【文档说明】四川省宜宾市第四中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(20)页，1.655 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省宜宾市第四中学高二第四学月考试文科数学第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足()212zii+=−，则复数z的虚部为（）A.i−B.1−C.i

D.1【答案】B【解析】【分析】根据已知求出复数z,再求其虚部.【详解】由题得12(12)(2)2+(2+)(2)iiiziiii−−−===−−，所以复数z的虚部为-1.故选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题

.2.命题“[1,),x+210xx+−”的否定形式是（）A.(,1)x−，使得210xx+−B.[1)x+，使得210xx+−C.(,1)x−，使得210xx+−D.[1

)x+，使得210xx+−【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定原理可直接得到结果.【详解】根据含全称量词命题的否定原理可知原命题的否定为：)1,x+，使得210xx+−故选：B【点睛】本题考

查含量词的命题的否定，属于基础题.3.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），00(,)xy的线性回归方程为2yx=+，则00xy−的值为（）A.-3B.-5C.-2D.-1【答案】A【解析

】【分析】利用平均数公式计算样本中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得结论.【详解】由题意知()()001110,1544xxyy=+=+，样本中心点的坐标为()()001110,1544xy++，线性回归方程为2yx=+

，()()00111510244yx+=++，解得003xy−=−，故选A.【点睛】本题主要考查回归方程的性质，属于简单题.回归直线过样本点中心(),xy是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.4.双曲线221169xy−=上P点

到左焦点的距离是6，则P到右焦点的距离是（）A.12B.14C.16D.18【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义可求P到右焦点的距离.【详解】设双曲线的左焦点为1F，右焦点为2F，则2128PF

FaP−==，故268PF−=，故214PF=或22PF=−（舍）.故选C.【点睛】本题考查双曲线的定义，注意可根据1PF（左焦点为1F）的大小判断P在双曲线的左支上还是在右支上，一般地，如果1PFac+，则

P在左支上，解题中注意这个结论的应用.5.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002yxx=−+，为使每吨

的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为（）.A.200吨B.300吨C.400吨D.600吨【答案】C【解析】【分析】列出处理成本函数yx，然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量x．【详解】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为180000180000200220020022yx

xxxx=+−−=…，当且仅当1800002xx=，即400x=时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每旽的平均处理成本最低.故选;C【点睛】本题考查基本不等式在函数中的应用，解题关键是列出函数关系式

．6.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是()

A.列联表中c的值为30，b的值为35B.列联表中c的值为15，b的值为50C.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

【答案】C【解析】【分析】根据成绩优秀的概率求出成绩优秀的学生数，从而求得c和b的值，再根据公式求得2K的值，与临界值比较大小，可判断“成绩与班级有关系”的可靠性程度.【详解】成绩优秀的概率为2,7成绩优秀的学生数是2105307=，成绩非优秀的学生数是75,20,45cb=

=，选项,AB错误，根据列联表中数据，得到()22105103020456.1093.84155503075K−=，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，故选C.【点睛】本题主要考查了检验性思想方法，考查了计算能力

、阅读能力、建模能力，以及利用所学知识解决实际问题的能力，熟练掌握列联表各数据之间的关系及2K的计算公式是解题的关键.7.“2a=”是“函数2()lg(12)fxxax=+−为奇函数”的（）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的性质：()()fxfx−=−即可求出a的值，再结合充分，必要条件的定义即可得到结果．【详解】解：函数2()(

21)fxlgxax=+−是奇函数，()()fxfx−=−，22(21)(21)lgxaxlgxax++=−+−，221(21)(21)xaxxax−++=+−，22(21)(21)1xaxxax+−++=，化简得：22(2)0ax−=，220a−=，

解得2a=．“2a=”“函数2()lg(12)fxxax=+−为奇函数”，但是“函数2()lg(12)fxxax=+−为奇函数”推不出“2a=”.故“2a=”是“函数2()lg(12)fxxax=+−为奇函数”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了奇函数的定义性质和充分，必要条件的定义

，属于基础题．8.圆22244205xyxy++−+=上的点到直线340xy+=的距离的最大值是（）A.35B.15C.255+D.255−【答案】C【解析】【分析】先计算半径为55r=，再计算圆心到直线的距离为25d=，最大距离为dr+得到答案.【详解】圆22244

205xyxy++−+=的圆心()2,1C−，半径12451644255r=+−=，∴圆心()2,1C−到直线340xy+=的距离234125916d−+==+，∴圆22244205xyxy++−+=上的点到直线340xy+=的距离的最大值：

max2525555d+=+=.故选：C.【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离的最值，转化为圆心得到直线的距离加上半径是解题的关键.9.已知f（x）=-x3-ax在（-∞，-1]上递减，且g（x）=2x-ax在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a的取值范围是（）A.2a−B.3a

