【文档说明】江苏省启东中学2020-2021学年高一下学期第二次月考（6月）数学试题含答案.docx，共(11)页，615.822 KB，由小赞的店铺上传

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启东2020-2021学年第二学期第二次月考高一数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在

)10,50内，其中支出金额在30,50内的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n等于（）A.180B.160C.150D.2002.已知()21,sinax=，()2,sin2bx=，其

中()0,x.若abab=，则tanx的值等于（）A.2B.3C.1D.333.已知R，10sin2cos2+=，则tan2=（）A.34B.34−C.43−D.434.黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为512−的

点利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：512ACBDCDABABBC−===.若CDE△是顶角为36°的等腰三角形，则cos216=°（）A.514+−B.514−−C.512+

−D.512−−5.已知正方体的棱11CD上存在一点E（不与端点重合），使得1//BD平面1BCE，则（）A.1//BDCEB.11ACBD⊥C.112DEEC=D.11DEEC=6.非零向量a，b满足：aba−=，()0aab−=，则ab−与

b夹角的大小为（）A.135°B.120°C.60°D.45°7.三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()2coscosbcAaC−=，23b=，若边BC的中线等于3，则ABC△的面积为（）A.93B.932C.33D.3328.平面四边形ABCD中，2A

DAB==，5CDCB==，且ADAB⊥，现将ABD△沿对角线BD翻折成ABD△，则在ABD△折起至转到平面BCD的过程中，直线AC与平面BCD所成最大角的正切值为（）A.2B.12C.3D.33二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：3g/m）的折线图，则下列说法正确的是（）A.这10天中PM2.5日均值的众数为33B.这10天中PM2.5日均值的中

位数是32C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D.这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差10.正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，动点E在线段11AC上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中正确的是（）A.11//FMACB.BM⊥平面1CCFC

.存在点E，使得平面//BEF平面11CCDDD.三棱锥BCEF−的体积为定值11.在ABC△中，ABc=，BCa=，CAb=，在下列命题中，是真命题的有（）A.若0ab，则ABC△为锐角三角形B.若0ab=，则

ABC△为直角三角形C.若abcb=，则ABC△为等腰三角形D.若()()0acbabc+−+−=，则ABC△为直角三角形12.已知0,2，且121235sincos+=，则tan=（）A.34−B.42−

C.34D.43三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需

遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有______人.”14.已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，

若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为______.15.设,0,，且满足sincoscossin1−=，则()()sin2sin2−+−的取值范围为______.16，

南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式222222142cabSca+−=−（其中a、b、c、S为三角

招的三边和面积）表示在ABC△中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若3a=，且22coscos3cbCcB−=，则ABC△面积的最大值为_______.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）若某产品的直径长与标准值

的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm），将所得数据分组，得到如下频率分布表：分组频数频率)3,2−−0.10)2

,1−−8(1,20.50(2,310(3,4合计501.00（1）将上面表格中缺少的数据填在相应位置；（2）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3内的概率；（3）

现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数.18.（12分）在ABC△中，ABAC⊥，M是BC的中点.（1）若ABAC=，求向量2ABAC+与向量2ABAC+的夹角的余弦值；（2）若O是线段AM上任意一点，且2ABAC==，求O

AOBOCOA+的最小值.19.（12分）已知,,2，3tan2=−且()()sin2sin+=−.（1）求tan的值；（2）求cos23−的值.20.（12分）在①AB

C△面积2ABCS=△，②6ADC=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC.如图，在平面四边形ABCD中，34ABC=，BACDAC=，______，24CDAB==，求AC.21.（12分）如图所示，在四棱锥P

ABCD−中，底面ABCD为平行四边形，PCD△为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PACD⊥，2CD=，3AD=.（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：//GH平面PAD；（2）求证：PA⊥平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.22.（12分）如图所示，矩

形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE△区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M，N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方

，经测量得知，6mAD=，6mAE=，2mAP=，4MPN=.记()radEPM=，监控摄像头的可视区域PMN△的面积为2mS.（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据：5tan34）（2）求

S的最小值.2020-2021学年第二学期第二次月考高一数学试卷数学答案与解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2.C3.B4.A5.D6.A7.C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.ABD10.ABD11.BCD12.CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.810014.1315.1,1−16.934四

