【文档说明】《九年级数学上册二次函数高分突破（人教版）》专题09 二次函数多边形存在性问题（解析版）.doc，共(56)页，1.242 MB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1二次函数多边形存在性问题1．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的

坐标，若不在，请说明理由；【分析】（1）由抛物线的顶点的横坐标是2得x＝﹣＝2，再将点A、B的坐标代入y＝ax2+bx+c，联立两式可求出抛物线的解析式，可进一步求出顶点坐标；（2）先判断存在点C，设点C坐标（m，0），分情况讨论：①当AB＝AC时，②当A

B＝BC时，③当AC＝BC时，分别由勾股定理可求出m的值，即写出点C的坐标．【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2①，抛物线过是A（0，﹣3），则函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，把B（5，9）代入上式得：9＝25a+5b﹣3②，联立①、

②，解得：a＝，b＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；（2）存在，理由如下：2A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝＝13，设点C坐标（m，0），①当A

B＝AC时，m2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，∴点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；②当AB＝BC时，（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝±，∴点C坐标为（5+，0）或（5﹣2，0），③当AC＝BC时，（5﹣m）2+92＝m2+32，解得：m＝，

∴点C坐标为（，0），∴存在点C，其坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5+，0）或（5﹣2，0）或（，0）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，会结合点的坐标求两点间的距离等．2．如图

，抛物线y1＝ax2﹣x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，并经过点（2，﹣），抛物线y1的顶点为C．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的表达式；（2）在直线l上是否存在点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若

不存在，请说明理由．3【分析】（1）根据待定系数法求得抛物线y1＝﹣x2﹣x+，然后求得点B的坐标，根据题意即可求得抛物线y2的表达式；（2）由y1＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2可知C点的坐标为（﹣1，2），根据勾

股定理BC＝＝2，设P点的坐标为（1，m），然后分三种情况列出关于m的方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）由于抛物线y1＝ax2﹣x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，并经过点（2，﹣），∴，解得，∴抛物线y1＝﹣x2﹣x+，当y1＝0时，x2﹣x+＝0，解得x1＝﹣3，x2

＝1，∴B点的坐标为（1，0），∵将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．∴抛物线y2的表达式为：y2＝﹣（x﹣1）2；（2）在直线l上存在点P，使△PBC是等腰三角形，由y1＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2可知C点的坐标为（﹣1，2），根据勾股定理B

C＝＝2，设P点的坐标为（1，m），分三种情况：4①当PB＝PC时，m2＝22+（m﹣2）2，解得m＝2，此时点P坐标为（1，2）；②当PB＝BC时，m2＝（2）2，解得m＝±2，此时点P坐标为（1，2）或（1，﹣2）；③当

PC＝BC时，22+（m﹣2）2＝（2）2，解得m＝4或m＝0（舍去），此时点P坐标为（1，4）；综上，△PBC是等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（1，2）或（1，﹣2）或（1，4）．【点评】本题是二次函数

的综合题，考查了二次函数性质、等腰三角形判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．3．如图，已知直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，m）两点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是位于直线AB上方

抛物线上的一动点，当△PAB的面积S最大时，求此时△PAB的面积S及点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据点B在直线y＝x+1求出其坐标

，再将A，B坐标代入抛物线解析式求解可得；（2）作PM⊥x轴于点M，交AB于点N，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点N的坐标为（m，m+1），依据S△PAB＝S△PAN+S△PBN列出函数解析式，利用二次函数的性质求解可得；（3）设点

Q坐标为（n，0），结合各点坐标得出QA2＝（﹣1﹣n）2，QB2＝（2﹣n）2+9，AB2＝18，再根据等腰三角形的定义分三种情况分别求解可得．【解答】解：（1）∵点B（2，m）在直线y＝x+1上，∴m＝2+1＝3，5∴点B坐标为（2，3）

，∵点A（﹣1，0）和点B（2，3）在抛物线y＝ax2+2x+c上，∴，解得，∴所求抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，交AB于点N，设点P的横坐标为m，则点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点N的坐标为（m，m+1），∵点P是位于直线AB上方，∴PN

＝PM﹣MN＝﹣m2+2m+3﹣（m+1）＝﹣m2+m+2，∴S△PAB＝S△PAN+S△PBN＝×（﹣m2+m+2）（m+1）+×（﹣m2+m+2）（2﹣m）＝（﹣m2+m+2）＝﹣（m﹣）2+，∵