−C.32a−−D.32a−−≤≤【答案】C【解析】【分析】利用()fx导数小于等于零恒成立，求出a的范围，再由()2'2agxxx=+在(1,2上有零点，求出a的范围，综合两种情况可得结果.【详解】因为函数()3f

xxax=−−在(,1−−上单调递减，所以()2'30fxxa=−−对于一切(,1x−−恒成立，得23,3xaa−−，又因为()2agxxx=−在区间(1,2上既有最大值，又有最小值，

所以，可知()2'2agxxx=+在(1,2上有零点，也就是极值点，即有解220axx+=，在(1,2上解得32ax=−，可得82,32aa−−−−，故选C.【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范

围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,ab上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式()'0fx或()'0fx恒成立问题求参数范

围.10.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab−+=相切，则C的离心率为A.63B.33C.23D.13【答案】A【解析】以线段12

AA为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为ra=，圆的方程为222xya+=，直线20bxayab−+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即222abdaab==+，整理可得223ab=，即()222

3,aac=−即2223ac=，从而22223cea==，则椭圆的离心率2633cea===，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,abc的方程或不等式，再根据,,abc

的关系消掉b得到,ac的关系式，而建立关于,,abc的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.设A，B是抛物线24yx=上两点，抛物线的准线与x轴交于点N，已知弦AB的中点M的横坐标为3，记

直线AB和MN的斜率分别为1k和2k，则2212kk+的最小值为（）A.22B.2C.2D.1【答案】D【解析】【分析】设1122(,),(,),(3,),(1,0)AxyBxyMtN−，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标

公式，可得1212kk=，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】设1122(,),(,),(3,),(1,0)AxyBxyMtN−，可得2211224,4yxyx==，相减可得121212()()4()yyyyxx−+=−，可得12112121422yykxxyytt−====−+，又由24t

k=，所以1212kk=，则22211221kkkk=+，当且仅当1222kk==时取等号，即2212kk+的最小值为1.故选D．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程和性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，以及中点坐标公

式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.已知函数()222()281010xxfxxxa−−+=−++有唯一零点，则a=（）A.2B.10C.4D.7【答案】C【解析】【分析】由已知可令2tx=−，则()2()()210108ttfx

gtta−==++−为偶函数，图象关于0t=对称，结合已知函数有唯一零点及偶函数图象关于y轴对称可求.【详解】解：()()()222222()2810102210108xxxxfxxxaxa−−+−−+=−++=−++−，令2tx=−，则()2()()210108ttfxgtta−==

++−为偶函数，图象关于0t=对称，若()()0fxgt==有唯一零点，则根据偶函数的性质可知()00(0)101080ga=+−=，所以4a=.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用偶函数的对称性求解参数的值，解题的关键是灵活利用偶函数对称性的性质，是基础题.第Ⅱ卷非选择题二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()32fxxaxxb=+++在1x=处取得极值，则实数a=______．【答案】2−【解析】【分析】根据题意，可知f′（1）=0，求解方程，即可得到实数a的值．【详解】∵f（x）=x3+ax2+x+b，f′（x）=3x2+2ax+1，又∵

f（x）在x=1时取得极值，∴f′（1）=3+2a+1=0，∴a=﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了函数在某点取得极值的条件，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点．求函数

极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．14.曲线21yxx=+在

点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1yx=+【解析】设()yfx=，则21()2fxxx=−，所以(1)211f=−=，所以曲线21yxx=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)yx−=−，即1

yx=+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)Pxy是曲线()yfx=上的一点，则以P为切点的切线方程是000()()yyfxxx−=−．若曲线()yfx=在点0

0(,())Pxfx处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx=．15.光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的12以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（lg

20.3010=，lg30.4771=）【答案】7【解析】【详解】设至少需x块玻璃板，由题知111102x−，即91102x，取对数91lglg102x，即(lg9lg1

0)lg2x−−，即(12lg3)lg2x−，lg26.5712lg3x−，∴7x=．16.已知点()4,0A，抛物线C：22ypx=（04p）的准线为l，点P在C上，作PHl⊥于H，且PHPA=，120APH=，则p=__________．【答案】85【解析】设焦点为F，

则π32,,3222PPPpxppPAFxx+==+=所以8422225Ppppxpp=++=+=点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若00(,)Pxy为抛物线22(0)ypxp

=上一点，由定义易得0||2pPFx=+；若过焦点的弦ABAB的端点坐标为1122(,),(,)AxyBxy，则弦长为1212,ABxxpxx=+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径

