【文档说明】河北省邯郸市2022届高三上学期开学摸底考试数学试题 全解全析.pdf，共(6)页，401.814 KB，由小赞的店铺上传

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-1-邯郸市2022届高三年级摸底考试试卷数学全解全析【命题双向细目表】题型题号分值试题难度易中难考查的主要知识预期得分率选择题15√复数的概念、计算0.9选择题25√集合交集的定义0.8选择题35√三角函数二倍角计算0.8选择题45√

柱体体积问题0.7选择题55√排列组合的应用0.7选择题65√平面向量的运算0.65选择题75√双曲线的实轴,涉及双曲线的渐近线以及离心率0.65选择题85√直线与平面所成角的计算0.65选择题95√正弦函数图象的对称性,单调性0.6选择题105√二项式展

开式中的系数0.6选择题115√求直线被圆截得的弦长、圆上的点到直线距离的最值0.55选择题125√抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题0.45填空题135√导数几何意义的应用0.8填空题145√函数的周期性,对数和指数的运算0.7填空题155√数列的递推公

式及周期数列0.65填空题165√圆柱体积公式和不规则几何体体积0.5解答题1710√等差等比数列的定义、通项公式、求和0.75解答题1812√求概率分布列,求数学期望0.75解答题1912√正弦定理、余弦定理应用0.65解答题2012√椭圆定义轨迹的方

程;直线与曲线的方程联立,根与系数的关系的应用0.6解答题2112√线面垂直,已知几何体体积求二面角的平面角0.55解答题2212√函数的导数,判断其符号可得函数的单调区间;构建新函数,利用导数求最值0.551.【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.A由z=a2+i-1-a

i=a2-1+1+ai为纯虚数,得到a2-1=0,1+a≠0,解得a=1.【命题意图】本题考查复数的运算和纯虚数的概念.-2-2.【分析】根据交集和补集定义,即可求得答案.D因为M=x1x-1>0=xx>1,所以RM=-

∞,1,因为N=xx+3>0,所以N=xx>-3=-3,+∞,所以(RM)∩N=-∞,1∩-3,+∞=-3,1.【命题意图】本题主要考查了集合运算,解题关键是掌握集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.3.B由sinπ2-2

α=-45,得cos2α=-45,则cos4α=2cos22α-1=2×-452-1=725.4.A由题意得池底面积S=43753.5=1250m2,则蓄水量至少为1250×1.8=2250(m3).【命题意图】本题主要考查柱体体积公式.5.B把2,3,4捆绑在一起,作为一个元

素排列,当1排在第一位时,有A33·A33=36种排法;当1排在第二位时,2,3,4作为一个元素只能排在第三、四、五位或第四、五、六位,故共有A33·C12·A22=24种排法.由分类加法计数原理得,共有60种排法.【命题意图】本题考查排列组合的应用.排列组合中如果有元素相邻,则可用捆绑法,

即相邻的元素捆绑在一起作为一个元素进行排列,当然它们之间也要全排列,特殊元素可优先考虑.注意分类与分步结合,不重不漏.6.【分析】根据题意,对|a+2b|=2a-2b平方,结合|a|=3|b|,求出向量a,b的夹

角的余弦值.B因为|a+2b|=2a-2b,所以a2+4a·b+4b2=4a2-4a·b+4b2,即20a·b=3a2+12b2,所以cos<a,b>=3a2+12b220×|a||b|,因为|a|=3|b|,所以cos<a,b>=39b2

20×3|b||b|=1320,所以a与b的夹角的余弦值为1320.【命题意图】本题考查了利用平面向量的数量积求向量的夹角问题,是中档题.7.【分析】利用点到直线的距离公式计算出|FP|=b,从而得到|OP|=a,再根据周长为12,得到a+b+c=1

2,最后结合离心率求得a=4,即可得出结果.A因为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的渐近线方程为y=±bax,右焦点为Fc,0,不妨令点P位于第一象限,则PF的长度为点Fc,0到直线y=bax的距离,即PF=bc-0a2+b2=b,所以OP=OF2-PF2=a,又△OPF

的周长为12,所以得到a+b+c=12,因为该双曲线的离心率为54,即ca=54,得94a+b=12,又c2=a2+b2,即b2=916a2,解得a=4,即双曲线的实轴长为8.【命题意图】本题主要考查求双曲线的实轴,涉及双曲线的渐近线以及离心率,熟

记双曲线的简单性质即可,属于中档题.8.B设正方体的棱长为a,如图,取AD的中点G,连接EG,过G作GH∥DD1,与A1D1交于点H,则点F∈GH,当EF长度最大时,点F与点H重合,EG=22a,EH=a2+12a2=62a,得cos∠HEG=22a62a=33.