﹣＜0，∴抛物线开口向下，又﹣1＜m＜2，∴当m＝时，△PAB的面积的最大值是，此时点P的坐标为（，）．（3）设点Q坐标为（n，0），∵A（﹣1，0），B（2，3），∴QA2＝（﹣1﹣n）2，QB2＝（2﹣n）2+9，

AB2＝18，6①当QA2＝QB2时，（﹣1﹣n）2＝（2﹣n）2+9，解得n＝2，即Q（2，0）；②当QA2＝AB2时，（﹣1﹣n）2＝18，解得：n＝﹣1±3，即Q（﹣1+3，0）或（﹣1﹣3，0）；③当QB2＝AB2时，（2﹣n）2+9＝18，解得：n＝﹣1（

舍）或n＝5，即Q（5，0）；综上，Q的坐标为（2，0）或（﹣1+3，0）或（﹣1﹣3，0）或（5，0）．【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，割补法求三角形的面积、二次函数的性质、等腰

三角形的定义等知识点．4．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点．（1）分别求该抛物线和直线AC的解析式；（2）横坐标为m的点P是直线AC上方的抛物线上一动点，△APC的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否有最大值？若存在

，求出最大值，若不存在，请说明理由．（3）点M是直线AC上一动点，ME垂直x轴于E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，直接写出对应的点F，M的坐标；若不存在，说明理

由．【分析】（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和二次函数的解析式；（2）①表示P的坐标为（m，﹣2m2+2m+4），过点P作PH∥y轴交AC于点H，则H（m，﹣2m+4），求出PH的长，由S△APC＝S△PHC

+S△PHA，可求出，则函数关系式可求出；②利用二次函数求最值的方法，求出△ACP面积的最大值即可；（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y＝﹣2x+4上，设点M的坐标为（a，﹣2a+4），然后分①∠EMF＝90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE＝

790°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（2，0）、C（0，4），∴，解得：，∴直线AC

的解析式为y＝﹣2x+4；又∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4；（2）①设P的坐标为（m，﹣2m2+2m+4），如图1，过点P作PH∥y轴交AC于点H，则H（

m，﹣2m+4），∴PH＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，∵S△APC＝S△PHC+S△PHA，∴＝＝﹣2m2+4m．②∵0＜m＜2，S＝﹣2m2+4m＝﹣2（m﹣1）2+2，∴m＝1时，△APC的面积为

S有最大值，最大值为2．（3）存在．理由如下：如图2，∵点M在直线y＝﹣2x+4上，∴设点M的坐标为（a，﹣2a+4），8①∠EMF＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|＝|﹣2a+4|，即a＝﹣2a+

4或a＝﹣（﹣2a+4），解得a＝或a＝4，∴点F坐标为（0，）时，点M的坐坐标为（），点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；②∠MFE＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|＝|﹣2a+4|，即a＝﹣（﹣2a

+4），解得a＝1，﹣2a+4＝2×1＝2，此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），或a＝﹣此时无解，综上所述，点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（），点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．【点评】本题是二次函数综合

题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数9解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，注意方程思想和分类讨论思想的运用是解题的关键．5．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐

标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再

过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y＝﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+

6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB＝S△PAN+S△PBN＝PN•AG+PN•BM＝PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）若△PDE为等腰直角三角形，则PD＝PE，设点P的横坐标为a，表示出PD、PE的长，列出关于

a的方程，解之可得答案．【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a＝6，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交

AB于点N，作AG⊥PM于点G，10设直线AB解析式为y＝kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y＝﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN

＝PM﹣MN＝﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+2t+6+t﹣6＝﹣t2+3t，∴S△PAB＝S△PAN+S△PBN＝PN•AG+PN•BM＝PN•（AG+BM）＝PN•OB＝×（﹣t2+3t）×6＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，P位于（3，）时，△PAB的

面积有最大值；方法二：如图2，连接OP，作PH⊥x轴于点H，作PG⊥y轴于点G，11设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，则PH＝﹣t2+2t+6，PG＝t，S△PAB＝S△PAO+S△PBO﹣S△ABO＝×6

×t+×6×（﹣t2+2t+6）﹣×6×6＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，即P位于（3，）时，△PAB的面积有最大值（3）如图3，若△PDE为等腰直角三角形，则PD＝PE，设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，∴PD＝