或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()3213fxxaxbx=−+（a，Rb），()()021ff==.（1）求曲线(

)yfx=在点()()3,3f处的切线方程；（2）若函数()()4gxfxx=−，3,2x−，求()gx的单调区间和最小值.【答案】（1）490xy−−=（2）单调增区间为3,1−−，减区间为(1,2−，

最小值为9−.【解析】【详解】（1）先求导数，再借助导数的几何意义求解；（2）先求导数，再借助导数与函数的单调性之间的关系求解：【试题分析】（1）（1）因为()22fxxaxb=−+，由()()021ff==即1{441bab

=−+=，得1{1ab==，则()fx的解析式为()3213fxxxx=−+，即有()33f=，()34f=所以所求切线方程为490xy−−=.（2）∵()32133gxxxx=−−，∴()223gxxx=−−，由()2230gx

xx=−−，得1x−或3x，由()2230gxxx=−−，得13x-<<，∵3,2x−，∴()gx的单调增区间为3,1−−，减区间为(1,2−，∵()()223923gg−=−=−，∴()gx的最小值为9−.18.为了解某地区观众对大型综艺活动《中

国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性.（1）根据已知条件完成下面的22

列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？（2）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概

率.附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++.【答案】（1）填表见解析；没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关；（2）710【解析】【分析】（1）根据题目提供的数据完成22列联表，然后利用公式求出2K，进而可得结论；（2）用ia表示男性，1,2,3i=，ib表示

女性，1,2i=，列举出所有的基本事件，然后再列举任选2人中，至少有1个是女性的基本事件，利用古典概型公式求解.【详解】（1）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成22列联表如下：将

22列联表中的数据代入公式计算，得：2100(30104515)21003.03017807525455533K−==，因为3.0303.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关.（2）由统计表可

知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为()()()()()()()()()()12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,aaaaaaababababababbb=，其中ia表示男性，1,2,3i=，ib表

示女性，1,2i=，由10个等可能的基本事件组成，用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则()()()()()()()11122122313212,,,,,,,,,,,,,Aababababa

babbb=，事件A由7个基本事件组成.∴()710PA=.【点睛】本题考查独立性检验的应用以及古典概型的计算公式，考查学生计算能力，是中档题.19.如图，在四棱锥PABCD−中，ABCD∥，且90BAPCDP==.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PAPDABDC===，90

APD=，且四棱锥PABCD−的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）623+.【解析】【详解】试题分析：（1）由90BAPCDP==，得ABAP⊥，CDPD⊥．从而得ABPD⊥，进而而AB⊥平面PAD，由面面垂直的判定定

理可得平面PAB⊥平面PAD；（2）设PAPDABDCa====，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且22,2ADaPOa==，由四棱锥PABCD−的体积为83，求出2a=，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知90BAPCDP==，得ABAP⊥，CDPD⊥．由于

ABCD∥，故ABPD⊥，从而AB⊥平面PAD．又ABÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面PAD内作PEAD⊥，垂足为E．由（1）知，AB⊥面PAD，故ABPE⊥，可得PE⊥平面ABCD．设ABx=，

则由已知可得2ADx=，22PEx=．故四棱锥PABCD−的体积31133PABCDVABADPEx−==．由题设得31833x=，故2x=．从而2PAPD==，22ADBC==，22PBPC==．可得四棱锥PABCD−的侧面积为111222PAPDPAABPDDC++2

1sin606232BC+=+．20.已知直线2:220(1)lxayaa−−=，椭圆22122:1,,xCyFFa+=分别为椭圆的左、右焦点.(1)当直线l过右焦点2F时，求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C交于,AB两点，O为

坐标原点，且2,2.AGGOBHHO==，若点O在以线段GH为直径的圆内，求实数a的取值范围.【答案】(1)2212xy+=；(2)12a．【解析】【分析】(1)求出直线l与x轴的交点坐标2(,0)2a，可得22ac=，再由

椭圆的方程可得221ac−=，联立方程可求出2a，从而可得椭圆C的标准方程；(2)设()11,Axy，()22,Bxy，联立直线l的方程与椭圆的方程消去x，由判别式求出a的范围，再利用根与系数关

系求出12yy+和12yy，根据2,2.AGGOBHHO==，可得11,33xyG，22,33xyH，其中点坐标1212,66xxyyM++，由两点间距离公式可得()()2212122||99

xxyyGH−−=+，又点O在以线段GH为直径的圆内，故1||||2OMGH，即12120xxyy+，把12yy+和12yy结果代入，即可求出实数a的取值范围.【详解】解：(1)由已知可得直线l与x轴的交点坐标2(,0)2a，所以22ac=①，又221ac−=②，由①②

