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专题1-4椭圆与双曲线22类常考题型汇总知识点梳理模块一：椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭圆与双曲线的定义与概念【题型2】双曲线的渐近线相关计算【题型3】求焦点三角形面积【题型4】定义法求轨迹【题型5】设点

运算求轨迹方程【题型6】光学性质【题型7】椭圆与双曲线共焦点问题模块二：最值问题【题型8】坐标轴上的点与椭圆距离最短【题型9】直线与椭圆距离最短【题型10】线段和差最值问题【题型11】焦点弦的最小值【题型12】焦半径的最小值问题【题型13】利用基

本不等式求最值模块三：求离心率与其它值【题型14】结合余弦定理求焦半径【题型15】余弦定理用2次【题型16】构造齐次化方程【题型17】双焦点三角形模型：导边【题型18】利用几何性质求离心率【题型20】与向量结合【题型2

1】其它计算求值问题【题型22】求离心率范围知识点梳理一、椭圆的基本量1.如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径．图(1)图(2)2.如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为____

____．3.椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________．4.设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值________．1.2b2a2.b2·tanθ23.a＋ca－c4.－b2

a2二、直线与椭圆1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考虑一元二次方

程的判别式Δ，有：①Δ>0直线与圆锥曲线________；②Δ＝0直线与圆锥曲线________；③Δ<0直线与圆锥曲线________．2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1

)，B(x2，y2)两点，则AB＝________．答案：1.(1)①相交②相切③相离2.1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|三、双曲线的基本量运算1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．2.如图，P为双曲

线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．3.焦点到渐近线的距离为________．4.设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，则直线

PA与PB的斜率之积为________．答案：1.2b2a2.b2tanθ23.b4.b2a2四、点差法椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆()2222=10xyabab+上任意2点，且弦AB不平行x轴，M为线段AB

中点，则有222=1ABOMbkkea=−−证明（点差法）：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则1212,22xxyyM++，1212OMyykxx+=+，1212AByykxx−=−，22122212ABOMyykkxx−=−∵A，B在椭

圆上，代入A，B坐标得221122=1xyab+①222222=1xyab+②两式相减得：2222121222=0xxyyab−−+，整理得2221222212=yybxxa−−−OxyABMABOMkk=？∴222=1ABOMbkkea=−−五、第三定义那么点差

法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点1(,0)Aa−，2(,0)Aa的斜率乘积等于常数21e−的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两

个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时2221bea−=−；当常数大于0时为双曲线，此时2221bea−=．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点()

Amn，，()Bmn−−，的斜率乘积等于常数21e−的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时2221bea−=−；当常数大于0时为双曲线，此时2221bea−=．【证明】,AB是椭圆()22

22=10xyabab+上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有222=1PAPBbkkea=−−证明（点差法）：设()11,Pxy，22(,)Axy，22(,)Bxy−−，OxyABPOxyABPOxyABPPAPB

kk=？1212PAyykxx−=−，1212PByykxx+=+，22122212PAPByykkxx−=−∵P，A在椭圆上，代入坐标得221122=1xyab+①222222=1xyab+②两式相减得：2222121222=0xxyyab−−+，整理

得2221222212=yybxxa−−−∴22221222212=1PAPByybkkexxa−==−−−法二：通过椭圆的垂径定理转换中点弦和第三定义本质上是一样的222=1PAPBOMPBbkkkkea==−−OxyA

BPM模块一：椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭圆与双曲线的定义与概念1．已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】

C【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.【详解】因为方程，其中，所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程；当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；若方程为双曲线的标准方程，则

有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；所以真命题有3个.2．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据椭圆的焦点位置可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】

因为椭圆的焦点在轴上，则，解得.3．（2023佛山·高二期末）（多选）已知曲线的方程为，则可能是（）220AxByCxyDxEyF+++++=ABCDEF220AxByCxyDxEyF+++++=A

BCDEF101ABCDEF======−2210xy+−=221xy+=1012ABCDEF=====−=−220xy−−=22yx=−2101ABCDEF======−22210xy+−=22112xy+=0,

0,0ABCDEF===ABCDEF22:135xyCkk+=+−yk()3,1−()1,5()3,5−()1,3Ckk22:135xyCkk+=+−y305053kkkk+−−+

31k−C221259xykk+=−+CA．半径为的圆B．焦点在上的椭圆，且长轴长为C．等轴双曲线D．焦点在上的双曲线，且焦距为【答案】AD【详解】对于A选项，若曲线为圆，则，解得，此时，曲线的方程为，该圆的半径为，A对；对

于B选项，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，此时，椭圆的长轴长为，B错；对于C选项，若曲线为等轴双曲线，则，无解，C错；对于D选项，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，此时，双曲线的焦距为，D对.4．（2023上·广东惠州·高二统考期末）（多选）已知曲线，则下列判断正确的是（）A．若，

则是圆，其半径为B．若，则是双曲线，其渐近线方程为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是两条直线【答案】BC【分析】根据椭圆，双曲线的几何性质，圆的定义逐个进行判断即可【详解】若时，转化为，半径为，故A错误；若，当，是焦点在轴上的双曲线，当，是焦点在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令

，整理可得均是的渐近线，故B正确；若，转化为，由于可知，是焦点在轴上的椭圆，故C正确；若，转化为，是双曲线不是两条直线，故D错误.5．（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（）A．当或时，曲线是双曲线B．当时，曲线是椭圆17x25k−y2216k−C259250

kkk−=+−8k=C2217xy+=17Cx25990kkk−++98k−C225k−C2590kk−++=Cy90250kk+−25kC29252216kkk++−=−22:1xyCab−=0ab=−Ca0abCbyx

a=0ab−Cx1ab==C0ab=−22:1xyCab−=22xya+=a0ab0,0abCx0,0abCy220xyab−=byxa=C0ab−22:1xyCab−=22:1xy

Cab+=−0ab−Cx1ab==22:1xyCab−=221xy−=22162xymm+=−−C6m2mC26mCC．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则【答案】AD【分析】根据双曲线、椭圆标准方程的特征，

依次构造不等式求得每种曲线对应的的范围即可.【详解】对于A，若曲线为双曲线，则，解得：或，A正确；对于B，若曲线为椭圆，则，解得：或，B错误；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，C错误；对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，D正确6．（2023上·江苏徐州·

高二统考期末）（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．若是椭圆，则其长轴长为B．若，则是双曲线C．C不可能表示一个圆D．若，则上的点到焦点的最短距离为【答案】BC【分析】根据可知若为椭圆，则焦点在轴上，进而可判断A,进而可判断BC，根据椭圆的几

