【文档说明】重庆市巴蜀中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷 含解析.docx，共(26)页，1.697 MB，由小赞的店铺上传

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高2025届高二（上）期中考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交

回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆E：22198xy+=的左右焦点分别是1F，2F，P在椭圆E上，且12=PF，

则2PF=（）A.7B.6C.5D.4【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的长轴长，根据椭圆的定义，即可求得答案.【详解】由题意知椭圆E：22198xy+=的长轴长为2236a==，又P在椭圆E上，12=PF，故122126,64PFPFaP

FPF+===−=，故选：D2.直线320xmym+−=平分圆C：22220xxyy++−=，则m=（）A.32B.1C.-1D.-3【答案】D【解析】【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.【详解】22220xxyy++−=变形为()()22112xy++−=，

故圆心为()1,1−，由题意得圆心()1,1−在320xmym+−=上，故320mm−+−=，解得3m=−.故选：D3.双曲线E：()222210,0xyabab−=一条渐近线方程是2yx=，则E的离心率是（）的A.5B.5C

.2D.2【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程可知2ba=，据此即可求出双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为byxa=，可得2ba=，又222cab=+，则2224caa=+，即2225cea==，则5e=.故选：B.4.正方体1111AB

CDABCD−中，M，N分别是11AD，11BC的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（）A.35B.45C.23D.53【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求解.【详解】以D为原点，以1,,DADCDD

分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，则()()()()2,0,0,1,0,2,0,2,0,1,2,2MCNA，则(1,0,2),(1,0,2)AMCN=−=，||cos,53

||53||5AMCNAMCNAMCN===，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为35．故选：A.5.已知()2,0M−，圆:C2240xxy−+=，动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A.()22113yxx−=B.()22133xyx−=C.221

3yx−=D.2213xy−=【答案】C【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆P的半径为R，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.【详解】圆:C2240xxy−+=，即()2224xy−+=，圆心为()2,0C，半径2r=，设动圆

P的半径为R，若动圆P与圆C相内切，则圆C在圆P内，所以PMR=，2PCR=−，所以24PMPCMC−==，所以动点P是以()2,0M−、()2,0C为焦点的双曲线的右支，且1a=、2c=，所以223bca=−=，所以动圆圆心P的轨迹方程是()22

113yxx−=，若动圆P与圆C相外切，所以PMR=，2PCR=+，所以24PCPMMC−==，所以动点P是以()2,0M−、()2,0C为焦点的双曲线的左支，且1a=、2c=，所以223bca=−=，所

以动圆圆心P的轨迹方程是()22113yxx−=−，综上可得动圆圆心P的轨迹方程是2213yx−=.故选：C6.已知三棱锥ABCD−，E，F分别是AB，CD的中点，G在BC上且满足：3BGGC=，过E，F，G三点的平面与AD相交于点H，则:AHHD=（）A.1B.2C.3D.4【答案

】C【解析】【分析】延长,GFBD交于点P，根据平面基本定理，即可作出过E，F，G三点的平面与AD的交点H，作DMBC∥，推出13DPDMPBBG==，再作DNAB∥，即可推出13DHDNAHAE==，即

可求得答案.【详解】由题意3BGGC=，即G为BC靠近C的四等分点，F为CD的中点，如图，延长,GFBD交于点P，则P平面EFG，P平面ABD，又E平面ABD，连接EP，则EP平面ABD，而AD平面ABD，显然,EPAD不平行，则二者相交，交点即为过E，F

，G三点的平面与AD的交点H，作DMBC∥，交PG于M，F为CD的中点，则GCF≌MDF△，则DMGC=，结合3BGGC=，则13DMBG=，由于DMBG∥，故13DPDMPBBG==，作DNAB∥，交PE于N，则13DPDNPBBE==，而E为AB的中点，即AEBE=，故13DNAE=