解得22a=，21c=，所以椭圆C的方程为2212xy+=．(2)设()11,Axy，()22,Bxy，由2222220,1,xayaxya−−=+=得223428440ayayaa++−=，由()()2324264448416+1280aaaaaa

=−−=，又1a，解得122a①，由根与系数关系，得3122482aayya+=−=−，4221224488aaayya−−==由2AGGO=，2BHHO=可得11,33xyG，22,33xyH，()()2212122||9

9xxyyGH−−=+，设M是GH的中点，则1212,66xxyyM++，由已知可得12MOGH，即()()222212121212166499xxyyxxyy++++++，整理得12120xxyy+，又()23422

121212124222224ayyayyaayaayaxx+++++==，所以()2341212124204ayyayyayy++++，所以()()23412124420ayyayya++++，即()22344442082aaaaa−++−+，即240a−，所

以22a−②，综上所述，由①②得a的取值范围为12a．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系及点和圆的位置关系，属于中档题．21.已知函数()ln1()fxaxxa=−+R（1）求函数()fx的单调区间；（2）当0a时，对任

意的()1212,(0,1],xxxx，都有()()1212114fxfxxx−−，求实数a的取值范围.【答案】（1）当0a„时，()fx的单调减区间为(0,)+，无增区间；当0a时，()fx的单调增区间为(0,)a，减区间为(,

)a+（2）[3,0)−【解析】【分析】（1）求出导函数，对a进行分类讨论即可得函数的单调区间；（2）将问题转化为()()121244fxfxxx−−，令4()()gxfxx=−，函数()gx在(0,1]上单调递增，求参

数的取值范围.【详解】（1）定义域为(0,)+，()1aaxfxxx−=−=，当0a„时，()0fx，所以()fx在(0,)+上单调递减；当0a时，由()0fx解得xa，由()0fx解得0xa，即()fx在(0,)a上单调递增，在(,)a+上

单调递减.综上所述，当0a„时，()fx的单调减区间为(0,)+，无增区间；当0a时，()fx的单调增区间为(0,)a，减区间为(,)a+（2）()()1212114fxfxxx−−，即()()121244fxfxxx−−，令4()()

gxfxx=−，则可知函数()gx在(0,1]上单调递增，所以2244()()10agxfxxxx=+=−+…在(0,1]上恒成立，即4axx−…在(0,1]上恒成立，只需max4axx−…，而函数4yxx=−在(0,1]单调递增，所以max4143axx−=−=−

…，综上所述，实数a的取值范围为[3,0)−.【点睛】此题考查导数的应用，利用导函数讨论函数的单调性，根据函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论以及转化与化归思想.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参

数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为11xmmymm=+=−（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3sincos30.−−=（1）求曲线C和直线l的直角坐标系方程；（2）已知()0,1P直线l与曲线C相交于A，

B两点，求11PAPB+的值.【答案】（1）曲线22144xyC−=，直线3:30yxl−−=；（2）115.【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程，消去参数即可求出曲线方程，根据直线的极坐标方程，根据极坐标与直角坐标转换的公式即可求出直线的直角坐标方程；（2）由于点P，A，

B均在直线上，所以利用直线参数方程的几何意义，与曲线联立，求出根，即可求出11PAPB+的值.【详解】（1）由题知2xym+=，2xym−=，消去m有22224144xyxy−=−=，即曲线22144xyC−=，因为3sincos30cos330sinxyxy

−−==−−==，即直线3:30yxl−−=；（2）易知点()0,1P在直线l上，且直线l的倾斜角为6，则直线l的参数方程为32112xtyt==+（t为参数），因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以

有2223111450222tttt−+=−−=，解得1111t=−，21+11t=，根据参数的几何意义有1=111PAt=−，2111PBt==+,有12211tt+=，1210tt=，121212111121111105PAPBtttttt+=+

=+==.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，直角坐标与极坐标的转化，直线参数方程的几何意义，属于一般题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|2||1|fxxx=++−．（1）求证：()3fx；（2）求不等式2()fxx的解集．【答案】(1)证

明见解析；(2)|312xx−+.【解析】【试题分析】（1）利用绝对值不等式可证明不等式成立.(2)利用零点分段法去绝对值,将原函数变为分段函数,然后逐一求解不等式后取并集.【试题解析】（1）证明：()

()()21213fxxxxx=++−+−−=．（2）()21,2,3,21,21,1,xxfxxxx−−−=−+所以22,21,xxx−−−或221,3,xx−或21,21,xxx+解得312x−+，故解集为|312xx−

+．