【文档说明】【精准解析】江苏省苏州市2020届高三上学期期末考试数学试题.doc，共(22)页，2.355 MB，由小赞的店铺上传

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苏州市2019-2020学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.已知集合1Axx=，1,0,1,4B=−，则AB=________.【答案】

1,4【解析】【分析】进行交集的运算即可．【详解】{|1}Axx=…，{1B=−，0，1，4}，{1AB=，4}．故答案为：{1，4}．【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义、交集的运算，考查了计算能力，

属于基础题．2.已知i是虚数单位，复数()()12zbii=++的虚部为3，则实数b的值为________.【答案】1【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部为3求解b．【详解】(1)(2)(2)(21)zbi

ibbi=++=−++的虚部为3，213b+=，即1b=．故答案为：1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.从2名男生和l名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为________.【答案】23【解析】【

分析】基本事件总数233nC==，选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数11212mCC==，由此能求出选中的恰好是一男一女的概率．【详解】从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，基本事件总数233nC==，选中的恰好是一男一女包含的基本

事件个数11212mCC==，则选中的恰好是一男一女的概率为23mpn==．故答案为：23．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.为了了解苏州市某条道路

晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在)5,7之间通过的车辆数是440辆，则在[8,9)之间通过的车辆数是________.【答案】100【解析】【分析】由频率分布直方图得在[5，7)之间通过的车辆的频率为0

.44，在[8，9)之间通过的车辆的频率为0.10，由此利用在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，能求出在[8，9)之间通过的车辆数．【详解】由频率分布直方图得：在[5，7)之间通过的车辆的频率为0.240.200.44+=，在[8，9)之间通过的车辆的频率为0.10，设在[8，9)之间

通过的车辆数为n．在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，4400.440.1n=，解得100n=．则在[8，9)之间通过的车辆数为100．故答案为：100．【点睛】本题考查在[8，9)之间通过的车辆数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题

．5.如图是一个算法流程图，若输入的x值为5，则输出的y值为________.【答案】2【解析】【分析】根据算法流程图，一步一步进行运算，直到跳出循环.【详解】输入5x=，不满足0x，所以运行2log(51)2y=−=，故答案为：2【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运

行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.已知等比数列na中，10a，则“12aa”是“35aa”的________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）【答

案】充分不必要【解析】【分析】由等比数列的性质结合充分必要条件的判定方法得答案．【详解】在等比数列{}na中，10a，则由12aa，得11aaq，即1q，243115aaqaqa==；反之

，由243115aaqaqa==，得21q，即1q或1q−，当1q−时，112aaqa=．等比数列{}na中，10a，则“12aa”是“35aa”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点睛】本题主要考查等比数列的

性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．7.在平面直角坐标系xOy中，已知点1F，2F是双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点，点P的坐标为()0,b，若12120FPF=，则该双曲线的离心率为________.【答案】62【解析】【分析】利用已知条件列出b、c关

系式，然后转化求解双曲线的离心率即可．【详解】在平面直角坐标系xOy中，己知点1F，2F是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点，点P的坐标为(0,)b，由12120FPF=，可得：3cb=，即222233()cbca==−，即2223ca=，所以双曲线的离心率为：6

2cea==．故答案为：62．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．8.若x，y满足约束条件0010xxyxy−+−，则3zxy=+的最大值为________.【答案

】3【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【详解】作出不等式组0010xxyxy−+−…„„对应的平面区域如图：设3zxy=+得1133yxz=−+，平移直线1133yxz=−+，由图象可知当直线1133yxz=−+经过点(0

,1)A时，直线1133yxz=−+的纵截距最大，此时z最大，此时3z=，故答案为：3．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.9.如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同.已知圆锥形

蛋筒的侧面展开图是圆心角为25，弧长为4cm的扇形，则该冰淇淋的体积是________3cm.【答案】()16613+【解析】【分析】求出圆锥底面半径为422r==，圆锥母线长41025l==，圆锥的高为2210246h=−=，半个冰淇淋小球的半径2R=，由此