、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解析：（1）频率分布表如下表所示.分组频数频率)3,2−−50.10)2,1−−80.16(1,2250.50(2,3100.20(3,420.04合计501.00（2）由

频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3内的概率约为0.500.200.70+=.（3）设这批产品中的合格品数为x件，依题意有5020500020x=+，解得50002020198050x=−=.所以该批产品的合格品件数估计是1980件.18.解析：（

1）设向量2ABAC+与向量2ABAC+的夹角为，则()()22cos22ABACABACABACABAC++=++，令ABACa==，则22224cos555aaaa+==.（2）∵2ABAC

==，∴1AM=，设OAx=（01x），则1OMx=−.而2OBOCOM+=，∴()OAOBOCOAOAOBOC+=+2OAOM=2cosOAOM=221122222xxx=−=−−.∴当12x=时，OAOBOCOA+取得最小值，最小值是12−.19.解析

：（1）∵()()sin2sin+=−，∴sincoscossin2sincos2cossin+=−，即sincos3cossin=.∵,,2，∴cos，cos均不为零.∴tan3tan=，∵3tan2=−，∴1tan2=−.

（2）由（1）知1tan2=−而,2，∴由1sincos2=−，22sincos1+=得5sin,525cos,5==−∴4sin22sincos5==−，223cos2cossin5=−=，∴131334343c

os2cos2sin2322252510−−=+=−=.【解析】选择①：113sin2sin2224ABCSABBCABCBC===△，所以22BC=；由余弦定理可得2222cosACABBCABBCABC=+−2

482222202=+−−=，所以2025AC==.选择②设BACCAD==，则04，4BCA=−，在ABC△中sinsinACABABCBCA=，即23sinsin4

4AC=−，所以2sin4AC=−，在ACD△中，sinsinACCDADCCAD=，即4sinsin6AC=，所以2sinAC=.所以22sinsin4=−，解得2sincos=，又04，所以

5sin5=，所以225sinAC==.21.（1）证明：连接BD，易知ACBDH=，BHDH=.又由BGPG=，故//GHPD.又因为GH平面PAD，PD平面PAD，所以//GH平面PAD；（2）证明

：如图，取棱PC的中点N，连接DN.依题意得DNPC⊥，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC平面PCDPC=，DN平面PCD，所以DN⊥平面PAC，又PA平面PAC，故DNPA⊥.又已知PACD

⊥，CDDND=，所以PA⊥平面PCD；（3）连接AN，由（2）中DN⊥平面PAC，可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角，因为PCD△为等边三角形，2CD=且N为PC的中点，所以3DN=.又DNAN⊥，在RtDAN△中，3sin3DNDANAD==.所以，直线AD与平面

PAC所成角的正弦值为33.22.（1）解法1：在PME△中，EPM=，4mPEAEAP=−=，4PEM=，34PME=−，由正弦定理得sinPMPEPEMPME=，所以sin2243sinsincossin4PEPEMPMPME===+

−.同理，在PNE△中，由正弦定理得sinsinPNPEPENPNE=，所以sin2222sincossin2PEPENPNPNE===−.所以PMN△的面积1sin2SPMPNMPN=24

cossincos=+41cos21sin222=++8sin2cos21=++82sin214=++，当M与E重合时，0=；当N与D重合时，tan3APD=，即54APD=，3544=−，所以35044−.综上，可得88sin2cos212

sin214S==++++，350,44−.解法2：在PME△中，EPM=，4mPEAEAP=−=，4PEM=，34PME=−，由正弦定理可知，sinsinMEPEPME=，所

以sin4sin42sin3sinsincossin4PEMEPME===+−.在PNE△中，由正弦定理可知sinsinNEPEEPNPNE=，所以()sin4sin22sincos44coscossin2PENE

+++===−.所以()22sincoscosMNNEME+=−=.又点P到DE的距离为4sin224d==，所以PMN△的面积12SMNd=24cossincos=+41cos21sin222=++

8sin2cos21=++82sin214=++，当M与E重合时，0=；当N与D重合时，tan3APD=，即54APD=，3544=−，所以35044−.综上，可得82sin214S=

++，350,44−.（2）当242+=，即350,844=−时，S取得最小值为()882121=−+.所以可视区域PMN△面积的最小值为()2821m−