【文档说明】山西省晋城市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(23)页，1.903 MB，由小赞的店铺上传

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晋城市2020年高三第一次模拟考试试题数学（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择題)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考

全部内容.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|ln1}Axx=，{|12}Bxx=−，则AB=（）A.(0,)eB.(1,2)−C.(1,)e−D.(0,2)【答案】D【解

析】【分析】解不等式ln1x，化简集合A，根据交集定义即可求解.【详解】因为{|ln1}Axx={|0}xxe=，所以{|02}ABxx=.故选:D【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关

键，属于基础题.2.已知复数23zi=−，则复数z的共轭复数z=（）A.3122i−B.1322i−C.3122i+D.1322i+【答案】A【解析】【分析】复数z实数化，即可求解.【详解】因为22(3)323(3)(3)iiziii++===−

−+，所以3122zi=−.故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题.3.已知tan3=，则2cossin2+=（）A.7210B.710C.7210−D.710−【答案】B【解析】【分析】利用“1”

的变换，所求式子化为关于sin,cos的齐次分式，化弦为切，即可求解.【详解】22222cos2sincos12tan7cossin2cossin1tan10+++===++.故选:B【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦

切互化是解题的关键，属于基础题.4.设,xy满足约束条件20220220xyxyxy+−−−−+，则3zxy=−的最小值为（）A.0B.-4C.-8D.-6【答案】D【解析】【分析】作出可行域，利用数形结合即可求解.【详解】作出

可行域，如下图所示：当目标函数3zxy=−经过(0,2)A时，z取得最小值-6.故选:D【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最小值，属于基础题.5.甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（）A.甲得分的平均数比乙的大B.乙的成绩更稳定C.甲得

分的中位数比乙的大D.甲的成绩更稳定【答案】B【解析】【分析】根据图形中的数据，可求出甲乙的平均数，中位数，分析数据的离散程度，确定方差大小，即可求解.【详解】甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13，甲得分的方差明显比乙大.故选:B【

点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题.6.已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()lnfxaxa=+，若()4fe−=，则(0)(1)ff+=（）A.-1B.0C.-2D.1【答案】C【解

析】【分析】根据()fx是定义在R上的奇函数，可得(0)0f=，由()4fe−=可得()4fe=−，求出a，即可得出结论.【详解】因为()fx是奇函数，所以()()24fefea−=−=−=，可得2a=−.所以当0x时，()2ln2

fxx=−−，所以(1)2f=−，又(0)0f=，所以(0)(1)2ff+=−.故选:C【点睛】本题考查奇函数的对称性，属于基础题.7.函数()lncossinxxfxxx=+在)(,00,−的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出函数()fx为奇函数，再通

过特殊值确定答案.【详解】函数的定义域关于原点对称.因为()()lncossinxxfxfxxx−=−=−+，所以()fx为奇函数.又因为()10f=.0,(02())3ff=.()0f

，故选：D.【点睛】本题主要考查图象的确定问题，考查函数奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为（）A.4B.23C.22D.25【答案】C【解析】【分

析】由三视图可得直观图为四棱锥，即可求出结论.【详解】根据三视图，还原直观图如图所示，最长棱为1122ACAB==.故选:C【点睛】本题考查三视图应用，三视图还原成直观图是解题的关键，属于基础题.9.已知P是抛物线2:2(0)Cypxp=上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若||2PF

=，3PFO=，则抛物线C的方程为（）A.26yx=B.22yx=C.2yx=D.24yx=【答案】A【解析】【分析】||2PF=，3PFO=，可求出P点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】过P向x轴作

垂线，设垂足为Q，∵3PFO=，||2PF=，∴||3PQ=，||1QF=，(1,3)2pP−，将P点的坐标代入22ypx=，得3p=，故C的方程为26yx=.故选:A【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题.10.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，8AB

