【文档说明】高三北师大版数学（文）一轮复习教师文档：第四章第三节　平面向量的综合应用 含解析【高考】.doc，共(9)页，262.500 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-540d0ac215c467aa76d6c0f76d342530.html

以下为本文档部分文字说明：

-1-第三节平面向量的综合应用授课提示：对应学生用书第82页[基础梳理]1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x

1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，

b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题―――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几

何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中

的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线

性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．1．向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方

程进行求解．2．平面向量与三角函数综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，-2-结合三角函数的图像与性质进行求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标

，求向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[四基自测]1．(基础点：向量在平面几何中的应用)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)

，C(－1，－4)，则该三角形为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：AB→＝(2，－2)，AC→＝(－4，－8)，BC→＝(－6，－6)，∴|AB→|＝22＋（－2）2＝22，|AC→|＝16＋64＝45，|BC→|＝36＋36＝62

，∴|AB→|2＋|BC→|2＝|AC→|2，∴△ABC为直角三角形．答案：B2.(基础点：向量在物理中的应用)如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(

)A．27B．25C．2D．6解析：如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，即F23＝F21＋F22＋2F1·F2＝F21＋F22＋2|F1|·|F2|·cos60°＝28.故|F3|＝2

7.答案：A3．(基础点：向量在平面解析几何中的应用)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是________．解析：由OP→·OA→＝4，

得(x，y)·(1，2)＝4，即x＋2y＝4.答案：x＋2y－4＝04．(基础点：向量在三角函数中的应用)已知向量m＝sinA，12与向量n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为________．解析：因为m∥n，所以sinA(si

nA＋3cosA)－32＝0，所以2sin2A＋23sinAcosA＝3，可化为1－cos2A＋3sin2A＝3，所以sin2A－π6＝1，因为A∈(0，π)，所以2A－π6∈

－π6，11π6.因此2A－π6＝π2，解得A＝π3.-3-答案：π3授课提示：对应学生用书第83页考点一向量在平面几何中的应用挖掘用向量表示三角形的“心”/自主练透[例](1)已知O，N，P

在△ABC所在平面内，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，NA→＋NB→＋NC→＝0，且PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心外心垂心B．重心外心内心C．外心重心垂心D．外心重心内心(注：三角形的三条高线交

于一点，此点为三角形的垂心)[解析]由|OA→|＝|OB→|＝|OC→|知，O为△ABC的外心；由NA→＋NB→＋NC→＝0知，N为△ABC的重心；因为PA→·PB→＝PB→·PC→，所以(PA→－PC→)·PB

→＝0，所以CA→·PB→＝0，所以CA→⊥PB→，即CA⊥PB，同理AP⊥BC，CP⊥AB，所以P为△ABC的垂心．[答案]C(2)在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO→＝λAB→＋μAC→，则λ－2μ＝()A

．－12B．－1C.43D．－43[解析]设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以BO→＝23BD→＝23(BA→＋AD→)＝－23AB→＋23×12AC→＝－23AB→＋13AC→，所以λ＝－23，μ＝13，所以λ－2μ＝－43，故选D

.[答案]D[破题技法]三角形“四心”的向量表示(1)在△ABC中，若|OA→|＝|OB→|＝|OC→|或OA→2＝OB→2＝OC→2，则点O是△ABC的外心；(2)在△ABC中，若GA→＋GB→＋GC→＝0，则点G是△ABC的重心；(3)对于△ABC，O，P为平面内的任意两点，若OP→－OA→＝

λ(AB→＋12BC→)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP过△ABC的重心；(4)在△ABC中，若HA→·HB→＝HB→·HC→＝HC→·HA→，则点H是△ABC的垂心；(5)对于△ABC，O，P为平面内的任意两点，若OP→＝OA→＋λ(AB→|AB→|＋AC→|AC→|

)(λ＞0)，则直线AP过△ABC的内心．1．设P是△ABC所在平面内的一点，若AB→·(CB→＋CA→)＝2AB→·CP→且AB→2＝AC2→－2BC→·AP→.则点P是△ABC的()-4-A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由AB→·(CB→＋CA→)＝2AB→·CP