能求出该冰淇淋的体积．【详解】圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25，弧长为4cm的扇形，圆锥底面半径为422r==，圆锥母线长41025l==，圆锥的高为2210246h=−=，半个冰淇淋小球的半径2R=，该冰淇淋的体积是：231141616624623233V

+=+=．故答案为：161663+．【点睛】本题考查冰淇淋的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．10.在平面直角坐标系xOy中，若直线()20xmymmR+++=上存在点P，使得过点P向圆22:2O

xy+=作切线PA（切点为A），满足2POPA=，则实数m的取值范围为________.【答案】0m或43m【解析】【分析】根据题意，由切线的性质分析可得2PO=，进而结合点到直线的距离公式可得2|2|21mm++„，解可得m的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，圆22:

2Oxy+=，其圆心为O，半径2r=，若点P向圆22:2Oxy+=作切线PA，满足2POPA=，又由2OAr==，则有222||||||2POPAOA−==，变形可得2PO=，若直线20()xmymmR+++=上存在点P，满足题意，必有2|2|21mm++

„，变形可得：2340mm−…，解可得：0m„或43m…，即m的取值范围为{|0mm„或4}3m…；故答案为：{|0mm„或4}3m…．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．11.在平面直角坐标系xOy中，己知直线1:2ly=与函数()(

)sin06fxx=+的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为1A，2A，…，若点1A的横坐标为1，则点2A的横坐标为________.【答案】3【解析】【分析】当1x=时，1()sin()62fx=+=得266k+=+，或52()66kkZ

+=+，依题意可得566+=，可求得，继而可得答案．【详解】因为点1A的横坐标为1，即当1x=时，1()sin()62fx=+=，所以266k+=+或52()66kkZ+=+，又直线1:2ly

=与函数()sin()(0)6fxx=+的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为1A，2A，所以566+=，故23=，所以函数的关系式为2()sin()36fxx=+．当23x=时，f（3）21sin(3)362=+=，即点2A的横坐标为3，(13,2)

为二函数的图象的第二个公共点．故答案为：3．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题．12.如图，在平面四边形ABCD中，己知AD=3，4BC

=，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则PQEF的值为________.【答案】74−【解析】【分析】可连接FP，FQ，EP，EQ，根据题意即可得出四边形EPFQ为平行四边形，从而可得出11

(),()22PQADBCEFADBC=−=+，然后进行数量积的运算即可．【详解】如图，连接FP，FQ，EP，EQ，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，四边形EPFQ为平行四边形，1()2PQEQEPADBC=−=−，1()2

EFEPEQADBC=+=+，且3AD=，4BC=，2217()44PQEFADBC=−=−．故答案为：74−．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、向量加法的平行四边形法则、向量减法和数乘的几何意义，考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能

力，属于基础题．13.已知实数x，y满足()212xxyy+=+，则2254xy−的最小值为________.【答案】4【解析】【分析】实数x，y满足2()12xxyy+=+，化为：(2)()1xyxy+−=，令2xym

+=，xyn−=，则1mn=．解得x，y．代入2254xy−，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．【详解】实数x，y满足2()12xxyy+=+，化为：(2)()1xyxy+−=，令2xym+=，xyn−=，则1mn=．解得23mnx+=，3mny−=．则22222222222

1116116545()4()(2816)(28)(228)433999mnmnxymmnnmmmm+−−=−=++=+++=…，当且仅当212mn==，212mn=−=−时，即112xy=

=，112xy=−=−时取等号．2254xy−的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了基本不等式的性质、换元法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知函数(),248,25xexxefxxxx=−，（其中e为自然对数

的底数），若关于x的方程()()22320fxafxa−+=恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.【答案】241,52e【解析】【分析】作出()fx图象，求出方程的根，分类讨