=，6AD=，异面直线BD与1AC所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（）A.98B.196C.784D.13723【答案】B【解析】【分析】先做出BD与1AC所成角的角下图中的BOE，设,,CExOEBE=用x表示，

然后用余弦定理求出x，求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案.【详解】连AC与BD交于O点,则O为AC中点，取1CC中点E，连,BEOE，则1//ACOEEOB为异面直线BD与1AC所成角,设,C

Ex=则236BEx=+，8AB=，6AD=，25,25OBOCOEx===+在OBE中，由余弦定理得2222362cosBExOBOEOBOEEOB=+=+−222362525225xxx+=++−+，解得26x=1246CCx==，所以长方体的对角线长为36649614++=所以长

方体的外接球的半径为7，所以长方体外接球的表面积为196.故选:B【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题.11.双曲线()2210mxnymn+=的渐近线于圆()2259xy−+=相切，且该双曲线过点352,2

P，则该双曲线的虚轴长为（）A.3B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】221(0)mxnymn+=的渐近线与圆22:(5)9Exy−+=相切等价于圆心(5,0)到渐近线的距离等于半径3r=，推出mn的方程，结合点

在双曲线上，求解m，n然后求解双曲线的虚轴长．【详解】双曲线221(0)mxnymn+=的一条渐近线||||0mxny−=．圆22:(5)9Exy−+=的圆心(5,0)，半径3r=．渐近线与圆22:(5)9Exy−+=相切，5||3||||mmn=+，即16||9||mn=，①该双曲线过点3

5(2,)2P，45414nm+=，②解①②可得19n=，116m=−，双曲线221916yx−=，该双曲线的虚轴长为8．故选：D．【点睛】熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键，是

中档题．12.在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，ABC的面积为S，若222sin()SACbc+=−，则1tan2tan()CBC+−的最小值为（）A.2B.2C.1D.22【答案】A【解析】【分析】222sin()SACbc+=−结合

面积公式，可得出22bcac=+，由余弦定理得出2cosacBc−=，再用正弦定理化边为角，得出2BC=，把所求式子用角C表示，并求出角C范围，最后用基本不等式求最值.【详解】因为222sin()SACbc+=−，即222sinSBbc=−，所以22si

nsinacBBbc=−，因为sin0B，所以22bcac=+，由余弦定理2222cosbacacB=+−，可得2cosacBc−=，再由正弦定理得sin2sincossinACBC−=，因为sin2sincossin()2sincossin()ACBBCCBBC−=+−=

−，所以sin()sinBCC−=，所以BCC−=或BCC−+=，得2BC=或B=（舍去）.因为ABC是锐角三角形，所以02022032CCC−，得64C，即3tan(,1)3C，所以11tanta

n22tan()2tanCCBCC+=+−，当且仅当2tan2C=，取等号.故选:A【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题

（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1,)am=，22(,)22b=−，若ab⊥，则m=__________．【答案】1【解析】【分析】根据垂直向量的坐标关系，即可求解.【详解】由221()0

22m+−=，得1m=.故答案为:1【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14.712xx−的二项展开式中，x项的系数是__________．（用数字作答）【答案】560−【解析】分析：先求出二项式712xx−的展开

式的通项公式，令x的指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x项的系数.详解：712xx−的二项展开式的通项为()()()71772177212rrrrrrrrTCxxCx−−−−+=−=−，7213rr−==，展开式x项的系数为

()334712560C−=−故答案为560−.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1CrnrrrnTab−+=；（可以考查某

一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15.若函数()sincosfxxax=−图像的一条对称轴方程为3x=，则a=__________．【答案】33−【解析】【分析】利用对称轴的点纵坐标为函数

的最大或最小值，即可求解.【详解】由21|()|3af+=，得33a=−.故答案为:33−【点睛】本题考查正弦型函数性质的应用，属于基础题.16.若111ln20xxy−−+=，22242ln20xy+−−

