【文档说明】福建省仙游一中、莆田二中、莆田四中三校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题 含答案.docx，共(11)页，520.407 KB，由小赞的店铺上传

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2021年仙游一中、莆田二中、莆田四中高二上学期三校期末联考数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。其中每小题的四个选项中有且只有一个是正确的）1.下列命题为真命题

的是（）A．若0ab，则22acbcB．若0ab，则22abC．若0ab，则22aabbD．若0ab，则11ab2．已知命题“xR，使212(1)02xax+−+”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．(1,3)−B．

(,1)−−C．(3,)−+D．(3,1)−3．已知等比数列{}na中，有31174aaa=，数列{}nb是等差数列，其前n项和为nS，且77ba=，则13S=（）A．26B．52C．78D．1044．在ABC中，

23,22,45abB===，则∠A等于()A．30°或150°B．60°C．60°或120°D．30°5．如图，在空间四边形OABC中，点E为BC中点，点F在OA上，且2OFFA=,则EF等于（）A．121+232OAOBOC−B．2

11+322OAOBOC−+C．111222OAOBOC+−D．211322OAOBOC−−6.等比数列{}na中，182,4aa==，函数128()()()()fxxxaxaxa=−−−，则/(0)f

=()A．62B．92C．122D．1527.已知()22fxxbxc=−++，不等式()0fx的解集为()-1,3.若对任意的1,0x−，()4fxm+恒成立，则m的取值范围是（）A．(-2，B．(-4，C．)2+，D．)4+，

8．已知双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的左右焦点分别为1F，2F，实轴长为6，渐近线方程为13yx=，动点M在双曲线左支上，点N为圆()22:61Exy++=上一点，则2MNMF+的最小值为（）A．8B．9C．10D．11二、多项选择题（本题共4小题，每

小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）9.下面命题正确的是（）A．“pq”是真命题是“pq”为真命题的必要不充分条件B．当(0,)x时，1sin2sinxx+C．设,xyR，则“1x

或2y”是“2xy”的充分不必要条件D．若,abR+，1ab+=，则114ab+10．已知1F，2F分别是椭圆22:195xyC+=的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A．12PFF的周长为10B．12PFF面积的最大值为25C．当1

260PFF=时，12PFF的面积为532D．存在点P使得120PFPF=11.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体．则下列结论正确的是（）．A．11//()ADBBBC+B．()11110ACABAA−=C．向量1AD与向量1AB的夹角是60°D．()2211111

113AAADABAB++=12．已知P是双曲线C：2214xym−=上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（）A．双曲线

的方程为2214xy−=B．双曲线的离心率为5C．函数()log15ayx=++(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为3，则∠PF1F2=3三

、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。其中第16题第一空2分，第二空3分）13.若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx+−−+−则zxy=+的最大值为__________14.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高1()A

Bkm=，3()CDkm=，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，120BED=，则两山顶A、C之间的距离为km15.在空间直角坐标系中，点(0,0,1)P为平面ABC外一点，其中(1,1,0)A，(0,2,3)B，若平面ABC的一个法向量为(1,,

1)nm=，则点P到平面ABC的距离为______.16.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，则Sn＝________，数列{}SnSn＋1的前n项和为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解

答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知21()1ln8fxxx=++（1）求曲线()fx在1x=处的切线方程；（2）求曲线()fx的切线的斜率及倾斜角的取值范围．18.（

本小题满分12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线()220ypxp=的准线方程是12x=−.（1）求抛物线的方程；（2）设直线()()20ykxk=−与抛物线相交于MN、两点，O为坐标原点，证明：以MN为直径的圆过原点.19．（本小题满分12分）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，

{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．20.（本小题满分12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答：①sinsinsi

nsinACABbac−−=+；②2coscoscoscCaBbA=+；③1(sinsinsin)2ABCScaAbBcC=+−.已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且________.

（1）求C；（2）若D为AB中点，且2c=，3CD=，求,ab.21．(本题满分12分)如图1，在平行四边形ABCD中，60A=，1AD=，2AB=，将ABD沿BD折起，使得平面ABC⊥平面ABD，如图2．图1图2（1）证明：AD⊥平面BCD

；（2）在线段AC上是否存在点M，使得二面角MBDC−−的大小为45？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知中心为坐标原点的椭圆C的一个焦点为()3,0F，且经过点31

,2M.（1）求椭圆C的标准方程.（2）若不经过点F的直线l：()0,0ykxmkm=+与椭圆C交于A，B两点，且与圆221xy+=相切，试探究ABF的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.2020-2021学年高二上学期三校期末联

考数学试题参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分。）三、填空题(每小题5分共20分)题号12345

678答案BABCDCDB题号9101112答案BDABCABDAC13、【答案】914、【答案】1315、【答案】6316、【答案】1n，nn＋1四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）∵2