论()fx的正负，数形结合即可.【详解】当2x„时，令()10xefxe=−=，解得1x=，所以当1x„时，()0fx，则()fx单调递增，当12x剟时，()0fx，则()fx单调递减，当2x时，4848()555x

fxxx−==−单调递减，且()[0fx，4)5作出函数()fx的图象如图：（1）当0a=时，方程整理得2()0fx=，只有2个根，不满足条件；（2）若0a，则当()0fx时，方程整理得22()3()2[()2][()]0fxafxaf

xafxa++=++=，则()20fxa=−，()0fxa=−，此时各有1解，故当()0fx时，方程整理得22()3()2[()2][()]0fxafxafxafxa−+=−−=，()2fxa=有1解同

时()fxa=有2解，即需21a=，12a=，因为f（2）22212eee==，故此时满足题意；或()2fxa=有2解同时()fxa=有1解，则需0a=，由（1）可知不成立；或()2fxa=有3解同时()fxa=有0解，根据图象不存在此种情况，或

()2fxa=有0解同时()fxa=有3解，则21245aae„，解得245ae„，故2[ae，4)5（3）若0a，显然当()0fx时，()2fxa=和()fxa=均无解，当()0fx时，()2fxa=

−和()fxa=−无解，不符合题意．综上：a的范围是2[e，4)51{}2故答案为：2[e，4)51{}2【点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.己知向量3sin,4ax=r，()cos,1bx=−.（1）当//ab时，求tan2x的值；（2）设函数()()2fxabb=+rrr，且0,2x，求()

fx的最大值以及对应的x的值.【答案】（1）24tan27x=−；（2）8x=时，函数()fx的最大值为322+.【解析】【分析】（1）根据//ab即可求出3tan4x=−，然后根据二倍角的正切公式即可求出tan2x的值；（2）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式和两角和

的正弦公式得出3()2sin(2)42fxx=++，从而可求出()fx的最大值，以及对应的x的值．【详解】（1）因为//ab，所以3sincos04xx−−=，因为cos0x（否则与3sincos04xx−−=矛盾），所以3ta

n4x=−，所以22tan24tan21tan7xxx==−−.（2）()()21322sincos2cossin2cos222fxabbxxxxx=+=++=++32sin242x=++，因为02x，所以5244

4x+，所以当242x+=，即8x=时，函数()fx的最大值为322+.【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系、二倍角的正弦、余弦和正切公式、两角和的正弦公式和数量积的坐标运算，考查了计算能力

，属于基础题．16.如图，在斜三棱柱111ABCABC−中，CACB=，D，E分别是AB，1BC的中点.（1）求证：//DE平面11ACCA；（2）若DEAB⊥，求证：1ABBC⊥.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）连结1BC，1AC，由三角形中位线定理

可得1//DEAC，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得CDAB⊥，结合DEAB⊥由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面CDE，再由线面垂直的性质可得结论.【详解】（1）连结1BC，1AC，因为斜三棱柱11ABCABC−，所以四边形11BCCB为平行四边形，由平行四边形性质得点

E也是1BC中点，因为点D是AB的中点，所以1//DEAC，又DE平面11ACCA，1AC平面11ACCA，所以//DE平面11ACCA.（2）连结CD，因为CACB=，点D是AB的中点，所以CDAB⊥，又DEAB⊥，DECDD=，DE

平面CDE，CD平面CDE，所以AB⊥平面CDE，因为1BC平面CDE，所以1ABBC⊥.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质，属于中档题.证明线面平行的常见方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已

知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.17.为响应“生产发展、生活富

裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜.已知扇形AOB中，23AOB=，23OB=（百米），荒地内规划修建两条直路AB，OC，其中点C在AB上（C与A，B不重合），在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中

阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区.设BDC=，蜂巢区的面积为S（平方百米）.（1）求S关于的函数关系式；（2）当为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值.【答案】（1）3cos6sinS=+−，5,66；（2）当等于4时，S取到最

小值32+平方百米【解析】【分析】（1）由余弦定理得6AB=，由正弦定理得23sin()6sinBD−=，23sin()623sinAD−=−，蜂巢区的面积AODCDBAODBDOCOBSSSSSS=+=+−扇形，由此能求出S关于的函数关系式．（2）对36tanS