何性质可判断D.【详解】由于，所以，对于A,当时，故表示焦点在轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为，故A错误,对于B,当时，是双曲线，故B正确,对于C,由于，故C不可能表示一个圆，故C正确，对于D,时，，表示焦点在轴上的椭圆，且此时故椭圆上的点到焦点的最小距离为，故D错误7．（多选）已

知曲线，（）A．若，则C的离心率是B．若，则C的离心率是C．若，则C是双曲线D．若，则C是椭圆Cy6mCx24mmC()()620mm−−6m2mC602062mmmm−−−−24m46mCy260mm−−4

6mCx620mm−−24m222:11xyCmm+=+C2m0mC1m=C2221mm+x22131024mmm+−=−+21mm+0m222:11xyCmm+=+x221m+0mC21mm+

1m=22:121xyC+=x2222,1,1,===abc21ac−=−22:1Cmxny+=0mnmnm−0mnmnn−0mn0mn【答案】AC【详解】对A、B：若，则，由于，即，表示焦点在y轴的椭圆，则，可得，故A正确，B错误；对C：若，即异号，则

异号，当故，即表示焦点在x轴上的双曲线；当故，即表示焦点在y轴上的双曲线，综上所述：若，则C是双曲线，C正确；对D：若，曲线C不一定是椭圆，例如，曲线C是圆，D错误8．（2023·广东汕头·统考二模）（多选）已知曲线，，则下列结论正确的是（）A．曲

线C可能是圆，也可能是直线B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为【答案】ABD【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.【详解】设，故曲线C的方程可表示为，对A，当时

，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线；当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A正确；对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，故C错误；0mn110mn221mxny+=22111x

ymn+=2211,abnm==22222221111ccabbmnmeaaaamn−−====−=−=0mn,mn11,mn110,0mn221mxny+=22111xymn−=−110,0mn221mxny+=22111yxnm−=−0mn0mn0mn=22:

cos1Cxy+=[0,π]y2cos1,1ma=−mcos1,1ma=−22(1)11xmym+=−0m=21x=1x=1m=221xy+=01m11m2211yxm+=11cosem=−=−对D，当时，，曲线

C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，此时离心率为，由，可得，即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确9．（2023宝安中学期中）若方程表示椭圆，则m的取值范围是.（易错）【答案】【解析】由，且可得．【详解】方程表示椭圆⇔，解得且.所以m的取值范围是【题型2】双曲线的渐近线相

关计算10．（2023·深圳高二统考期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A．B．C．D．【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.1

1．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，由于双曲线的渐近线方程为，所以，即，所以.10m−

11m−2211yxm−=−11em=−10m−112em=−222113xymm+=−−(1,2)(2,3)10m−30m−13mm−−22113xymm+=−−103013mmm

m−−−−13m2m(1,2)(2,3)22221(0,0)xyabab−=32yx=3yx=22yx=32yx=2222223,1312,2,cbcabeeaaaa−====−=−==byxa=2yx=Cy2yx=C52235y2yx=2ab=12

ba=2222222151122ccabbeaaaa+====+=+=12．已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】设双曲线的半焦距为，因为双曲线的离心率为，所以，解得，由，得，所以，所以渐近线方程为，所以两条渐近线的倾斜角

分别为和，因为，所以，两条渐近线所夹的锐角为；即双曲线的两条渐近线的夹角为.13．（2023上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，，即，则双曲线

方程可化为：，由双曲线过点，，解得：，，双曲线方程为：.14．（2023上·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（）22221(0,0)xyabab−=233π6π4π35π1222221xyab

−=c22221xyab−=233233cea==233ca=222+=abc22222223133bcaaaa=−=−=33ba=3333abyxxxaa===π65π65ππ2π

663−=2πππ33−=π3()222210,0yxabab−=32yx=()22,322168yx−=22186yx−=22134yx−=22143yx−=ayxb=32ab=32ab=2222413yxbb−=()22,3223681

3bb−=24b=23a=22134yx−=2213xy−=2OFPF=OPF△A．1B．C．D．【答案】B【分析】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出即可计算作答.【详解】双曲线C：中，，其渐近线，它与x轴

的夹角为，即，在中，，由余弦定理得：，即，整理得：，解得，所以的面积为.【题型3】求焦点三角形面积15．已知点P在椭圆221164xy+=上，1F与2F分别为左、右焦点，若1223FPF=，则12FPF△的面积为（）A

．43B．63C．83D．133【答案】A【详解】由12222121212128cos2PFPFPFPFFFFPFPFPF+=+−=，，又1243FF=，解得1216PFPF=，1212121sin313422162FPF

SPFPPFFF===△.16．已知P是双曲线22221(,0)xyabab−=上的点，1F，2F是其焦点，双曲线的离心率是54，且120PFPF=，若12PFF△的面积为9，则ab+的值为__________.【答案】

7【详解】解：如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上．设1||PFm=，2||PFn=．则2mna−=，192mn=，2224mnc+=，即22224mnmna+−=，所以224364ca−=，又222cab=+，所以3b=．322212POF||OP

2213xy−=||2OF=33yx=3030POF=OPF△22OFPF==222||||||2||||cosPFOPOFOPOFPOF=+−2221||22||2cos30OPOP=+−2||23||30OPOP−+=||3OP=OPF△113||||

sin32sin30222OPFSOPOFPOF===又54ca=，2222516aab=+，解得2216169ab==，所以4a=．7ab+=．故答案为：7．17．已知椭圆22192xy+

=的焦点分别为12FF，点P在椭圆上，若1||4PF=，则三角形12FPF的面枳为A．32B．3C．23D．43【解答】解：椭圆22192xy+=的焦点分别为12FF，点P在椭圆上，则：26a=，若1||4PF=，所以2||2PF=，227c=．利用余弦定理：2221224(27

)1cos2242FPF+−==−，所以1223FPF=，则：1213242322FPFS==18．已知1(4,0)F−､2(4,0)F是双曲线()22:104xyCmm−=的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且1260FMF=，12FMF△的面为________【答案】43

【详解】因为1(4,0)F−､2(4,0)F是双曲线()22:104xyCmm−=的两个焦点，法一：由双曲线焦点三角形面积公式可得12FMF△的面积2443tan30tan2bS===法二：所以416m+=，所以12m=；设1

1MFt=，22MFt=，因为点M是双曲线上一点，且1260FMF=，所以1243tt−=；在△12FMF中，由余弦定理可得：2212122cos6064tttt+−=；联立上述两式可得：1216tt=，所以12FMF△

