【文档说明】福建省泉州市2023届高三数学质量监测试题（三） 含解析.docx，共(26)页，2.546 MB，由小赞的店铺上传

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泉州市2023届高中毕业班质量监测（三）2023.03高三数学本试卷共22题，满分150分，共8页．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2、考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案

无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择答案使用0.5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷

和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合52Axx=−，3Bxx=，则AB=（）A.(),2−B.(),3−C.()3,2−D.()5,3−【答案】D【解析】【分析】求出集合B，利用并集

的定义可求得集合AB.【详解】因为52Axx=−，333Bxxxx==−，因此，()5,3AB=−.故选：D.2.已知复数z满足()1i4iz−=，则zz=（）A.8−B.0C.8D.8i【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z，利用共轭复

数的定义以及复数的乘法可求得结果.【详解】因为()1i4iz−=，则()()()4i1i4i44i22i1i1i1i2z+−+====−+−−+，所以，22iz=−−，因此，()()22i22i448zz=−+−−=+=.故选：C.3.已知sin2cos0

−=，则cos2=（）A.13−B.0C.13D.23【答案】A【解析】【分析】由弦切互化可得tan2=，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解.【详解】由sin2cos0−=可得tan2=，故222222cossin1tan121cos2cossin1tan12

3−−−====−+++，故选：A4.某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率为6364，则射击一次，击中目标的概率为（）A.78B.34C.14D.18【答案】B【解析】【分析】设该运动员射击一次，击中

目标的概率为p，利用独立事件和对立事件的概率公式可得出关于p的等式，解之即可.【详解】设该运动员射击一次，击中目标的概率为p，若该运动员三次射击中，至少有一次击中目标的概率为()3631164p−−=，解得34p=.故选：B.5.已知抛物线C的焦点为F，准线为l，点A在C上，

点B在l上．若4AFBF==，()0AFBFBA+=，则F到l的距离等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】取线段AF的中点M，连接BM，过点F作FEl⊥，垂足为点E，分析出ABF△为等边三角形，并求出60BFEABF==，从而可求得1

2EFBF=，即为所求.【详解】取线段AF的中点M，连接BM，过点F作FEl⊥，垂足为点E，则()()2BFBABMMFBMMABM+=+++=，所以，()20AFBFBAAFBM+==，所以，AFBM⊥，所以，ABBF=，因为4

AFBF==，所以，ABF△是边长为4的等边三角形，则60ABF=，由抛物线的定义可知ABl⊥，所以，//ABEF，故60BFEABF==，所以，1cos602EFBF==，则122EFBF==，即点F到

直线l的距离为2.故选：B.6.定义在R上的偶函数()fx满足(2)()0fxfx−+=，且当[0,1)x时，()1fxx=−，则曲线()yfx=在点99,44f−−处的切线方程为（）A.44110xy−+=B.44110xy+

+=C4470xy−+=D.4470xy++=【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性和周期性即可.【详解】(2)()0fxfx−+=可以得()fx关于()1,0中心对称且()fx偶函数，所以()fx的周期为4.97111144422fff

−==−=−−=.1()2fxx=(2)()0fxfx−+=()(2)fxfx=−即()fx关于1x=对称；9711444fff−===所以切

线方程：1924yx−=+即：44110xy−+=故选：A.7.图1中，正方体ABCDEFGH−的每条棱与正八面体MPQRSN（八个面均为正三角形）的条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若1AB=，则点M到直线RG的距离等于

（）A.2B.3C.62D.72【答案】A【解析】【分析】连接PR，MN，相交于点O，设MP与AB相交于点K，MQ与BC相交于点L，连接KL，利用正八面体MPQRSN的性质，由线面垂直的判定定理，证明MR⊥平面RHG，得到MR为点

M到直线RG的距离，然后在RtBKL中，利用KL是MPQ的中位线求得正八面体的边长即可.【详解】解：如图所示：连接PR，MN，相交于点O，设MP与AB相交于点K，MQ与BC相交于点L，连接KL，在正八面体M

PQRSN中，易知PRMN=，且PRMN⊥，所以45MRONRO==，则90MRN=，即MRRN⊥，又HG⊥平面MPNR，则HGMR⊥，又HG与RN相交，所以MR⊥平面RHG，则MR为点M到直线RG的距离，在RtBKL中，12

