【文档说明】高一数学人教A版2019必修第一册 3.4 函数的应用（一） 精品学案含解析【高考】.docx，共(22)页，1.126 MB，由小赞的店铺上传

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13.4函数的应用（一）目标导航初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．知识解读知识点常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型(a，b为常数

，a≠0)二次函数模型(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝f1x，x∈D1，f2x，x∈D2，……，fnx，x∈Dn幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)跟踪训练一、单选题1．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x

（km）0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤1500…邮资y（元）5.006.007.00…如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是（）A．5.00元B．6.00

元C．7.00元D．8.00元2．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次

交通堵塞，耽搁了一些时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.2其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.A．④①②B．③①②C．②①④D．③②①3．某地一天内的气温()Qt（单位：℃）与时刻t（单位：h）之间的关系如图所示，令()Ct表示时间段0,t内的

温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则()Ct与t之间的函数图像大致是A．B．C．D．4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为4,110,N210,10100,N1.5,100,Nxxxyxxxxxx=+

．其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，3则该公司拟录用人数为A．15B．25C．40D．1305．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，

若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为A．45元B．55元C．65元D．70元6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（）A．B．C．D．7．如图，点

P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当P沿ABCM−−−运动时，点P经过的路程x与APM△的面积y的函数()yfx=的图象大致是下图中的4A．B．C．D．8．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测

是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()tn（单位：小时）大致服从的关系为()00000,,tnNntntnNN=（0t、0N为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，

第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（）A．16小时B．11小时C．9小时D．8小时二、多选题9．某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商

品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（）A．2.6元B．2.8元C．3元D．3.2元10．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装质量100克300克包装费0.5元0.7元5销售价格

3.00元8.4元则下列说法正确的是（）A．买小包装实惠B．买大包装实惠C．卖3小包比卖1大包盈利多D．卖1大包比卖3小包盈利多11．已知()2,12,1xxfxkkxx−+=++（常数0k），则（）A．当0k时，()fx在R上是减

函数B．当12k−时，()fx没有最小值C．当1k=−时，()fx的值域为()0,+D．当3k=−时，11x，21x，有()()120fxfx+=12．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月

土地占地费1y（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费2y（单位：万元）与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则1y为1万元，2y为4万元，下列结论正确的是（）A．11yx=B．20.4yx=C．12yy+有最小

值4D．12yy−无最小值三、填空题13．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________．14．已知21,0()2,0xxfxxx+=，若f(a)=10，则a=______

__.15．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=12有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)16．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价

6格()ft与时间t满足关系()111,020,241,2040ttfttt+=−+()tN，销售量()gt与时间t满足关系()14333gtt=−+()040,ttN则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值为______.四、解答题17．提高过

江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明

；当20200x时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当20200x时，求函数()vx的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()fxxvx=可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒18．某家庭进行理财投资，根据长

期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()fx与投资额x成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益()gx与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益()fx和()gx的函数关系式；(2)该家庭

现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？19．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点.已知4AB=米，3AD=

米，设AN的长为()3xx米.7(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；20．“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5

元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额13013051305212060−==−元，其中x表示不大于x的最大整数．又如，一次

购买商品的价格为860元，则实际支付额860860540175060−−=元．(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；(2)已知某商品是小明常用必需

品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少3.4函数的应用（一）目标导航初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简

单应用问题．知识解读知识点常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型(a，b为常数，a≠0)二次函数模型(a，b，c为常数，a≠0)8分段函数模型f(x)＝f1x，x∈D1，f2x，x∈D2，……，fnx，x∈Dn

幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)【答案】f(x)＝ax＋bf(x)＝ax2＋bx＋c跟踪训练一、单选题1．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x（km）0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤1500…邮资y（元）5.006.007.

