【文档说明】河南省濮阳市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.611 MB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2024—2025学年上学期高二年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l的倾斜角为3π4，且l经过点()1,2−，则l的方程为（）A.30xy++=B.10xy+−=C.240xy−+=D.20xy+=【答案】B【解析】【分析】先求出直线的斜率，由点斜式方程可得直线方程.【详解】由题意，直线

l的斜率为3πtan14=−，又过点()1,2−，故其方程为2(1)yx−=−+，即10xy+−=.故选：B.2.在空间直角坐标系中，直线l过点()1,0,1A−且以()3,2,4=为方向向量，(),,Mxyz为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是（）A.11234xyz−+=

=B.11324xyz+−==C.11324xyz−+==D.11243xyz−+==【答案】C【解析】【分析】求出向量AM，再利用空间向量共线的充要条件列式判断即得.【详解】依题意，(1,,1)AMxyz=−+，//AM，则11324xyz−+==，所以点M的坐标满足的关系式是11324

xyz−+==.故选：C.3.若圆C过()1,4P，()3,4Q两点，则当圆C的半径最小时，圆C的标准方程为（）A.()()22244xy−+−=B.()()22241xy+++=C.()()22244xy+++

=D.()()22241xy−+−=【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出以PQ为直径的圆的方程即可.【详解】依题意，线段PQ的中点(2,4)，||2PQ=，圆C过()1,4P，()3,4Q两点，当圆C的半径最小时，线段PQ为圆C的直径，所以圆C的标准方程为()(

)22241xy−+−=.故选：D4.在四面体ABCD中，M为棱CD的中点，E为线段AM的中点，若BEaBCbBDcBA=++，则ca=（）A.12B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】如图，()()

11112222BEBAAEBAAMBABMBABABDDMBA=+=+=+−=++−1111111111111()2222222224442BABDDMBABDDCBABDBCBDBCBDBA=++=

++=++−=++，又BEaBCbBDcBA=++，所以111,,442abc===，则2ca=.故选：C5.若直线:40laxby−−=与圆22:4Oxy+=相离，则点(),Pab（）A.在圆O外B.在圆O内C.在圆O上D.位置

不确定【答案】B【解析】【分析】利用点线距离公式及O到:40laxby−−=的距离2d，即可判断点与圆位置关系.【详解】由题意，O到:40laxby−−=的距离2242dab=+，即224ab+，所以(),Pab在在圆O内.故选：B6.已知直线l经过点()2,1P，且与圆C：()()22

129xy++−=相交于A，B两点，若2AB=，则直线l的方程为（）A.10xy−−=或7150xy+−=B.20xy−=或7150xy+−=C.43110xy+−=或34100xy+−=D.4350xy−−=或3420xy−−=【答案】A【解析】【分析】根据弦长||2AB

=，利用垂径定理求出圆心到直线的距离d.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线l的方程.【详解】已知弦长||2AB=，半径3r=.根据垂径定理知圆心到直线的距离为222ABdr=−.把3r=，||2AB=代入可得

9122d=−=.当直线l的斜率不存在时，直线l方程为2x=，此时圆心(1,2)C−到直线2x=的距离为2(1)322−−=，所以直线l斜率不存在时不满足条件.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1(2)ykx−=−，即210kxyk−−+=.根据点到直线距离公式，由圆心(1

,2)C−到直线210kxyk−−+=的距离22d=，可得2|221|221kkk−−−+=+.对2|31|221kk−−=+进行求解.两边平方得22(31)81kk+=+，展开得2296188kkk++=+.解得1k=或7k=−.当1k=时，直线l的方程为12yx−=−，即10xy−−=.当7k

=−时，直线l的方程为17(2)yx−=−−，即7150xy+−=.故选：A.7.曲线2244xyxy+=+的周长为（）A.42πB.82πC.12πD.16π【答案】B【解析】【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画出图得出结论.【详解】曲线()()()()(

)()()()()()()()22222222222280,02280,0442280,02280,0xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy−+−=++−=+=+=+++=−++=曲线的图像如图所示：该图

是以,,,ABCD四个点为圆心，半径为22的四个半圆，所以该图的周长为：4π2282π=.故选：B8.如图，在多面体EFABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），AE⊥底面,ABCDCF⊥底面ABCD，且2AEC

