【文档说明】湖南省重点中学2020-2021学年高二下学期5月联考数学试卷含答案.docx，共(13)页，1.118 MB，由小赞的店铺上传

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湖南省高二年级联合考试卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题

时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{

4120},340AxxBxxx=−+=−−∣∣，则AB=（）A.()3,4B.()1,3−C.()1,−+D.()3,+2.已知命题2:0,1xpxe−+，则p及p的真假性为（）A.2:0,1;xpxe−+„真命题B.2:0,1;xpxe−+„假命题C.2:

0,1;xpxe−+„真命题D.2:0,1;xpxe−+„假命题3.函数()223lnfxxxx=−+的图象在点(1，()1f)处的切线斜率为（）A.0B.1C.2D.34.在等差数列na中，已知72519,221aaa=+=，则na的公

差d=（）A.4B.3C.2D.15.下图是某品牌汽车2020年12个月的月销售量(单位：台)的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）A.2020年下半年，该品牌汽车的月销售量逐月增加B.与前一个月相比，月销售量增量最大的是12月C.202

0年，该品牌汽车月销售量的中位数是1893台D.2020年上半年，该品牌汽车月销售量的平均数是916.5台6.亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭(图1)是常见的一类亭

，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台(图2)的组合休.已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（）(参考公式：圆台的表面积()22Srrrlrl=+++上下下上(,rr上下下分别是上､下底面的半径，l是：母线长))A.23.

8mB.23.6mC.27.2mD.211.34m7.已知1x=−是函数()()32263fxxmxmx=++−+的一个极值点，则()fx的极大值为（）A.9427B.6C.2D.6或28.在抗击新冠

肺炎疫情期间，为了做好防控工作，医院要求病人在等待就医时，座位不能相邻.现有9个连成一排的座位，甲､乙､丙3位患者在这9个座位中选择座位就座等候就诊，已知甲坐在最中间的座位，则不同的就座方式共有（）A.22种B.11种C.30.D.36种二､选择题：本题共4小题，每个小题

5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()231326zii+=−，则（）A.47zi=−−B.65zz=C.45zi+=D.2(3)32zii+=10.已知函数()sin

23cos21fxxx=−−，则（）A.()fx的最小正周期为B.()fx在区间70,12上单调递增C.()fx的图象关于点2,03对称D.要得到函数2cos21yx=−的图象，只需将()yfx=的图象向左平移510个单位长度11.如图，在长方体111

1ABCDABCD−中，12,3,,ABADAAMN===分别是棱,ABAD的中点，E，F分别是棱11,AABB上的点，且12AEBF==，则（）A.//MN平面11BDEB.11AC⊥平面FMNC.异面直线MN与1DE所成角的大小为3D.点M到平面11BDE的距

离为23312.如图，O是坐标原点，P是双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=艾支上的一点，F是E的右焦点，延长,POPF分别交E于,QR两点，已知QFFR⊥，且2QFFR=，则（）.AE的离心率为173B.E的离心率为174C.6PQRPOFSS=D.

Δ23RFPOFSS=三､填空题：本题共4小题，每小题5分；共20分､把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量()()2,3,1,5ab==，则()aab−=__________.14.已知抛物线2:2(0)Cypxp=与直线:260

lxy−+=相切，则p=__________.15.已知221ab+=，个使得228(3)(4)26mabm−−+++剟恒成立的m=__________.16.十六､十七世纪之交，约翰･纳皮尔潜心研究二十余年发明了对数，在此基础上，布里格斯进步改善对数，制造了第一个常用

对数表.在计算器被发明之前，对数给数学的计算带来了极大的便利，拉普拉斯对此赞叹道“对数的发明让天文学家的寿命增倍."某天文学家需要计算327.0513.231.261，经过查表得到如下参考数据，则最终计算

结果为__________.x2.7051.3231.2616.5726.57,46.5766.578lgx0.43220.12160.10070.81770.81780.81800.8181四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字

说明､证明过程或演算步骤.17.(10分)已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sinsinsinabCBcbA−−=+.（1）求C；（2）若23c=，求ABC面积的最大值.18.(12分)已知数列na满足13.nnnaa++=（1

）若na是等比数列，求na的通项公式；（2）若12a=，求na的前2021项和2021S.19.(12分)如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，且1//,90,22ABCDADCABADCD====，侧面PCD为等边三角形，且平面

PCD⊥平面.ABCD（1）证明:.BPCD⊥（2）若2PMMC=，求二面角MBDC−−的余弦值.20.(12分)已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的上顶点为()0,2B，且E的离心率33e=.（1）求E的标准方程；（2）已知E的右焦点为F，直线l经过F且与直线B