，又DNAE∥，故13DHDNAHAE==，即:3:1AHHD=，故选：C7.已知抛物线C：24yx=上一点()00,Pxy，点()3,21A，则2022yPA+的最小值是（）A.10B.8C.5D.4【答案】

B【解析】【分析】利用抛物线定义将2022yPA+转化为02(1)22(||)2xPAPFPA++−=+−，继而数形结合，根据线段和的几何意义求得||PFPA+的最小值，即可求得答案.【详解】由题意知抛物线C：24yx=上一点()00,Pxy，则2200004,4y

yxx==，又2(21)43，故()3,21A在抛物线C：24yx=的外部，则22000022()2()2(1)224yyPAPAxPAxPA+=+=+=++−，因为抛物线C：24yx=的焦点为(1,0)

F，准线方程为=1x−，则0||1PFx=+，故20022(1)22(||)22yPAxPAPFPA+=++−=+−，由于||||PFPAAF+，当,,APF三点共线（P在,AF之间）时，||PFPA+取到最小值

22||(31)(21)5AF=−+=,则2022(||)22yPAPFPA+=+−的最小值为2528−=，故选：B8.已知椭圆E：22142xy+=，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足2PAQBkk=，则直线PQ恒过定点（

）A.()2,0−B.()1,0−C.2,03−D.()2,0【答案】C【解析】【分析】由题意结合椭圆方程推出12AQBQkk=−，结合2PAQBkk=得出1AQAPkk=−，设直线PQ方程为xmyn=

+，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，代入1AQAPkk=−中化简求值，即可求得答案.【详解】设(,)Pxy，则()22142yx=−，(2,0),(2,0)AB−，则2,002APBPyykkxx−−==+−，故22142APBPykkx==−−，同理12AQBQkk=−，而2PAQBkk

=，故11,122AQAPAQAPkkkk=−=−；由题意可知直线PQ的斜率不为0，设PQ方程为xmyn=+，代入椭圆方程22142xy+=得：222(2)240mymnyn+++−=，需满足228(24)0mn

=−+，设1122(,),(,)PxyQxy，则212122224,22mnnyyyymm−+=−=++，又(2,0),(2,0)AB−，1AQAPkk=−，即1212122yyxx=−++，即1212(2)(2)0yyxx+++=，即1212(

2)(2)0yymynmyn+++++=，得222112(1)(2)()(2)0myymnyyn++++++=，即()()()2222242122022nmnmmnnmm−+++−++=++，整理得23840nn++=，解得23n=−，或2n=−，当2n=−时，2xmy=−，直线PQ

过A点，不符合题意；当23n=−时，23xmy=−，直线PQ恒过2(,0)3−点，故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要根据题意结合椭圆方程得出12AQBQkk=−，再结合2PAQBkk=得出1AQAPkk=−

，然后设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，化简求值，即可求解。二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.直线l：3450xy+−=，圆M：()()222116xy

−+−=，P是圆M上的动点，则（）A.过M且与直线l垂直的直线方程为3420xy−−=B.直线l与圆M相交C.点P到直线l的距离最大值是5D.点P到直线l的距离最小值是1【答案】BC【解析】【分析】根据直线的位置关系及点斜式方程判断A；由

圆心到直线的距离d与半径r的关系判断B；由点P到直线l的距离最大值是dr+判断C；由直线l与圆M相交可判断D.【详解】直线l：3450xy+−=的斜率为34−，圆M：()()222116xy−+−=的圆心(2,1)M，半径4r=，过M且与直线l垂

直的直线方程为41(2)3yx−=−，即4350xy−−=，故A错误；圆心(2,1)M直线l：3450xy+−=的距离2232415134dr+−==+，故直线l与圆M相交，故B正确；点P到直线l的距离最大值是5dr+=，故C正确；直线l与圆M相交，则点P到