F==，则MEMF的最小值与最大值分别为（）A.7,42B.3,4C.7,52D.57,22【答案】A【解析】【分析】由题意可得,,ADABAE两两垂直，所以以,,ADABAE所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标

系，设(,,0)(01,01)Mabab，然后表示出MEMF化简可求得结果.【详解】因为AE⊥底面,,ABCDADAB平面ABCD，所以,AEADAEAB⊥⊥,因为四边形ABCD为正方形，所以ADAB⊥，所以,,ADABAE两两垂直，所以以,,ADABAE所在的

直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(112)EF，，，设(,,0)(01,01)Mabab，则(,,2),(1,1,2)MEabMFab=−−=−−，所以22(1)(1)44ME

MFaabbaabb=−−−−+=−+−+22117222ab=−+−+，因为01,01ab，所以当12ab==时，MEMF取得最小值72；当0a=或1，0b=或1时，MEMF取得最大值4故选：A二、多项

选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若,,abc构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.a，b，ac+B.2bc−，2−ca

，122ab−C.ab−，bc−，cba−−D.bac−−rrr，22cab−+，c【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，利用共面向量定理逐项判断即得.【详解】由,,abc构成空间的一个基底，得向量,,abc不共面，对于A，若向量a，b，

ac+共面，则存在实数对,使得acab+=+，即(1)cab=−+，则向量,,abc共面，矛盾，a，b，ac+不共面，A不是；.对于C，由)1122)(222(abbcca−−=−−−，得2bc−，2−ca，122ab−共面，B是；对于C，若ab−，bc−，cba

−−共面，则存在实数对,xy使得()()cbaxabybc−−=−+−，于是111xxyy=−−+=−−=，此方程组无解，向量ab−，bc−，cba−−不共面，C不是；对于D，由2)322(bcbacc

a−−++=−，得向量bac−−rrr，22cab−+，c共面，D是.故选：BD10.已知直线l的方程为()()0,1,1,3,3axyaMN−−=−，则下列结论正确的是（）A.点M不可能在直线l上B.直线l恒过点()1,0C.若点,MN到直线l的距离相等

，则2a=D.直线l上恒存在点Q，满足0MQNQ=【答案】ABD【解析】【分析】当1x=时0y=，即可判断A；将线l方程可化为(1)yax=−，即可判断B；利用点线的距离公式计算即可判断C；利用平面向量的坐标表示求出点Q的轨迹方程，证明点(1,0)在圆

的内部即可判断D.【详解】A：当1x=时，0y=，所以点M不可能在直线l上，故A正确；B：直线l方程可化为(1)yax=−，所以直线l恒过定点(1,0)，故B正确；C：因为点,MN到直线l的距离相等，所以221231

1aaaaa+−−=++，解得1a=或2，故C错误；D：设(,)Qxy，则(1,1),(3,3)MQxyNQxy=−+=−−，所以(1)(3)(1)(3)0MQNQxxyy=−−++−=，整理得22(2)(1)5xy−+−=，即点Q的

轨迹方程为22(2)(1)5xy−+−=.又直线l恒过定点(1,0)，且22(12)(01)5−+−，所以点(1,0)在圆的内部，所以直线l与圆22(2)(1)5xy−+−=恒有公共点，即直线l上恒存在点Q，满足0MQNQ=，故D正确.故选：ABD11.如

图，在三棱锥ABCD−中，,BDBCAB⊥⊥平面,2,,,,BCDABBCBDEFGH===分别为,,,ABBDBCCD的中点，M是EF的中点，N是线段GH上的动点，则（）A.存在0,0ab，使得GMaGHb

GE=+B.不存在点N，使得MNEH⊥C.MN的最小值为52D.异面直线AG与EF所成角的余弦值为105【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0G，()1,1,0H，𝐸(0,0,1)

，110,,22M，()0,1,0F，()0,0,2A，所以111,,22GM=−，()0,1,0GH=，()1,0,1GE=−，因为GMaGHbGE=+，则11212bab−=−=

=，方程无解，故不存在a、b使得GMaGHbGE=+，故A错误；因为N是线段GH上的动点，设()1,,0Nb()01b，所以111,,22MNb=−−，()1,1,1EH=−，所以1111022MNEHbb=+−+=+，所

以不存在点N，使得MNEH⊥，故B正确；因为25142MNb=+−，所以当12b=时MN取得最小值，即min52MN=，故C正确；因为()1,0,2AG=−，()0,1,1EF=−，所以210cos,552AGEF==，所以异