9.【分析】先利用图象变换规律求出函数fx,再结合正弦函数的图象和性质进行分析,得出结论.BD将函数y=3sinx-2图象上的各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,可得到函数y=3sin2x-2的图象,再向左平移π8个单位,可得到函数f(x)=3sin2x+π4-2的图象,

对于选项A,令x=π4,求得f(x)=322-2,故A不正确;对于选项B,f(x)=3sin2x+π4-2=3cos2x+π4-π2-2=3cos2x-π4-2=g(x),即函数f(x)的图象与-3-函数g(x)的图象相同,故B正确;对于选项C,若

x∈0,π8,则2x+π4∈π4,π2,故f(x)=3sin2x+π4-2在0,π8上单调递增,故C不正确;对于选项D,当x=π8时,f(x)=3sin2×π8+π4-2=1,取得最大值,故直线x=π8是

函数f(x)图象的一条对称轴,故D正确.【命题意图】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象变换规律,考查正弦函数的图象和性质的应用,属于基础题.10.【分析】先根据二项式系数之和求出n的值,再令x=1可求系数和,根据展开式的总项数可得二项式系数最大项,利用展开式的通项公式求第5

项.ABD由5x-3xn的二项式系数之和为2n=64,得n=6,得2,6,10成等差数列,A正确;令x=1,5x-3x6=26=64,则5x-3x6的各项系数之和为64,B正确;5x-3x6的展开式共有7项,则二项式系数最

大的项是第4项,C不正确;5x-3x6的展开式中的第5项为C46(5x)2-3x4=15×25×81为常数项,D正确.【命题意图】本题主要考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式、二项式系数的性质,属于中档题.11.BD将直线l的方程整

理为m(2x+y-3)+(-x-y+1)=0,由-x-y+1=0,2x+y-3=0,解得x=2,y=-1.则无论m为何值,直线l恒过定点(2,-1),故A不正确;令x=0,则(y-1)2=15,解得y=1±15,故圆C被y轴截得的弦长为215,故B正确;无论m为何值,直线l不过圆心(1,1),

即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值,故C错误;当截得的弦长最短时,此时直线l垂直于圆心与定点的连线,则直线l的斜率为12,此时直线l的方程为y+1=12(x-2),即x-2y-4=0,故D正确.12.ABC设Ax1,y1,Bx2,y2,联立直线与抛物线y=k(x-1)y2=4x

,得k2x2-2k2+4x+k2=0,所以x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,所以1FA+1FB=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=1,故AB=FA·FB,A正确;若k=22,则x1+x2=10,

AB=x1+x2+2=12,故FA·FB=AB=12,B正确;由题意及抛物线定义得AA1=AF,BB1=BF,因为AA1·BB1=12,所以FA·FB=12,则AB=x1+x2+2=12,得x1+x2=2k2+4k2=10,则k=±22,由k>0,得k=22,C正

确;因为∠BB1F=∠B1FB,∠AA1F=∠A1FA,所以∠B1FB+∠A1FA=180°-∠B1BF2+180°-∠A1AF2=90°,所以∠A1FB1=90°,故D不正确.13.【分析】先对y=x2+alnx求导,然后求出曲线y=x2+alnx在点1,1

处切线的斜率k=y'x=1,再根据条件得到关于a的方程,进一步求出a的值.【解析】由y=x2+alnx,得y'=2x+ax,则曲线y=x2+alnx在点1,1处切线的斜率k=y'x=1=2+a,因为曲线在点1,1处的切线与直线x-

2y+2=0平行,所以12=2+a,所以a=-32.答案:-32【命题意图】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程和直线的位置关系,考查了方程思想,属于基础题.-4-14.【分析】根据函数f(x)满足:f(x+2)=-1

f(x),求出函数的周期,利用x∈(0,2]时,f(x)=2x即可得到结果.【解析】函数f(x)满足:f(x+2)=-1f(x),可得:f(x+4)=-1fx+2=fx,所以函数的周期T=4,所以f0=-

1f2=-14,flog4364=f(log43-3)=f(log43+1)=2log43+1=2×212log23=2×2log2312=23.答案:-1423【命题意图】本题考查了函数周期性的应用,对数和指数的运算,属于中档题.15.【分析

】根据递推公式求出数列前6项,观察可得数列an是以3为周期的数列,则S2022=674a1+a2+a3,代入相应值计算即可.【解析】根据题意,2an+1=4+anan+1,a3=1,得2a3=4+a2a3,即2=4+a2,得a2=-2,又2a2=4+a1a2,得

a1=4,类似地,可得a4=4,a5=-2,a6=1,…,可知数列an是以3为周期的数列,所以S2022=a1+a2+a3+(a4+a5+a6)+…+(a2020+a2021+a2022)=674a1+a2+a3=3×674=2022.答案:2022【命题意图】本