﹣a2+2a+6﹣（﹣a+6）＝﹣a2+3a，＝﹣，则b＝4﹣a，∴PE＝|a﹣（4﹣a）|＝|2a﹣4|＝2|2﹣a|，∴﹣a2+3a＝2|2﹣a|，解得：a＝4或a＝5﹣，所以P（4，6）或P（5﹣，3﹣5）．【点评】本

题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．6．如图1，抛物线y＝x2+（m+2）x+4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x+2与抛物线交于A

，B两点（点A在点B的左侧）．12（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是抛物线上一点，若S△PAB＝2S△ABC，求点P的坐标；（3）如图2，若点M是位于直线AB下方抛物线上一动点，以MA、MB为邻边作平行四

边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，请直接写出平行四边形MANB的面积S及点M的坐标．【分析】（1）根据题意知，抛物线与x轴只有一个交点，且对称轴在y轴的右侧，由此求得m的值即可；（2）点P在与直线AB平行的直线l上，且直线AB与直线l间的距离是2倍的点C到直线AB的

距离，据此解答；（3）过点M在作ME⊥x轴，交AB于点E，先求出S△MAB的值，由平行四边形MANB＝4×S△MAB，可得当S△MAB的值最大时，平行四边形MANB的面积最大，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y

＝x2+（m+2）x+4的顶点C在x轴正半轴上，∴△＝（m+2）2﹣16＝0，且﹣＞0解得m＝﹣6．∴抛物线的函数表达式是y＝x2﹣4x+4；（2）如图1，过点C作CE∥AB交y轴于点E，设直线AB交y轴于点H．1

3由直线AB：y＝x+2，得点H（0，2）．设直线CE：y＝x+b．∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴C（2，0）．∴2+b＝0，则b＝﹣2．∴HE＝4．由S△PAB＝2S△ABC，可在y轴上且点H上方取一点F，使FH＝2HE，则F（0，10）．过点F作FP∥AB交

抛物线于点P1P2．此时满足S△PAB＝2S△ABC，设直线P1P2的函数解析式为：y＝x+k．∵F（0，10）在直线P1P2上，∴k＝10．∴直线P1P2的函数解析式为：y＝x+10．联立．解得，，综上，满足条件的点P的坐标是P1（﹣1，9），P2（6，16）；（3）如图2，过点

M在作ME⊥x轴，交AB于点E，14∵直线y＝x+2与抛物线交于A，B两点，∴x+2＝x2﹣4x+4，∴x2﹣5x+2＝0，∴x＝，∴|xB﹣xA|＝设点M（n，n2﹣4n+4），则E（n，n+2）∴EM＝n+2﹣（n2﹣4n+4）＝﹣（n﹣）2+

，∴S△MAB＝××[﹣（n﹣）2+]∵平行四边形MANB＝2×S△MAB，∴当S△MAB的值最大时，平行四边形MANB的面积最大，∴当n＝时，平行四边形MANB的最大面积＝，此时，点M（，）．【点评】本题考查了二次函数综合题，需要熟练掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特

征，平行四边形的性质，三角形的面积公式，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．7．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．15（1

）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．求S关于t的函数表达式，并求出当t为何值时，△PBC的面积S有最大值；（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CD

PM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A、B点坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可；（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，求出直线BC的解析式为，则点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）

，点F的坐标为（t，﹣t+3），用含t的代数式表示出PF的长及S的值，由二次函数的图象及性质可求t为何值时S的最大值；（3）如图2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，因为抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，所以抛物线的对称轴为直线x＝1，由平行四

边形的性质及平移规律可求出点M的坐标；当xP≠2时，不存在．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，，解得，，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，设直线BC的解析

式为y＝mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，得，，16解得，，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴S＝PF•OB＝﹣t2+t＝

﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴当t＝时，S取最大值，最大值为；（3）如图2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵xD﹣xC＝1，∴xP﹣x

M＝1，∴xP＝2，∴P（2，3），在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴yC﹣yD＝3，∴yM﹣yP＝3，∴yM＝6，∴点M的坐标为（1，6）；当xP≠2时，不存在，理由如下，

若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，又∵xP≠2，∴不存在，17综上所述，点M的坐标为（1，6）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，平行四边形的存在性等，解题关键是能够灵活运用平行

四边形的性质及判定等．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线E

B上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．1

8【分析】（1）将A（0，﹣3）、B（3，0）两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；（2）先求出C点坐标和E点坐标，则CE＝2，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN

，②若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），可分别得到方程求出点M的坐标；（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），可由，得到m的表达式，利用二次函数求最值问

题配方即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴直

线AB的解析式为y＝x﹣3，（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图1，连接CN，若点M在x轴下方，四边形C

EMN为平行四边形，则CE＝MN，19设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图2，连接EN，CM，MN，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行

四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．（3）如图3，作PG∥y轴交直线AB于点G，20设P（

m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．【点评】本题是二

次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．9．已知如图，矩形OABC的长OA＝，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC．（1）求∠PCB的度数；（2）若P，A两点在抛物线y＝﹣x2+bx+

c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、

N的坐标．【分析】（1）根据OC、OA的长，可求得∠OCA＝∠ACP＝60°（折叠的性质），∠BCA＝∠OAC＝30°，由此可判断出∠PCB的度数．21（2）过P作PQ⊥OA于Q，在Rt△PAQ中，易知PA＝OA＝3，而∠PAO＝2∠PAC＝60°，即可求出AQ、

PQ的长，进而可得到点P的坐标，将P、A坐标代入抛物线的解析式中，即可得到b、c的值，从而确定抛物线的解析式，然后将C点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可．（3）根据抛物线的解析式易求得C、D、E点的坐标，然后分两种情况考虑：①DE是平行四边形的对角线，

由于CD∥x轴，且C在y轴上，若过D作直线CE的平行线，那么此直线与x轴的交点即为M点，而N点即为C点，D、E的坐标已经求得，结合平行四边形的性质即可得到点M的坐标，而C点坐标已知，即可得到N点的坐标；②D

E是平行四边形的边，由于A在x轴上，过A作DE的平行线，与y轴的交点即为N点，而M点即为A点；易求得∠DEA的度数，即可得到∠NAO的度数，已知OA的长，通过解直角三角形可求得ON的值，从而确定N点的坐标，而M点与A点重合，其坐标已知；同理，由于C在y轴上，且CD∥x轴，过C作DE的平行线，

也可找到符合条件的M、N点，解法同上．【解答】解：（1）在Rt△OAC中，OA＝，OC＝1，则∠OAC＝30°，∠OCA＝60°；根据折叠的性质知：OA＝AP＝，∠ACO＝∠ACP＝60°；∵∠BCA＝∠OAC＝30°，且∠ACP＝60°，∴∠PCB＝

30°．（2）过P作PQ⊥OA于Q；Rt△PAQ中，∠PAQ＝60°，AP＝；∴OQ＝AQ＝，PQ＝，所以P（，）；将P、A代入抛物线的解析式中，得：，解得；即y＝﹣x2+x+1；22当x＝0时，y＝1，

故C（0，1）在抛物线的图象上．（3）①若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴，∴过点D作DM∥CE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形，把y＝1代入抛物线解析式得点D的坐标为（，1）把y

＝0代入抛物线解析式得点E的坐标为（﹣，0）∴M（，0）；N点即为C点，坐标是（0，1）；②若DE是平行四边形的边，过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，∴DE＝AN＝＝＝2，∵tan∠EAN＝，∴∠EAN＝30°

，∵∠DEA＝∠EAN，∴∠DEA＝30°，∴M（，0），N（0，﹣1）；同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，∴M（﹣，0），N（0，1）．故M（，0），N（0，1）或M（，0），N（0，﹣1）或M（﹣，0），N（0，

1）．23【点评】此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换、二次函数解析式的确定、平行四边形的判定和性质等知识，同时考查了分类讨论的数学思想，难度较大．10．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2

）点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接AC，作B

F⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD＝|m|即可得到结论；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB＝MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，于是得到△A

BF≌△NME，证得NE＝AF＝3，ME＝BF＝3，得到M（4，5）或（﹣2，5）；②以AB为对角线，BN＝AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．【解答】解：（1）由y＝ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），∴OC＝3，24∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B（﹣1，

0），把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），∴AF∥x轴，∴F（﹣1，﹣3），∴BF＝3，AF＝3，∴

∠BAC＝45°，设D（0，m），则OD＝|m|，∵∠BDO＝∠BAC，∴∠BDO＝45°，∴OD＝OB＝1，∴|m|＝1，∴m＝±1，∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥

MN，AB＝MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3，∴|a﹣1|＝3，∴a＝4或a＝﹣2，∴M（4，5）或（﹣2，5）；②以AB为对