F垂直.若l与E交于,MN两点，求BMN的面积.21.(12分)加强学校体育管理是实施素质教育､促进学生全面发展的重要途径，这对于促进教育现代化､建设健康中国和人力资源强国､实现中华民族伟大复兴的中国梦具有重要意义.某学校举办学校运动会，在篮球决赛

上；由甲，乙两个球队争夺冠军，其中甲队属于越挫越勇型，若甲队前一场失败，则下一场获胜的概率为23；若甲队前一场获胜，则甲队容易骄傲自满，出现失误，下一场获胜的概率为13.已知第一场比赛，甲､乙两队获胜的概率均为12.每

场比赛获胜方得1分，失败方得0分，而且每场比赛没有平局，先累计得3分的队伍赢得比赛.（1）求甲队以3:1获胜的概率；（2）求甲队得分X的分布列和数学期望.22.(12分)已知函数()sin.fxaxx=−（1）若1

a=，证明；当0x…时，()0.fx…（2）已知函数()316gxx=−，当0x…时，()()0fxgx+„，求a的取值范围.湖南省高二年级联合考试卷数学参考答案1.C因为{3},{14}AxxBxx==−∣∣，所以()1,AB=−+.2.D存在

量词命题的否定为全称量词命题，,AB不正确.因为121e−+，所以p是假命题.故选D3.C因为()223lnfxxxx=−+，所以()()143,12fxxfx=−+=，故()fx的图象在()()1,1f处的切线斜率为2.4.B由题可得11619,3621,adad+=

+=解得11,3.ad==5.D由图可知10月份的月销售量相比于9月份是减少的，A不正确.12月份的月销售量比11月份增加了570042241476−=台，7月份的月销售量比6月份增加了24519161535

−=台，B不正确.2020年，该品牌汽车月销售量的中位数是133624511893.52+=台，C不正确.2020年上半年，该品牌汽车月销售量的平均数是105516110551336976916916.56+++++=台，D正确.6.A由题可知，圆台的母线22

4.630.61m2l−=+=，故圆台的侧面积()23.8mSrrl=+=下上.7.B因为()()32263fxxmxmx=++−+，所以()22326.fxxmxm=+−+又1x=−是()fx的一个极值点，所以()21230fmm−

=−−=，解得3m=或1m=−.当3m=时，()223633(1)0fxxxx=+=++…，()fx无极值；当1m=−时，()()()2325351fxxxxx=−−=−+，则()fx的单调递增区间为(

),1−−和()5,,3fx+的单调递减区间为51,3−.故当1x=−时，()fx取得极大值，且极大值为6.8.A若乙丙坐在甲的同侧，则有222A4=种不同的就座方式；若乙丙坐在甲的两侧，则有11332CC18=种不同的就座方式.综上所述，共有

22种不同的就座方式.9.BCD()()221326i12i23i47i,47i,(4)765,4i43i523izzzzz−==−−=−−=−+=−+=+=−−=+，22(3i)(44i)32i.z+=−−=故选BCD.10.AD(

)sin23cos212sin213fxxxx=−−=−−，所以()fx的最小正周期2,A2T==正确.当0x712时()5,2,336xfx−−不单调，B不正确.令2,3xkk−=Z，解得,62kxk=

+Z，且162kf+=−，所以()fx图象的对称中心为,1,C62k+−不正确.552sin21212fxx+=+−12sin212cos21,D32xx

−=+−=−正确.11.ACD因为,MN分别是棱,ABAD的中点，所以11//.MNBD又MN平面1111,BDEBD平面11BDE，所以//MN平面11BDE，A正确.因为11//MNBD，所以11BDE为异面直线MN与1DE所成角(或补角),又12ABADAE===

，所以111122BDBEDE===，所以11,C3BDE=正确.假设11AC⊥平面FMN，则11ACFM⊥，又111ACBB⊥，所以11AC⊥平面11ABBA，但是11AC与平面11ABBA不垂直，故B不正确.连接11,,(MBMDME图略11

1231),(22)23,23(2211142BDEEMBSS===−++3)2.=设点M到平面11BDE的距离为d，由1111MBDEDEMBVV−−=，得11232233d=，解得d=23,D3正确.12.AC如图，取

E的左焦点F，连接,,PFQFRF，由对称性可知，PF=,//QFPFQF，设FRm=，则2,22FQFPmPFma===−，2,32.RFmaPRma=+=−在RtFPR中，222(2)(32)(2)mmama+−=+，解得43am

=或0(m=舍去)，所以82,33aaPFPF==.在RtFPF中，，22282433aac+=，整理得22179ca=，故E的离心率为17,A3正确，B不正确.因为24,,33aaPFFR