的面积121sin60432Stt==.19．已知12FF，为双曲线C：221164xy−=的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF=，则四边形12PFQF的面积为________．【答案】8【详解】由题意得，4,2,25abc===，由双曲线的对称

性以及12PQFF=可知，四边形12PFQF为矩形，所以122221228480PFPFaPFPFc−==+==，解得128PFPF=，所以四边形12PFQF的面积为128PFPF=．故答案为：8．【题

型4】定义法求轨迹20．如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（）A．圆B．射线C．长轴为4的椭圆D．长轴为2的椭圆【答案】C【分析】连接，由线段垂直

平分线的性质结合圆的性质可得，再由椭圆的定义可得其轨迹.【详解】连接，因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以，2AB=BQ42AQBQAPAB+===BQBQPQ=因为，所以，所以点的

轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆21．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，利用三角形的重心坐标公式可

得，将其代入可得结果.【详解】分别为椭圆的左、右焦点，设，G点是三角形的重心则，得，又是椭圆E上一动点，，即，又G点是三角形的重心，所以点G的轨迹方程为22．（2023上·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外

切，则圆心E的轨迹方程为.【答案】【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，由于动圆E与圆，都外切，设动圆E的半径为，则，所以，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，设方程为，则，所以

E的轨迹方程为.42AQPQAPAB+===42AQBQAPAB+===Q,AB12,FF22:19xEy+=P12PFF2291xy+=2291(0)xyy+=221819xy+=221(0)819xyy+=(,),(,)GxyPmn33mx

ny==2219xy+=12,FF22:19xEy+=12(22,0),(22,0)FF−(,),(,)GxyPmn12PFF22223003mxny−++=++=33mxny==P()()223319xy+=2291xy+=12PFF0y2

291(0)xyy+=()221:39++=Cxy()222:31Cxy−+=1C2C()22118yxx−=1212312ECECCC−=−=()221:39++=Cxy()13,0C−13r=()222:31Cxy−+=()2

3,0C21r=1C2Cr123,1ECrECr=+=+1212312ECECCC−=−=E1C2C22221(0,0)xyabab−=221,3,22acbca===−=()22118yxx−=23．（2023上·广东深圳·高二校考期末

）如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M，求点M的轨迹方程.【答案】【详解】，圆心，半径.由连接，由点Q在圆内，又由点M在线段的垂直平分线上.，，由椭圆的定义知，点M的轨迹是以，Q为焦点的椭圆，其中，.，点M的轨迹方程

为.【题型5】设点运算求轨迹方程24．已知点A在曲线22:186xyC+=上，O为坐标原点，若点B满足2OAOB=，记动点B的轨迹为Γ，求Γ的方程【答案】22143xy+=【详解】设()(),,,AABxyAxy，因为点A在曲线22:186xyC+

=上，所以22186AAxy+=，因为2OAOB=，所以22AAxxyy==，()212:216Cxy++=()2,0QPQ1CP2C22142xy+=()212:216Cxy++=()12,0C−4r=1224CQ=MQ

1CPQ||||QMPM=111||||422QMMCPMMCrQC+=+===1C24ar==1222cQC==2222bac=−=2C22142xy+=代入22186AAxy+=可得22(

2)(2)186xy+=，即22143xy+=，即Γ的方程为22143xy+=25．已知22:4Oxy+=交x轴于,AB两点，P为O上位于x轴上方的动点，将O上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲

线C，求曲线C的方程【答案】2214xy+=【详解】设所求曲线C上任一点的坐标为(,)xy，圆O上的对应点的坐标为()00,xy由题意可得002xxyy==，因为22004xy+=，所以2244xy+=即2214xy+=26．已知P是圆C：2212xy

+=上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足2PQPM=，记点M的轨迹为E，求E的方程【答案】221123xy+=【详解】（1）设(),Mxy，则(),0Qx，因为2PQPM=，则(),2Pxy，因为P在圆C上，所以()22212xy

+=，故E的方程为221123xy+=27．在平面直角坐标系xOy中，已知动点C到定点(1,0)F的距离与它到直线:4lx=的距离之比为12，求动点C的轨迹方程【答案】22143xy+=【详解】设动点(,)Cxy，

由动点C到定点(1,0)F的距离与它到直线:4lx=的距离之比为12.得22(1)1|4|2xyx−+=−，化简得22143xy+=，即点C的轨迹方程为22143xy+=28．已知(22,0),(22

,0)AB−，直线,PAPB的斜率之积为34−，记动点P的轨迹为曲线C,求C的方程【答案】221(22)86xyx+=【详解】（1）设(,)Pxy，则直线PA的斜率(22)22PAykxx=−+，直线PB的斜率(22)22PBykxx=−，由题意223842222PAPByyykk

xxx===−−+−，化简得221(22)86xyx+=29．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为．【答案】20【分析】根据条件，运用斜率公式求出P点的轨迹方程，再根据轨迹确定面积的最大值.

【详解】设，由题意可知，，整理得；得动点的轨迹为以，为长轴顶点的椭圆除去，两点，显然当点位于上下顶点时面积取得最大值，因为，，所以30．已知双曲线()2222Γ:1,0xyabab+=，经过双曲线上的点()2,1A作互相垂直的直线AM､

AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为14−,求双曲线的方程【答案】2212xy−=【详解】解：设()11,Mxy､()22,Nxy，线段AM､AN的中点分别为(),Bmn､(),Cpq，由已知，

得2211221xyab−=；2222211ab−=两式相减，得22221122210xyab−−−=，即2112111122yybxxa+−=+−①根据中点坐标及斜率公式，得()50A−，()50B，PPAPB1625−PABPAB()Pmn，2

216552525PAPBnnnkkmmm===−+−−()22152516mnm+=PAB(AB)PPAB5a=4b=()max12202PABSab==122xm+=，112yn+=，1112AMykx−=−，1112OBynkmx+==+.代入①，得2

2AMOBbkka=②同理，得22ANOCbkka=③，②③相乘，得44AMANOBOCbkkkka=.∵14OBOCkk=−，1AMANkk=−，∴4414ba=④由2222211ab−=，与④联立，得22a=，21b=，双曲线的方程为：2212xy

−=.【题型6】光学性质31．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：()2221024xybb+=，12,FF为其左、右焦点．M是C上的动点，点()0,3N，若1MNMF+的最大值为6.动直线l为此

椭圆C的切线，右焦点1F关于直线l的对称点()11,Pxy，113424Sxy=+−，则椭圆C的离心率为；S的取值范围为．【答案】127,47【解析】根据椭圆定义得：122MFMFa+=，所以12222MNMFMNMFaNFa+=−++，因为1MNMF+的最大值为