面直线AG与EF所成角的余弦值为105，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系Oxyz中，点(),0,23Pab−与(),0,Qab关于原点O对称，则点Q的坐标为_____

_____.【答案】(0,0,1)【解析】分析】根据给定条件，利用对称性列式计算得解.【详解】依题意，20,330ab=−=，解得0,1ab==，所以点Q的坐标为(0,0,1).故答案为：(0,0,1)1

3.若圆22:(2)(1)1Cxy−+−=关于直线220axby++=对称，则点(),ab与圆心C的距离的最小值是__________.【【答案】22【解析】【分析】根据题意得到10ab++=，再利用数形结合思想将问

题转化为圆心到直线10ab++=的距离.【详解】由题意可知直线经过圆心，所以2220ab++=，即10ab++=，点(),ab到圆心距离最小值就是圆心到直线10ab++=的距离的最小值，又圆心到直线10ab++=距离211222d++==.故答案为：2214.古希腊数学家阿波罗尼斯

的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（1）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点()7,0A−，B为直线l：230xy++=上的动点，P为圆C：()2229xy−+=上的动点，则3PAPB+的最小值为____

_.【答案】35【解析】【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义可设||3||PAPD=，利用待定系数法得D的坐标为(1,0)，即可根据三点共线，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】令3PAPD=，则||3||PA

PD=，依题意，圆22:(2)9Cxy−+=是由点A，D确定的阿波罗尼斯圆，且3=，设点D坐标为(,)Dmn，则2222(7)||3||()()xyPAPDxmyn++==−+−，整理得22229794994948mnmnxyxy−−+−+=−，

而该圆的方程为22:45Cxyx+−=，则229744904499958mnmn+==−−=，解得10mn==，点D的坐标为D(1,0)，因此3333PAPBPDPBDB+=+，当BDl⊥时，DB最小，最小值为2223521+=+，的所以当BDl⊥时，3PAPB+

的值最小为35.故答案为：35【点睛】关键点点睛：根据3PAPB+的形式，设3PAPD=，则||3||PAPD=，利用阿波罗尼斯圆的定义待定出点D(1,0)，即可利用点到直线的距离求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆C的圆心在直线2yx=和直线240xy+−=的交点上，且圆C过点()1,1−.（1）求圆C的方程；（2）若圆B的方程为224430xyxy+−++=，判断圆B与圆C的位置关系.【答案】（1）22(1)(2)5x

y−+−=（2）圆C与圆B相交.【解析】【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解；（2）由题意知B的圆心为()2,2B−，半径25r=，结合两圆的位置关系即可下结论.【小问1详解】由2240yxxy=+−=，得12

xy==，即圆心坐标为()1,2.()22[11](21)5−−+−=，圆C的方程为22(1)(2)5xy−+−=.【小问2详解】由（1）知，圆C的圆心为()1,2C，半径15r=.圆B的方程224430xyxy+−++=可化为22(2)(2)5xy−++=，则圆B的

圆心为()2,2B−，半径25r=.22(12)(22)17CB=−++=，1212025rrCBrr=−+=，圆C与圆B相交.16.如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是矩形，2,4,22,25,PAABADPBPDN=====为CD的中点.（1）证明

：PABN⊥；（2）求直线AB与平面PBN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43333【解析】【分析】（1）根据已知数据结合勾股定逆定理可证得PAAD⊥，PAAB⊥，然后利用线面垂直的判定定理得PA

⊥平面ABCD，再由线面垂直的性质可证得结论；（2）由题意可得,,ABADAP两两垂直，所以以A为坐标原点，直线,,ABADAP分别为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：2,25,4PAPDAD=

==，222PDPAAD=+，PAAD⊥.2,22PAABPB===，222PBPAAB=+，PAAB⊥.,,ABADAABAD=平面ABCD，PA⊥平面ABCD，.又BN平面ABCD，PABN⊥.【小问2详解】解：四边形ABCD是矩形，ABAD⊥，PA⊥平面ABCD，,

ABAD平面ABCD，,PAABPAAD⊥⊥，所以以A为坐标原点，直线,,ABADAP分别为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,0,0,1,4,0,0,0,2ABNP

，()()()2,0,0,1,4,0,2,0,2ABBNBP==−=−.设平面PBN的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则40220nBNxynBPxz=−+==−+=，令1y=，可得4,4xz==，平面PBN的一个法向量为(