→，得AB→·(CB→＋CA→－2CP→)＝0，即AB→·[(CB→－CP→)＋(CA→－CP→)]＝0，所以AB→·(PB→＋PA→)＝0.设D为AB的中点，则AB→·2PD→＝0，故AB→·PD→＝0.所以PD⊥AB，即点P在AB边的中垂线上．因为AB

→2＝AC→2－2BC→·AP→，所以(AC→＋AB→)·(AC→－AB→)＝2BC→·AP→，所以BC→·(AC→＋AB→－2AP→)＝0，设BC的中点为E，同上可知BC→·PE→＝0，所以PE⊥BC，即点P在BC边的中垂线上．所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，即P是△ABC的外心．

故选A.答案：A2．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足|OA→|2＋|BC→|2＝|OB→|2＋|CA→|2，则点O()A．在过点C且与AB垂直的直线上B．在∠A的平分线所在直线上C．在边AB的中线所在直线上D

．以上都不对解析：由|OA→|2＋|BC→|2＝|OB→|2＋|CA→|2得|OA→|2－|OB→|2＝|CA→|2－|BC→|2，所以(OA→＋OB→)·(OA→－OB→)＝(CA→＋BC→)·(CA→－BC→)，即BA

→·(OA→＋OB→)＝(CA→＋CB→)·BA→，所以BA→·(OA→＋OB→＋AC→＋BC→)＝2OC→·BA→＝0，所以AB→⊥OC→.故点O在过点C且与AB垂直的直线上．答案：A考点二向量在解析几何中的应用[例](1)已知正三角形ABC的边长

为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP→|＝1，PM→＝MC→，则|BM→|2的最大值是()A.434B．494C.37＋634D．37＋2334[解析]如图，由|AP→|＝1知点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆．-5-由PM→＝MC→知，点M为PC的中

点，取AC的中点N，连接MN，则|MN|＝12|AP|＝12，所以点M的轨迹是以N为圆心，以12为半径的圆．因为|BN→|＝3，所以|BM→|的最大值为3＋12＝72，|BM→|2的最大值为494.故选B.[答案]B(2)在平面直角

坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．[解析]因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，所以设P点坐标为(x，±50－x2)(－52≤x

≤52)．因为A(－12，0)，B(0，6)，所以PA→＝(－12－x，－50－x2)或PA→＝(－12－x，50－x2)，PB→＝(－x，6－50－x2)或PB→＝(－x，6＋50－x2)．因为PA→·PB→≤20，先取

P(x,50－x2)进行计算，所以(－12－x)·(－x)＋(－50－x2)(6－50－x2)≤20，即2x＋5≤50－x2.当2x＋5<0，即x<－52时，上式恒成立．当2x＋5≥0，即x≥－52时，(2x＋5)2≤50－x2，解得－52≤x≤1，故x≤1.同

理可得P(x，－50－x2)时，x≤－5.又－52≤x≤52，所以－52≤x≤1.故点P的横坐标的取值范围为[－52，1]．[答案][－52，1][破题技法]向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作

用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)

，可解决-6-垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．1．(2020·重庆质检)已知圆C：x2＋y2－2x－23y＋3＝0，点A(0，m)(m>0)，A，B两点关于x轴对称

．若圆C上存在点M，使得AM→·BM→＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是()A.32，322B．322，32C.32，332D．332，32解析：由题意得圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，B(0，－m)．设M(x，y)，由于AM

→·BM→＝0，所以(x，y－m)·(x，y＋m)＝0，所以x2＋y2－m2＝0，所以m2＝x2＋y2，由于x2＋y2表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，此时m2最大，m也最大．|OM|＝1＋2＝3，∠MOx＝60°，所以xM＝3×sin30°＝32