6，2a=，所以22NF=，即()2232c+=，解得1c=，所以离心率为12ca=；右焦点()21,0F关于直线l的对称点()11,Pxy，设切点为A，由椭圆的光学性质可得：1,,PAF三点共线，所以111224FPFAAPFAAFa=+=+==

，即点()11,Pxy的轨迹是以()1,0−为圆心，半径为4的圆，圆心()1,0−到直线34240xy+−=的距离为324275916−−=+，则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为277455−=，最大值为2747455+=，所以点()11,Pxy到

直线34240xy+−=的距离为1134245xy+−，所以113424Sxy=+−表示点()11,Pxy到直线34240xy+−=的距离的5倍，则1174734245,555Sxy=+−，即7,47S.32

．已知椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，过2F的直线与E交于点A、B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M.由椭圆的光学性质知，1F、A、M三点共线.若ABa=，1157BFMF=，则21BFAF=.【答案】1

4/0.25【解析】如下图所示：因为点B关于l的对称点为M，则AMAB=，因为()()1112124AFABBFAFAFBFBFa++=+++=，且ABa=，所以，113AFBFa+=，所以，111111537BFBFBFMFABAFaaBF===++−，可得153aBF=

，则11433aAFaBF=−=，所以，2123aBFaBF=−=，故2131344BFaAFa==.33．圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，

一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是BC，若120PFB=，90FBC??，则该双曲线的离心率等于．【答案】31+/13+【解析】在平面直角坐标系中，如图，反射光线BC的反向延长线经过双

曲线的另一个焦点1F，由120PFB=，90FBC??，可得160BFF=，190FBF=，在直角三角形1FBF中，11sin603BFFFc==，1cos60BFFFc==，由双曲线的定义可得12aBBFF−=，所以32cca−=，即(

31)2ca−=，所以23131cea===+−，34．圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线C的右焦点2F发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点1F．已知入

射光线2FP的斜率为2−，且2FP和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线C的渐近线方程为．【答案】20xy+=和20xy−=【解析】设双曲线的方程为22221xyab−=，设()00,Pxy，()()1100Fc,Fc-，，，故210000122PFPFyyk,kxc

xc==-==-+，由此003455ccx,y,==所以3455ccP,,将其代入双曲线方程中得222234551ccab−=，结合222cab=+，bka=，所以42932160kk--=，解得24k=或249k=−（舍去），因此2k=，所以渐近线方

程为：20xy+=和20xy−=.35．双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左､右焦点分别为12,FF，从2F发出的光线经过图中的A，B

两点反射后，分别经过点C和D，且5cos,013BACABBD=−=，则E的离心率为（）A．173B．375C．102D．5【答案】B【解析】由题意知延长,CADB则必过点1F,如图：由双曲线的定义知121222AFAFaBFBFa−=−=，又因为5cos13BA

C=−，所以15cos13FAB=，因为0ABBD=，所以ABBD⊥，设113,0AFmm=，则15,12ABmBFm==，因此22132122AFmaBFma=−=−，从而由22AFBFAB+=得1321225mamam−+−=，所以5am=，则1125BFa=，225BFa

=，122FFc=，又因为2221212BFBFFF+=，所以()222122255aac+=，即223725ac=，即375e=【题型7】椭圆与双曲线共焦点问题36．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F，2F，P，Q分别是它们

在第一象限和第三象限的交点，且260QFP=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，则221231ee+等于()A．4B．23C．2D．3【答案】A【解答】解：设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的半实

轴长为2a，P在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得121||||2PFPFa+=，122||||2PFPFa−=，可得112||PFaa=+，212||PFaa=−，设12||2FFc=，260Q

FP=，四边形12FPFQ是平行四边形，所以，12120FPF=，在△12PFF中由余弦定理得，222121212124()()2()()coscaaaaaaaa=++−−+−120，化简得2221234aac+=，该式可化为：22122234aacc+=，结合11cea=，

22cea=，则2212314ee+=．37．已知1F、2F为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点，1260FPF=，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（）A．23B．1C．32D．2【答案】C【分析】由椭圆及双曲线的定义，结

合余弦定理可得2221314ee+=，再根据基本不等式求解最值即可．【详解】不妨设1PFm=，()2PFnmn=．椭圆的长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，两曲线的半焦距均为c，由椭圆及双曲线的定义得12mna+=，22mna−=，于是，12maa=+，12naa=−，又在12PFF△中

，由余弦定理得()()()()222222121212122cos6044mnmncaaaaaaaac+−=++−−+−=，则2221234aac+=，得2221314ee+=，由均值不等式得12222212121333422eeeee

e=+，当122e=，262e=时，等号成立，所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为32．模块二：最值问题【题型8】坐标轴上的点与椭圆距离最短38．已知点P在椭圆22193xy+=上运动，点Q在圆225(1)8xy−+=上运动，则||PQ的最小为

()A．2B．102C．1024−D．104【解答】解：设圆225(1)8xy−+=的圆心为A，则(1,0)A，设(,)Pxy，则222||(1)APxy=−+，椭圆22193xy+=，2233xy=−，22222||2132433xAPxxxx=−++−=−+

，[3x−，3]，令22()243hxxx=−+，()hx在[3−，3)2单调递减，3(,3]2单调递增，()hx在32x=时最小，即2||AP最小值为52，10||2minAP=，101010||||244minminPQAPr=−=−=．

【题型9】直线与椭圆距离最短39．（2023上·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根

据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.【详解】设与直线平行的直线的方程为，∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，设切点，，所以，，，，点，直线的方程为，两点间距离的最小值为平行线和间

的距离，1yx=+22xy=−142422181yx=+lyxm=+l22xy=−QPQl1yx=+lyxm=+l22xy=−QPQ()00,Qxy22xy=−212yx=−yx=−0011xx−=

=−012y=−11,2Q−−l12yx=+,PQ12yx=+1yx=+两点间距离的最小值为.【题型10】线段和差最值问题40．（2023上·福建福州·高二校联考期末）已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小

值等于.【答案】6【详解】结合题意，绘制图像：根据双曲线的性质可知，得到，所以，而，所以，所以最小值为641．（2023上·广东佛山·高二统考期末）已知是双曲线：的右焦点，Р是的左支上一动点，，若周长的最小值为10，则的渐近线方程为.【答案】【详解】由题意可得，设，由双曲线的定义可

得，，，则的周长为,当且仅当共线时，取得最小值，且为，由题意可得，即解得，则渐近线方程为故答案为：.,PQ112242−=22:13yCx−=1F(0,23)QPC1PFPQ+1222PFPFa−==122PFPF=+12222PFPQPF

