【文档说明】2025届高考一轮复习专项练习 数学 课时规范练15　利用导数研究函数的单调性 Word版含解析.docx，共(6)页，49.945 KB，由小赞的店铺上传

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课时规范练15利用导数研究函数的单调性基础巩固组1.函数f(x)=x3-ax为R上增函数的一个充分不必要条件是()A.a≤0B.a<0C.a≥0D.a>02.(2020山东青岛二中月考)已知定义域为R的函数f(x)的导数为f'(x),且满足f'(x)<2

x,f(2)=3,则不等式f(x)>x2-1的解集是()A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,2)3.(2020山东德州二模,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)+1<f'(x),f(0

)=2,则不等式f(x)+1>3ex的解集为()A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(-∞,0)4.已知函数f(x)=ln𝑥𝑥,则()A.f(2)>f(e)>f(3)B.f(3)>f(e)>f(2)C.f

(e)>f(2)>f(3)D.f(e)>f(3)>f(2)5.(多选)(2020山东高三模拟,8)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>m>1,则下列成立的有()A.f1𝑚>1-𝑚𝑚B.f1𝑚<-1C.f1𝑚-1>1�

�-1D.f1𝑚-1<06.设函数f(x)=12x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是.7.若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为.8.(2020河北唐山一模,文21)已知a>0,函数f(x)=2ax3-

3(a2+1)x2+6ax-2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上仅有一个零点,求a的取值范围.综合提升组9.已知函数f(x)=ax2-4ax-lnx,则f(x)在(1,3)上不具有单调性的

一个充分不必要条件是()A.a∈-∞,16B.a∈-12,+∞C.a∈-12,16D.a∈12,+∞10.已知函数f(x)=alnx-2x,若不等式f(x+1)>ax-2ex在x∈(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.(-∞,0

]D.[0,2]11.(多选)(2020山东胶州一中模拟,11)已知定义在0,π2上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0,f'(x)cosx+f(x)sinx<0,则下列判断中正确的是()A.fπ6<√62fπ4B.flnπ3>0C.

fπ6>√3fπ3D.fπ4>√2fπ312.(2020山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数f(x)=mlnx-x+𝑚𝑥(m∈R),讨论f(x)的单调性.创新应用组13.(2020山东潍坊临朐模拟一,8)已知奇函数f(x)的定义域为-π2,π2,其导函数为f'(x)

,当0<x<π2时,有f'(x)cosx+f(x)sinx<0成立,则关于x的不等式f(x)<√2fπ4cosx的解集为()A.π4,π2B.-π2,-π4∪π4,π2C.-π4,0∪0,π4D.-π4,0

∪π4,π214.设函数f(x)=alnx+𝑥-1𝑥+1,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.参考答案课时规范练15利用导数研究函数的单调性1.B函数f(x)=x3-ax为R

上增函数的充要条件是f'(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,所以a≤(3x2)min.因为(3x2)min=0,所以a≤0.而(-∞,0)⫋(-∞,0].故选B.2.D令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x<0,即函数g(x)在R上单调递减.又因为不等式f(x)>x2-1

可化为f(x)-x2>-1,而g(2)=f(2)-22=3-4=-1,所以不等式可化为g(x)>g(2),故不等式的解集为(-∞,2).故选D.3.C令g(x)=𝑓(𝑥)+1e𝑥,∵f(x)+1<f'(x),则g'(x)=𝑓'(𝑥)

-𝑓(𝑥)-1e𝑥>0,故g(x)在R上单调递增,且g(0)=3,由f(x)+1>3ex,可得𝑓(𝑥)+1e𝑥>3,即g(x)>g(0),所以x>0,故选C.4.Df'(x)=1-ln𝑥𝑥2

(x>0),当x∈(0,e)时,f'(x)>0;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0.故当x=e时,f(x)max=f(e).f(2)=ln22=ln86,f(3)=ln33=ln96,故f(e)>f(3)

>f(2).故选D.5.AC设g(x)=f(x)-mx,则g'(x)=f'(x)-m>0,故g(x)=f(x)-mx在R上单调递增.因为1𝑚>0,所以g1𝑚>g(0),故f1𝑚-1>-1,即f1𝑚>0,而1-𝑚𝑚<0,所以f1𝑚>1-𝑚𝑚,