，yM＝3×sin60°＝332.故选C.答案：C2．(2020·河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝12，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为()A．－2B．3－3C．－1D．0解析：由|a|＝|b|＝1，a·b＝12，可得〈a，b〉＝π3.令OA→＝

a，OB→＝b，以OA→的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝OA→＝(1，0)，b＝OB→＝12，32，-7-设c＝OC→＝(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－c

osθ＋12cosθ＋32sinθ＝3－3sinθ＋π3，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－3，故选B.答案：B考点三向量的其他应用挖掘1平面向量的创新应用/自主练透[例1]已知O是坐标原点，点A(－1，2)，若点M(x，

y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是()A．[－1，0]B．[0，1]C．[1，3]D．[1，4][解析]作出点M(x，y)满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，设z＝OA→·OM

→，因为A(－1，2)，M(x，y)，所以z＝OA→·OM→＝－x＋2y，即y＝12x＋12z.平移直线y＝12x，由图像可知，当直线y＝12x＋12z经过点C(0，2)时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线y＝12x＋12z经过点

B时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故1≤z≤4，即1≤OA→·OM→≤4.[答案]D[破题技法]以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题的求解策略：(1)准确转化：解决数量积中创新问题时，一定要读懂题目的本质含义．紧扣题目

所给条件，结合题目要求恰当转化，切忌同已有的概念或定义混淆．(2)方法选取：对于创新问题，要恰当选取解题方法，如数形结合，等价转化，特殊值，逐一排除等方法，并结合数量积性质求解．-8-对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n＝|m||n|sinθ，其

中θ为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是()A．若a*b＝a*c，则b＝cB．(a*b)c＝a(b*c)C．a*b＝(－a)*bD．(a＋b)*c＝a*c＋b*c解析：a，b，c为两两不共线向量，则a，b，c为非零向量，故A不正确；设a，b夹角为θ，b，c夹角

为α，则(a*b)c＝|a||b|sinθc，a(b*c)＝|b||c|sinαa，故B不正确，同理D不正确；a*b＝|a||b|sinθ＝|－a||b|sin(π－θ)＝(－a)*b.故选C.答案：C挖掘2平面向量与三角函数、解三角形的综合应用/互动探究[例2](2020·衡阳模拟)在△A

BC中，若|AC→|＝23，且AB→·cosC＋BC→·cosA＝AC→·sinB.(1)求角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解析](1)因为AC→＝AB→＋BC→，所以AB→·cosC＋BC→·cosA＝AC→·sin

B＝(AB→＋BC→)·sinB，即(cosC－sinB)AB→＋(cosA－sinB)BC→＝0.而向量AB→，BC→是两个不共线的向量，所以cosC＝sinB，cosA＝sinB，所以cosC＝cosA，因为A，C∈

(0，π)，所以A＝C.在等腰△ABC中，A＋B＋C＝π，所以2A＋B＝π，A＝π2－B2.所以cosA＝cosπ2－B2＝sinB2＝sinB，所以sinB2＝2sinB2cosB2，因为sinB2≠0，所以cosB2＝12.综合0<B2<π2，

所以B2＝π3，B＝2π3.(2)由(1)知，A＝C＝π6，由正弦定理，得|AC→|sin2π3＝|BC→|sinπ6，所以|BC→|＝2，S△ABC＝12|AC→||BC→|sinπ6＝12×23×2×12＝3

.[破题技法]利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、解三角形结合起来，-9-解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝cosB

，2cos2C2－1，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求∠C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足AD→＝DB→，|CD→|＝7，c＝23，求△ABC的面积．解析：(1)因为m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，所以ccosB＋(b－

2a)cosC＝0，在△ABC中，由正弦定理得，sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，sinA＝2sinAcosC，又sinA≠0，所以cosC＝12，而C∈(0，π)，所以∠C＝π3.(2)由AD→＝

DB→知，CD→－CA→＝CB→－CD→，所以2CD→＝CA→＋CB→，两边平方得4|CD→|2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②由①②得ab＝8，

所以S△ABC＝12absin∠ACB＝23.