=，则221212()()xxyy−+−的最小值为__________，此时2x=_______.【答案】(1).45(2).125【解析】【分析】设1122(,),(,)Axyxy，点A在函数ln2yxx=−+图像上，点B在直线242ln20xy+−−=

上，221212()()xxyy−+−为,AB两点距离的平方，转化为函数ln2yxx=−+图像上的点到直线242ln20xy+−−=的距离平方最小，利用数形结合方法，即可求出2||AB的最小值.【详解】设1122(,),(,)Axy

xy，点A在函数ln2yxx=−+图像上，点B在直线242ln20xy+−−=上，221212()()xxyy−+−221212()()xxyy−+−的最小值可转化为函数ln2yxx=−+图像上的点与直线242ln20xy+−−=上的点的距离的最小值的平方，由ln2yxx=−+，可得1'1

yx=−，与直线242ln20xy+−−=平行的直线的斜率为12−，令1112x−=−，得2x=，所以切点坐标为(2,ln2)，切点到直线242ln20xy+−−=的距离|22ln242ln2|25514d+−−==+，即221212(

)()xxyy−+−的最小值为45，过切点与直线242ln20xy+−−=垂直的直线24ln20xy−−+=，由242ln2024ln20xyxy+−−=−−+=，得2125x=.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，解题的关键是要把问题转化为点到直线的距离

，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列na的前n项和为

nS，且22nSnknk=++.（1）求na的通项公式；（2）若11nnnbaa+=，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】(1)42nan=−(2)84nnTn=+【解析】【分析】（1）根据前n项和为nS与通项的关系，即可求出结论；（2）用裂项相消法，求出数列{}nb的前n项和n

T.【详解】（1）当1n=时，1122aSk==+，当2n时，2212[2(1)(1)]42nnnaSSnknknknknk−=−=++−−+−+=−+na是等差数列，41222kk−+=+，得0k=所以42nan=−（2）因为11

1111()(42)(42)82121nnnbaannnn+===−−+−+，所以11111111(1)()()8383582121nTnn=−+−++−−+11(1)82184nnn=−=++【点睛】本题考查由数列的前n项和求通项，考查用裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题.18.“绿水青山就

是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20142015201620172018销量（万台）810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性

别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30（1）求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；（2）请将上述22

列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车

主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X,求X的数学期望与方差.参考公式：12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，22()()()()()nadbckabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.63525

，若0.9r，则可判断y与x线性相关.附表：20()PKk0．100.050.0250.0100.0010k2.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)0.94r,y与x线性相关.(2)见解析，

有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.(3)数学期望20.方差12【解析】【分析】（1）根据已知数据以及给定公式，求出相关系数，再判断y与x是否线性相关；（2）由调查数据，即可补充列联表，代入2K公式，结合附表数据，即可得结论；

（3）应用二项分布的期望和方差公式，即可求解.【详解】（1）依题意，2014201520162017201820165x++++==，810132524165y++++==故51()()(2)(8)(1)(6)192847iiixxyy=−−=−−+−

−++=521()411410iixx=−=+++=，521()643698164254iiyy=−=++++=，则51552211()()47470.940.9102542635()()iiiiiiixxyyrxxyy===−−===

−−故y与x线性相关.（2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主18624女性车主246总计2010302230(18426)153.752.70620102464K−===故有90%的把握认为购车车主是否购

置新能源乘用车与性别有关.（3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为42105=，则2(50,)5XB，所以250205EX==，2250(1)1255DX=−=.【点睛】本题考查判断变量间是否线性相关，考查列联表独立性检验，以及二项分布期望，方差，考查计算能

力，属于中档题.19.如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为梯形，ABCD∥，60BAD=，1CD=，2AD=，4AB=，点G在线段AB上，3AGGB=，11AA=.（1）证明：1DG∥平面11BBCC.（2）求二面角11ADGA−−的余