直线l的距离最小值是0，故D错误.故选：BC.10.椭圆E：2215xy+=的左右焦点分别为1F，2F，O是坐标原点，()00,Pxy是椭圆E上一点，则（）A.12PFF△的周长是254+B.当12PFPF⊥时，12PFF△面积最大C.OP的最大值是5D.当22004x

y+=时，12PFF△面积为1【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆方程求得,ac的值可判断A；确定12PFPF⊥时P点位于以12||FF为直径的圆224xy+=上，数形结合，判断B；根据椭圆的几何性质判断C；根据当22004xy+=时，P点所处位置，结合椭圆定义，可求得1

2PFF△面积，判断D.【详解】对于椭圆E：2215xy+=，设其长轴长为2a，焦距为2c，则5,512ac==−=，对于A，12PFF△的周长是1212||||||22254PFPFFFac++=+=+，A正确；对于B，当12PF

PF⊥时，121||||2POFFc==，此时P点位于以12||FF为直径的圆224xy+=上，即P为该圆与椭圆2215xy+=的交点，只有当P点位于椭圆的短轴上的顶点处时，12PFF△面积才取最大值，由于21cb==，结合图可知P不可能处

于椭圆的短轴上的顶点处，B错误；对于C，OP的最大值是5a=，C错误；对于D，当22004xy+=时，22001212||2OPxyFF=+==,则12PFPF⊥，故22212||||(2)16PFPFc+==，由于12||||25PFPF+=，故12|

|||2PFPF=，故12121||||12PFFSPFPF==，D正确，故选：AD11.设O是坐标原点，直线()()20ykxk=−经过抛物线C：22ypx=的焦点F，且与C交于A，B西点，OAF△是以OF为底边的等腰三角形，l是抛物线C的准线，则（）A.以AB直

径的圆与准线l相切B.2k=C.2BFFA=D.OAB的面积是62【答案】ACD【解析】【分析】根据抛物线的定义及直线与圆的位置关系判断A；由条件求得,AB的坐标，利用斜率公式判断B；根据向量的坐标运算判断C；根据三角形面积公式求解判断D.【详解】直线()()20ykxk=−与x轴的

交点为()2,0，即焦点()2,0F，则2,42pp==，故抛物线C的方程28yx=，设()()1122,,,AxyBxy，由题意可知A点在第四象限，B点在第一象限，设AB中点M，过M作MNl⊥，垂足为N，过A作AAl⊥，垂足为A，过B作BBl

⊥，垂足为B，则()()111222MNAABBAFBFAB=+=+=，则以AB直径的圆与准线l相切，故A正确；∵OAF△是以OF为底边的等腰三角形，∴11x=，得()1,22A−，联立()228ykxyx

=−=，得()22224840kxkxk−++=，易知0，则124xx=，则24x=，得()4,42B，42222241ABkk+===−，故B错误；的∵()()2,42,1,22BFFA=−−=−−，∴2BFFA=，故C正确；OAB的面积为1211

222426222SOFyy=−=−−=，故D正确.故选：ACD.12.如图，四棱柱1111ABCDABCD−底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱1AA⊥底面ABCD，且122AA=，P是线段1BD上一点（包含端点），Q在四边形11ADDA内运动（包含边界），则下列说法正确的是（）

A.该四棱柱能装下球的最大半径是1B.点P到直线11AB的距离最小值是63C.若P为1BD中点，且AQCP⊥，则Q的轨迹长度为6D.PCPQ+的最小值是3【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据四棱柱的结构特征即可判断；对于B，将P到直线11A

B的距离的最小值问题转化为点面距离，结合三棱锥的等体积法求得三棱锥的高，即可判断；对于C，利用线面垂直的判断以及性质，找到Q的轨迹，即可求得其长；对于D，将1RtCDB沿1BD折起，使得1RtCDB和1RtBAD△在同一平面内，即将空间线段和的问题转化为平面线段的长，