角线，BN＝AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，25∴M（0，﹣3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形

是解题的关键．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；26（2）求△PBC的面积的最大值以及此

时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC向右平移个单位得到直线l，直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，连接PQ，点R为直线BC上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T，使得四边形PQTR为菱形，

若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入抛物线公式即可求得a，b．（2）过P点做平行于直线BC的直线K，当K与抛物线恰有一个交点时，△PBC面积最大，求得此时的P点坐标．再过P做垂直于直线BC的

直线k，求得k与直线BC的交点，求得交点后发现，此时恰巧交点时C，|BC|即为△PBC的高，再利用三角形面积公式即可求解．（3）考查菱形的性质．菱形是一个极具对称性的图形，在进行求解时，对角线互相垂直平分．因此，两个相对点的坐标中点也是另外两个相对点

的坐标中点．同时，利用菱形的四条边长相等进行求解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入抛物线公式，如下：，求得．抛物线解析式为：y＝﹣x2+3x+4．（2）设P到直线BC的距离为d，P点坐标为（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），∵y＝﹣x2+3x+4交y轴于点C，令x＝0，

27∴y＝4，∴C（0，4），由B（4，0），C（0，4）两点求得直线BC的解析式为：y+x﹣4＝0．做直线BC的平行线K：y＝﹣x+m，因为K与BC平行，我们将K平移，根据题意，点P是直线BC上方抛物线上的一点，∴随着K平行移动，以BC为底的△PBC的高d在逐渐增

大，当K与抛物线y＝﹣x2+3x+4恰有一个交点时，此时以BC为底的△PBC的高d最大，即此时△PBC面积最大．∵此时K：y＝﹣x+m与抛物线y＝﹣x2+3x+4相交，且仅有一个交点，∴﹣x+m＝﹣x2+3x+4，m＝8．∴直线

K：y＝﹣x+8．此时求K和抛物线的交点为：﹣x+8＝﹣x2+3x+4，解得x＝2，将x＝2代入直线K：y＝﹣x+8，解得y＝6．因此P（2，6）．现在我们来求P到直线BC的距离，即△PBC的高d：过P作垂直于BC的直线k：y＝x+m．∵P在直线k上，∴6＝2

+m，∴m＝4，直线k＝x+4．直线K与直线k的交点为：，解得交点坐标（0，4），即交点为C点．因此的△PBC的高d即为B点和C点两点之间的距离，∴d＝|BC|＝＝．在△PBC中，∵|BC|＝4，△PBC的面积的最大值S

△PBC＝|BC|•d＝＝8．（3）存在．直线BC向右平移个单位得到直线l，∴l：y＝﹣（x﹣）+4＝﹣x+．28，解得．二次函数y＝﹣x2+3x+4对称轴为x＝，∵直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，∴x＝，代入y＝﹣x+＝．∴Q（）

．设T（a，b）．∵R为直线BC上的一动点，∴设R（x，﹣x+4）．（Ⅰ）假设T在Q点左侧：∴a＜．此时P（2，6），T（a，b）为菱形对称顶点，Q（），R（x，﹣x+4）为菱形对称定点．在菱形中PTQR中，|PR|＝|QT|，即①又∵对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等

，即：，②由①，②解得，，又∵a＜，∴此时T点坐标为：T（﹣0.5387，2.2887）．（Ⅱ）假设T在Q点右侧：∴a＞．29此时P（2，6），Q（）为菱形对称顶点，T（a，b），R（x，﹣x+4）为菱形对称定点．在菱形PTQR中，|PR|＝

|PT|，即，③又∵对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等，即：，④由③，④解得a＝＞，符号题意．此时b＝．此时T点坐标为：T（，）．综上所述：T存在两点，分别为：T（﹣0.5387，2.2887）和T（，）．【点评】此题主要考查二次函数性质，同时还考查了三角形的面积，要会利用数形结合

的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度．同时对于菱形的求解，注意利用对称性求解．12．在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2﹣4x﹣2的顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线C1绕着平面内的某一点旋转180°得到抛物线C2，

抛物线C2与y轴正半轴相交于点C．（1）求A、B两点的坐标；（2）若抛物线C2上存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形，请求出此时抛物线C2的表达式．【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x＝0，可得y＝﹣2，推出B（0，﹣2）．30（2）分两种情形：AB为菱形的边，AB为菱形的