)4,1,4n=.设直线AB与平面PBN所成的角为，则222240104433sin332414ABnABn++===++，直线AB与平面PBN所成角的正弦值为43333.17.已知直线l：10xy−−=.（1）若直线m与l.平行，且,ml之间的距离为22，求m的方程；（2）P

为l上一点，点()1,2M−，()2,6N，求PNPM−取得最大值时点P的坐标.【答案】（1）50xy−−=或30xy−+=；（2）(3,4)−−【解析】【分析】（1）设出直线m的方程，利用平行线间距离公式列式求解.（2）求出点M关于直线l的对称点坐标，结合图形，利用线段和差关系确定点

P位置，进而求出其坐标.【小问1详解】由直线m与l平行，设直线m方程为0(1)xyCC−+=−，由m，l之间的距离为22，得22|(1)|221(1)C−−=+−，解得5C=−或3C=，所以直线m的方程为50xy−−=或30xy−+=.【小问2详解】设点(1,2)M−关于直线

l：10xy−−=的对称点为(,)Mab，则121022211abba+−−−=+=−−，解得1,0ab=−=，即,()10−M，而PNPMPNPMNM−=−，当且仅当,,PMN三

点共线时取等号，直线NM的方程为600(1)2(1)yx−−=+−−，即220xy−+=，由10220xyxy−−=−+=，解得34xy=−=−,，点(3,4)P−−，所以PNPM−取得最大值时点P的坐标(3,4)−−.18.如图

，在斜三棱柱111ABCABC−中，平面11AACC⊥平面,ABCABC△是边长为2的等边三角形，的11,AAACO=为AC的中点，且12,AOD=为1AC的中点，E为AD的中点，114BFBB=.（1）设向量a为平面ABC的法向量，证明：0EFa=；（

2）求点A到平面BCD的距离；（3）求平面BCD与平面1BDC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）45719（3）1119【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用面面垂直性质定理得出1AO⊥平面ABC，进而得出法向量,最

后应用空间向量数量积运算即可；（2）应用空间向量法求法向量及向量()0,2,0,AC=应用公式运算即可；（3）应用空间向量法求二面角余弦值即可.【小问1详解】如图，连接BO.111,AAACAOAC=⊥，平面11AACC⊥平面ABC，平面11AACC平面1,ABCACA

O=平面11AACC，1AO⊥平面ABC.ABC是边长为2的等边三角形，,3BOACBO⊥=.以O为坐标原点，直线1,,OBOCOA分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，则()()0,0,0,0,1,0OA−，()()()()111113,0,0,0,1,0,0,0,2,3,1,2,0,

,1,0,,242BCABDE−.()10,0,2OA=是平面ABC的一个法向量，令1aOA=.()111110,1,2,0,,442BBBFBB===，1113,,,3,,0422FEF=

，13000202EFa=++=.【小问2详解】()()10,2,0,3,1,0,0,,12ACBCCD==−=−.设平面BCD的法向量为(),,mxyz=，则30,10,2mBC

xymCDyz=−+==−+=令2x=，可得23,3z=，平面BCD的一个法向量为()2,23,3m=，点A到平面BCD的距离为2220222303457192(23)(3)ACmdm++===++.【小问3详解】()13,0,2CB=.设平面1BDC的法向量

为(),,nabc=，则1320,10,2nCBacnCDbc=+==−+=令2a=，可得23,3bc=−=−，平面1BDC的一个法向量为()2,23,3n=−−.由（2）可知平面BCD的一个法向量为()2,23,3m=.设平面BCD

与平面1BDC的夹角为，则2222222223233311cos192(23)(3)2(23)(3)nmnm−−===+−+−++，平面BCD与平面1BDC夹角的余弦值为1119..19.在平面直

角坐标系中，定义()1212,max,dABxxyy=−−为两点()11,Axy，()22,Bxy的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称(),dPQ的最小值为点P到l的“切比雪夫距离”，记作(),dPl.（1）已知点()3,1P和点()1,4R−，直线l：1x=

，求(),dPR和(),dPl.（2）已知圆C：22230xyx+−−=和圆E：()2232524xaya−+−+=.（i）若两圆心的切比雪夫距离()1,2dCE=，判断圆C和圆E的位置关系；（ii）若0a，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外