PQQF+=+++()()20,23,2,0QF()2222234QF=+=FC()222103xyaa−=C()0,23AAPFC3yx=()()0,23,,0AFc(,0)Fc−2PFPFa−=2

PFaPF=+2||12AFc=+APF22||||||||||212||212PAPFAFPAPFacAFac++=+++++++,,APF22212ac++2221210ac++=22212310aa+++=1a=3byxxa==3yx=42

．已知椭圆22143xyC+=：的左、右焦点分别为1F，2F，M为C上任意一点，N为圆22(5)(4)1Exy−+−=：上任意一点，则1MNMF−的最小值为．【答案】425−/542−+【分析】首先根据椭圆的定义将1MNMF−的最小值转化为24MNMF+−，再根据1MNME−（当且仅当M、N、

E共线时取等号），结合22MEMFEF+，求得1MNMF−的最小值．【详解】如图，由M为椭圆C上任意一点，则124MFMF+=，又N为圆E：22(5)(4)1xy−+−=上任意一点，则||1MNMEENME−=−（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时

取等号），()124MNMFMNMF−=−−，()2224145MNMFMEMFEF=+−−+−−，当且仅当M、N、E、2F共线且M、N在E、2F之间时等号成立．由题意知，()210F，，()5,4E，

则222(51)(40)42EF=−+−=，1MNMF−的最小值为425−【题型11】焦点弦的最小值43．（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为8，过的直线与该椭圆交于M，N两点

，若的最小值为，则周长为.1F2F()222210xyabab+=1FMN1852FMN【答案】【分析】根据焦距为8，的最小值为可得：，，结合椭圆的定义进而求解.【详解】由题意可知：，解得：，，由椭圆的定义可得

：周长为【题型12】焦半径的最小值问题44．（2023·深圳一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为．【答案】【详解】依题意，由图象的性质可知，点到焦点距离的最大值为，最小值为，所以，化简得，即离心率45．（2023·温州一模）已知，是椭圆C

的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为．【答案】【分析】先结合椭圆的定义表示出，化简后结合的范围可求出的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率.【详解】因为，所以，所

以当时，取得最大值，因为，所以的最小值为，因为的最大值是它的最小值的2倍，所以，所以，所以，所以椭圆的离心率为【题型13】利用基本不等式求最值46．函数3(0,1)xyaaa−=的图象恒过定点A，若点A在双曲线221(0,0)xymnmn−=上，则20MN185

4c=5a=2222282185cbaabc===+4c=5a=2FMN420a=13ac+ac−2acac+=−13ca=13e=1F2F12MFMF22()12112MFMFMFaMF=−1M

F12MFMF,ac122MFMFa+=()()222121111122MFMFMFaMFMFaMFMFaa=−=−+=−−+1MFa=12MFMF2a1[,]MFacac=−+12MFMF222cab−+=12MFMF22

2ab=2222cabb=−=2,abcb==222cbeab===mn−的最大值为()A．6B．4C．2D．1【答案】B【解答】解：由题意可知，函数3(0,1)xyaaa−=的图象恒过定点(3,1)A，又点A在双曲线221(0,0)xym

nmn−=上，911(0,0)mnmn−=，9199()()()10()1024nmnmmnmnmnmnmn−=−−=−+−=„，当且仅当9nmmn=时，即2n=，6m=时，等号成立．47．已知函数log(1)1(0ayxa=−+，且1)a的图象恒过定点

A，若点A在椭圆221xymn+=上，则mn+的最小值为()A．12B．10C．9D．8【答案】C【解答】解：对于函数log(1)1(0ayxa=−+，且1)a的图象，令11x−=，求得2x=，1y=，可得它的图象恒过定点(

2,1)A．因为点(2,1)A在椭圆221(0xymmn+=，0n，)mn上，则411mn+=，则4144()()5529nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=…，当且仅当2mn=时，等号成立，故mn+的最小值为

948．设O为坐标原点，直线xa=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别交于A，B两点，若C的焦距为12，则OAB面积的最大值为()A．72B．36C．18D．9【答案】C【解答】解：双曲线22221xyab−=的渐近线方程为byx

a=，C的焦距为12，212c=，即6c=，22236abc+==，直线xa=与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，不妨取(,)Aab，B(,)ab−，OAB面积221136||2182222abSaABabab+==

===„，当且仅当32ab==时，等号成立，OAB面积的最大值为18模块三：求离心率与其它值【题型14】结合余弦定理求焦半径49．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】

由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理，总综合可得，进而即可求解．【详解】不妨设，在△中，由余弦定理知，，因为，则，两式联立得，因为，，整理得，化简得，所以离心率．故选：．50．已知1F，2F为双曲线2222:1(0,0)xyCbab−=的左、右焦点，过2F作双曲线一条渐近

线的垂线，垂足为P，若22212||||2PFPFc−=，则双曲线离心率的值为()A．2B．3C．2D．3【答案】A【解答】解：设双曲线2222:1(0,0)xyCbab−=的一条渐近线方程为byxa=，点2(,0)Fc到渐近线的距离222||bcdPFbab==

=+，222coscbaPOFcc−==，在1POF中，运用余弦定理，可得22222221111||||||2||||cos2()3aPFPOOFPOOFPOFacacacc=+−=+−−=+，22222212||||34PFPFacba−=+−=，1F2FC

()222210,0xyabab−=PC1260FPF=5OPb=C3262522246ca=12||||PFPF12PFF222212121212||4||||2||||cosFFcPFPFPFPFFPF==+−||5OPb=222222

2212||||2||21021210PFPFOPcbcca+=+=+=−2212||||810PFPFca=−2222121212124||||||||(||||)||||cPFPFPFPFPFPFPFPF=+−=−+122||||aP

FPF=−2246ca=26ca=62cea==C22212||||2PFPFc−=，2242ac=，22caeaa===．51．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，点P为C上一点，12120FPF

=，△12FPF的内切圆与外接圆的半径分别为1r，2r，若216rr=，则C的离心率为()A．32B．154C．1920D．910【答案】D【解答】解：设12||2FFc=，则22222sin1203ccrr==．因为12||||2PFPFa+=，所以22121212||(|

|||)2||||(1cos120)FFPFPFPFPF=+−+，则221244||||caPFPF=−，则212||||4PFPFb=．由等面积法可得222111(22)4sin1203()22acrbac+==−，整理得13()rac=−，因为216rr=，所以263

()3cac=−，故910cea==．52．已知F是椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若||3||PFQF=，且120PFQ=，则椭圆E的离心率为(