BKBL==，则2222KLBKBL=+=，因为KL是MPQ的中位线，所以22PQKL==，即2MR=，故选：A8.已知平面向量a、b、c满足1a=，0bc=，1ab=，1ac=−，则bc+的最小值为（）A.1B.2C.2D.4【答案】C【解析

】【分析】不失一般性，在平面直角坐标系xOy中，设()1,0a=，()11,bxy=，()22,cxy=，根据平面向量数量积的坐标运算可得出1x、2x的值，以及12yy的值，再利用平面向量的模长公式以及基本不等式可求得bc+的最小值.【详解】不失一般性，在平面直角坐标系

xOy中，设()1,0a=，()11,bxy=，()22,cxy=，因为11abx==，21acx==−，12121210bcxxyyyy=+=−=，所以，()()2212121111111111122bcyyyyyyyyyy+=−++=+=+=+=，当且仅当11y=时，

等号成立.因此，bc+的最小值为2.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知AB为圆22:4Cxy+=的

直径，直线:1lykx=+与y轴交于点M，则（）A.l与C恒有公共点B.ABM是钝角三角形C.ABM的面积的最大值为1D.l被C截得的弦的长度的最小值为23【答案】ABD【解析】【分析】M是一个在圆内的定点，可以判断AB选项；根据AB是

定值可以判断M到AB的距离最大时，三角形面积最大，从而判断C选项；l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，从而判断D选项.【详解】直线:1lykx=+与y轴交于点M，()0,1M且M在圆22:

4Cxy+=内部，l与C恒有公共点，A正确；M在圆22:4Cxy+=内部，AMB为钝角，ABM是钝角三角形，B正确；M到AB的最大距离，即到圆心的距离为1，14122ABMS=，故C错误；l被C截得的弦的长度的最小

时，圆心到直线的距离最大，且此距离为M到圆心的距离为1，故弦长为2222123−=，故D正确.故选：ABD.10.已知函数()sincos,()sincosfxxxgxxx==+，则（）A.()fx与()gx均在π0,4单调递增B.()fx的图象可由()

gx的图象平移得到C.()fx图象的对称轴均为()gx图象的对称轴D.函数()()yfxgx=+的最大值为122+【答案】AD【解析】【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称性、换元法逐

一判断即可.【详解】1π()sincossin2,()sincos2sin()24fxxxxgxxxx===+=+，当π0,4x时，20,2πx，πππ,442+

x，显然π0,2、ππ,42都是π0,2的子集，所以函数()fx与()gx均在π0,4单调递增，因此选项A正确；函数()fx的最小正周期为2ππ2=，函数()gx的最小正周期为2π，因为左右、上

下平移不改变正弦型函数的最小正周期，故选项B不正确；由()()ππ2πZπZ224kxkkxk=+=+，所以函数()fx的对称轴为()ππZ24kxk=+，函数()gx的对称轴为()()ππππZπZ424xmmxmm+=+=+，显然当k为奇数时，()f

x图象的对称轴不为()gx图象的对称轴，因此选项C不正确；令()21sincos2,2sincos2txxttxx−+=−=，所以()()()221131222tyfxgxtt−=+=+=+−，因为2,2t

−，所以当2t=时，该函数有最大值122+，因此选项D正确，故选：AD11.在长方体1111ABCDABCD−中，2ABAD==，11AA=，点P、Q在底面1111DCBA内，直线AP与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且APCQ⊥，则（）A.2AP

=B.点Q的轨迹长度为2C.三棱锥1DAQB−的体积为定值D.AP与该长方体的每个面所成的角都相等【答案】BCD【解析】【分析】将长方体1111ABCDABCD−补成正方体2222ABCDABCD−，连接22BD、2BC、2CD、2AC，设211BCBCM=，21

1CDCDN=，确定点P的位置，求出AP的长，可判断A选项；确定点Q的轨迹，求出点Q的轨迹的长度，可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项.【详解】如下图所所示，将长方体1111ABCDABCD−补成正方体2222ABCDABCD−，连接22BD、2B

C、2CD、2AC，设211BCBCM=，211CDCDN=，易知2AC与正方体2222ABCDABCD−的每一条棱所成的角都相等，所以，2AC与底面1111DCBA的交点即为点P.对于A选项，211

23322APAC===，A错；对于B选项，因为AB⊥平面22BCCB，2BC平面22BCCB，则2ABBC⊥，又因为四边形22BCCB为正方形，则22BCBC⊥，因为2ABBCB=，AB、2BC平面2ABC，所以，2BC⊥平面2ABC，因为2AC平面2ABC，所以，22ACB