即可判断.【详解】对于A，由题意知四棱柱1111ABCDABCD−是底面边长为2，侧棱长为122AA=的正四棱柱，故该四棱柱能装下球的最大直径是2，则半径为1，A正确；对于B，连接111,BCBD，由于1111ABCD∥，11AB平面11BCD，11CD平面11BCD，

故11AB∥平面11BCD，P是线段1BD上一点，故点P到直线11AB的距离最小值即为异面直线111,ABBD的公垂线段长，即为11AB到平面11BCD的距离，也即为1B到平面11BCD的距离，即三棱锥111BBCD−的高，设为h；由题意知22114823BCBCCC=+=+=,故由1

11111BBCDBBCDVV−−=，得1111111111113232BCCDhBCCDBB=，即111123222223232h=，则263h=，B错误；对于C，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，1111,,,ADADADADADBCADBC

==∥∥，故1111,ADBCADBC=∥，即四边形11ABCD为平行四边形，由于P为1BD中点，连接1AC，交1BD即为P点，即1,,APC共线，因为AQCP⊥，故1AQAC⊥；又CD⊥平面11,ADDAAQ平面11ADDA

，故CDAQ⊥，而11,,ACCDCACCD=平面1ACD，故AQ⊥平面1ACD，1AD平面1ACD，故1AQAD⊥，故过点A作1AD的垂线AM，垂足为M，并延长，交1DD于G，则Q的轨迹即为线段AG，

则90,90GADAGDAGDMDG+=+=，故GADMDG=，故RtGDA∽11RtADD，故11AGADADDD=，而221111()()4823ADADDD=+=+=，即得2,62322AGAG==，C正确；对于D，在1

RtDAB中，2211()()4823ADADDD=+=+=，则1123tan323ABADBAD===，故130ADB=，同理求得130CDB=，因为AB⊥平面11ADDA，AB平面1ABD，故

平面1ABD⊥平面11ADDA，将1RtCDB沿1BD折起到如图1RtCDB位置，使得1RtCDB和1RtBAD△在同一平面内，则160ADC=，过点C作1CNAD⊥，垂足为N，则CN即为PCPQ+的最小值，在1RtCND中，1123CDCD==，则13sin

602332CNCD===，D正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：本题综合考查了空间几何的知识，涉及到线面平行以及垂直位置关系以及空间的轨迹问题和最值问题，综合性强，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的线面关系，注意利用等体积法和转化思想以及

将空间问题平面化的处理方法，即可求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.倾斜角为135且经过点(2,1)−的直线方程是___________.【答案】10xy+−=【解析】【分析】求得直线斜率，根据直线的点斜式方程即可得答案.【详解】由

题意知直线的倾斜角为135，则直线斜率为tan1351=−，又直线经过点(2,1)−，故其方程为1(2)yx+=−−，即10xy+−=，故答案为：10xy+−=14.圆1C：()2211xy−+=与圆2C：222440xyxy+++−=的公共弦长是___________【答案】2【解析】【分析】

设两圆的交点为,AB，由两圆方程相减可得直线AB的方程，得直线AB过()11,0C，即可得公共弦长||AB．【详解】设两圆的交点为,AB，圆1C：()2211xy−+=即2220xyx+−=，圆2C：

222440xyxy+++−=，两圆方程相减可得直线AB的方程为10xy+−=，圆1C：()2211xy−+=的圆心为()11,0C，半径11r=，则直线AB过()11,0C，则公共弦长1||22ABr==．故答案为：2．15.已知三棱锥S

ABC−中，SA⊥平面ABC，且23SAAC==，三棱锥SABC−的外接球表面积为24，则三棱锥SABC−的体积最大值是_________.【答案】23【解析】【分析】根据外接球半径找到底面三角形特点，结合基本不等式求最大值即可.