)A．74B．12C．34D．32【答案】A【解答】解：设椭圆的右焦点F，连接PF，QF，根据椭圆对称性可知四边形PFFQ为平行四边形，则||||QFPF=，且由120PFQ=，可得60FPF=，

所以||||4||2PFPFPFa+==，则1||2PFa=，3||2PFa=由余弦定理可得2222(2)||||2||||cos60(||||)3||||cPFPFPFPFPFPFPFPF=+−=+−，即2222974444caaa=−=，椭圆的离心率22771

64cea===，【题型15】余弦定理用2次53．椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过点1F的直线l交椭圆C于A，B两点，若122||||FFAF=，112AFFB=，则椭圆C的离心率为（）A．57B．22C．53D．

13【答案】D【解析】因为122||||2FFAFc==，由椭圆定义知1||22AFac=−，又112AFFB=，所以1||BFac=−，再由椭圆定义2||2()BFaacac=−−=+，因为1212πAFFBFF+=，所以1212coscosAFFBFF=−，所

以由余弦定理可得22222211221122112112||||||||||||2||||2||||AFFFAFBFFFBFAFFFBFFF+−+−=−，即222222(22)(2)(2)()(2)()2(22)22()2acccaccacaccacc−+−−+−+=−

−−，化简可得22340acac+−=，即23410ee−+=，解得13e=或1e=（舍去）54．已知椭圆22221(0)xyCabab+=：的两个焦点为12FF，，过1F作直线与椭圆相交于,AB两点，若112AFBF=

且2BFAB=，则椭圆C上的离心率为（）A．13B．14C．33D．63【答案】C解析：设1FBt=，则12AFt=，23FBt=，由椭圆定义：1242FBFBta+==，2at=，1222FAFAaFAa+=+=，2FAa=，1212coscosAFFBFF=−，

22222294444122222aacacaacac+−+−=−，化简223ca=,33e=，故选C55．设12FF，分别为椭圆22221(0)xyCabab+=：的左、右焦点，点AB，均在C上，若122FAFB=，1125FBFA=，则椭

圆C的离心率为（）A．22B．53C．64D．105【答案】B解析：设1AFt=，则22tFB=，152BFt=，由椭圆定义：125222ttFBFBa+=+=，23at=，1222FAFAtFAa+=+=，243aFA=，12A2FFB=，12FAFB，1212coscosAFF

FFB=−，2222224162544999921222233aaaaccacac+−+−=−，化简2295ca=，53e=，故选B56．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F作直线l交双曲线C的右支于A，B两点

，其中点A在第一象限，且22||3||AFBF=．若1||||ABAF=，则双曲线C的离心率为()A．32B．2C．15D．4【答案】D【解答】解：设2||BFx=，因为22||3||AFBF=，则2||3A

Fx=，由双曲线的定义可得1||23AFax=+，1||2BFax=+，因为1||||4232ABAFxaxxa==+=，所以2||2BFa=，2||6AFa=，1||8AFa=，1||4BFa=，因为1

212FFBFFA+=，所以1212coscos0FFBFFA+=，由余弦定理可得22222212211221122122||||||||||||02||||2||||FFFBBFFFFAAFFFFBFFFA+−+−+=，即222222(2)(2)(4)(2)(6)(8

)0222226caacaacaca+−+−+=，解得2cea==．故选：B．57．已知椭圆C的焦点为1(1,0)F−，2(1,0)F，过2F的直线与C交于A，B两点．若22||3||AFBF=，12||5||BFBF=，则椭圆C的方程为()A．2212xy

+=B．22132xy+=C．22143xy+=D．22154xy+=【答案】A【解答】解：12||5||BFBF=，且12||||2BFBFa+=，2||3aBF=，15||3aBF=，22||3||AFBF=，2||AFa=

，12||||2AFAFa+=，1||AFa=，12||||AFAF=，则A在y轴上．在Rt△2AFO中，21cosAFOa=，在△12BFF中，由余弦定理可得2222154()()3233cos223aaaBFFaa+−−==，根据221coscos0AFOBFF+=，可得21

320aaa−+=，解得22a=，2221bac=−=．椭圆C的方程为：2212xy+=．【题型16】构造齐次化方程58．（2023上·广东湛江·高二统考期末）是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心

率为（）A．B．C．D．P22221(0)xyabab+=AFPFx⊥1tan2PAF=e32512−3312【答案】D【分析】轴得，在直角中由正切的定义可得的齐次式，从而得出的方程，求得结论．【详解】解：轴，，而由得，即，解得舍或.59．双曲线2222:1(0xyCaab−=，0b

的左、右焦点分别为1F，2F，P是双曲线C上一点，2PFx⊥轴，123tan4PFF=，则双曲线的离心率为()A．43B．2C．3D．2【答案】D【解答】解：因为点P在双曲线上，且2PFx⊥轴，所以点P的横坐标为c

，代入双曲线的方程可得2(,)bPca，则22||bPFa=，12||2FFc=，所以2221212||3tan||224bPFbaPFFFFcac====，所以223bac=，所以222()3caac−=，所以2232(1)ccaa−=，所以22320ee−−=，所以12e=−（舍

去），或2e=60．（2023上·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．PFx⊥2bPFa=PAF△,,abce

PFx⊥2bPFa=AFac=+，1tan2PAF=12PFAF=，212baca=+（）2222acaac−=+（）2210ee+−=，1e=−（）12e=xOy()2222:10,0xy

Cabab−=12,FFA1AFyB2ABF△C23323332【答案】C【分析】由长度关系可得2112BFAF=，知212AFFF⊥，在12RtFFA△中，利用12tan3FAF=可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设2AFm=，2ABF为等边三角形，2

ABBFm==，12π3FAF=，又12BFBFm==，2112BFAF=，212AFFF⊥，22bAFa=，1212222tan3FFcFAFbAFa===，2222333acbca==−，23230ee−−=，解得：33e=−（舍）或3e=，双曲线C的离心率为3.