C⊥，同理，22ACCD⊥，因为22BCCDC=，2BC、2CD平面22BCD，则2AC⊥平面22BCD，故2AC⊥平面CMN，因为APCQ⊥，所以，CQ平面CMN，即Q平面CMN，又因Q平面1111DCBA，平面CMN平

面1111ABCDMN=，所以，QMN，所以，点Q的轨迹为线段MN，且221122222MNBD===，B对；对于C选项，记点Q到平面1ABD的距离为h，由11113DAQBQABDABDVVSh−−==△，因为112//CCBB

，则12121CCCMBMBB==，则1CMBM=，故点M为2BC的中点，同理可知，N为2CD的中点，所以，22//MNBD，因22//BBDD，22BBDD=，故四边形22BBDD为平行四边形，所以，22//BDBD，所以，//MNBD，因为

MN平面1ABD，BD平面1ABD，则//MN平面1ABD，所以，点Q到平面1ABD的距离为定值，又因为1ABD的面积为定值，所以，三棱锥1DAQB−为定值，C对；对于D选项，因为2C到平面22AABB、平面22AADD、平面ABCD的距离都相等，易知，直线2AC与正方体2222

ABCDABCD−的每个面所成的角都想等，所以，AP与长方体1111ABCDABCD−的每一个面所成的角都相等，D对.故选：BCD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：为为（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（

2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角满足sinhl=（l为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角的正弦值为sinc

os,an=.12.某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为27，从第二次抽盲盒开始，若前一次

没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13．记玩家第n次抽盲盒，抽中奖品的概率为nP，则（）A.21942P=B.数列37nP−为等比数列C.1942nPD.当2n时，n越大，nP越小【答案】ABC【解析

】【分析】记玩家第()Nii次抽盲盒并抽中奖品为事件iA，依题意，127P=，()113nnPAA−=，()112nnPAA−=，利用全概率公式可判断A选项；利用全概率公式推出11162nnPP−=−+，结合等比数列的定义可判断B选项；求出数列nP的通项公式，可判断C选项；利用数列

的单调性可判断D选项.【详解】记玩家第()Nii次抽盲盒并抽中奖品为事件iA，依题意，127P=，()113nnPAA−=，()112nnPAA−=，()nnPPA=，对于A选项，()()()()()221211212121191737242PPAPAPAAPAPAA==+=

+−=，A对；对于B选项，()()()()()1111nnnnnnnPAPAPAAPAPAA−−−−=+，所以，()111111113262nnnnPPPP−−−=+−=−+，所以，1313767nnPP−−=−−，又因为127P=，则131077P−

=−，所以，数列37nP−是首项为17−，公比为16−的等比数列，B对；对于C选项，由B选项可知，1311776nnP−−=−−，则1311776nnP−=−−，当n为奇数时，131319776742nnP

−=−，当n为偶数时，131776nnP−=+，则nP随着n的增大而减小，所以，21942nPP=.综上所述，对任意的nN，1942nP，C对；对于D选项，因为1311776nnP−=−−，则数列nP为摆动

数列，D错.故选：ABC.【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：（1）当出现1nnaam−=+时，构造等差数列；（2）当出现1nnaxay−=+时，构造等比数列；（3）当出现()1nnaafn−=+时，用累加法求解；（4）

当出现()1nnafna−=时，用累乘法求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设随机变量()272,XN，若()70730.3PX=，则()7174PX=____________．【答案】0.3#

#310【解析】【分析】由正态密度曲线的对称性可求得()7174PX的值.【详解】因为随机变量()272,XN，且()70730.3PX=，所以，()()717470730.3PXPX==.故答案为：0.3.14.已知

6234560123456()xmaaxaxaxaxaxax+=++++++，且631aa+=则m=____________．【答案】0【解析】【分析】利用二项式定理求特定项的系数即可.【详解】由题意，可得3336Cam=，066C1a==.361aa+=，

30,0am==.故答案为：0.15.已知函数()e1xfxax=−−有两个零点，则实数a的取值范围为___________．【答案】()()1,1,0+−【解析】【分析】零点问题可以转为为图像交点问题，然后讨论a的取值范围即可.【详解】()e1xfxax=−−有