=+−求导得，当(,)64时，0S，S递减，当3(,)44时，0S，S递增，当3(4，5)6时，0S，S递减，由此能求出当为4时，蜂巢区的面积S最小，S的最小值为32+．【详解】（1）23AOOB==，23AOB=，由余弦

定理得6AB=，在BDO中，由正弦定理得sinsinBDBOBODBDO=，23sinsin()6BD=−，23sin()6sinBD−=，23sin()623sinAD−=−，蜂巢区的面积：AODCDBAODBDOCOBSSSSSS

=+=+−扇形2116sinsin26226AOADAOBOBD−=+−，整理，得S关于的函数关系式为：36tanS=+−，5(,)66．（2）对36tanS=+−求导，得236Ssin=−，令

0S=，解得4=或34=，当(,)64时，0S，S递减，当3(,)44时，0S，S递增，当3(4，5)6时，0S，S递减，综上所述，S的最小值只可有在4=或趋近56时取得

，当4=时，32S=+，当56=时，43332S=−+，当为4时，蜂巢区的面积S最小，S的最小值为32+．【点睛】本题考查函数关系式、蜂巢区的面积最小值的求法，考查三角函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算

求解能力和应用意识，是中档题．18.如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的“上辅点”.已知椭圆()2222:10xyEabab+=上的点31,2

的上辅点为()1,3.（1）求椭圆E的方程；（2）若OPQ的面积等于12，求上辅点Q的坐标；（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）2214xy+=；（2）()2,2Q；（3）直线PT与

椭圆相切，证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）设点0(Qx，0)y，则点0(Px，1)y，则可得到012yy=，再根据OPQ的面积可得到011xy=，进一步与椭圆方程联立即得解；（3）表示出直线PT的

方程，与椭圆方程联立，再判断△即可得出结论．【详解】（1）椭圆2222:1(0)xyEabab+=上的点3(1,)2的上辅点为(1,3)，辅圆的半径为132R=+=，椭圆长半轴为2aR==，将点3(1,)2代入椭圆方程22214xyb+=中，解得

1b=，椭圆E的方程为2214xy+=；（2）设点0(Qx，0)y，则点0(Px，1)y，将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得，22004xy+=，220114xy+=，故22014yy=，即012yy=，又00111()22OPQSxyy=−=，则011xy=

，将011xy=与220114xy+=联立可解得02x=，则02y=，点Q的坐标为(2,2)；（3）直线PT与椭圆E相切，证明如下：设点0(Qx，0)y，由（2）可知，001(,)2Pxy，与辅圆相切于点Q的直线方程为0000()xyyxxy−=−−，则点04(,0)Tx，直线PT的

方程为：00001420()4yyxxxx−=−−，整理得00022xyyy=−+，将00022xyyy=−+与椭圆2214xy+=联立并整理可得，2200222000210xxxxyyy−+=，由一元二次方程的判别式

22004400440xxyy=−=，可知，上述方程只有一个解，故直线PT与椭圆E相切．【点睛】本题以新概念为载体，旨在考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系，考查通性通法的运用，计算量较大，对计算能力的要求较高，属于较难题目．19.已知数列na满足

12nnSnaa=+，34a=，其中nS是数列na的前n项和.（1）求1a和2a的值及数列na的通项公式；（2）设()*12311112462nnTnNSSSSn=++++++++.①若23k

TTT=，求k的值；②求证：数列（nT中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.【答案】（1）10a=，22a=，22nan=−；（2）①1，②见解析【解析】【分析】（1）利用递推关系式求出数列的前几项，同时求出数列na的通项公式；（2）结合第一问的结论求出1nnTn=+

，①直接代入1nnTn=+即可求解；②对于给定的*nN，若存在k，tn，k，*tN，使得nktTTT=，只要找到相应的整数，即可证明．【详解】（1）2n=时，()22112222Saaaa=+=+，所以10a=，3n=时，33123

12Saa=+=，所以1236aaa++=，所以22a=.由12nnnSnaana=+=，①所以()1121nnSna++=+，②由②−①得()1121nnnanana++=+−，即()11nnnana+

