【文档说明】2021高考数学（文）集训11　立体几何 .docx，共(14)页，465.026 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-51a54d1b61a7b41503bfc4db73c3e710.html

以下为本文档部分文字说明：

专题限时集训(十一)立体几何1．(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明

：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．[解](1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12

A1D．由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平

面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.2．(2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1

的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝π3，求四棱锥B-EB1C1F的体积．[解](1

)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)AO∥平面E

B1C1F，AO⊂平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝PN，故AO∥PN.又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，所以PN＝AO＝6，AP＝ON＝13AM＝3，PM＝23AM＝23，EF＝13BC＝2.因为BC

∥平面EB1C1F，所以四棱锥B-EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离．如图，作MT⊥PN，垂足为T，则由(1)知，MT⊥平面EB1C1F，故MT＝PMsin∠MPN＝3.底面EB1C1F的面积为

12×(B1C1＋EF)×PN＝12(6＋2)×6＝24.所以四棱锥B-EB1C1F的体积为13×24×3＝24.3．(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其

中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．[解](1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，C

G确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，又BE，BC⊂面BCGE，BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以

DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为

4.4．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD︵所在平面垂直，M是CD︵上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．[解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC

⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD︵上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．(2)当

P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：如图，连接AC，BD，AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．1．(2020·怀仁模拟)如

图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若MN＝BC＝4，PA＝43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．[解](1)取PD的中点H，连接A

H，NH，∵N是PC的中点，∴NH綊12DC．∵M是AB的中点，且DC綊AB，∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形．∴MN∥AH.又MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)连接AC并取其中点O，连接OM，ON.则OM綊12BC，ON綊12PA．∴∠ONM就是异面直

线PA与MN所成的角，由MN＝BC＝4，PA＝43，得OM＝2，ON＝23.∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，即异面直线PA与MN成30°的角．2．(2020·汕头一模)在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有

AB∥DC，AC＝CD＝DA＝12AB．(1)证明：BC⊥PA；(2)若PA＝PC＝22AC＝2，Q在线段PB上，满足PQ＝2QB，求三棱锥P-ACQ的体积．[解](1)证明：不妨设AB＝2a，则AC＝CD＝DA＝a，由△ACD是等边三角形，可

得∠ACD＝π3，∵AB∥DC，∴∠CAB＝π3.由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosπ3＝3a2，即BC＝3a，∴BC2＋AC2＝AB2.∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC．又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴B

C⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴BC⊥PA．(2)依题意得，PA⊥PC，VP-ACQ＝VQ-PAC＝23VB-PAC＝23×13S△PAC×BC＝23×13×12×2×2×23＝439.3．(2020·深圳二模)如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC

＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝SA＝1，BC＝2，M为SB的中点．(1)求证：AM∥平面SCD；(2)求点B到平面SCD的距离．[解](1)证明：取SC的中点N，连接MN和DN，∵M为SB的中点，∴MN∥BC，且MN＝12BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，∴AD∥BC，且

AD＝12BC，∴AD綊MN，∴四边形AMND是平行四边形，∴AM∥DN，∵AM⊄平面SCD，DN⊂平面SCD，∴AM∥平面SCD．(2)∵AB＝AS＝1，M为SB的中点，∴AM⊥SB，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，

∴BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AM，∴AM⊥平面SBC．由(1)可知AM∥DN，∴DN⊥平面SBC，∵DN⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，

在直角三角形SBC中，12SB·BC＝12SC·BE，∴BE＝SB·BCSC＝226＝233，即点B到平面SCD的距离为233.4．(2020·长沙模拟)如图，已知三棱锥P-ABC的平面展开图中，四边形ABCD为边

长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中．(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)求三棱锥P-ABC的表面积和体积．[解](1)设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得PA＝PB＝

PC＝2，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1.因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC．因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝2，PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB．因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，所

以PO⊥平面ABC，因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．(2)三棱锥P-ABC的表面积S＝2×12×2×2＋2×34×()22＝2＋3，由(1)知，PO⊥平面ABC，所以三棱锥P-ABC的体积为V＝13S△ABC×PO＝1

3×12×2×2×1＝13.1.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，AD⊥DC，AB＝1，AD＝DC＝2，AA1＝2，且AA1⊥平面ABCD，F为A1B1的中点．(1)在图中画出一个过BC1且与AF平行的平面(要求写出

作法)；(2)求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面积．[解](1)在平面CDD1C1中，过D作DP∥AF，交C1D1于P，在平面CDD1C1中，过C1作C1E∥DP，交CD于E，连接BE，此时AF∥C1E，∴过BC1且与AF平行的平面为平面BEC1.(2)

∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，AD⊥DC，AB＝1，AD＝DC＝2，AA1＝2，且AA1⊥平面ABCD，∴四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面积为：S＝2S梯形ABCD＋S矩形ABB1A1＋S矩形ADD1A1

＋S矩形DCC1D1＋S矩形BCC1B1＝2×1＋22×2＋1×2＋2×2＋2×2＋22＋12×2＝16＋25.2.如图，在三棱柱FAB-EDC中，侧面ABCD是菱形，G是边AD的中点．平面ADEF⊥平面AB

CD，∠ADE＝90°.(1)求证：AC⊥BE；(2)在线段BE上求点M(说明M点的具体位置)，使得DE∥平面GMC，并证明你的结论．[解](1)证明：如图，连接BD，则由四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD，∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，且DE⊥AD,∴D

E⊥平面ABCD．又AC⊂平面ABCD,∴AC⊥DE.∵BD∩DE＝D,∴AC⊥平面BDE，∵BE⊂平面BDE,∴AC⊥BE.(2)设BD∩CG＝O，在△BDE中，过O作DE的平行线交BE于点M，M点即为所求的点．∵OM在平面MGC内

，DE不在平面MGC内，且OM∥DE,∴DE∥平面MGC．∵四边形ABCD为菱形，且G是AD的中点，∴△DOG∽△BOC，且ODOB＝DGBC＝12，又OM∥DE，于是EMMB＝ODOB＝12，故点M为线段BE上靠近点E的三等分点．3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC

＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合)．(1)求证：平面EMN⊥平面PBC；(2)设三棱锥B-EMN和四棱锥P-EBCD的体积分别为V1和V2，当N为BC中点时，求V1V2的值．[

解](1)证明：∵PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，∴PE⊥平面EBCD，又PE⊂平面PEB，∴平面PEB⊥平面EBCD，∵BC⊂平面EBCD，BC⊥EB，∴平面PBC⊥平面PEB．∵PE＝EB，PM

＝MB，∴EM⊥PB，∵BC∩PB＝B，∴EM⊥平面PBC，又∵EM⊂平面EMN，∴平面EMN⊥平面PBC．(2)∵N是BC的中点，∴S△EBNS四边形EBCD＝12EB·BNEB·BC＝14，点M，P到平面EBCD的距离之比为12，∴V

1V2＝13S△EBN13S四边形EBCD·12＝12·14＝18.4.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)若∠A1

AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C-AA1B的体积．[解](1)连接AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B

1C∥平面A1BD．(2)∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3，得AB＝3.∴AC2＝AB2＋BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A1AB＝

60°，AB＝BB1＝AA1，∴AA1＝3.∴S△A1AB＝12·AB·AA1·sin∠A1AB＝334.∴VC-A1AB＝13S△A1AB·BC＝13×334×1＝34.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号ww

w.xiangxue100.com