两个零点e1xax−=有两个根，即图像有两个交点；①0a时，设()e1xgx=−，()exgx=若有两个交点，则(0)1ag=；②0a=时，只有一个交点；③a<0时，设()1exhx=−，()exhx=−若有两个交点，(0)1ah=−综上可得，实数a的取值范围

为()()1,1,0+−故答案为：()()1,1,0+−16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为12,,FFC的渐近线与圆222xya+=在第一象限的交点为M，线段2MF与C交于点N，O为坐标原点．若1//MF

ON，则C的离心率为__________．【答案】2【解析】【分析】由1//MFON可知N是2MF的中点，求出N的坐标，带入双曲线的方程化简即可.【详解】22221xyab−=的渐近线为：byxa=，焦点()2,0Fc，∵渐近线与圆222xya+=在第一象限的交点为

M联立222xyabyxa+==可得2,aabMcc1//MFON，所以N是2MF的中点，22,22acabNcc+，因为N在双曲线上，222222221acabccab+−=化简得：222ca=所以离心率为2e=

，故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，()sinsinsinacAAC+=+，221ccb+=−．（1）求B；（2）已知D为AC的中点，32BD=，求

ABC的面积．【答案】（1）120（2）32【解析】【分析】（1）利用正弦定理，边角互化，结合余弦定理即可得解.（2）利用向量得到()12BDBABC=+，从而利用数量积运算法则得到220cc−−=，从

而得解.【小问1详解】()sinsinsinacAAC+=+，()acaac+=+，1a=，且2aacac+=+，221ccb+=−，两式相加得2221acacab=++−+，222cacba++=，即1cos2B=−

,120B=.【小问2详解】因为D为AC的中点，所以()12BDBABC=+，所以22113||2cos222BDBABCacacB=+=++=，22cos32acacB++=，代入1a=，120B=得：220cc

−−=，2c=或1c=−（舍去）；13sin22ABCSacB==.18.已知na为等差数列，且1223nnaan+=−+．（1）求na的首项和公差；（2）数列nb满足()11,321,313k

knnnnkaabaknk+=−=−−，其中k、nN，求601iib=．【答案】（1）21nan=−（2）6012041iib==【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，根据1223nnaan+=−+可得出关于1a、d的

方程组，解出这两个量的值，即可得出等差数列na的通项公式；（2）先化简数列nb的通项公式，利用裂项求和法求出14758bbbb++++，利用并项求和法求出258115659bbbbbb++++++、369125760bbbbbb++++++的值，即可得出601ii

b=的值.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，则()11naand+−=，由1223nnaan+=−+可得()112123andandn+=+−−+，即()12320dnad−++−=，所以，120320dad−=+−=，解得112ad==，()()1

112121naandnn=+−=+−=−.【小问2详解】因为()11,321,313kknnnnkaabaknk+=−=−−，则()()()()1,322121121,313nnnkkkbnknk=−

−+=−−−，所以1475811111335573941bbbb++++=++++11111111201233557394141=−+−+−++−=

；()()()258115659258115659bbbbbbaaaaaa++++++=−+−++−3220120=−=−；()()()369125760369125760bbbbbbaaaaaa++++++=−++−+++−+3

220120==因此，()()()601475825859369601iibbbbbbbbbbbbb==++++++++++++++.20201201204141=−+=.19.如图，三棱台111ABCABC-中，1122,ABBCBCD===是AC的中点，E

是棱BC上的动点．（1）试确定点E的位置，使1AB//平面1DEC；（2）已知11,ABBCCC⊥⊥平面ABC．设直线1BC与平面1DEC所成的角为，试在（1）的条件下，求cos的最小值．【答案】（1）E是BC的中点，

详见解析；（2）223.【解析】【分析】（1）根据线线平行可得四边形11ADCA为平行四边形，进而可得1//AA平面1DEC,又得平面11ABBA//平面1DEC，有面面平行性质即可得线线平行，即可求解；（2）根据线线垂直可得线面垂直，即可建立

空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得221sin45aa=++，结合不等式即可求解.【小问1详解】连接1,DCDE,的由三棱台111ABCABC-中，1122,ABBCBCD===是AC的中点可得1111//,ACADACAD=,所以四边形11A

DCA为平行四边形，故11//AADC,1AA平面1DEC,1DC平面1DEC,故1//AA平面1DEC,又1AB//平面1DEC，且11,ABAA平面11ABBA，11ABAAA=，所以平面11ABBA//平面1DEC，又平面11ABBA平面ABCAB=,平面A