00…如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是（）A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元【答案】C【分析】直接由邮资标准表找到x＝1200所对应的邮费即可.【详解】通过邮资

标准表可得到，当x＝1200时，y＝7.00元.故选：C.【点睛】本题主要考查了学生处理信息的能力，属于基础题.2．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着

车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.A．④①②B．③①②C．②①④D．③②①【答案】A

9【分析】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符

合；对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；故选：A.3．某地一天内的气温()Qt（单位：℃）与时刻t（单位：h）之间的关系如图所示，令()Ct表示时间段0,t内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则()Ct与t之间的函数图像大致是A．B．C．D．【答案】D【分

析】根据题意，分析函数图像的特征，可得函数()Ct过原点，在0,4,8,12,20,24上，()Ct不断增大，在4,8上，()Ct先是一个定值，然后增大，在12,20上，()Ct是个定值，10分析选项可得答案．【详解】由题图看

出，0=t时，()0Ct=，排除B；在0,4上，()Ct不断增大，在4,8上，()Ct先是一个定值，然后增大，在812，上，()Ct不断增大，在1220，上，()Ct是个定值，在20,24上，()Ct不断增大，故选D.【点睛】

本题考查函数图像与图像的变化，属于基础题．4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为4,110,N210,10100,N1.5,100,Nxxxyxxxxxx=+．其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用

人数为A．15B．25C．40D．130【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，令60y=，结合分段条件，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数4,110,N210,10100,N1.5,100,Nxxxyxxxxxx=+

，令60y=，若460x=，则1510x=，不合题意；若21060x+=，则25x=，满足题意；若1.560x=，则40100x=，不合题意．故该公司拟录用25人．故选B【点睛】本题主要考查

了分段函数的应用，其中解答中合理利用分段函数的解析式，结合分段条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该

商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为A．45元B．55元C．65元D．70元【答案】D11【分析】设在50元的基础上提高x元，得到2104005000yxx=−++，结合二次函数的性质，

即可求解．【详解】设在50元的基础上提高x元，每月的月利润为y，则y与x的函数关系式为()()2500105040104005000yxxxx=−+−=−++，其图象的对称轴为直线20x=，故每件商品的定价为70元时，月利润最高．故选D【点睛】本题主要考查了

函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那

么水瓶的形状大致是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】从所给函数的图象可以看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除D选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除A、C选项，从而可得正确答案．【详解】解：当容器是

圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件；由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，12∴容器平行于底面的截

面半径由下到上逐渐变小，∴A、C不满足条件，而B满足条件.故选：B．7．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当P沿ABCM−−−运动时，点P经过的路程x与APM△的面积y的函数()yfx=的图象大致是下图中的A．B．C．D．【答案】A【分析】先分点P在AB上时，点

P在BC上时，点P在AB上时求得函数，再利用函数的性质来判断.【详解】当点P在AB上时：111,0122==yxxx当点P在BC上时：13,1244正方形ABCD=−−−=−+ADMABPPCMySSSSxx当点P在AB上时：15155()1,22224

2=−=−+yxxx由函数可知，有三段直线，又当点P在BC上时是减函数故选：A13【点睛】本题主要考查了分段函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，

每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()tn（单位：小时）大致服从的关系为()00000,,tnNntntnNN=（0t、0N为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为

8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（）A．16小时B．11小时C．9小时D．8小时【答案】C【详解】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，016N，所以01616t=，得064t=．又由0648N=知，064N=，所以当49n=时，()6464499749t==，

故选：C．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，求出0t和0N的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9．某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（）A．2.6元

B．2.8元C．3元D．3.2元【答案】BCD【分析】根据题意设出商品A的单价为(2)xx元，用含有x的式子表示商品A销售总收入，列出不等式求解即可.【详解】设商品A的单价为(2)xx元，则销量为2100.50.2x−−万件，此时商品A销售总收入为2(100.5)0.