题考查数列的递推公式、数列的周期性的应用,属于中档题.16.【分析】过最短母线的端点向最长母线作垂线AB,利用勾股定理计算最长母线的长度,将两个相同的该几何体拼成一个圆柱体计算体积.【解析】若截面椭圆的长轴长为10cm,离心率为35,得焦距为2c=10×35=6(cm),短轴长2b=21022

-622=8(cm),即原圆柱的直径为8cm,过最短母线的端点向最长母线作垂线AB,设最长母线的顶端为C,连接AC,则AB=8cm,AC=10cm,所以BC=AC2-AB2=102-82=6(cm),故两个相同的该几何体可以拼接成一个底面直

径为8cm,高为14cm的圆柱.所以所求几何体的体积V=12×π×42×14=112π(cm3).答案:112π【命题意图】本题考查圆柱体积公式和不规则几何体体积的求解,把所求的不规则几何体通过拼接方式转

化为半个新圆柱的体积是求解本题的关键,属于难题.17.【分析】(1)由递推公式及等差数列定义求解即可;(2)由(1)求出an的通项公式,代入bn=2an+2-2n,即可求出bn的通项公式及前n项和Sn.【解析】(1)an+1-2

n+1-an-2n=an+1-an-2n=2(与n无关),3分……………………………………………故数列an-2n为等差数列,且公差d=2.可知,an-2n=a1-2+n-1d=2n-2;5分……………………(2)由(1)得an=2n+2n-2,7分…………………………………………………………

………………………………所以bn=2an+2-2n=2n+1,8分……………………………………………………………………………………所以{bn}为首项是4,公比q=2的等比数列,则Sn=b11-qn1-q=41-2n1-2

=2n+2-4.10分……………………【命题意图】本题考查递推公式求通项,以及等差数列的证明,属于基础题.18.【分析】(1)根据题意,结合已知数据,即可补充列联表;再计算K2的观测值k,结合参考数据即可判断;(2)利用分层抽样等比例抽取的性质,求得

抽取的9人中男生和女生的人数,再求分布列和数学期望即可.【解析】(1)体育不合格体育合格合计男10060160女11030140合计210903002分……………………………………………………………………………………………………………………

……K2的观测值k=300×(100×30-110×60)2210×90×140×160≈9.2<10.828,所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“体育合格”与性别有关;4分………………………………

…-5-(2)易知,所抽取的9名学生中,男生为9×6090=6名,女生为3名.X可取0,1,2,3,且P(X=0)=C33C39=184,P(X=1)=C16C23C39=314,6分…………………………………………………P(X=2)=C26C13C39=1528,P(X

=3)=C36C39=521.8分………………………………………………………………………所以X的分布列为:X0123P184314152852110分…………………………………………………………………………………………………………………………所

以E(X)=0×184+1×314+2×1528+3×521=2.12分………………………………………………………………【命题意图】本题考查列联表的补全、K2的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望,属于中档题.19.【分析】(1)由条件结合余

弦定理,利用基本不等式可得ac的最大值,从而得出△ABC的面积的最大值.(2)由正弦定理将条件转化为sinCsinπ-A2=2sinA2sinC,再化简可得2sinπ-A2=sinA,由二倍角公式可得2cosA2=2sinA2·cosA2,从而得出角A,进一步求出边a,c,得出答案

.【解析】(1)因为B=60°,所以cosB=12,sinB=32,由余弦定理知:b2=a2+c2-2accosB,即100=a2+c2-ac≥2ac-ac,即ac≤100,3分…………………………………………………………………………当且

仅当a=c时取等号.所以△ABC的面积S=12acsinB≤12×100×32=253,所以△ABC的面积的最大值为253;5分………………………………………………………………………………………………………………(2)由正弦定理得sinC·sinπ-A2=22sinA·sinC,因为

sinC≠0,所以2sinπ-A2=sinA.即2cosA2=2sinA2·cosA2,7分…………………………………………因为cosA2≠0,故sinA2=22,由于0<A<π,所以A=90°,9分……………………

………………………………因为sinB=32=ba,所以a=2033,所以c=a·cosB=1033,11分………………………………………………所以周长为a+b+c=2033+10+1033=10+103.12分……………………………………………………………20.【分析】(1)根据题意椭圆过

