【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练28 平面向量的概念及其运算.docx，共(9)页，125.721 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。二十八平面向量的概念及其运算(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为中心,则下列错误的是()

A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗C.|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|D.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗【解析】选D.对于A,由正六边形的性质可得四边形OABC为平行四边形,故𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=

𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,故A正确.对于B,因为AB∥DE,故𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,故B正确.对于C,由正六边形的性质可得|AD|=|BE|,故|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|,故C正确.对于D,因为AD,FC交于O,故𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=

𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗不成立,故D错误.2.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中不正确的是()A.a与λ2a的方向相同B.a与-λa的方向相反C.|𝜆𝑎|=λ|𝑎|D.|-𝜆𝑎|=-λ|𝑎|【解析

】选BCD.因为λ2>0,所以a与λ2a的方向相同,故A选项正确;当λ<0时,a与-λa的方向相同,故B选项错误;当λ<0时,λ|𝑎|<0,故C选项错误;当λ>0时,-λ|𝑎|<0,故D选项错误.3.(5分)(202

3·汕头模拟)在△ABC中,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=()A.23a+13bB.13a+23bC.13a-23bD.23a-13b【解析】选A.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=23a+13b.4.(5分

)(2023·盐城模拟)在平行四边形ABCD中,E是线段BD的中点,若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=m𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+n𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则m+n的值为()A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.由𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗-𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以m=-1,n=2,则m+n=1.5.(5分)在四边形ABCD中,若𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗|,则()A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形【解析】选A.因为𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以四边形ABCD为平行四边形,又|𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|,所以|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,即对角线相等,所以四边形ABCD为矩形.6.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)在△ABC中,D为BC中点,𝐴𝐺⃗⃗⃗

⃗⃗=2𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则下列等式中一定成立的是()A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.S△ABC=3S△GBCD.𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=13

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗【解析】选ABC.对于A,由D为BC的中点,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,故A正确;对于B,D,由𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=23(12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗+12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,故B正确,D错误;对于C,如图,AF⊥BC,GE⊥BC,由𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=31,由AF⊥BC,GE⊥B

C,则△AFD∽△GED,即𝐴𝐹𝐺𝐸=𝐴𝐷𝐺𝐷=31,𝑆△𝐴𝐵𝐶𝑆△𝐺𝐵𝐶=12·𝐴𝐹·𝐵𝐶12·𝐺𝐸·𝐵𝐶=31,故C正确.7.(5分)(2023·上海浦东模拟)设a,b是两个不共线向量,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2a+pb,𝐵𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗=a+b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为__________.【解析】由题意𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2a-b,因为A,B,D

三点共线,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线,所以存在实数λ,使得2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,所以λ=1,p=-1.答案:-18.(5分)(2023·菏泽模拟)已知a,b是两个不共线的向量,b-ta与12a-3

2b共线,则实数t=__________.【解析】因为b-ta与12a-32b共线,所以b-ta=λ(12a-32b),b-ta=𝜆2a-3𝜆2b,又a,b是两个不共线的向量,所以{-𝑡=𝜆21=-3𝜆2,解得t=13.答案:139.(10分)

设两个非零向量a与b不共线.(1)若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2a+8b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb反向共线.【解析】(1)因为

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2a+8b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=3(a-b),所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线,又因为它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ(λ<0),使ka+b=λ(a+kb),即ka+

b=λa+λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b.因为a,b是不共线的两个非零向量,所以{𝑘-𝜆=0𝜆𝑘-1=0,所以k2-1=0,所以k=±1,因为λ<0,所以k=-1.【能力提升练】10.(5分)(2023·广州模拟)在△ABC中,M是AC边上一点

,且𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗,N是BM上一点,若𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=19𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+m𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则实数m的值为()A.-13B.-16C.16D.13【解析】选D.由𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗,得出𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3�

�𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,由𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=19𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+m𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗得𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=19𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+m(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=(19+m)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗-m𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(13+3m)𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗-m𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,因为B,N,M三点共线,所以(13+3m)+(-m)=1,解得m=13.11.(5分)(多选题)下列说法中正确的是()A.λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线B.若a∥b(b≠0),则存

在唯一实数λ使得a=λbC.两个非零向量a,b,若|𝑎-𝑏|=|𝑎|+|𝑏|,则a与b共线且反向D.若2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,S△AOC,S△AOB分别表示△AOC,△AOB的

面积,则S△AOC∶S△AOB=1∶3【解析】选BCD.对于A项,当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线,故A项错误;对于B项,若a∥b(b≠0),则存在唯一实数λ使得a=λb,故B项正确;对于C项,两个非零向量a,b,

若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向,故C项正确;对于D项,因为2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,整理得2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),分别取BC,AC的中点E,F,如图所示:故4�

�𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,即2𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,所以O,E,F三点共线,故|𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|,|𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=23|𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|,所以|𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=13|𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗|,|𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|=16|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|,S△AOC=16S△ABC,S△AOB=12S△ABC,故S△AOC∶S△AOB=1∶3,故D项正确.12.(5分)如图所示,在正方形ABCD中,点E为BC的中点,点F为CD上