2xx−−万元，根据题意有2(100.5)22.40.2xx−−，解得2.83.2x，故BCD符合题意.故选:BCD1410．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型

号小包装大包装质量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是（）A．买小包装实惠B．买大包装实惠C．卖3小包比卖1大包盈利多D．卖1大包比卖3小包盈利多【答案】BD【分析】根据题中数据，可换算出每100克的售价，比较即可判断A、B的正

误；分别算出卖1大包的盈利和卖3小包的盈利，比较即可判断C、D的正误，即可得答案.【详解】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=

0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.故选：BD11．已知()2,12,1xxfxkkxx−+=++（常数0k），则（）A．当0k时，()fx在R上是减函数B．当12

k−时，()fx没有最小值C．当1k=−时，()fx的值域为()0,+D．当3k=−时，11x，21x，有()()120fxfx+=【答案】BD15【分析】对A，比较1x=时两段的值可判断；对

B，分别判断0k和102k−时函数单调性即可得出；对C，根据单调性求出值域即可判断；对D，求出1x和1x时()fx范围即可得出.【详解】对于A，当0k时，121−+=，22211kkk++=+

，所以()fx在R上不是减函数，A错误．对于B，当0k时，()fx在)1,+上是减函数，无最小值，又()2fxx=−+在(),1−−上是减函数，也无最小值，因此()fx无最小值；当102k−时，()2kfxkx=++

在)1,+上是增函数，()122fk=+，但221k+，所以()fx无最小值．综上，当12k−时，()fx无最小值，B正确．对于C，当1x时，()()21,fxx=−++，当1x时，由1k=−，得()11121fxxx=−−+=−+是

增函数，所以())110,1fxx=−+，所以()fx的值域是)()0,11,+U，C错误．对于D，当1x时，由3k=−，得())314,1fxx=−−−−，所以()(1,4fx−．而当1x时，()()1,fx+，(()1,41,+，因此1

1x，21x，使得()()12fxfx−=，即()()120fxfx+=，D正确．故选：BD．12．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y（单位：万元）与仓库到车站的距

离x（单位：km）成反比，每月库存货物费2y（单位：万元）与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则1y为1万元，2y为4万元，下列结论正确的是（）A．11yx=B．20.4yx=C．12yy+有最小值4D．12yy−无最小值【答案】BCD【分析】对A，B，根据题意设()11221

2,,0,0,0kyykxkkxx==，利用待定系数法分别求出12,yy关于x的解析式，即可判断，对C，利用基本不等式即可判断；对D，根据12yy−在()0,+上的单调性即可判断.16【详解】解：对A，设()111,0,0kykxx=，由题意知：函数过点()10,1，即110

k=，()110,0yxx=，故A错误；对B，()222,0,0ykxkx=，由题意得：函数过点()10,4，即2410k=，解得：20.4k=，()20.4,0yxx=，故B正确；对C，1210100.420.44yyxxxx+=+=，当且仅当100.

4xx=，即5x=时等号成立，故C正确；对D，12100.4yyxx−=−在()0,+上单调递减，故12yy−无最小值，故D正确.故选：BCD.三、填空题13．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析

式为_________．【答案】()150,0,2004yxx=−+.【详解】解：设每件售价x元时，售出y件，设,0ykxbk=+，因为80,30xy==，所以3080kb=+①，因为120,20xy==，所

以20120kb=+②，解由①②组成的方程组得，1,504kb=−=，所以1504yx=−+.由1500,2004yxx=−+.故答案为：()150,0,2004yxx=−+.1714．已知21,

0()2,0xxfxxx+=，若f(a)=10，则a=________.【答案】-3或5【详解】0a时，()210faa==，解得5a=；当0a时，2()110faa=+=，解得3a=（舍去）或3a=−；故答案为：3−或5．【点睛】该题考查分段函数，由分段

函数值求自变量的值，属于基础题目．15．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=12有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序

号)【答案】②③【分析】画出()fxxx=−的图象，即可判断四个选项的正误.【详解】画出函数()fxxx=−的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为)0,1，故②正确；方程()12fx=有无数个解，③正确；函数()fxxx=−是分段

函数，且函数不是R上的增函数，故④错误.故答案为：②③16．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格()ft与时间t满足关系()111,020,241,2040ttfttt+=−+()tN，销售量()gt与时间t满足关系()1433

3gtt=−+18()040,ttN则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值为______.【答案】176【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得日销售额()Ft的最大值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，设日销售额为()F

t，①当020t，tN时，()211431211441119462336264Ftttt=+−+=−−++，故当10t=或11时，最大值为()max176F

t=；②当2040t，tN时，()()()21431141423333Ftttt=−+−+=−−，故当20t=时，最大值为()max161Ft=，综合①②知，当10t=或11时，日销售额最大，最大值为17