1()1ln8fxxx=++，∴/1()4xfxx=+，（1分）当1x=时，/5(1)4f=，切点为9(1,)8，（3分）∴曲线()fx在1x=处的切线方程为95(1)84yx−=−，即10810xy−−=；（5分）（2

）∵0x，/1()14xfxx=+，（7分）∴曲线()fx的切线的斜率为14xx+，倾斜角的取值范围为[,)42．（10分）18.解：（1）由抛物线()220ypxp=的准线方程为2px=−，则122p−=−，则1p=，∴抛物线方程为

22yx=；（4分）（2）证明：设()()1122,,,MxyNxy，由2(2)2ykxyx=−=，消去y整理得()222222140kxkxk−++=，（6分）124xx=，由2211222,2yxyx==，两式相乘，得()21212

4yyxx=，注意到12,yy异号，所以124yy=−，（8分）则12120,OMONxxyy=+=OMON⊥，90MON=，（11分）所以以MN为直径的圆过原点．（12分）19.解(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{b

n}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.(3分)由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组2＋3d＋2q3＝21，8＋6d＋2q3＝30，解得d＝1，

q＝2.所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*.(6分)(2)由题意知cn＝(n＋1)×2n.记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn.则Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋(n－1

)×2n－1＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1，(11分)即Tn＝n·2n＋1，n∈N*.(12分)20.解：（1）方案一：选条件①∵sinsinsinsinACABbac−−

=+，由正弦定理可得，acabbac−−=+，即222acabb−=−，∴222abcab+−=，∴由余弦定理可得：222cos122abcCab+−==.∴3C=.（5分）方案二：选条件②（1）∵2coscoscoscCaBbA=+，∴根据正弦定理

可得，2sincossincossincosCCABBA=+，∴2sincossin()CCAB=+，∴2sincossinCCC=.∴1cos2C=，∴3C=.（5分）方案三：选条件③（1）由题意知，sinsi11()2sisi2nnnCAabcabcBC

=+−，∴由正弦定理可得，()222abccabc=+−，∴222abcab+−=，∴由余弦定理可得，222cos122abcCab+−==，∴3C=.（5分）（2）由题意知，1ADBD==，3CD=，在ACD△中，2222cosA

CADCDADCDADC=+−，即2423cosbADC=−.在BCD中，2222cosBCBDCDBDCDBDC=+−，即2423cosaBDC=−，∵ADCBDC+=，∴coscosADCBDC=−，∴228ab+=.由（

1）知，222cos122abcCab+−==，∴2224abcabab+=+=+，∴4ab=，由2284abab+==，解得2ab==.（12分）21.【详解】（1）在ABD中，因为60A=，1AD=，2AB=，由余弦定理得222cos603

BDADABADAB=+−=，所以222BDADAB+=，所以ADBD⊥，所以90,90ADBDBC==，作DFAB⊥于点F，因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC平面ABDAB=，所以DF⊥平面ABC，所以DFBC⊥，又因为

,CBBDBDDFD⊥=，所以CB⊥平面ADB，因为AD平面ADB，所以CBAD⊥，又由,ADBDBDCBB⊥=，所以AD⊥平面BCD.（6分）（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过DA为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则(0,3,0),(1,3,0),(0,0,1)BCA−，假设点M存在，设,[0,1]AMAC=，则(,3,),(,3,1),(0,3,0)AMACDMDAAMDB==−−=+=−−=，设平面MBD的一个法向量为(,,)m

abc=，则303(1)0mDBbmDMabc===−++−=，取1a=−，可得(1,0,)m=−，平面CBD的一个法向量为(0,0,1)n=，假设在线段AC上存在点M，使得二面角MBDC−−的大小为45，则222cos,21(1)mnmnmn

===−+，解得12=，所以点M存在，且点M是线段AC的中点.（12分）22.【答案】（1）2214xy+=；（2）ABF的周长为定值4.（1）设椭圆C的标准方程为()222210xyabab+=，由题可知另一个焦点为()'3,0F−.由椭圆的定义可知222233

'(13)(13)4222MFMFa+=−++++==，所以2a=，因为3c=且222bac=−，所以1b=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=.（4分）（2）是定值，理由如下：因为直线l：()0,0ykxmkm=+与圆221xy+=相切，所以211mk

=+，即221mk=+，设()11,Axy，()22,Bxy，联立2214ykxmxy=++=，消去y整理得()222418440kxkmxm+++−=，所以()2221641480kmk=−+=，122841kmxxk+=−+

，21224441mxxk−=+，所以()()()22221212121214ABxxyykxxxx=−+−=++−222222222844114441414141kmmkkkmkkk−+=+−=−++++，又221mk=+，所以24341kmABk−=+.由于0,0k

m，所以1202,02xx，因为()22113AFxy=−+()22111331242xxx=−+−=−，同理2322BFx=−，所以()12342AFBFxx+=−+2238434424141kmkmkk=+=+++，所以224343444141kmkmAFBFABkk++=+

−=++，故ABF的周长为定值4.（12分）