点3,12,结合2c=23,求出a,b即可得结果;(2)联立直线与椭圆的方程,结合根与系数的关系及中点坐标公式化简,进而用k表示出中点M的坐标,进而表示出AB的中垂线方程即可得结果.【解析】(1)椭圆过点3,12,即3a2+14b2=1,2分……………………………………………………

………………又2c=23,得a2=b2+3,所以a2=4,b2=1,即椭圆方程为x24+y2=1;4分…………………………………………(2)由x24+y2=1y=kx+m,得1+4k2x2+8kmx+

4m2-4=0,6分…………………………………………………………设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8km1+4k2,设AB的中点M为x0,y0,得x0=-4km1+4k2=12,即1+4k2=-8km,所以y0=kx0+m=12k-1+4k28k=-18k.8分

…………………………………………………………………………-6-所以AB的中垂线方程为y+18k=-1kx-12,即y=-1kx-38,故AB的中垂线恒过点N38,0.12分…………………………………………………………………………………………………………………………【命题意图】本题主要

考查了椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线相交、根与系数关系的应用以及直线过定点问题,属于中档题.21.【分析】(1)由三棱锥P-ABE的体积,得BC=1,AE=BE=2,可得AE⊥BE,利用平面PEB⊥平面ABED,可得AE⊥平面PEB,则AE⊥PB,由折叠知

PB⊥PE,进而得证;(2)以BE的中点O为坐标原点,以OP的方向为z轴正方向,过点O分别作AB和AD的平行线,分别为x轴和y轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面ADP的法向量和平面ABP的法向量,进而利用数量积求解即可.【解析】(

1)由CB=CE,设BE的中点为O,连接PO,则PO⊥BE,又二面角P-EB-C为直二面角,故PO⊥平面ABCD,设BC=a,则PO=22a,又AB=2,得三棱锥P-ABE的体积V=13PO×12AB·BC=26,即13×22a×12×2×a

=26,得BC=a=1,3分……………………………………………………………………………………于是由AE=BE=2,所以AB2=AE2+BE2,所以AE⊥BE,又平面PEB⊥平面ABED,得AE⊥平面PEB,则AE⊥PB,又PB

⊥PE,且AE∩PE=E,所以PB⊥平面PEA,由PB⊂平面PAB,故平面PAB⊥平面PAE;5分…(2)以BE的中点O为坐标原点,以OP的方向为z轴正方向,过点O分别作AB和AD的平行线,分别为x轴和y轴,建立如图所示空间直角坐标系,则A32,12,0,D32,-12,0,B-12

,12,0,P0,0,22,AD→=(0,-1,0),AP→=-32,-12,22,AB→=(-2,0,0),7分……………………………………设n=x1,y1,z1为平面ADP的法向量,则有n·AD→=0n·AP→=0

,即-y1=0,-32x1-12y1+22z1=0,可取n=23,0,1,9分………………………………………………………………设m=x2,y2,z2为平面ABP的法向量,则有m·AB→=0m·AP→=0,即-2x2

=0-32x2-12y2+22z2=0,可取m=0,2,2,11分…………………………………………………………………………………………………………………………所以cos<n,m>=n·mnm=3311,由图形知二面角B-PA-D为钝角,其余弦

值为-3311.12分…………………【命题意图】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力.22.【分析】(1)求出导函数f'(x),令g(x)=f'(x),再求导,求得g(x)的最小值可证;(2)先证对任意x∈[0,+∞),ex≥x2+

1,然后利用不等式的性质证明a>1时,不等式成立.【解析】(1)当a=2时,f(x)=2ex-x2,f'(x)=2ex-2x,设g(x)=f'(x)=2ex-2x,则g'(x)=2ex-2,令g'(x)=0,得x=0,2分……………………………………………所以g(x)在区

间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(0)=2-0=2,即f'(x)≥0对任意x∈R恒成立,所以函数f(x)为增函数;4分…………………(2)先证对任意x∈[0,+∞),ex≥x2

+1.令p(x)=ex-x2-1,p'(x)=ex-2x=m(x),m'(x)=ex-2.6分……………………………………………………令m'(x)=0,得x=ln2,所以m(x)在区间(-∞,ln2)上单调递减,在区间(ln2,

+∞)上单调递增,所以m(x)≥m(ln2)>0,8分……………………………………………………………………………………………所以p'(x)>0,所以p(x)在[0,+∞)上单调递增,所以p(x)≥p(0)=0,所

以ex≥x2+1,x∈[0,+∞).10分…当a>1时,f(x)-cosx=aex-x2-cosx>ex-x2-cosx≥x2+1-x2-cosx=1-cosx≥0,即f(x)>cosx对于任意的x∈[0,+∞)恒成立.12分………………………………………………

………………