对角线分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣（x+2）2+2，∴顶点A（﹣2，2），令x＝0，可得y＝﹣2，∴B（0，﹣2）．（2）如图1中，当AB为菱形的边时，四边形ABCD是菱形，由题意A（﹣2，2），B（0，﹣

2），C（0，4），D（2，2），此时抛物线C1与C2关于T（0，2）成中心对称，∴D（2，2）是抛物线C2的顶点，∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣2）2+2，即y＝x2﹣4x+6．如图2中，当AB是菱形的对角线时，四边形ADBC是菱形，此时CA＝BC，

∵直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，31∴AB的中垂线的解析式为y＝x+，∴C（0，），∵AD＝BC＝，∴D（﹣2，﹣），设抛物线C2的解析式为y＝x2+bx+，把D（﹣2，﹣）代入y＝x2+bx+，可得﹣＝4﹣2b+，解得b＝，∴抛物线C2的解析式为y＝x2+x+，如图3中，当AB是菱形的边时

，点C是抛物线的顶点（0，2﹣2），可得抛物线的解析式为y＝x2+2﹣2．综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+6或y＝x2+x+或y＝x2+2﹣2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的

性质，菱形的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，在直线BC上

方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；（3）点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32【分析】（1）

由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，证明△DEF∽△AEG，列比例式可得DF的长，设，，表示DF的长，并列方程可得结论；（3

）分三种情况：以AC为边和对角线进行讨论，正确画图，先确定点P的坐标，根据平移的原则可得点Q的坐标．【解答】解：将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴解析式为；（2）当x＝0时，，∴C（0

，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（4，0），C（0，3）分别代入得，解得：，∴直线BC的解析式为：，过点D作y轴的平行线，交直线BC与点F，交x轴于点H，过点A作y轴的平行线，交直线BC与点G，33∵A（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝﹣＝，∴，，∵AG∥y轴∥DF

，∴△DEF∽△AEG，∴，∴＝，∴DF＝3，设，，∴，解得：t1＝t2＝2，∴，∴，AH＝1+2＝3，在Rt△ADH中，；（3）存在，分三种情况：①如图2，四边形ACPQ是菱形，则PC＝AC，34设P（x，﹣x+3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴，解得：x＝，当x＝﹣时，P（﹣，），∴Q（

﹣﹣1，），当x＝时，P（，﹣），∴Q（﹣1，﹣）；②如图3，四边形APCQ是菱形，∵BC＝AB＝5，∴B在AC的垂直平分线上，∴P与B重合，∴Q（﹣5，3）；35③如图4，四边形ACQP是菱形，同理得P（，），∴Q（，）；综上，点Q的坐标为（﹣﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣5，3）或（

，）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质和平移的原则，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定

系数法求出二次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点D，G的坐标；（3）分AC为边和对角线进行讨论是关键．14．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点

M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，

请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可．36（2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．②分三种情形：如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形M

NQC是菱形时．如图2﹣2中，当NC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，分别求解即可．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2

+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m

﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．37∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝

﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．38如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，

MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查

了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的39性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中

，点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（2，0），点C在y轴上，其坐标为（0，﹣3），抛物线经过点A，B，C．P为第三象限内抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式．（2）连接AC，过点P作PD⊥AC，PE∥y轴交AC于点E，当△PDE的周长最大时，求P点的坐标和△PDE周长的

最大值．（3）若点M为x轴上一动点，点F为平面直角坐标系内一点．当点M，B，C，F构成菱形时，请直接写出点F的坐标．【分析】（1）由点A，B的坐标可设抛物线的交点式，再将点C代入即可；（2）先证△PDE∽△AOC，推出△PDE的周长＝，求出直线AC的解析式，设点，求出

PE的最大值，即可写出点P坐标及△PDE周长的最大值；（3）分情况讨论：①当BM为对角线时，②当BM为边时，根据菱形的性质及平移的规律可分别求出点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线经过点A，B，它们的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），∴设其解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），将

点C（0，﹣3）代入y＝a（x+4）（x﹣2），解得，，∴抛物线的解析式为；40（2）∵OA＝4，OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝5，∵PD⊥AC，∠PDE＝∠AOC＝90°，又∵PE∥y轴，∴∠PED＝

∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴PD：AO＝DE：OC＝PE：AC，即PD：4＝DE：3＝PE：5，∴，∴△PDE的周长＝，则要使△PDE周长最大，PE取最大值即可，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A（﹣4，0）代入y＝kx﹣3，得，k＝﹣，∴直线AC的解析式为，设点