【详解】棱锥SABC−的外接球表面积为24π24πSR==，22224,RSAAC==+又因为()22242,2RSArr=+为ABC外接圆直径,所以π2,2ACrABC==,所以22222,,122,ABCABBCACABBCABBC+=+=1111162323

33232SABCABCVSSAABBCSA−===.故答案为：23.16.双曲线E：221412xy−=，过()()4,0Ptt作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段AB的中点，则t的取值范围是_________________.【答案】6,43

【解析】【分析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得满足P为线段AB中点时t的范围,从而即可得结果.【详解】因为双曲线方程为221412xy−=，设()()1122,,,AxyBxy，若点P为线段AB的中点，则12128,2x

xyyt+=+=，又2211222214121412xyxy−=−=，两式相减并化简可得121212yyxxt−=−，又直线AB的斜率1212yykxx−=−，即12kt=，设直线l的方程为()4ytkx−=−，联立

()2241412ytkxxy−=−−=,化简可得()()22222324884160kxkxtk−−−−+−=因为直线与双曲线有两个不同的交点，所以()()()222222484384160kktk=−−−−+−，又12kt=，化简得42384120tt−+，即43t或

06t，所以不存在直线l使得P是线段AB中点的t的取值范围为6,43，故答案为：6,43.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线()()()23730Rmxmymm+++−−=过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半

轴都相切.（1）求定点P的坐标；（2）求圆C的方程.【答案】（1）(2,1)（2）22(1)(1)1xy−+−=或22(5)(5)25xy−+−=【解析】【分析】（1）将()()()23730Rmxmymm

+++−−=分离参数，可得()32370xymxy+−++−=，解方程组，即可求得答案.（2）设出圆的标准方程222()()(0)xaybrr−+−=，由题意列出方程，求得参数，即可得答案.【小问1详解】直线()()()23730Rmxmymm+++−−=，即()32370xymxy+−+

+−=，由于Rm，故302,23701xyxxyy+−==+−==，即直线()()()23730Rmxmymm+++−−=过定点(2,1)P.【小问2详解】设圆C的方程为222()()(0)xaybrr−+−=，由题意得圆C经过

P点且与x轴正半轴和y轴正半轴都相切，则abr==且222(2)(1)abr−+−=，即2650aa−+=，解得1a=或5a=，故圆C的方程为22(1)(1)1xy−+−=或22(5)(5)25xy−+−=.18.如图正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E是棱1

1BC的中点，过1ADE的平面与棱1BB相交于点F.（1）求证：F是1BB的中点；（2）求点D到平面1ADE的距离.【答案】（1）证明过程见解析（2）43【解析】【分析】（1）作出辅助线，由面面平行的性质得到线线平行，进而得到1//EFBC，结合E是棱11BC的中点，得到结论；（2）建

立空间直角坐标系，求出平面1ADE的法向量，根据空间向量求解出点到平面的距离.【小问1详解】连接1BC，因为平面11//ADDA平面11BCCB，平面1ADEF平面111ADDAAD=，平面1ADEF平面11BCCBEF=，所以1//ADEF，又1111,//ABCDABC

D=，所以四边形11ABCD为平行四边形，故11//ADBC，故1//EFBC，又E是棱11BC的中点，所以F是1BB的中点.【小问2详解】以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()

()10,0,0,2,0,0,0,0,2,1,2,2DADE，设平面1ADE的法向量为(),,mxyz=，则()()()()1,,2,0,2220,,1,2,2220mADxyzxzmAExyzxyz=

−=−+==−=−++=，令1x=，得11,2zy==−，故11,,12m=−，点D到平面1ADE的距离为()12,0,01,,12242331114DAmdm−====++.1

9.已知双曲线E：()222210,0xyabab−=的左右焦点分别为1F，2F，1F到其中一条渐近线的距离为1，过1F且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B，且1AB=.（1）求E的方程；（2）过()4,0Q的直线l交曲线E于M，N两点若4M

N=，求直线l的方程【答案】（1）2214xy−=（2）0y=或2124210xy−−=或2124210xy+−=.【解析】【分析】（1）根据1F到其中一条渐近线的距离为1可求出b的值，根据1AB=可求出a的值，即可求得答案；（2）判断直线斜率存在，设直