，且(),3dMN=，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线AN为1l，直线BN为2l，证明：()()12,,dMldMl=.【答案】（1）(,)4dPR=，(,)2dPl=；（2）（i）内切；（ii）证明见解析．【解析】

【分析】（1）根据新定义直接计算(,)dPR，设(1,)Qt是l上一点，分类讨论计算出(,)dPQ，再确定最小值得(,)dPl；（2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由1212xx−=或1212yy−=求得参数a，并检验是否满足

题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系；（ii）由已知求出a，得出,MN两点坐标，设直线AB方程为(5)ykx=−，1122()AxyBxy,,(,)，直线方程代入圆C方程后，应用韦达定理得1212,xxxx+，

从而证明120kk+=，得直线1l与2l关于x轴对称，然后由直线1l上任意一点00(,)Qxy与直线2l上点00(,)Qxy−关于x轴对称，它们是一一对应的关系，且(,)(,)dMQdMQ=，则其最小值也相等，从而证得结论成立，【小问1详解】(3,1),(1,4)PR

−，3(1)4−−=，143−=，所以(,)4dPR=，直线l方程为1x=，(1,)Qt是l上一点，312−=，当12t−，即13t−时，(,)2dPQ=，当|𝑡−1|>2，即1t−或3t

时，(,)1dPQt=−，所以(,)dPQ的最小值是2，所以(,)2dPl=；【小问2详解】（i）圆C标准方程是22(1)4xy−+=，圆心为(1,0)C，半径为2，圆E的圆心为3(,)2Eaa−，半径为52，31(,)max1,

22dCEaa=−−=，若112a−=，则12a=或32a=，12a=时，312a−=，(,)1dCE=不合题意，32a=时，302a−=，1(,)2dCE=满足题意，此时3(,0)2E，15222CE==−，因此两圆内切；若3122a−=，则1a=或2a=，2a=时，11a−=，

(,)1dCE=不合题意，1a=时，10a−=，1(,)2dCE=满足题意，此时1(1,)2E−，15222CE==−，两圆内切．所以圆C和圆E内切；（ii）圆E与x轴交于M，N两点，则方程22325()()24xaa−+−+=，即2222340xaxaa−+−−=（*）有两个不等的实数解，所以Δ

=4𝑎2−4(2𝑎2−3𝑎−4)>0，解得14a−，又0a，所以04a，(,)3dMN=，方程（*）的两解为12,xx，则123xx−=，由韦达定理有212122,234xxaxxaa+==−−，所以2222121212()444(234)9xxxxxxaaa−=+−=

−−−=，解得72a=或12a=−（舍去），72a=时方程（*）为27100xx−+=，解得12x=，25x=，交点为(2,0)和(5,0)，点M在圆C外，则|𝑀𝐶|>2，因此(5,0)M，(2,0)N，设直线AB的方程

为(5)ykx=−，设1122()AxyBxy,,(,)，由22(5)230ykxxyx=−+−−=得()()()222212102530kxkxk+−++−=，2222(210)4(1)(253)0kkk=+−+−，3333k−，21222101kxxk++=+，2

1222531kxxk−=+，1212121212(5)(5)2222yykxkxkkxxxx−−+=+=+−−−−121212[27()20](2)(2)kxxxxxx−++=−−2222125061470(20)110(2)(2)kkkkkxx−+−+++==

−−，所以12kk=−，因此直线12,ll关于x轴对称，直线1l上任意一点00(,)Qxy与直线2l上点00(,)Qxy−关于x轴对称，它们是一一对应的关系，00(,)max5,dMQxy=−，0000(,)

max5,max5,(,)dMQxyxydMQ=−−=−=，即12{(,)|}{(,)|}dMQQldMQQl=，所以(,)dMQ的最小值与(,)dMQ的最小值相等，即12(,)(,)dMldMl=．【点睛】方法点睛：本题第（2）小题的第（ii）问，证明点

M到两条直线的“切比雪夫距离”相等，如果单纯从“切比雪夫距离”角度考虑，这个“距离”没法求解，换个角度，在直线与圆相交问题中，利用韦达定理证得直线12,ll的斜率是相反数，它们关于x轴对称，而点M在x轴上，因此

我们可得出这两条直线上的点与点M的“切比雪夫距离”所组成的集合相等，从而最小值相等，最小值即为点线间的“切比雪夫距离”，完成证明．