，则，∴当a＝﹣2时，取得最PE大值，最大值为，则，∴P（﹣2，﹣3），△PDE周长的最大值为；（3）如右图，①当BM为对角线时，显然，点F在y轴上，根据对称性得到点F的坐标为（0，3）；②当BM为边时，∵，则有以下几种情况：（I）BC为边时，BM＝BC＝，点M在x轴

负半轴上时，点M是点B向左平移个单位长度得到的，41∴M（2﹣，0），∴点C（0，﹣3）向左平移个单位长度得到点F；点M在x轴正半轴上时，点M是点B向平右移个单位长度得到的，∴M（2+，0），∴点C（0，﹣3）

向右平移个单位长度得到点F；（II）BC为对角线时，设OM＝x，在直角三角形OMC中，由勾股定理可得OM2+OC2＝MC2，即x2+32＝（x+2）2，解得，x＝，∴菱形的边长为2+＝，∴CF＝，∴F（，﹣3），综上所述，点F的坐标为（0，3）或或或．【点评】本题

考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值及菱形的性质等，解题关键是灵活运用菱形的性质及平移规律并且注意分类讨论思想在解题过程中的运用等．16．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+b

x﹣6经过点A（﹣3，0）和点（﹣1，0），顶点为D．（1）求抛物线C1的函数表达式及点D的坐标；42（2）将抛物线C1绕坐标轴上一点P旋转180°得到抛物线C2，点A、D的对应点分别为A'、D'，是否存在以AD为边，且以A、D、A'、D'为顶点的四边形是矩形？

若存在，请求出抛物线C2的函数表达式，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）分两种情形：如图1中，当点P在x轴上时，设P（m，0）．如图2中，当点P在y轴上时，设P（0，n）．分别构建方程求

出等P的坐标解决问题即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣6经过点A（﹣3，0）和点（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣6，顶点D（﹣2，2）．（2）如图1中，当点P在x轴上时，设P（m，0）

．当AP＝PB时，四边形AD′A′D是矩形，∵A（﹣3，0），D（﹣2，2），∴m+3＝，解得m＝﹣，43∴P（﹣，0），∵OD＝OD′，∴D′（1，﹣2），∴旋转后抛物线C2的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣2，即y＝2x2﹣4x．如图2中，当点P在y轴上时，设P（0，n）．当PA＝P

D时，四边形AD′A′D是矩形，则有＝，解得n＝﹣，∴P（0，﹣），∵PD＝PD′，∴D′（2，﹣），∴旋转的抛物线C2的解析式为y＝2（（x﹣2）2﹣，即y＝2x2﹣8x+，综上所述，满足条件的抛物线的解析式为：y＝2x2﹣4x或y＝2x2﹣8x+．【点评】本题属于二次函数综

合题，考查了待定系数法确定函数解析式，旋转变换，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b

与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上

，当以点A、D、P、Q为顶点44的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为两点式，可以直接得到点A的坐标；根据直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y＝kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k＝

a，得到直线l的函数表达式为y＝ax+a；（2）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF＝ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（3）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即

ax2﹣3ax﹣4a＝0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A

（﹣1，0），B（3，0），∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），∴0＝﹣k+b，即k＝b，∴直线l：y＝kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0

，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣＝﹣1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；45（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4

a，∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值═a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a＝，解得

a＝﹣；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m），①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，4

6则易得Q（﹣4，21a），∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，即a2＝，∵a＜

0，∴a＝﹣∴P（1，﹣）；②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，47则易得Q（2，﹣3a），∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD＝90°，∴AP2+PD2＝AD2，∴（﹣1﹣

1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，

平行四边形的性质，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）x轴上是否存在点P，使PC+PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+P

B的最小值；若不存在，请说明理由；（3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．【分析】（1）先按抛物线与x轴的交点坐标设出抛物线

的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），48展开，即可得出结论；（2）在x轴下方作∠ABD＝30°，交y轴负半轴于D，先求出OD＝，BD＝2，进而求出CD＝3+，再判断出当点C，P，B在同一条直线上时，PC+PB最小，最小值为CB'，即可得出结论；（3）先判断出点M在x轴上