61．已知点P为双曲线()2222:10,0xyCabab−=右支上一点，12,FF分别为C的左，右焦点，直线1PF与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若114PFHF=，则该双曲线的离心率为（）A．153B．213C．53D．73【答案】C【详解】取1PF的中点M，连接2MF,由条件可知

1111142HFPFMF==，O是12FF的中点，2//OHMF又1OHPF⊥，21MFPF⊥1222FFPFc==,根据双曲线的定义可知122PFac=+，12acHF+=，直线1PF的方程是：()ayxcb=+，即0axbyac−+=，原点到

直线的距离22acOHaab==+，1OHF中，2222acac++=，整理为：223250caca−−=，即23250ee−−=，解得：53e=，或1e=−（舍）故选：C【题型17】双焦点三角形模型：导边62．已知椭圆22221(0)xyabab+=

，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线2AF交椭圆于另一点P，若1PFPA=，则椭圆的离心率为【答案】33【分析】由题意结合椭圆定义可得123,22aaPFPF==，在1APF△中，由余弦定理可得11cos3PAF=，再利用二倍角的余弦公式可得1sincOAFa=，从

而求出椭圆的离心率.【详解】如图，点P在椭圆上，所以12+2PFPFa=，由122PFPAPFAF==+，2AFa=代入上式得，123,22aaPFPF==在1APF△，222222111133122cos32322aaaAFAPPFPAF

aAFAPa+−+−===，又2111cos12sin3PAFOAF=−=，所以13sin3OAF=，即13sin3cOAFea===63．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知，分别是双曲线的左、右

焦点，过的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若，则的面积为．【答案】【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形即可根据勾股定理求解，由直角三角形的面积公式即可得解.【详解】如图，因为，所以．设，，得，由，得所

以，则，由，得，又，所以，，，故的面形.64．已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为.1F2F()222:103xyEaa−=1F22::5:12:13BFABAF=2ABF△

12522a=22::5:12:13BFABAF=2ABBF⊥25BFx=12ABx=213AFx=1221BFBFAFAF−=−1112||513||xAFxxAF+−=−13AFx=115BFx=222121

2BFBFFF+=222504xc=12221023BFBFxaca−===+22a=25c=2225x=2ABF△221123025SABBFx===22221xyab−=()0,0ab1F2FAB2F,AB1

ABAF⊥222AFFB=【答案】【分析】连接，设利用双曲线的定义得到利用直角和直角构造的关系，即可求出答案【详解】连接，设则，由双曲线的定义可得在直角中，，即，化简可得，在直角中，，即，将代入上式可得整理可得，所以65．1F、2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab−

=的左、右焦点，过点1F的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，若2ABF是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A．2B．3C．5D．7【解答】解：因为2ABF为等边三角形，不妨设22||||||

ABBFAFm===，B为双曲线上一点，1211||||||||||2FBFBFBBAFAa−=−==，A为双曲线上一点，则21||||2AFAFa−=，2||4AFa=，12||2FFc=，1731BF2,AFm=122,FBma=+12,FAma=+1A

FB△12AFF△,ac1BF2,AFm=22FBm=12222,FBFBama=+=+1222,FAFAama=+=+1AFB△22211FABAFB+=()()()2222322ammma++=+23ma=12AFF△222121

2FAFAFF+=()()22222ammc++=23ma=()222222233aaac++=22179ca=173cea==由260ABF=，则12120FAF=，在△12FAF中应用余弦定

理得：2224416224cos120caaaa=+−，得227ca=，则27e=，解得7e=．66．已知点1F、2F分别为双曲线2222:1(0,0)xyTabab−=的左、右焦点，过2F的直线与双曲线T的左、右两支分别交于A、B

两点，若11||:||:||5:5:4AFBFAB=，则双曲线T的离心率为()A．462B．46C．27D．7【答案】A【解答】解：11||:||:||5:5:4AFBFAB=，设2||BFm=，1||

5AFt=，||4ABt=，则1||5BFt=，1||5AFt=，根据双曲线的定义，得2112||||||||2AFAFBFBFa−=−=，即4552tmttma+−=−=，解得ta=，3ma=，即1||5AFa=，2||7AFa=，1|

|5BFa=，|△21FBF中，22212121221||||||2||||cosFFBFBFBFBFFBF=+−222214925235coscaaaaFBF=+−，在三角形12ABFF中，2221111||||||2||||cosAFBFABBFABABF=+−22214162

5245coscaaaaABF=+−，211coscos0FBFABF+=，22446ca=，可得462ca=，因此，该双曲线的离心率462e=．【题型18】利用几何性质求离心率67．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与的左支交于、两

点，若，则的离心率为（）()2222:10,0xyCabab−=1F2F12FFCMN12π3MFN=CA．B．C．D．【答案】C【分析】连接，求出、，利用双曲线的定义可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示，易知点、关于轴对称，连接，所以，，由圆的几何

性质可得，所以，，，由双曲线的定义可得，因此，双曲线的离心率为.68．（2023上·福建福州·高二校联考期末）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】如图，由题意可得，，即，则，∴，即．

312+331+232MF1MF2MFacCMNx2MF12π3MFF=12π2FMF=1π2cos3MFcc==2π2sin33MFcc==()21312MFMFca−=−=C23131cea===+−22xa22yb222xyb+=12222

363222bbc+=()2222acc−=2223ac=2223ca=63cea==69．（2023上·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭

圆C的离心率为．【答案】【详解】设椭圆的左焦点为,连接，,由几何关系可知，则，即，由椭圆的定义可知，即且，整理得，解得，.故答案为：.【题型20】与向量结合70．过双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点F作圆222xya+=的切线

FM，交y轴于点P，切圆于点M，若1233OMOFOP=+，则双曲线的离心率是()A．5B．3C．2D．2【答案】B【解答】解：若1233OMOFOP=+，可得2FMMP=，且OMPF⊥，由||OMa=，||OFc=，可得22||MFcab=−=，||2bMP=，在OPF中

，由直角三角形的射影定理可得2||||||OMMFMP=，则22bab=，即2ba=，则221123cbeaa==+=+=，2222:1(0)xyCabab+=222xyb+=531F1AFOT112OTAFb==2222TFOFOTcb=

−=−222AFcb=−12AFAFa+=22222bcba+−=222cab=−2320bab−=23ba=2222222513cabbeaaa−===−=5371．（2023·深圳二模）设椭圆C：22221xyab+=(0)ab的左

、右焦点分别为1F，2F，直线l过点1F.若点2F关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且211212FFFPa=，则C的离心率为（）A．13B．23C．12D．25【答案】C【详解】法一：设12PFF=，由已知可得，1122PFFFc==，根据椭圆的定义有21

222PFaPFac=−=−.又211212FFFPa=，所以2214cos2ca=.在12PFF△中，由余弦定理可得，22221121122cosPFPFFFPFFF=+−，即()222222288cos8acccca−=−=−，整理可得224850caca+−=，等式两

边同时除以2a可得，24850ee+−=，解得，12e=或52e=−（舍去），所以12e=.法二：取2PF中点M，则2221121212FFFFMFMPa=−=，由勾股可得222124FMFMc+=，设12