BC平面1DECDE=,故//DEAB,由于D是AC的中点,故E是BC的中点，故点E在边BC的中点处，1AB//平面1DEC;【小问2详解】因为1CC⊥平面ABC，AB平面ABC,所以1CCAB⊥,又1,ABBC⊥11111,CCBCCCCBC=，

平面11BCCB,故AB⊥平面11BCCB,由于BC平面11BCCB,所以ABCB⊥,由（1）知：E在边BC的中点，D是AC的中点,所以//EDAB,进而DEBC⊥，连接1BE,由1111//,,BC

ECBCEC=所以四边形11BCCE为平行四边形，故11//CCBE,由于1CC⊥平面ABC，因此1BE⊥平面ABC，故1,,EDECEB两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系；设1BEa=，则()()()()()()110,0,0,1,0,0,1,

0,0,0,1,0,1,0,,0,0,EBCDCaBa−，故1(0,1,0),(1,0,)EDECa==，设平面平面1DEC的法向量为(),,mxyz=，则100EDmyECmxaz===+=，取xa=，则(),0,1ma=−，又

()12,0,BCa=，故112221222111sincos,34144525BCmaBCmBCmaaaaaa=====+++++，当且仅当224aa=，即2a=时取等号，要使cos的最小值，只需要sin最大，sin最大值为13，此时cos的最小值为221221sin133

−=−=.20.港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，建设过程中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水平．在开挖隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过

快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数、某施工队对正在施工的隧道工程进行下沉量监控量测工作，通过对监控量测结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与时间t（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如下表所

示：t1234567z0.010.040.140.521.382.314.3研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数ebtzk=进行拟合．令lnuz=，计算得：1.24z=，()()7122.37iiittzz=−−=，()72

127.5iizz=−=；1.2u=−，()()7125.2iiittuu=−−=，()72130iiuu=−=．（1）请判断是否可以用线性回归模型拟合u与t的关系；（通常0.75r时，认为可以用线性回归模型拟合变量间的关系）（2）试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道

拱顶的累加总下沉量；（3）已知当拱顶下沉速率超过9毫米/天，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险．若规定每天下午6点为调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调整支护参数，才能避免塌方．附：①相关系数()()()()12211ni

iinniiiixxyyrxxyy===−−=−−；②回归直线ˆˆˆyabx=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niiiniixxyybaybxxx==−−==−−③参考数据：21014.5，ln102.30．【答案】（1）可以（2）0.94.8

etz−=，累加总下沉量为2.4e毫米.（3）第7天【解析】【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可.（2）根据公式计算u与t的回归方程，然后转化为z与t的回归方程；（3）注意下沉速率9毫米/天，指的是瞬时变化率，利用导数

求解.【小问1详解】123456747t++++++==;()722222221321012328iitt=−=++++++=;()()()()7177221125.225.225.20.86214.528302210iiiiiiittuurtt

uu===−−===−−.||0.75r可以用线性回归模型拟合变量间的关系.【小问2详解】设ebtzk=，则lnlnuzbtk==+.()()()7172125.20.928iiiiittuubtt=

=−−===−；ln1.20.944.8kubt=−=−−=−;4.8ek−=，0.94.8etz−=,当8t=时，0.984.82.4eez−==.所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为2.4e毫米【小问3详

解】0.94.8etz−=，下沉速率：0.94.80.9etz−=，所以设第n天下沉速率超过9毫米/天，则：0.94.890.9en−，0.94.810en−，0.94.8ln10n−，0.92.34.8n+，7.8n，所以第8天该隧道拱顶的下沉速率超过9毫

米/天，最迟在第7天需调整支护参数，才能避免塌方．21.已知椭圆22:143xyC+=的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆22:4Oxy+=交于M，N两点，M在N的左侧．（1）若45||5MN=，求l的斜率；（2）记直线

,AMBN的斜率分别为12,kk，证明：12kk为定值．【答案】（1）12k=；（2）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式、椭圆切线的性质进行求解即可；（2）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【小问1详解

】当直线l不存在斜率时，方程为2x=，显然与圆也相切，不符合题意，设直线l的斜率为k，方程为ykxm=+，与椭圆方程联立，得222221(34)8412043xykxkmxmykxm+=+++−==+，因为直线l与

C相切，所以有()()22222264434412043kmkmmk=−+−==+，圆22:4Oxy+=的圆心坐标为()0,0，半径为2，圆心()0,0到直线ykxm=+的距离为()221mk+−，因为45||5MN=，所以有()2222245412445