方的抛物线，再构造出△BEM∽△CFM，得出即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+

3；（2）如图，在x轴下方作∠ABD＝30°，交y轴负半轴于D，则BD＝2OD，∵B（3，0），∴OB＝3，根据勾股定理得，BD2﹣OD2＝32，∴4OD2﹣OD2＝9，∴OD＝，BD＝2，∵抛物线的解

析式为y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），∴OC＝3，∴CD＝3+，过点P作PB'⊥BD于B'，在Rt△PB'B中，PB'＝PB，∴PC+PB＝PC+PB'，当点C，P，B在同一条直线上时，PC+PB最小，最小值为CB'，49∵S△

BCD＝CD•OB＝BD•CB'，∴CB'＝＝＝，即PC+PB的最小值，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DBC＝45°+30°＝75°，∴∠BCP＝90°﹣75°＝15°，∴∠OCP＝30°，∵OC

＝3，∴OP＝，∴P（，0）；（3）如备用图，设M（m，﹣m2+2m+3），以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，∴∠BMC＝90°，∵点A在x轴负半轴，且∠BOC＝90°，∴点M在x轴上方的抛物线，过点M作ME⊥x轴

于E，作MF⊥y轴于F，∴∠MEO＝∠MFO＝90°＝∠EOF，∴四边形OEMF是矩形，∴∠EMF＝90°，∴∠BME＝∠CMF，∵∠BEM＝∠CFM＝90°，∴△BEM∽△CFM，∴，∴．50∴m＝，∴M（，）或（，），∵点N是点M关于点E（，）的对称点，∴N（，）或（，

）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，构造出△BEM∽△CFM是解本题的关键．19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且OC＝2OA．（

1）该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与直线BC交于点M，与抛物线上直线BC上方部分交于点P，设m＝，求m的最大值及此时点P的坐标；（3）若点D、P为（2）中求出的点，点Q为x轴的一个动点，点N为坐标平面

内一点，当以点P、D、Q、N为顶点的四边形为矩形时，直接写出点N的坐标．51【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；

（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形讨论：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时，利

用相似三角形的性质和勾股定理可求解．【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y

＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4，故答案为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，52∴m＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（

n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N

四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0

），由△DOE∽△QOD可得，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．53根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边

形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（

6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，

此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数的应用，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考

压轴题．20．如图所示，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交坐标轴与B、C两点，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A（﹣1，0）．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作DQ∥CO，DQ交BC于点P，交x轴于点Q．（1）求抛物线解析式；54（2）设点P

的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在∠DCP＝∠ACO，求出m值；（3）在抛物线取点E，在坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形？如果有请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数与坐标轴相交，求出B、C两点的坐标，利

用待定系数法求出二次函数解析式；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，点P（m，﹣m+3），点D（m，﹣m2+2m+3），利用参数求出DH，CH的长，由锐角三角函数可求解；（3）分两种情况讨论，求出直线CE的方程或BE的方程，联立方程组可求解．【

解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3交坐标轴与B、C两点，∴点B（3，0），点C（0，3），∵抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A（﹣1，0），∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵点B（3，0），点

C（0，3），点A（﹣1，0），∴CO＝3＝BO，AO＝1，55∴∠BCO＝∠CBO＝45°，BC＝3，∵DQ⊥OB，∴∠BPQ＝∠PBQ＝45°，∴PQ＝QB，BP＝PQ，∵点P的横坐标为m，∴点P（m，﹣m+3），点D（m，﹣m2+2m+3

），∴PQ＝﹣m+3，DQ＝﹣m2+2m+3，∴DP＝﹣m2+3m，BP＝（﹣m+3）∵∠DPH＝∠BPQ＝45°，DH⊥BC，∴∠HDP＝∠DPH＝45°，∴DH＝PH＝DP＝（﹣m2+3m），∴CH＝3﹣（﹣m+3）﹣（﹣m2+3m）＝m2﹣m，

∵∠DCP＝∠ACO，∴tan∠DCP＝tan∠ACO＝，∴＝∴m＝0（舍去），m＝；（3）存在，若CE⊥BC时，∴直线CE解析式为：y＝x+3，∴∴（舍去），∴点E坐标（1，4），若BE⊥BC时，∴直线

BE解析式为：y＝x﹣3，56∴∴（舍去），∴点E坐标（﹣2，﹣5），综上所述：当点E（1，4）或（﹣2，﹣5）时，以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求

解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数等知识，利用参数表示线段的长度是本题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/10/2010:58:27；用户：合肥鸿图德培训学校；邮箱：15156683722；学号：37175700