O==是PQ的中点，所以3PQRPFQSS=6,24,POFRQFPFQPOFSSSSC===正确，D不正确.13.4−因为()()2,3,1,5ab==，所以()()21324.aab−=+−=−14.3联立方程组22,260,ypxxy=−+=整理得24120.ypy

p−+=因为C与l相切，所以2Δ16480pp=−=，解得p3=或0(p=舍去).15.15(答案不唯一)因为221ab+=，所以(),ab表示以()0,0O为圆心，1为半径的圆上的点，22(3)(4)ab−++表示点()3,4A−到圆O上的点的距离的平方.因为223(4)

5OA=+−=，所以216(3)(ab−++„24)36.„因为228(3)(4)26mabm−−+++剟恒成立，所以816,2636,mm−+„…解得1524.m剟16.6.572()()327.0513.2311lglg27.05lg13.23lg1.26110.43221

0.12160.10071.26133=+−=+++−=0.8177，对照参考数据327.0513.236.572.1.261=17.解（1）因为sinsinsinabCBcbA−−=+，所以abcbcba−−=+整理得222.cabab=+−由余弦定理知

2222coscababC=+−，所以1cos2C=.因为0C，所以3C=.（2）由（1）可知，13sin24ABCSabCab==.因为23c=，所以2212ababab=+−…，所以3334ab„，即ABC面积的最

大值为33.18.解：（1）设na的公比为q，则112113,9,aqaaqaq+=+=解得13,43,aq==所以11133344nnnnaaq−−===.（2）因为12a=，所以20

211232021Saaaa=++++()()()1234520202021aaaaaaa=+++++++2420202333=++++()1010919219−=+−1011978+=19.（1）证明：如图，取CD的中点O，连接,.POBO因为PCD是等边三角形，所

以.POCD⊥因为1//,90,2ABCDADCABCD==，所以.BOCD⊥又POBOO=，所以CD⊥平面PBO又BP平面PBO，所以.BPCD⊥（2）解：如图，以O为原点，射线OB为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，则()()()()0,0,23,2,0

,0,0,2,0,0,2,0PBDC−因为2PMMC=，所以()42310230,,,0,,,2,2,03333MDMDB==.设平面BDM的法向量为(),,mxyz=，则0,0,mDMmDB==即1023033220

.yzxy+=+=令1x=，则531,3yz=−=，即531,1,3m=−.易知平面BDC的一个法向量为()0,0,1n=，所以535313cos,.||||31933mnmnmn===.由图可知，二面角MBDC−−为锐角，故二面角M

BDC−−的余弦值为53131.20.解：（1）因为E的上顶点为()0,2B，所以2.b=又E的离心率33e=，所以22222213abaaa−−==，解得23a=，故E的标准方程为221.32xy+=（2）由（1）可知，F的坐标为()1,0.因为直线l经过F且与直线BF垂直，所

以l的方程为()212yx=−分别设()()1122,,,MxyNxy，联立方程组()221,3221,2xyyx+==−整理得27690,xx−−=，则121269,77xxxx+==−，所以()221212212314.27MNxxxx=++−=

因为221(2)3BF=+=，所以BMN的面积111231832277SMNBF===.21.解：（1）记甲队第n场获胜为事件nA，第n场失败为事件nA.记甲队以3:1获胜为事件A，则()()()12341234123

4()PAPAAAAPAAAAPAAAA=++121112211122233323332333=++527=.（2）由题可知，甲队的得分可能为0,1,2,3.()1111023318PX===()()()1234

123412345(1)27PXPAAAAPAAAAPAAAA==++=()()()()12345123451234512345(2)PXPAAAAAPAAAAAPAAAAAPAAAAA==+++()()1234512345727PAAAAAPAAAAA++=()()()()15

713101211827272PXPXPXPX==−=−=−==−−−=甲队得分X的分布列为X0123P11852772712()15711190123182727254EX=+++=22.（1）证明：因为1a=，所以()()sin,1cos0fxxxfxx=−=−…，所以()fx是增

函数.又0x…，所以()()00.fxf=…（2）解设函数()()()31sin6hxfxgxaxxx=+=−−，则()21cos.2hxaxx=−−令函数()21cos2xaxx=−−，则()sinxxx=−，由（1）可知，当0x…时，()0x„，所

以()x在)0,+上单调递减，所以()()01.xa=−„当10a−„，即1a„时，()()0hxx=„，所以()hx在)0,+上单调递减，则()()00hxh=„，符合条件.当10a−

，即1a时()()2,010,2cos22cos20aaaaaaa=−=−−−−，所以()00,2xa，()00.x=当)00,xx时()()(),0,hxxhx=单调递增；当()0,xx+时()()(),0,hxxhx=单调递减

.故()()000hxh=，不符合条件.综上所述，a的取值范围为(,1.−