故A正确,B错误.因为1𝑚-1>0,所以g1𝑚-1>g(0),故f1𝑚-1-𝑚𝑚-1>-1,即f1𝑚-1>1𝑚-1>0,故C正确,D错误.故选AC.6.(1,2]∵f(x)=12x2-9lnx,∴f'(x)=x-9𝑥(x>0),当x-9𝑥≤0时,有0<

x≤3,即f(x)在(0,3]上单调递减,则[a-1,a+1]⊆(0,3],∴a-1>0且a+1≤3,解得1<a≤2.7.(-∞,-2-2ln2)因为f(x)=x2-4ex-ax,所以f'(x)=2x-4ex-a.由题意,f'(x)=2x-4ex-

a>0有解,即a<2x-4ex有解.令g(x)=2x-4ex,则g'(x)=2-4ex.令g'(x)=0,解得x=-ln2.函数g(x)=2x-4ex在(-∞,-ln2)上单调递增;在(-ln2,+∞)上单调递减.所以当x=-l

n2时,g(x)=2x-4ex取得最大值-2-2ln2,所以a<-2-2ln2.8.解(1)f'(x)=6ax2-6(a2+1)x+6a=6(x-a)(ax-1),由f'(x)=0,得x=a或x=1𝑎.当0<a<1时,1𝑎>a.所以当x<a或x>1𝑎时,f'(x)>

0,从而f(x)在(-∞,a),1𝑎,+∞上单调递增;当a<x<1𝑎时,f'(x)<0,从而f(x)在a,1𝑎上单调递减.当a=1时,1𝑎=a=1.所以f'(x)≥0,从而f(x)在R上单调递增.当a>1时,a>1𝑎.所

以当x<1𝑎或x>a时,f'(x)>0,从而f(x)在-∞,1𝑎,(a,+∞)上单调递增;当1𝑎<x<a时,f'(x)<0,从而f(x)在1𝑎,a上单调递减.综上,当0<a<1时,f(x)在(-∞,a),1𝑎,+∞上单调递增,在a,1𝑎上单调递减;当a=1时,f(x)在R上单调递

增;当a>1时,f(x)在-∞,1𝑎,(a,+∞)上单调递增,在1𝑎,a上单调递减.(2)f(a)=-a4+3a2-2=(a2-1)(2-a2),f1𝑎=1-1𝑎2.当0<a<1时,f(a)<0,f1𝑎<0,所以f(x)仅在1𝑎,+∞上有一个零点,因此0<a<1满足题设.当a=1

时,f(1)=0,所以f(x)在R上仅有一个零点1,因此a=1满足题设.当a>1时,f1𝑎>0,所以要满足题设须有f(a)>0,从而2-a2>0,解得1<a<√2,因此1<a<√2满足题设.综上满足题目条件的a的取值范围是(0,√2).9.Df'(x)=2ax-4

a-1𝑥=2𝑎𝑥2-4𝑎𝑥-1𝑥.若f(x)在(1,3)上不具有单调性,令g(x)=2ax2-4ax-1,则当a=0时,显然不成立,a≠0时,只需{𝛥=16𝑎2+8𝑎>0,𝑔(1)𝑔(3)<0,解得a<-12或a>16.而12,+∞⫋-∞,-12∪16,+

∞,故选D.10.Af(ex)=ax-2ex,所以f(x+1)>ax-2ex在(0,+∞)上恒成立,等价于f(x+1)>f(ex)在(0,+∞)上恒成立.因为当x∈(0,+∞)时,1<x+1<ex恒成立,所以只需f(x)在(1,+∞)上单调递减,

即当x>1时,f'(x)≤0恒成立,即当x>1时,𝑎𝑥≤2恒成立,所以a≤2.故选A.11.CD令g(x)=𝑓(𝑥)cos𝑥,x∈0,π2,则g'(x)=𝑓'(𝑥)cos𝑥+𝑓(𝑥)sin𝑥cos2𝑥.因为f'(x)cosx+f(x)sinx<0,所

以g'(x)=𝑓'(𝑥)cos𝑥+𝑓(𝑥)sin𝑥cos2𝑥<0在0,π2上恒成立,因此函数g(x)=𝑓(𝑥)cos𝑥在0,π2上单调递减.因此gπ6>gπ4,即𝑓(π6)cosπ6>𝑓(π4)cosπ4,即f

π6>√62fπ4,故A错误;又因为f(0)=0,所以g(0)=𝑓(0)cos0=0,所以g(x)=𝑓(𝑥)cos𝑥≤0在0,π2上恒成立,因为lnπ3∈0,π2,所以flnπ3<0,故B错误;又因为gπ6>gπ3,所以𝑓(π6)cosπ6>𝑓(π3)c

osπ3,即fπ6>√3fπ3,故C正确;又因为gπ4>gπ3,所以𝑓(π4)cosπ4>𝑓(π3)cosπ3,即fπ4>√2fπ3,故D正确.故选CD.12.解由题意得x∈(0,+∞),f'(x)=𝑚𝑥-1-𝑚𝑥2=-𝑥2-𝑚𝑥+𝑚�

�2.令g(x)=x2-mx+m,Δ=m2-4m=m(m-4).①当0≤m≤4时,Δ≤0,g(x)≥0恒成立,则f'(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当m<0时,Δ>0,函数g(x)与x轴有两个不同的交

点x1,x2(x1<x2),x1+x2=m<0,x1x2=m<0,则x1<0,x2>0.所以当x∈0,𝑚+√𝑚2-4𝑚2时,g(x)<0,f'(x)>0,则f(x)在0,𝑚+√𝑚2-4𝑚2上单调递增;当x∈𝑚+√𝑚2-4𝑚2,+∞时,g(x)>0,f'(x

)<0,则f(x)在𝑚+√𝑚2-4𝑚2,+∞上单调递减.③当m>4时,Δ>0,函数g(x)与x轴有两个不同的交点x1,x2(x1<x2),x1+x2=m>0,x1x2=m>0,则x1>0,x2>0.所以f(x)在0,𝑚-√𝑚2-4𝑚2,𝑚+√𝑚2-4𝑚2,+∞上单调递减;在

𝑚-√𝑚2-4𝑚2,𝑚+√𝑚2-4𝑚2上单调递增.综上所述,当0≤m≤4时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当m<0时,f(x)在0,𝑚+√𝑚2-4𝑚2上单调递增,在𝑚+√𝑚2-4𝑚2,+∞上单调递减;当m>4时

,f(x)在0,𝑚-√𝑚2-4𝑚2上单调递减,在𝑚-√𝑚2-4𝑚2,𝑚+√𝑚2-4𝑚2,𝑚+√𝑚2-4𝑚2,+∞上单调递减.13.A根据题意,设g(x)=𝑓(𝑥)cos𝑥,其导数为g'(x)=𝑓'(𝑥)cos𝑥+𝑓(𝑥)sin�

�cos2𝑥.因为当0<x<π2时,f'(x)cosx+f(x)sinx<0,所以当0<x<π2时,g'(x)<0,则函数g(x)在0,π2上单调递减.又因为f(x)为定义域为-π2,π2的奇函数,则g(-x)=𝑓(

-𝑥)cos(-𝑥)=-𝑓(𝑥)cos𝑥=-g(x),则函数g(x)为奇函数,所以函数g(x)在-π2,π2上为减函数.f(x)<√2fπ4cosx,即𝑓(𝑥)cos𝑥<√2fπ4,即𝑓(𝑥)cos𝑥<𝑓(

π4)cosπ4,即g(x)<gπ4.所以π4<x<π2,即不等式的解集为π4,π2.故选A.14.解(1)当a=0时,f(x)=𝑥-1𝑥+1,x∈(0,+∞).此时f'(x)=2(𝑥+1)2,于是f'(1)=12,f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1

))处的切线方程为y-0=12(x-1),即x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=𝑎𝑥+2(𝑥+1)2=𝑎𝑥2+2(𝑎+1)𝑥+𝑎𝑥(𝑥+1)2.①当a≥0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单

调递增.②当a<0时,令g(x)=ax2+2(a+1)x+a,则Δ=4(a+1)2-4a2=4(2a+1).(ⅰ)当a≤-12时,Δ≤0,所以g(x)≤0,于是f'(x)≤0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.(ⅱ)当-12<a<0时,Δ>0,此时g(x)=0有两个不相等的实

数根,分别是x1=-(𝑎+1)+√2𝑎+1𝑎,x2=-(𝑎+1)-√2𝑎+1𝑎,x1<x2.下面判断x1,x2是否在定义域(0,+∞)上.由韦达定理{𝑥1+𝑥2=-2(𝑎+1)𝑎>0,𝑥

1𝑥2=1>0,可得0<x1<x2.当0<x<x1或x>x2时,有g(x)<0,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减;当x1<x<x2时,有g(x)>0,f'(x)>0,所以函数f(x)在(x1,x2)上单调递增.综上所述

,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-12<a<0时,函数f(x)在0,-(𝑎+1)+√2𝑎+1𝑎,-(𝑎+1)-√2𝑎+1𝑎,+∞上单调递减,在-(𝑎+1)+√2𝑎+1𝑎,-(𝑎+1)-√

2𝑎+1𝑎上单调递增.