415123kkmkk=−=−=+++−；【小问2详解】()()2,0,2,0AB−，由()2222241240xykxkmxmykxm+=+++−==+，设()()112212,,,,MxyNxyxx，则有2212122222441,111kmmkxxx

xkkk−−+=−==+++，122211,11kmkmxxkk−−−+==++，()()2212121212121212211122()22224224kxmkxmyykxxkmxxmxxxxxxxxxxkk+++++===+−−+−−+−，把2212122222441,11

1kmmkxxxxkkk−−+=−==+++，122211,11kmkmxxkk−−−+==++代入上式，得222222222222212412411411144224111kkmkkmmmkkkkkmkmmkkkkkk−−++−++==−−−

−+−−−+−+++，而2243mk=+，所以21222243434344kkkkkk+−==−+−−.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合椭圆切线的性质进行求解是解题的关键.22.已知()()211ln2fxxaxxx=−−−有两个极值点1x、2x，且1

2xx．（1）求a的范围；（2）当01ln2a−时，证明：()()12112afxfx++．【答案】（1）()0,+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由()0fx=可得ln1xxa−−=，令()ln1gxxx=−−，其中0x，分析可知直线ya=与函数()g

x的图象由两个交点（非切点），利用导数分析函数()gx的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围，再结合极值点的定义检验即可；（2）由（1）可知1201xx，可得出11221ln1lnaxxxx=−−=−−，()22222121ln2fxxxx=−+−−，构造函数()2121ln2tx

xxx=−+−−，其中12x，分析函数()tx的单调性，可得出()2fxa，以及()112fx，结合不等式的基本性质可证得()()1212fxfxa++；然后构造函数()()()222ln2ln2pxxxxxxx=−+−−−−，通过分析函数()px的单调性

证出()()121fxfx+，即可证得结论成立.【小问1详解】解：函数()()211ln2fxxaxxx=−−−的定义域为()0,+，()1lnfxxax=−−−，令()0fx=可得ln1xxa−−=，

因为函数()fx有两个极值点，则函数()fx有两个异号的零点，令()ln1gxxx=−−，其中0x，则直线ya=与函数()gx的图象由两个交点（非切点），()111xgxxx−=−=，令()0gx=可得1x=，列表如下：x()0,11()1,+()

gx−0+()gx减极小值1−增如下图所示：由图可知，当0a时，直线ya=与函数()gx的图象由两个交点，且交点横坐标分别为1x、()212xxx，当10xx时，()gxa，则()()0fxgxa=−

，此时函数()fx单调递增，当12xxx时，()gxa，则()()0fxgxa=−，此时函数()fx单调递减，当2xx时，()gxa，则()()0fxgxa=−，此时函数()fx单调递增.因此，当0a时，函数()fx有两个极值点.【小问2详解】证明：由（1）

可知1201xx，函数()fx在()10,x上单调递增，在()12,xx上单调递减，在()2,x+上单调递增，且11221ln1lnaxxxx=−−=−−，则有()()()12112fxffx=，由于()21ln20fa=−

−，所以，22x，即212x，又因为()()2222222222111ln21ln22fxxaxxxxxx=−−−=−+−−，令()2121ln2txxxx=−+−−，其中12x，则()()21120xtxxxx−=−+−=−，所以，函数()tx在(1,2上单

调递减，则()()()2221ln2fxtxta==−，因为()()1112fxf=，所以，()()1212fxfxa++，下面证明：()()121fxfx+.因为101x，则112xx−，因为函数()fx在()12,xx上单调递减，在()2,x+上单调递增，所以，(

)()212fxfx−，所以，()()()()12112fxfxfxfx++−()()()()()2211111111111ln2212ln222xaxxxxaxxx=−−−+−−−−−−−()()211111122ln2ln2

xxxxxx=−+−−−−，令()()()222ln2ln2pxxxxxxx=−+−−−−，其中01x，则()()()221lnln2122lnln2pxxxxxxx=−−−+−+=−−+−，令()()mxpx=，则()()211222

2202222mxxxxxxx=−−=−−=−−+−，当且仅当1x=时，等号成立，所以，函数()px在()0,1上单调递减，所以，()()10pxp=，则函数()px在()0,1上单调递增，因此，()()()()111211pxfxfxp=+−

=，综上所述，()()12112afxfx++成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()h

xfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue10

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