,FMmFMn==则有()()222222222222222414122cnanacmncmnmncamna+==−+=+−−=−=−=代入消元得到关于a，c的齐次式故()2221

242acca−=−=，下略【题型21】其它计算求值问题72．若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】根据抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，得到

点P(3，±2)，然后利用抛物线的定义求解.【详解】由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，±2)，∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4

，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.73．已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，

利用完全平方公式，可得答案.【详解】由题意，，，即，，整理可得，，则，解得74．（2023上·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点是和的一个交点.若点满足是正三角形

且，则.【答案】.【分析】根据已知求出，，.根据椭圆以及双曲线的定义可推得，在中，根据余弦定理可列出关于的方程，解出，进而得到，即可求出结果.【详解】333331F2F()2222:10xyCabab+=PC12PFPF⊥12PFF△b122P

FPFa+=1212192PFFSPFPF==1218PFPF=222124PFPFc+=()22121224PFPFPFPFc+−=224364ac−=229ac−=3b=221:19xCy+=2:C22221xyab−=()0,0ab1F2FP1

C2CQ1PQF△26QF=b=31F2F228ab+=113QFPFa==+12FFQa25a=23b=由已知可得，椭圆和双曲线的焦点坐标均为，，即，.设点在第一象限.因为点在椭圆上，所以有，又点在双曲线上，所以有，所以.又是正三角

形，所以，，所以有，则三点共线.则在中，有，，由余弦定理可得，，即，整理得，又，所以，则由可得，75．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的

截距为3，且，则椭圆C的标准方程为．【答案】【分析】根据给定条件，借助几何图形及比例式求出点M，N的坐标，再代入椭圆方程求解作答.【详解】由对称性不妨令点M在第一象限，令直线交y轴于点A，过N作轴于B，令，()122,0F−()222,0F22c=228ab+=PP126PFPF+=P1

22PFPFa−=13PFa=+1PQF△113QPQFPFa===+1π3FQP=21226QPPFPFPFQF+=+==2,,QPF12FFQ△12242FFc==26QF=22212121212cosFFQFQFQFQFFQP=

+−()()()222142362632aa=++−+25a=228ab+=23b=0b3b=1F2F22221(0)xyabab+=2MF1MF14MNFN=2218154xy+=M

NNBx⊥12(,0),(,0)FcFc−因为轴，则，而O为的中点，又A为中点，而，于是，由知，，显然，因此，于是，又，则，解得，而，则，所以椭圆C的标准方程为.【题型22】求离心率范围76．在椭圆22221(

0)xyabab+=中，1F，2F分别是其左右焦点，P是椭圆上一点，若12||2||PFPF=，则该椭圆离心率的取值范围是()A．1(,1)3B．1[,1)3C．1(0,)3D．1(0,]3【答案】B【解答】解：根据椭圆定义12||||2PFPFa+=，将设12||2||PFPF

=代入得22||3aPF=，根据椭圆的几何性质，2||PFac−…，故23aac−…，即3ac„，故13ca…，即13e…，又1e，故该椭圆离心率的取值范围是1[,1)3．77．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的两个焦点为12,FF．点,PQ为C上关于坐标原点对称的两

点，且12PQFF=，2PFQ△的面积218SPQ，则C的离心率的取值范围为．【答案】26,23【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形21PFQF为矩形，故221PFQPFFSS=，求出212PPcFF，再根

据122PFPFa+=，利用勾股定理得到2122PFPFb=，得到222bc，再根据C上存在关于坐标原点对称的两点,PQ，使得12PQFF=，得到22bc，得到22ca，得到离心率.【详解】连接11,QFPF，由题意得，12,OPOQOFOF==，又

12PQFF=，所以四边形21PFQF为矩形，故221PFQPFFSS=，所以()22121112228PFcFcP=，故212PPcFF，又122PFPFa+=，由勾股定理得2221212PFPFFF+=，2MFx⊥2//OAMF12FF

1MF||3OA=2|2||6|FOAM==14MNFN=11||1||3NFMF=2//NBMF2112112||||2,||||333cNBMFBFFF====5(,2)3cN−−(,6)Mc222222254193

61cabcab+=+=22254,3bac==222abc=+2227,81ca==2218154xy+=即()22121224PFPFPFPFc+−=，2122PFPFb=，故222bc，即22222cac−，故2223ac，2223ca解得63ca，又C上存在关

于坐标原点对称的两点,PQ，使得12PQFF=，故22bc，所以bc，即222acc−，所以222ac，2212ca，解得22ca，综上，C的离心率的取值范围是26,23.故答案为：26,2378．已知F是椭圆C：()222210xyabab+

=的右焦点，A是C的上顶点，直线l：340xy−=与C交于M，N两点．若6MFNF+=，A到l的距离不小于85，则C的离心率的取值范围是（）A．5,13B．50,3C．30,2D．3,

12【答案】B【分析】据162MFNFNFaNF+=+==，得到3a=，根据点A到直线l距离d，求出2b，从而求出c得范围，从而求出答案.【详解】设椭圆的左焦点为1F，A是C的上顶点，连接11,MFNF，如下

图所示：由椭圆的对称性可知，,MN关于原点对称，则OMON=又1OFOF=，四边形1MFNF为平行四边形1MFNF=，又162MFNFNFaNF+=+==，解得：3a=A到l的距离为：4855bd−=，解得：2b，即22292acc−=−

05c50,3cea=.79．已知12FF、是双曲线22221(0)xyabab−=的左右焦点，以2F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若122FFAB，则双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】21015

，【分析】表示出222ABab=−，建立关于abc、、的齐次式，即可求出离心率的范围.【详解】1F，2F是双曲线22221(0)xyabab−=的左右焦点，以()20Fc，圆心，a为半径的圆与双曲线

的一条渐近线0axby=－交于A，B两点，则焦点到渐近线的距离：22bcdbab==+，所以222ABab=−，122FFAB，22222cab−，可得2222244abcab=+－，即：22223555abca=－，可得2258ca，所以2285ca，所以21

05e，又1e，所以双曲线的离心率的取值范围是：21015，80．已知双曲线22:1xyCmm−=+（其中0,0m），若0，则双曲线C离心率的取值范围为（）A．()1,2B．()2,+C．()1,2D．()

2,+【答案】A【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用m表示出离心率，进而可得其取值范围.【详解】由双曲线22:1xyCmm−=+（其中,00m），得()2211yxmm−=−+−，则双曲线C离心率()()()1211

21121111mmmmemmmm−+−+−+====−−++++，因为0m，所以11m+，则1011m+，所以11221m−+，所以12e，即双曲线C离心率的取值范围为()1,2.