线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，利用双曲线弦长公式结合弦长可求出直线斜率，即可求得答案.【小问1详解】由题意知双曲线E：()222210,0xyabab−=的渐近线方程为byxa=，1(,0)Fc−，2

(,0)Fc，1F到其中一条渐近线的距离为1，不妨取渐近线byxa=−，即0bxay+=，则22||1bcbab−==+，又过1F且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B，且1AB=，将xc=−代入()222210,0xyabab−=中，得2bya=，

故221,2baa==，故E的方程为2214xy−=.【小问2详解】若直线l斜率不存在，其方程为4x=，代入2214xy−=，得3y=，即23MN=，不符合题意；故直线l的斜率存在，设其方程为(4)ykx=−，联立2214xy−=，得2222(41)326440kxk

xk−−++=，需满足2410k−，且24840k=+，设1122(,),(,)MxyNxy，则2212122232644,4141kkxxxxkk++==−−，则222222121222324(644

)||1()41()4141kkMNkxxxxkkk+=++−=+−−−222411214|41|kkk++=−，即424210kk−=，解得0k=或212k=，故直线l的方程为0y=或21(4)2yx=−，即0y=或2124210xy−−=或2124210xy+−=.20.

如图，A，C在以4PB=为直径的球上，ABBC⊥，M是PB的中点.的（1）求证：平面MAC⊥平面ABC；（2）若2AB=，22BC=，求平面ABP与平面BCP夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）取AC的中点N，可知N为ABC外接圆的圆心，由题意得M是球心，则

MN⊥面ABC，进而得结论；（2）以B为原点，以,BCBA所在直线分别为,xy轴，以过点B且与MN平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABP与平面BCP的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】取AC的中点N，又ABBC

⊥，则N为ABC外接圆的圆心，∵A，C在以4PB=为直径的球上，M是PB的中点，则M是球心，三角形ABC的外接圆为球的截面小圆，∴MN⊥面ABC，又MN面MAC，∴平面MAC⊥平面ABC.小问2详解】以B为原点，以,BCBA所在直线分别为,xy轴，

以过点B且与MN平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，【∵ABBC⊥，2AB=，22BC=，∴23AC=，则132BNAC==，∵212BMPB==，∴221MNBMBN=−=，则(0,0,0),(22,0,0),(0,2,0),(2,1,1),(22,2,2)BCAMP，

∴(0,2,0),(22,2,2),(22,0,0)BABPBC===,设平面ABP的法向量为111(,,)mxyz=，由11112022220mBAymBPxyz===++=，令11x=，则112,0zy=−=，(1,0,2)m=−，设平面BCP的法向量为222(

,,)nxyz=，由222222022220nBCxnBPxyz===++=，令21y=，则221,0zx=−=，(0,1,1)n=−，∴23cos,332mnmnmn===，则平面ABP与平面BC

P夹角的余弦值33.21.已知抛物线C：()220ypxp=与椭圆22154xy+=有公共的焦点.（1）求抛物线C的方程；（2）过()3,2Q−−的直线l交抛物线C于A，B两点，试问在抛物线C上是否存在定点P，使得直线PA，PB的斜率存在且非零时，满足两直线的斜率之积为1，若存在，请求出点P的

坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）24yx=（2）存在，(1,2)P【解析】【分析】（1）由题意知抛物线C的焦点为()1,0，由此即可得抛物线C的方程；（2）假设存在定点P，设200(,)4yPy，设直线l方程为()23ykx+=+，与抛物线方程联立，设1122(,

),(,)AxyBxy，由韦达定理得1212,xxxx+，进而得1212,yyyy+，由斜率公式计算PAPBkk，结合条件得200(4)4(2)0yky−+−=恒成立，分析可得答案．小问1详解】椭圆22

