcb=−12AFAFa+=22222bcba+−=222cab=−2320bab−=23ba

=2222222513cabbeaaa−===−=5371．（2023·深圳二模）设椭圆C：22221xyab+=(0)ab的左、右焦点分别为1F，2F，直线l过点1F.若点2F关于l的对称点P恰好在

椭圆C上，且211212FFFPa=，则C的离心率为（）A．13B．23C．12D．25【答案】C【详解】法一：设12PFF=，由已知可得，1122PFFFc==，根据椭圆的定义有21222PFa

PFac=−=−.又211212FFFPa=，所以2214cos2ca=.在12PFF△中，由余弦定理可得，22221121122cosPFPFFFPFFF=+−，即()222222288cos8acccca−=−=−，整理

可得224850caca+−=，等式两边同时除以2a可得，24850ee+−=，解得，12e=或52e=−（舍去），所以12e=.法二：取2PF中点M，则2221121212FFFFMFMPa=−=，由勾股可得222124FMFM

c+=，设12,FMmFMn==则有()()222222222222222414122cnanacmncmnmncamna+==−+=+−−=−=−=代入消元得到关于a，c的齐次式故()2221

242acca−=−=，下略【题型21】其它计算求值问题72．若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】根据抛物线y2=4x上一点P到x轴的

距离为2，得到点P(3，±2)，然后利用抛物线的定义求解.【详解】由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，±2)，∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.73．已知、是椭

圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.【详解】由题意，，，即，，整理

可得，，则，解得74．（2023上·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点是和的一个交点.若点满足是正三角形且，则.【答案】.【分析】根据已知求出，，.根据椭圆以及双曲线的定义

可推得，在中，根据余弦定理可列出关于的方程，解出，进而得到，即可求出结果.【详解】333331F2F()2222:10xyCabab+=PC12PFPF⊥12PFF△b122PFPFa+=1212192PFFSPFPF==1218PFPF=222124PF

PFc+=()22121224PFPFPFPFc+−=224364ac−=229ac−=3b=221:19xCy+=2:C22221xyab−=()0,0ab1F2FP1C2CQ1PQF△26QF=b=31F2F228ab+=113QFPFa==+12FFQa25a=23b=由已知可得，

椭圆和双曲线的焦点坐标均为，，即，.设点在第一象限.因为点在椭圆上，所以有，又点在双曲线上，所以有，所以.又是正三角形，所以，，所以有，则三点共线.则在中，有，，由余弦定理可得，，即，整理得，又，所以，则由可得，75．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交

点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为．【答案】【分析】根据给定条件，借助几何图形及比例式求出点M，N的坐标，再代入椭圆方程求解作答.【详解】由对称性不妨令点M在第一象限，令直线交y轴于点A

，过N作轴于B，令，()122,0F−()222,0F22c=228ab+=PP126PFPF+=P122PFPFa−=13PFa=+1PQF△113QPQFPFa===+1π3FQP=21226QPPFPFPFQF+=+==2,,QPF12FFQ△12242FFc==26QF

=22212121212cosFFQFQFQFQFFQP=+−()()()222142362632aa=++−+25a=228ab+=23b=0b3b=1F2F22221(0)xyabab+

=2MF1MF14MNFN=2218154xy+=MNNBx⊥12(,0),(,0)FcFc−因为轴，则，而O为的中点，又A为中点，而，于是，由知，，显然，因此，于是，又，则，解得，而，则，所以椭圆C的标准方程为.【题型22】求离心率范围76．在椭圆22221(0)xyabab+=

中，1F，2F分别是其左右焦点，P是椭圆上一点，若12||2||PFPF=，则该椭圆离心率的取值范围是()A．1(,1)3B．1[,1)3C．1(0,)3D．1(0,]3【答案】B【解答】解：根据椭圆定义12||||2PFPFa+=，将设12||2||

PFPF=代入得22||3aPF=，根据椭圆的几何性质，2||PFac−…，故23aac−…，即3ac„，故13ca…，即13e…，又1e，故该椭圆离心率的取值范围是1[,1)3．77．已知椭圆()2222:10xyCa

bab+=的两个焦点为12,FF．点,PQ为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF=，2PFQ△的面积218SPQ，则C的离心率的取值范围为．【答案】26,23【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形21PFQF为矩形，故221PFQPFFSS=，求出212PPcFF，

再根据122PFPFa+=，利用勾股定理得到2122PFPFb=，得到222bc，再根据C上存在关于坐标原点对称的两点,PQ，使得12PQFF=，得到22bc，得到22ca，得到离心率.【详解】连接11,QFPF，由题意

得，12,OPOQOFOF==，又12PQFF=，所以四边形21PFQF为矩形，故221PFQPFFSS=，所以()22121112228PFcFcP=，故212PPcFF，又122PFPFa+=，由

勾股定理得2221212PFPFFF+=，2MFx⊥2//OAMF12FF1MF||3OA=2|2||6|FOAM==14MNFN=11||1||3NFMF=2//NBMF2112112||||2,||||333cNBMFBFFF====5(,2)3cN−−(,6)Mc

22222225419361cabcab+=+=22254,3bac==222abc=+2227,81ca==2218154xy+=即()22121224PFPFPFPFc+−=，2122PFPFb=，故222bc，即22222cac−，故2223ac，22

23ca解得63ca，又C上存在关于坐标原点对称的两点,PQ，使得12PQFF=，故22bc，所以bc，即222acc−，所以222ac，2212ca，解得22ca，综上，C的离心率的取值范围是26,23.故答案为：26,23

78．已知F是椭圆C：()222210xyabab+=的右焦点，A是C的上顶点，直线l：340xy−=与C交于M，N两点．若6MFNF+=，A到l的距离不小于85，则C的离心率的取值范围是（）A．5,13

B．50,3C．30,2D．3,12【答案】B【分析】据162MFNFNFaNF+=+==，得到3a=，根据点A到直线l距离d，求出2b，从而求出c得范围，从而求出答案.【详解】设椭圆

的左焦点为1F，A是C的上顶点，连接11,MFNF，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,MN关于原点对称，则OMON=又1OFOF=，四边形1MFNF为平行四边形1MFNF=，又162MFNFNFaNF+=+==，解得：3a=A到l的距离为：4855bd−=，解得：2b，

即22292acc−=−05c50,3cea=.79．已知12FF、是双曲线22221(0)xyabab−=的左右焦点，以2F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若122F

FAB，则双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】21015，【分析】表示出222ABab=−，建立关于abc、、的齐次式，即可求出离心率的范围.【详解】1F，2F是双曲线22221(0)

xyabab−=的左右焦点，以()20Fc，圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线0axby=－交于A，B两点，则焦点到渐近线的距离：22bcdbab==+，所以222ABab=−，122FFAB，22222

cab−，可得2222244abcab=+－，即：22223555abca=－，可得2258ca，所以2285ca，所以2105e，又1e，所以双曲线的离心率的取值范围是：21015

，80．已知双曲线22:1xyCmm−=+（其中0,0m），若0，则双曲线C离心率的取值范围为（）A．()1,2B．()2,+C．()1,2D．()2,+【答案】A【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用m表示出离心率，

进而可得其取值范围.【详解】由双曲线22:1xyCmm−=+（其中,00m），得()2211yxmm−=−+−，则双曲线C离心率()()()121121121111mmmmemmmm−+−+−+====−−++++，因为0m，所以11m+，则1011m+，所以11221

m−+，所以12e，即双曲线C离心率的取值范围为()1,2.