靠近点C的四等分点,点G为AE上靠近点A的三等分点,则向量𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗用𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗表示为________________.【解析】由题意可得:𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+

12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗-23𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)

-23(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=-512𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-56𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.答案:𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=-512𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-56𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗13.(5分)如图,点G为△ABC的重心,过点G的直线分别交直线AB,AC于D,E两点,�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3m𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗(m>0),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3n𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗(n>0),则m+n=________;1𝑚+1𝑛的最小值为________.【解题指南】利用重心的性质以及平面的线性运算可知𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=m𝐴𝐷⃗

⃗⃗⃗⃗+n𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,设𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐺𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,由D,G,E三点共线可知𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=1𝜆+1𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆𝜆+1𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,故可知m+n=1,利用1的妙用以及基本不等式求出1𝑚+1𝑛

的最小值.【解析】由重心的性质可知𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=23×12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=13(3m𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+3n𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)=m𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+n𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗(m>0,n>0),设𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐺𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,由已知得𝐴𝐺⃗

⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗,两式相加得2𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+(1-1𝜆)𝐷�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+(1-1𝜆)(𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗),整理得𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=1𝜆+1𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆𝜆+1𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,所以

m=1𝜆+1,n=𝜆𝜆+1,则m+n=1𝜆+1+𝜆𝜆+1=1,1𝑚+1𝑛=(1𝑚+1𝑛)(m+n)=2+𝑛𝑚+𝑚𝑛≥2+2√𝑛𝑚·𝑚𝑛=4,当且仅当𝑛𝑚=𝑚�

�,即m=n=12时等号成立.答案:1414.(10分)(2023·沧州模拟)如图,在△ABC中,点D为BC的中点,点E在线段AB上,AD与CE交于点O.(1)若𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,求证:𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0;(2)若𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,求实数λ的值.【解题指南】(1)由点D为BC的中点可得2𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,再结合已知条件即可证明;(2)设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,

𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=μ𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,利用向量减法法则可得𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b-23a,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1-𝜆2)b-𝜆2a,从而可得{1-𝜆2=𝜇-𝜆2=-23𝜇,即可求解.【解析】(1)因为点D为BC的中点,所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0,因为𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,两式相加得2𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,即𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=0.(2)由𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,得𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗,设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=μ𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b-23a,又𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-λ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝜆(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)2=(1-𝜆2)b-𝜆2a.所以(1-𝜆2)b-𝜆2a=μ(b-23a)

,因为a,b不共线,所以{1-𝜆2=𝜇-𝜆2=-23𝜇,解得λ=45.15.(10分)如图,在△ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE与AD相交于点M.(1)用𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗表示𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗;(2)若𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗+n𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,求m+n的值.【解析】(1)因为BC=4BD,所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=14(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.因为AC=3CE,所以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.(2)因为A,M,D三点共线,所以𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=3𝜆4𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆4𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.因为𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+n𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以{𝑚=3𝜆4𝑛=𝜆4,即m=3n.因为B,M,

E三点共线,所以𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=k𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+(1-k)𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=k𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2(1-𝑘)3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.因为𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+n𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以{𝑚=

𝑘𝑛=2(1-𝑘)3.因为m=3n,所以k=3×23(1-k),解得k=23,从而m=23,n=29,故m+n=89.【素养创新练】16.(5分)(多选题)(2023·枣庄模拟)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且

重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,此直线被称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点O,G,H分别是△ABC的外心、重心、垂心,且M为BC的中点,则()A.𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗B.S△ABG=S△BCG=S△ACGC.𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=4𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐻𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【解析】选ABD.A.因为𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=13

𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗,因为G为重心,所以𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗-𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗-𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=13(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),所以13𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

),所以𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以该选项正确.B.S△BCG=12×BC×h1,S△ABC=12×BC×h2,由于G是重心,所以h1=13h2,所以S△BCG=13S△ABC,同理S△ABG=13S△ABC,S

△ACG=13S△ABC,所以S△ABG=S△BCG=S△ACG,所以该选项正确.C.𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=2(𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=2

𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以该选项错误.D.因为𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝑀𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑀𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+

13𝐻𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6(23𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐻𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=4𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐻𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以该选项正确.17.(5分

)(2023·长沙模拟)如图,在△ABC中,M为线段BC的中点,G为线段AM上一点,𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,过点G的直线分别交直线AB,AC于P,Q两点,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗(x>0),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=y𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗(y>0),则4�

�+1𝑦+1的最小值为()A.34B.94C.3D.9【解析】选B.因为M为线段BC的中点,所以𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),又因为𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗(x>0),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=y𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗(y>0),所以𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥3𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦3𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗,又P,G,Q三点共线,所以𝑥3+𝑦3=1,即x+y=3,所以4�

�+1𝑦+1=14(4𝑥+1𝑦+1)[x+(y+1)]=14[4+𝑥𝑦+1+4(𝑦+1)𝑥+1]≥14(5+2√𝑥𝑦+1·4(𝑦+1)𝑥)=94,当且仅当𝑥𝑦+1=4(𝑦+1)𝑥,即x=83,y=

13时取等号.