6.故答案为176.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中结合分段函数的解析式和二次函数图象与性质，分别求得函数的最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.四、解答题17．提高过江大桥的车辆通行能力可

改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x时，

车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当20200x时，求函数()vx的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()fxxvx=可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/

小时)﹒【答案】(1)()60,020,()1200,202003xvxxx=−+；(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【分析】（1）根据题意，020x时，v

(x)为常数函数；20200x时，设()vxaxb=+，根据题意函数过(200，0)和(20，60)两点，据此求出a、b即可；19（2）分段求出函数的最大值，比较最大值的大小即可判断f(x)的最大值．【详解】(1)当020x时，()60vx=；当20200x时，

设()vxaxb=+，由已知得2000,2060,abab+=+=解得132003ab=−=，故函数()vx的表达式为()60,020,()1200,202003xvxxx=−+；(

2)依题意并由(1)可得()260,020,()1200,202003xxfxxxx=−+，当020x时，()fx为增函数，故当20x=时，其最大值为60×20＝1200；当20200x时，

()21()100100003fxx=−−−，∴当100x=时，()fx在区间(20，200]上取得最大值1000033333，∵3333＞1200，∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．18．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投

资债券等稳健型产品的年收益()fx与投资额x成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益()gx与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益()fx和()gx的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金

，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108fxxx=，()()102gxxx=(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元20【分析】（1）设函数解析式()1fxkx=，()2gxkx=，代入1x=即可

求出12,kk的值，即可得函数解析式；（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20x−万元，年收益为y万元，则()(20)yfxgx=+−，代入解析式，换元求最值即可.【详解】(1)依题意：可设()()10fxkxx=，()()20gxkxx=，∵()1118fk==，(

)2112gk==，∴()()108fxxx=，()()102gxxx=.(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为()20x−万元，年收益为y万元，依题意得：()()20yfxgx=+−，即()12002082xyx

x=+−，令20tx=−，则220xt=−，0,25t，则22082tty−=+，0,25t()21238t=−−+，所以当2t=，即16x=万元时，收益最大，max3y=万元.19．如图

所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点.已知4AB=米，3AD=米，设AN的长为()3xx米.(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范

围内？(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；【答案】(1)9(3,)(9,)2+21(2)6AN=，8AM=最小面积为48平方米【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，54AMPNS时解出不等式，即可知AN的取值范围.（2）令3tx

=−，将式子化成对勾函数后求最值.【详解】(1)解：设AN的长为x米（3x）ABCD是矩形DNDCANAM=43xAMx=−24(3)3AMPNxSANAMxx==−由54AMPNS，得24543xx−3x(29)(9)0xx−−

，解得932x或9x即AN的取值范围为9(3,)(9,)2+(2)令243xyx=−，3tx=−（0t），则3xt=+24(3)94(6)48tyttt+==++当且仅当9(0)ttt=，即3t=时，等号成立，此时6AN=，8AM=最小面积为48平方米20．“春节”期间，

某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额13013051305212060−==−元，其中x

表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额860860540175060−−=元．(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；(2)已知某商品是小明常用必需品，

其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商22品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【答案】(1)一次支付好，理由见解析(2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为

25元/件【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.【详解】(1)分两次支付：支付额为2506502505650540230600407906060−+−−

=+−=元;一次支付：支付额为900900540274560−−=元,因为745790，所以一次支付好；(2)设购买()*xxN件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，当

114x时，不能享受每满400元再减40元的优惠当114x时，130530530602xxyxxx=−=−，*nN，当2xn=时，53027.52ynn=−=，*nN；当21xn

=+时，()555303027.5212221ynnn=−=−+++，*nN．所以当114x时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．当15x19时，能享受每满400元再减40元的优惠1305403054030

602xxyxxxx=−−=−−当2xn=时，540203027.522ynnnn=−−=−，当8n=，16x=时，min25y=;当21xn=+时，()540575303021212221ynn

nn=−−=−−+++，y随着n的增大而增大，所以当7n=，15x=时，min25y=．综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件