弦值.【答案】(1)见解析(2)53131【解析】【分析】（1）连接1CB，证明11GBCDDC得到四边形11GBCD为平行四边形，故11DGCB得到证明.（2）作DHAB⊥于H，以D点为坐标原点，分别以DH，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，

z轴，计算平面11ADG的法向量为()1,3,33m=，平面1ADG的法向量为()1,0,3n=，计算夹角得到答案.【详解】（1）证明：连接1CB，因为底面ABCD为梯形，ABCD∥，44ABCD==，3AGGB=，则11GBCDDC，且111GBDC==，所以四边形11GBCD为平行四边

形，则11DGCB.又1CB平面11BBCC，1DG平面11BBCC，所以1DG∥平面11BBCC.（2）作DHAB⊥于H，以D点为坐标原点，分别以DH，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，则()10

,0,1D，()13,1,1A−，()3,1,0A−，()10,0,1D，()3,2,0G，所以()113,1,0DA=−，()13,2,1DG=−，()0,3,0AG=.设平面11ADG的法向量为()111,,mxyz=，则1111111130,320,D

AmxyDGmxyz=−==+−=令11x=，得()1,3,33m=.设平面1ADG的法向量为()222,,nxyz=，则2122230,320,AGnyDGnxyz===+−=令21x=，得()1,0,3n=.所以19531cos,31431mn+

==因为二面角11ADGA−−为锐角，所以其余弦值为53131.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的半焦距为c，圆222:Oxyc+=与椭

圆C有且仅有两个公共点，直线2y=与椭圆C只有一个公共点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C分别交于,PQ两点，试问：x轴上是否存在定点R，使得RPRQ为定值?若存在，求出该定值和点R的坐标；若

不存在，请说明理由.【答案】（1）22184xy+=（2）在x轴上存在点5,02R−，使得RPRQ为定值74−【解析】【分析】（1）根据已知求出,ab即得椭圆C的标准方程；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()2ykx=+，设(),0

Rm，利用韦达定理和向量的数量积求出52m=−，此时RPRQ为定值74−；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x=−，求出此时点R也满足前面的结论，即得解.【详解】(1)依题意，得2cb==，则222448abc=+=+=，故椭圆

的标准方程为22184xy+=.()2①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()2ykx=+，代人椭圆C的方程，可得()2222218880kkxxk+++−=设()11,Pxy，()22,Qxy，则2122821kxxk−+=+，21228821kxxk−=+设(

),0Rm，则()()1122,,RPRQxmyxmy=−−()()1212xmxmyy=−−+=()()()122112224xmxkxxxmx+−−+++()()22222228288421211kkkmkmkkk−−++=+−++()2222284821mm

kmk+++−=+若()2222284821mmkmk+++−+为定值，则22812842mmm−=++，解得52m=−此时()222228487214mmkmk+++−=−+R点的坐标为5,02−②当直线l的斜率不存在时，直线

l的方程为2x=−，代人22184xy+=，得22xy=−=不妨设()()2,2,2,2PQ−−−，若5,02R−，则11,2,,222RPRQ==−74RPRQ=−综上所述，在x轴上存在点5,02R−

，使得RPRQ为定值74−【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知函数()fx的定义域为R且满足2()()fxfxx−+=，当0x时，'

()fxx.（1）判断()fx在(,0]−上的单调性并加以证明；（2）若方程()fxx=有实数根0x，则称0x为函数()fx的一个不动点，设正数0x为函数()(1)1xxgxxeaex=+−++的一个不动

点，且0001()(1)2fxfxx+−+，求a的取值范围.【答案】(1)单调递减.见解析(2)32[,)22eee+++−（或2[,)22ee++−）.【解析】【分析】（1）根据已知条件'()

fxx，构造函数2()()2xxfx=−，可证()x在[0,)+上单调递减.，再通过()x的奇偶性，可得出2()()2xxfx=−在(,0]−上单调递减，即可判断()fx在(,0]−上的单调性；（2）0001()(1)2fxfxx+−+转为为（1）中的()x两个