=−，③当2n时，()()112nnnana−−=−，④由③−④得()()()111121nnnanana+−−+−=−，即112nnnaaa+−+=，所以数列na是首项为0，公差为2的等差数列，故数列na的通项公式是22nan=−.（

2）11112(1)1nSnnnnn==−+++；1231111111111112462223111nnnTSSSSnnnnn=++++=−+−++−=−=+++++++；①23kTTT=；2311

1342kkk===+．②对于给定的*nN，若存在k，tn，k，*tN，使得nktTTT=；1nnTn=+，只需111nktnkt=+++，两边取倒数，即111(1(1)(1)nkt+=++，即1111nktkt=+

+；即ktntnkn=++，(1)nktkn+=−；取1kn=+，则(2)tnn=+；1(2)nnnnTTT++=；对数列{}nT中的任意一项，总可以表示成该数列其他两项之积．【点睛】本题考查了递推

关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知函数()()lnaxfxaRx+=.（1）求函数()fx的单调区间；（2）当函数()fx与函数()lngxx=图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；（3）证明：当10,2a

时，函数()()hxfxax=−有两个零点1x，2x，且满足12111xxa+.【答案】（1）单调增区间为()10,ae−，单调减区间为()1,ae−+；（2）1ln22；（3）见

解析【解析】【分析】（1）利用导数求解单调性；（2）先求出公切线l的方程，再探讨a的取值范围；（3）先利用导数研究函数()hx的单调性，证明零点个数．再使用函数思想，构造函数，利用导数研究函数单调性解决不等式问

题．【详解】（1）对()alnxfxx+=求导，得21()alnxfxx−−=，令()0fx=，解得1axe−=，当1(0,)axe−时，()0fx，()fx单调递增．当1(axe−，)+时，()0fx，()fx单调递减．（2）设公切线l与函数()gxlnx=

的切点为0(x，0)y，则公切线l的斜率001()kgxx==，公切线l的方程为：0001()yyxxx−=−，将原点坐标(0,0)代入，得01y=，解得0xe=．公切线l的方程为：1yxe=，将它与()alnxfxx+=联立，整理

得21axlnxe=−．令21()mxxlnxe=−，对之求导得：22()xemxex−=，令()0mx=，解得2e．当(0,)2ex时，()0mx，()mx单调递减，值域为2(,)2ln+，当(,

)2ex+时，()0mx，()mx单调递增，值域为2(,)2ln+，由于直线l与函数()fx相切，即只有一个公共点，因此．故实数a的取值集合为1{ln2}2．（3）证明：2()alnxaxhxx+−=，要证()hx有两个零点，只要证2()kxaxlnxa

=−−有两个零点即可．k（1）0=，即1x=时函数()kx的一个零点．对()kx求导得：1()2kxaxx=−，令()0kx=，解得12xa=．当12xa时，()0kx，()kx单调递增；当102xa时，()0kx，()kx单调递减．当12xa=时，()kx取最小值，1()(1

)02kka=，22221()(1)12kxaxlnxaaxxaaxxaaxx=−−−−−=−+−−+，必定存012xa在使得二次函数2001()02uxaxx=−+，即00()()0kxux．因此在区间上

01(,)2xa必定存在()kx的一个零点．综上所述，()hx有两个零点，一个是1x=，另一个在区间1(,)2a+上．下面证明12111xxa+．由上面步骤知()hx有两个零点，一个是1x=，另一个在区间1(,)2a+上．不妨设11x=，212xa则122111112axxx+

=++，下面证明112aa+即可．令1()21vaaa=−−，对之求导得211()02vaaa=−−，故v（a）在定义域内单调递减，11()21()02vaava=−−=，即112aa+．证明完毕．【点睛】本题考察知识点众多，利

用导数研究函数单调性，切线与导数的关系，利用导数研究函数的零点个数，利用导数构造函数来证明不等式，对学生的思维能力和思维品质要求极高，属于难题．