154xy+=的焦点为()1,0，由题意知抛物线C：()220ypxp=的焦点为()1,0，则1,22pp==，故抛物线C的方程为24yx=．【小问2详解】假设存在定点P，设200(,)4yPy，设直线l方程为()()230ykxk+=+，即32

ykxk=+−，联立2324ykxkyx=+−=，整理得2222(644)(32)0kxkkxk+−−+−=，由24832160kk=−++，解得113k−，且0k，设1122(,),(,)AxyBxy，

则22121222644(32),kkkxxxxkk−−−+=−=，2121226444()6464kkyykxxkkkkk−−+=++−=−+−=，2212121212(32)(32)(32)()(32)yykxkkxkkxxkkxxk=+−+

−=+−++−【222222(32)6448(32)()(32)12kkkkkkkkkk−−−=+−−+−=−，则01020102222222000012010212441444444PAPByyyy

yyyykkyyyyyyyyyyxx−−−−====++−−−−，∴2001212()16yyyyyy+++=，即200481216yykk++−=，则200(4)4(2)0yky−+−=恒成立，所以2040y−=且020y−=，解得02y=，则存在(1,2)P满足题意

．22.已知椭圆E：()222210xyabab+=的焦点分别为1F，2F，过左焦点1F的直线与椭圆交于M，N两点，2MNF的周长为124FF.（1）求椭圆E的离心率；（2）直线l：()4ykx=−与椭圆有两个不同的交点A，B，直线l与x

轴的交点为D，若A，B都在x轴上方且点A在线段DB上，O为坐标原点，AOD△和BOD面积分别为1S，2S，记21SS=，当满足条件的实数k变化时，的取值范围是51,3，求椭圆E的方程.【答案】（1）12（

2）22413yx+=【解析】【分析】（1）由题意推出关于,ac的关系式，即可求得离心率；（2）将21SS=转化为||||BDAD=，结合向量BDAD=，表示出1122(,),(,)AxyBxy坐标之间的关系，再结合椭圆方程表示出1x的表达式，再结合椭圆范围得出关于

a的方程，求出a，即可求得答案.【小问1详解】由题意知2MNF的周长为221212||||||||||||||4MNMFNFMFMFNFNFa++=+++=，故12448aFFc==，故12cea==.【小问2详解】由题意可知直线l：()4

ykx=−与椭圆有两个不同的交点A，B，直线l与x轴的交点为D，即(4,0)D，由题意知A，B都在x轴上方，则D必在椭圆外，则4a，又21SS=，则21||||SBDSAD==，由于点A在线段DB上，故设BDAD=，51,3

，设1122(,),(,)AxyBxy，由BDAD=得2211(,)(,)DDDDxxyyxxyy−−=−−，则21214,011DDxxyyxy−−====−−，又2222112222221,1xyxyabab+=+=，则22222

1122xyab+=，则22222222121221xxyyab−−+=−，即2121212122()()1111111xxxxyyyyab+−++−+−−+=，结合21214,011DDxxyyxy−−===

=−−，则212()411xxa++=，可得22121(1)44(1)axxxx+=+−=−，故22122212(2)882(2)88aaxaax=++−=++−，设过点D和椭圆上半部分相切的切线的切点为P，则1(,)Pxxa，由4a，则2208a−，

由于51,3，故222221132(2)(,2(2))884858aaaaax=++−++−，结合1(,)Pxxa可得2232(2)858aaa++−=，解得1a=或4a=（舍去），又12e=，故

22213,24cbac==−=，故椭圆E的方程为22413yx+=.【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆离心率的求解以及直线和椭圆位置关系中的范围问题，综合性强，计算量大，特别是第二问求解椭圆方程，解答

时要将21SS=，转化为||||BDAD=，结合向量的应用得出点的坐标之间的关系，表示出点A的横坐标，再结合椭圆方程得出点A的坐标1(,)Pxxa，从而得出关于a的方程，求解即可得答案.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com