函数值，利用()x的单调性，求出0x的范围，再根据不动点的定义转化为()gxx=在1(0,]2有解，，分离参数11xxaxe+=+−，转化为研究ya=与函数1()1xxmxxe+=+−在1(0,]2有交点

，通过两次求导得出1()1xxmxxe+=+−在1(0,]2单调性，即可求出在a的范围.【详解】（1）令2()()2xxfx=−，则'()'()xfxx=−，∵当0x时，'()fxx，∴'()0x，∴2()()2xxfx=−在[0,)+上单调递减，又∵2(

)()fxfxx−+=，∴22()()()()022xxxxfxfx+−=−+−−=，∴()x为奇函数，∴2()()2xxfx=−在(,0]−上单调递减.又∵22xy=在(,0]−上单调递减，∴2()()2xfxx=+在(,0]−上单调递减.（2）由（

1）可知，2()()2xxfx=−在R上单调递减.∵0001()(1)2fxfxx+−+，∴00()(1)xx−，∴001xx−，故012x.∵正数0x为函数()gx上的一个不动点，∴方程()gxx=在1(0,]

2上有解，即方程(1)10xxxeae+−+=在1(0,]2上有解，整理得：1(1)11111xxxxxxexexxaxeee+−+++===+−−−.令1()1xxmxxe+=+−，2(2)'()(1)xxxeexmxe−−

=−，设()2xhxex=−−，1(0,]2x，则'()10xhxe=−，∴()hx在1(0,]2上单调递增，又15()022he=−，∴()20xhxex=−−，∴2(2)'()0(1)xxxeexmxe−−=

−，∴()mx在1(0,]2上单调递减，∴132()()222eemxme++=−（或2()22emxe+−），即a的取值范围是32[,)22eee+++−（或2[,)22ee++−）.【点睛】本题考查利用导数

研究函数性质的综合应用，构造函数法判断函数的单调性，注意审题，对于新定义问题转化为函数的零点，并用分离参数法研究函数的零点问题，属于难题.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为6sin6cosxy==（

为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()23+=.（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于,AB两点，若||||43PAPB+=，求直线m的倾斜角.【答案】(1)22

6xy+=，340xy−−=(2)6或56.【解析】【分析】（1）利用22sincos1+=消去参数化曲线C为普通方程，运用cos,sinxy==，即可化直线l极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C方程，利用根与系数

关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线C的普通方程为226xy+=，因为cos()23+=，所以cos3sin40−−=，直线l的直角坐标方程为340xy−−=.（2）点P的坐标为(4,0)，设直线m的参数方程为4cossinxtyt

=+=（t为参数，为倾斜角），联立直线m与曲线C的方程得28cos100tt++=.设,AB对应的参数分别为12,tt，则121228cos1064cos400tttt+=−==−，所

以1212||||||||||8|cos|43PAPBtttt+=+=+==，得3cos2=，且满足，故直线m的倾斜角为6或56.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.23.已知函数()|31||33|

fxxx=−++.（1）求不等式()10fx的解集；（2）正数,ab满足2ab+=，证明：()fxab+.【答案】(1)4(,2][,)3−−+(2)证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；

（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()2fxabab++，即证min()2fxabab++，根据绝对值的不等式求出min()fx，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当1x−时，()13336210fxxxx=−−−=−−，解得

2x−≤，所以2x−≤；当113x−时，()1333410fxxx=−++=，x；当13x时，()31336210fxxxx=−++=+，解得43x，所以43x.综上，不等式()10fx的解集为4(,2][,)3−−+.（2）证明：因为

,ab为正数，则()fxab+等价于()2fxabab++对任意的xR恒成立.又因为()|31||33|4fxxx=−++，且2ab+=，所以只需证1ab，因为12abab+=，当且仅当1ab==时等号成立.

所以()fxab+成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.